8.5.1 備戰
「呼……」泰朵拉深深地歎了一口氣，「學長，證明過程太長了，而且字母還這麼多……」
週一放學後，我在圖書室裡跟泰朵拉講如何證明「不存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形」。
「人家一下子就折服了……不過，學長你用的武器又是我有的呢……」
基本勾股數的一般形式
互質
兩數之和乘以兩數之差等於平方差
積的形式
奇偶性
最大公約數
分解質因數
反證法
矛盾
「就算這樣，人家還是沒能解開。雖然做到了基本勾股數的一般形式這一步，但是沒能想到『互質』，而且人家走到一半，就連存在互質這個條件都忘光了……」
「我的證明過程確實很長，不過我之前走了比這長好幾倍的彎路，試過式子變形，也讀過好多遍筆記，想著能不能發現什麼。算著算著也算錯過，發現算錯了就從錯的地方改過來……就這樣一遍又一遍，剛開始『基本勾股數的一般形式』還是泰朵拉你提醒我的呢。」
「學長，你怎麼知道該往哪邊走啊？」
「我也不知道。變量間的關係是漸漸明晰的，不可能從一開始就看破。所以我只能嘗試著去算。首先要前進，然後看著前方出現的式子，再考慮下一步。難就難在最後的最後，怎樣才能構成同樣形式的數學公式那裡。這樣才能推導出矛盾。最後還是我表妹尤里給我提了個醒……」
「不是很像勾股定理嗎？」
「我已經很明白怎麼把圖形問題轉換到數學公式上了，但是好不容易轉換到數學公式上了，不能往前走就沒有意義了呢……要是不能習慣對付數學公式，就不能拿它當有效的武器來運用了……」
「沒錯，泰朵拉。的確是這麼回事。絕對有必要自己實際動手，練習寫數學公式。」
泰朵拉像是在整理思路般，不緊不慢地說著：
「我覺得……在課堂上學的數學，跟學長學姐們一起做的數學很不一樣。課堂上學的數學很無聊乏味，跟學長學姐們一起研究的數學感覺卻很生動有趣……不過可能是我搞錯了。課堂上的數學就像武器的基本用法，像是劍道裡的揮劍練習和手槍的試射一樣，所以會覺得枯燥又無聊。不過要是不紮實地打好這部分基礎，一旦開戰，就會掉鏈子了。」
泰朵拉一臉認真，說到「揮劍練習」的時候卻可愛地擺了個揮劍的姿勢，說到「手槍試射」的時候則瞇起一隻眼瞄準我。
規規矩矩地做著手勢的小女生。
8.5.2 米爾嘉
「有趣的問題？」米爾嘉將兩手撐在桌子上。繃帶已經摘了。
「啊，米爾嘉學姐，你好！學長在給我講證明題，講的是怎麼證明不存在三邊都是自然數，面積是平方數的直角三角形。換言之，我們可以把它叫作『面積不能構成平方數的直角三角形定理』吧。」
「不是『換言之』，本來就是這麼回事。」我苦笑道。
我們跟米爾嘉簡單講了一下證明過程後，米爾嘉談到了無窮遞降法。
「無窮遞降法？」還有名字啊。
「對，這是費馬的拿手好戲。首先創造一個關於自然數的數學公式，然後將這個數學公式轉換成有著同樣形式的另一個數學公式。此時關鍵在於式子中要含有逐漸減小的自然數。重複同樣的轉換步驟，自然數就會越來越小，只要不斷重複轉換，自然數就會無限減小……但話說回來，自然數存在最小值，自然數不可能無窮遞降。由此可以推導出矛盾。也可以把這個證明方法想成反證法或者數學歸納法的特殊形式。費馬創造了無窮遞降法——」
米爾嘉說到一半突然停了，唰地閉上了眼。一瞬間周圍的氣氛來了個一百八十度大轉彎，瀰漫著某種巨大的物體要誕生了的感覺。
沉默。
幾秒後，黑髮才女點著頭，睜開了眼睛，眼中閃著睿智的光芒。
「喔……原來如此。那麼我就借這什麼『面積不能構成平方數的直角三角形定理』來初步證明給你們看看吧。」
「初步證明……什麼啊？」
「費馬大定理。」米爾嘉說道。
「啊？」
她又說出了這麼驚人的話……
「我來初步證明費馬大定理。不過只證明四次方的情況。」米爾嘉說著拿出卡片，輕輕地放在桌上，「村木老師最近也太沉迷於出題了吧？總之，用反證法來證明。」
◎ ◎ ◎
問題8-3 （費馬大定理：四次方的情況）
證明下面的方程式不存在自然數解。
總之，用反證法證明。
