「學長，你看，我把初中數學書中所有的定義都整理出來了，然後根據定義舉了些具體例子。」我正在圖書室裡做數學計算題，泰朵拉說著朝我走來，笑嘻嘻地打開練習本給我看。
「哇……太厲害了！」我感歎道，更何況她是一夜之間完成的。
「我比較喜歡做這種事情，就像做詞彙手冊一樣。雖然我想過要重讀一遍數學課本，但是算術和數學有很大的區別，可能是式子中有文字和沒文字之間的差別吧，學長。」泰朵拉說。
2.9.1 方程式和恆等式
「那麼，就剛才說到的文字和數學公式的話題，我們來談談方程式和恆等式吧。泰朵拉，你解過這樣的方程式嗎？」我問。
x - 1 = 0
「嗯，是的。x 是 1 吧。」泰朵拉答道。
「嗯，x - 1 = 0 這個方程就這樣解出來了。那麼，這個式子呢？」我又問。
2(x - 1) = 2x - 2
「好，我將這個方程式重新整理一下，解解看。」泰朵拉說。
「咦？怎麼變成 0 等於 0 了？」她很驚訝。
「其實 2(x - 1) = 2x - 2 不是方程式，而是恆等式。將左邊 2（x - 1） 展開後，就和右邊 2x - 2 相等。也就是說，無論 x 取何值，這個方程式都能成立，因為這是左右永遠都相等的式子，所以我們把此類式子叫作恆等式。嚴格地說，這是關於 x 的恆等式。」我說。
「方程式和恆等式不同嗎？」她問道。
「不同哦。方程式側重於『當 x 取某特定值時，這個式子成立』；而恆等式則側重於『x 取任意值都能使這個式子成立』。這兩個概念可是有很大的區別的。說到方程式，則自然而然地會有讓你求『使這個式子成立的特定值』之類的問題。這也就是方程式求解的問題。而說到恆等式，則自然而然地會出現『這個式子用任意數字代入都能成立嗎』之類的問題。這也就是恆等式的證明題。」我說。
「啊，原來如此……。它們差別這麼大啊。我還從沒意識到呢。」泰朵拉說。
「嗯，一般人不會注意，但還是留意下比較好。從公式演變來的等式，一般都是恆等式。」我說。
「如果光看式子能馬上就看出是方程式還是恆等式嗎？」她問道。
「有時候一眼就能看出，有時候卻不行。有時還必須根據上下文來判斷。也就是說，我們必須要領會寫這個等式的人到底是想將式子寫成方程式還是恆等式。」我答道。
「寫式子的人……」她若有所思。
「將式子變形時，就是恆等式。看看下面的式子吧。」
「恆等式就這樣可以一直寫下去，無論 x 取何值，等式都能成立。也就是說，恆等式是一系列的連續等式，一步步往下推導，最終所得的等式就是恆等式。」
「嗯，對。」
我說：「恆等式的連續推導就是為了顯示公式變形過程中的『慢鏡頭』。所以『啊，式子好多好複雜啊』這種消極的想法是不可取的。一步步看下去就可以了。與恆等式相對，你看看下面這個式子如何？」
「兩個式子中，第一個式子是一個恆等式。也就是說，它側重於說明『無論 x 取何值，
這個式子都能成立』。第二個等號是用來建立方程式的。所以，從上述式子整體來看，這題主要側重於『要解 
這個方程式的話，先將其恆等變形，然後求方程式 (x - 2)(x - 3) = 0 的解即可』。」我說。
「哇，原來是這樣理解的啊。」她說。
「除了方程式和恆等式，還有定義式。當有複雜的式子出現時，給這個式子取個特定的名稱，就可以將整個式子簡化。取特定名稱時要使用等號。定義式不像方程式那樣需要求解，也不像恆等式那樣需要證明，而是自己覺得怎樣方便就怎樣定義。」我接著說道。
「能給我舉個例子來說說定義式究竟是什麼嗎？」她顯得有些不太明白。「比如說，將比較複雜的 α + β 取名為字母 s。這種取名方式，也就是定義，可以表示成以下形式。」我說道。
s = α + β 定義式的例子
「好，那我要提個問題。」泰朵拉饒有興趣地舉著手問我。她明明已經在我面前了，沒必要特地舉手發言吧。真是個可愛的孩子。
「學長，到這裡我已經不懂了，為什麼要取名為 s 呢？」她問我。
「隨便取什麼名都可以啊。因為只是使用這個名字代替原來的式子，所以無論是 s 還是 t 都可以。一旦定義 α + β 為 s 後，就說明以後碰見 α + β，我們就可以用 s 來代替。如果自己定義得恰當，列出的式子就很容易被看懂和理解。」我答道。
「哦，明白了。那 α 和 β 又是什麼呢？」她接著問。
「嗯，我們假設這些是在其他地方定義的文字。如果要寫定義式 s = α + β，一般左邊寫的是字母，右邊寫的是需要被取名的式子。這裡是將在其他地方定義好的 α 和 β 組成的式子取名為 s，就是這樣。」
「定義式取什麼名都可以嗎？」她問道。
「嗯，一般取什麼名字都可以。雖說如此，但是不能再使用已經定義過的其他式子的名字。比如說，已經將 α + β 定義為 s 了，而後又將 αβ 定義為 s，就會產生歧義。」我補充說。
