7.4.1 既約剩餘類群
第二天放學後，我跟米爾嘉在教室裡談論昨天研究的成果。
「……我是這麼解的。總之一句話，同余式兩邊可以同時除以跟模互質的整數。」我說。
「證明出來的嗎……」米爾嘉回答道，「這個嘛，除了漏掉了『證明 
是否滿足結合律』和沒考察『逆』以外，還是可以的。」
「我感覺……那個……」泰朵拉支支吾吾的，跟平常不大一樣，「怎麼說呢，應該說覺得有點不甘心吧。我沒找到在同余式中進行除法運算的條件，就是說沒能解決問題。這本身挺遺憾的，但也不是因為這個而不甘心……」
泰朵拉擺弄著筆記本，在腦海中找尋著恰當的詞句。
「那個……要是因為一點都不明白而沒能解開也就算了。『啊，我是因為不知道 ○○ 才沒能解開問題的啊！』—— 這樣我也能接受。但是這次我牢牢地掌握著所有的工具呢。
餘數和 mod
同余式
群（運算、單位元、結合律、逆元）
運算表
互質
要是把這些一個個拿來問我『這是什麼？』我肯定答得出來。可是，就算這樣，我還是沒能解開問題。關於求能進行除法運算的條件這個問題，米爾嘉學姐已經給了我提示，讓我寫乘法運算的運算表了，但是我還是沒能抓緊『除法運算是乘法運算的逆運算』的含義。我知道，分數的除法運算只需要寫出倒數做乘法運算就可以了，但是一牽扯到 mod 的運算，稍微換了個形式，我就沒轍了。作為能進行除法運算的條件，存在著相當於倒數的元素 —— 逆元。我沒想到要去研究這個條件。明明找一下運算表中含有 1 的行，就能馬上發現逆元了……要是碰到 1, 5, 7, 11，說不定我也能發現互質的……」
泰朵拉微微低下頭，又用力地搖了搖頭。
我們一言不發，只是默默地聽著。
「為什麼？到底為什麼呢？為什麼我沒能解開問題呢？為什麼我沒能注意到重點呢？是習慣……了嗎？我一直以為我的特長就在於，不管花多少時間都會努力攻克難題。這次我也寫了運算表，認真地寫了，但是也就這樣而已，我沒能想到『要去找 1』。我還想把數學讀得更透、更透、更透……」
放在筆記本上的雙手死死地緊握在一起。
「泰朵拉……」我插了句嘴，掃了一眼米爾嘉。
米爾嘉也看著我，微微點了點頭。
「泰朵拉，數學的問題能解開就是能解開，解不開就是解不開。有時候一直認為很難的問題可能無意中就解開了，一直認為很簡單的問題可能很奇怪就解不開。你看，你不也把我覺得很難的『五個格點』的問題解開了嗎？你也很棒地運用了鴿籠原理呀。這次的問題也是這樣哦。你把問題理解得很清楚，解答也理解得很到位，還很好地整理了重點。這些都不是白費的。來來，抬起頭來，活力少女！你平常可不是這樣的哦！」
泰朵拉慢慢地抬起頭，一臉尷尬。
「我發了奇怪的牢騷，對不起。」
她低下頭道歉。
我斜著眼看了看米爾嘉，米爾嘉淡淡地說道：「要是因為沒能解開問題就失落的話，就沒完沒了了。而且就算是解開了問題的青澀王子，我也很懷疑，他把運算表讀到了什麼份兒上。」
「誒？怎麼回事？」沒想到矛頭居然指向了我。
米爾嘉像畫 
一樣揮動著食指，沒搭理我就繼續往下說道：「舉個例子 ——
『集合 
關於 
不構成群』
你注意到了嗎？」
「什麼？！」我吃了一驚。
這樣啊，我求的是有逆元這個條件。也就是說，集合 裡包含「有逆元的元素和沒有逆元的元素」。也就是說，這個集合不是群。如果是群，所有的元素都應該有逆元。這麼說來，這是再當然不過的。我居然到現在才發現……
「喔……你這麼吃驚，說明你也沒意識到
『集合 {1, 5, 7, 11} 構成群』
對吧。」
「啊！」我又吃了一驚。
跟 12 互質的整數集合 {1, 5, 7, 11} 構成群？米爾嘉說出「構成群」的一瞬間，我就感覺到這個集合被賦予了結構，感覺集合的元素一下子繃緊了似的。
「的確，的確，的確能構成群啊！」我感歎道。
「你說了三次『的確』，質數。」米爾嘉模仿我的口吻說道。
「是關於什麼運算的群呢？」泰朵拉問道。
「泰朵拉……問得好。一聽到群，就自然而然地要問『是什麼樣的集合？』『是什麼樣的運算？』這是掌握群的定義的標誌。」
「嘿嘿……」
「泰朵拉，來這邊。」米爾嘉招手。
「來了，哎呀！不不不不不用了！」泰朵拉紅著臉擺著兩手，看來是從經驗汲取教訓了啊。
「集合 {1, 5, 7, 11} 關於運算 構成群。也就是說，在求一般的積之後，再求以 12 為模的余項。就是這麼個運算，運算表如下。」
「原來如此……」我在腦海中檢驗了一遍群的公理。集合 {1, 5, 7, 11} 關於 是閉集，單位元不用說，是 1。各個元素都有逆元（逆元就是元素本身），結合律也 OK，確實構成群……
集合 的元素中，存在有逆元的和沒有逆元的元素。也有像 {1, 5, 7, 11} 這樣，只抽出有逆元的元素來形成子集，從而構成群的啊。真是相當有意思。
「這個群稱為既約剩餘類群。對於集合 的既約剩餘類群，數學公式就寫作 
。」