要證明的命題是「x4 + y4 = z4 不存在自然數解」。我們假設原命題的否定——「x4 + y4 = z4 存在自然數解」，然後來推導矛盾。
反證法的假設：「x4 + y4 = z4 存在自然數解。」
設自然數解 (x, y, z)=(a, b, c)。雖然可以假設它們兩兩互質，但也不一定非要這樣假設。
a, b, c 滿足下式。
a4 + b4 = c4
接下來，像下面這樣用 a, c 來定義 m, n。
再像下面這樣用 m, n 定義 A, B, C。
根據這個定義，用 a, b, c 來表示 A, B, C。
得到 (A, B, C) = (c4 - a4, 2c2a2, c4 + a4)。因為 a, b, c 是自然數，且 c > a，所以 A, B, C 也是自然數。
下面來計算 A2 + B2。
由此，A, B, C 就變成了滿足下式的一組自然數。
A2 + B2 = C2
即 A, B, C 為構成直角三角形三邊的自然數，C 是斜邊。那麼，來想想這個直角三角形的面積吧。
另外，由 a4 + b4 = c4 這個等式可以得出 c4 - a4 等於 b4。我們利用這個條件，繼續求直角三角形的面積。
所以這個三角形的面積為平方數。用 D 替換 ab2c 就清楚了，如下所示。
由此可以推導出如下命題：
「存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形。」
另一方面，由「面積不構成平方數的直角三角形定理」可知如下命題成立。
「不存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形。」
這就構成了矛盾。因此由反證法可知：
「x4 + y4 = z4 不存在自然數解。」
這樣就證明了費馬大定理 —— 雖然只證明了四次方的情況。
好了，這樣我們的工作就告一段落了。
解答8-3 （費馬大定理：四次方的情況）
採用反證法。
1. 假設 x4 + y4 = z4 存在自然數解。
2. 假設這個解 (x, y, z) 等於 (a, b, c)。
3. 令 m = c2, n = a2。
4. 令 A = m2 - n2, B = 2mn, C = m2 + n2。
5. 令 D = ab2c。
6. 於是，存在
。
7. 這與解答 8-1 相矛盾。
8. 因此，x4 + y4 = z4 不存在自然數解。
8.5.3 就差填上最後一塊拼圖
「我們的工作就告一段落了。」米爾嘉一臉滿足地說道。
「居然這麼簡單就證明出來了……」我感歎道。
「因為有你的證明啊。正因為跟你證明的命題相悖，我才能推導出矛盾。我做的只是填上最後一塊拼圖。」
米爾嘉笑瞇瞇地說著。
「感覺好了不起啊……」泰朵拉說道，「用反證法的話，只要製造跟已被證明的命題相矛盾的命題就可以了呢……」
泰朵拉全神貫注，準備自己再證明一遍米爾嘉的證明。
「這張卡片是村木老師給你的？」我問道。
「對。剛剛我順路去辦公室的時候拿到的。」
真是有意思的證明。泰朵拉的卡片上寫的是關於「直角三角形的面積」
的問題。用她那張卡片上的問題得出的結論，居然能證明 FLT(4)。
我們通過數學公式，將直角三角形的圖形世界和 FLT(4) 連接在了一起。各個命題並不是散亂的小星星，而是像星座那樣在某處相連……
「對了。」米爾嘉說道，「村木老師問我們去不去冬季的公開研討會。」
「公開研討會是什麼？」泰朵拉抬起頭。
「在大學舉辦的面向公眾的研討會。」我答道，「也就是講座。村木老師每次都推薦我們參加。去年我和米爾嘉還有都宮，我們三個人去的。看來今年也是 12 月份舉辦啊。」
「人家也想去！」泰朵拉舉起雙手，「啊……不過既然要聽講，是不是會有考試啊？」
「沒有沒有。」我說，「任何人都可以參加，所以不用擔心。話說回來，今年是什麼主題？」
「費馬大定理。」米爾嘉答道。
然後終於由此得出無限持續，
滿足同一條件並逐漸縮小的自然數。
但這是不可能的。
因為不存在無限縮小的自然數列。
——《費馬大定理》[9]