「是啊，這樣的話，取名也就沒有意義了。」她贊同我的說法。
「還有，我們一般都把圓周率寫成 π，把虛數單位寫成 i，如果我們再把這些常用字母換成別的字母，就會讓人覺得非常彆扭。當你看到數學公式中出現新的字母時，不要驚慌，想到『啊，這可能是定義式吧』就可以了。在解說部分中如果寫著『將 s 定義為以下式子』『將 α + β 定義為 s』等內容，那一定就是定義式了。」我說。
「啊，是這樣啊。」她說。
「哦，對了，泰朵拉，下次你查一下數學書中出現的含有字母的等式吧，如方程式、恆等式、定義式等，可能還會有些別的式子……」我說。
她答應道：「好的，我試著找找。」
「數學書中會出現很多公式。那些數學公式全都是寫公式的人為了向別人表達自己的想法而寫的式子。」我說。
2.9.2 積的形式與和的形式
「對了，在看數學公式的時候，關注式子的整體形式是很重要的。」我說。
「整體形式是什麼意思？」泰朵拉問道。
「比如說下面這個式子，把它當作方程式來看。」
這個式子的左邊是乘積的形式，也就是積的形式。一般我們將組成乘積形成的一個個式子稱為因式，或者因子。
「把一個個式子稱為因式或因子是不是和因式分解有關係呢？」她問道。
「嗯，有關係啊。因式分解就是把式子分解為乘積的形式。質因數分解就是把數字分解為質數的乘積形式。省略乘法符號 × 的表現形式是很常見的。以下三個式子所表示的意思相同。」我說。
「我懂了。」
我說：「另外，對於 的情況，兩個因式中至少有一個應該是 0。為什麼這樣說呢？是因為這個式子是積的形式。」
「我明白了。兩個因式相乘，結果為 0 時，這兩個因式中應該有一個為 0。」
「如果要用語言來表達的話，比起『兩個因式中應該有一個為 0』這一說法，『兩個因式中至少有一個為 0』的說法更為嚴密。因為也可能出現兩個因式同時都為 0 的情況。」我說。
「啊，對哦。加上『至少』這個詞後更為嚴密。」
我說：「嗯。至少有一個因式為 0 就意味著 x - α = 0 或 x - β = 0 成立。換句話說，x 為 α 或 β，就是這個方程式的解。」
「嗯。」
「接下來，我們把 (x - α)(x - β) 這個式子展開看看。下面這個式子是不是方程式呢？」我問道。
「不是，這個是恆等式。」她答道。
「嗯。這個展開式就是將積的形式轉化為和的形式。左邊積的形式中有兩個因式，右邊和的形式中有 4 個項。」
「項？項是什麼？」她不明白。
「我們將構成和的形式的一個個式子叫作項。這裡我們給它加上括號，會比較容易理解。請看下面的式子。」
「對了，這個式子還沒有整理呢，讓人覺得不舒服。怎麼整理好呢？」我提醒她。
「嗯，將像 -αx 和 -βx 之類的帶有 x 的東西……」她的話還沒說完，就被我打斷了，「不是『東西』，是『項』。另外，像 -αx 和 -βx 之類的只含有一個 x 的項叫作『關於 x 的一次項』，或者就叫作『一次項』。」我說。
「哦。將『關於 x 的一次項』整理後得到的式子是這樣的吧。」
「正是如此。作為項的說明這是正確的。但是一般還要再變下形，將負號提出來。」
「泰朵拉，上面這種式子的變形稱為『合併同類項』，你知道吧？」我問。
「嗯，我知道有『合併同類項』這個說法。但我從沒有像今天這樣理解得這麼透徹。」泰朵拉說。
「那我考你一下。下面這個式子是恆等式呢還是方程式？」我給她出題了。
「這個式子是展開後合併同類項吧。無論 x 取何值都成立的式子是……恆等式。」她答道。
我說：「嗯，答對了！我們繼續討論。先考慮下面這個方程式。這個式子是積的形式。」
積的形式的方程式
「運用剛才的恆等式，這個方程式就可以變形成以下形式，也就是所謂的和的形式的方程式。」我又說道。
和的形式的方程式
「這兩個方程式雖然表現形式不同，但卻是同一個方程式。只是運用恆等式將式子左邊進行了公式變形罷了。」
「嗯，明白了。」
「我們看到方程式為積的形式時，這個方程式的解為 α 或 β，那也就是說，和的形式的方程式的解也應該是 α 或 β。因為這是同一個方程式。」
「這種形式簡單的二次方程，一看就能求出解。比如說，我們比較一下下列兩個方程式。這兩個方程式在形式上非常相似。」
「確實是很像。 α + β 和 5 類似，αβ 和 6 相似。」泰朵拉說。
「是啊。也就是說，要解 這個方程，只要找出相加得 5、相乘得 6 的兩個數就可以了，即 x = 2 或者 3。」
「確實是這樣啊。」她說。
「積的形式、和的形式其實都只是數學公式的眾多形式中的一種。當和的形式的方程為 0 時，我們很難求得解。但如果積的形式的方程為 0 的話，答案就一目瞭然。」我說。
「啊，我好像有種『明白了的感覺』。『解方程』和『建立積的形式』之間有很密切的關係。」泰朵拉豁然開朗。