「米爾嘉學姐！這個群是阿貝爾群對吧！」
「為什麼這麼想？」
「因為這個運算表關於對角線軸對稱，就是說滿足交換律啊！」
「沒錯。泰朵拉，你這不是好好看了運算表嗎。」
米爾嘉的這句話讓泰朵拉一臉高興地微微笑了。
7.4.2 由群到環
接下來，我們來說環。
對群而言，集合中只能定義一種運算。
對環而言，可以在集合中定義兩種運算。跟群一樣，這個運算是什麼都沒關係。有關係的只有一個條件，運算是否滿足「環的公理」。
我們下面用 + 和 × 來表示兩種運算的符號。因為這兩個符號常用，我們已經看習慣了。然後我們將這兩種運算稱為加法運算及乘法運算，也有直接稱為加法和乘法的情況。
在這裡別忘了，這兩種運算表示的不僅僅是一般意義上的加法運算和乘法運算。不管任何時候，只要有需要，都應該回頭確認一下環的公理，這是非常重要的。
在這裡，就出現了泰朵拉說的『不拘小節地同等看待』。這裡說的加法運算不一定是我們平常說的加法運算，我們只是把某個運算稱為加法運算，使用符號 + 來表示，同理，這裡的乘法運算也不一定是我們平常概念中的乘法運算，只是把某個運算稱為乘法運算，使用符號 × 來表示。
我們更進一步，把這個「加法運算」的單位元稱為 0，「乘法運算」的單位元稱為 1。0 不是我們平常數字概念中的 0，只是把它稱為 0 而已，同理，1 也不是我們平常數字概念中的 1，只是稱為 1 而已。
這就好比數學中的「比喻」。明白了吧。
在講述環的公理之前，我先介紹一下「分配律」。我們知道數字世界的分配律。環的世界的分配律基本上也是同樣的形式。
分配律是連接兩種運算的法則。因為出現了兩種運算，所以涉及群時就不會出現分配律的問題。
分配律
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
看，這就是環的公理。
環的定義（環的公理）
我們將滿足以下公理的集合稱為環。
關於運算+（加法） ——
閉集
存在單位元（稱為 0）
所有元素都滿足結合律
所有元素都滿足交換律
所有元素都存在與其對應的逆元
關於運算×（乘法） ——
閉集
存在單位元（稱為 1）
所有元素都滿足結合律
所有元素都滿足交換律
關於運算 + 和 × ——
- 所有元素都滿足分配律
這裡敘述的環的定義，嚴謹地說，是被稱為『存在乘法單位元的交換環』。根據數學書的不同，環的用語也多少會有些變動。不過一般每本書中都會寫出定義，所以沒什麼大礙。
那麼，我來出個環的題。
◎ ◎ ◎
「我來出個環的題。」米爾嘉對泰朵拉說。
「環是關於加法的阿貝爾群嗎？」
「誒？什麼意思啊？」
「不明白是嗎？環包含兩種運算，我們分別稱這兩種運算為加法和乘法。我們在這裡只關注加法，我問的是，環關於加法運算能構成阿貝爾群嗎？泰朵拉你該不會不知道怎麼判定是不是阿貝爾群吧？」
「啊！我知道了。只要比較公理就行了。稍等一下，我想想阿貝爾群的公理。阿貝爾群指的是在集合中，關於運算是閉集……還有還有，有單位元，對於任何元素都滿足結合律，對於任何元素都滿足交換律……還有，對對，對於任何元素都存在逆元。再讀一下環的公理就……對對，的確滿足阿貝爾群的公理。所以『環關於加法構成阿貝爾群』。」
「好，這次我們拋開加法，只關注乘法。」
「環關於乘法構成阿貝爾群嗎？」
「嗯，當然構成了。」
「為什麼？」
「因為環關於加法構成阿貝爾群，所以關於乘法也……」
「你確認環的公理了沒？」
「沒……沒有。」
「為什麼沒有？」米爾嘉輕輕地敲了一下桌子，「眼前列著一堆命題，為什麼不讀？你不是想『把數學讀得更透、更透、更透』嗎？」
「對不起，我這就讀……啊啊啊啊啊啊啊！錯了！錯了！我太大意了！環雖然定義有兩種運算，但是叫作『乘法』的運算卻不滿足『所有元素都存在與其對應的逆元』這個公理！」
「沒錯。環有加法和乘法，但公理卻不是對稱的。乘法運算也不一定要有逆元，也就是說，環對於乘法運算本來就不一定是群。因為不一定是群，所以當然也不一定是阿貝爾群。」米爾嘉說道。
環和群
環關於加法是阿貝爾群。
環關於乘法不一定是阿貝爾群。
「為什麼又這麼模稜兩可的……」泰朵拉小聲地自言自語道。
「什麼模稜兩可了？」
「不必非要這樣弄出個不對稱的公理吧……」
「泰朵拉，你現在已經知道了具有代表性的環，這哪是模稜兩可的環，它可是創造出了華美深奧的世界噢！」米爾嘉說著，眼中閃著興奮的光芒。
「是怎麼一回事？」泰朵拉一臉疑惑。
「可以進行加法運算。因為肯定存在關於加法的逆元，所以也可以進行減法運算，乘法運算也可以。加法運算和乘法運算都滿足分配律，但是關於乘法不一定有逆元，所以不一定可以進行除法運算。這樣的集合你應該很熟悉。我就是想說這些。」
「誒？不能進行除法運算的集合？ a 的倒數不能變成 
的意思嗎？我不太明白……」
「喔……還不太明白嗎？倒是可以變出 ，但是 要是飛出集合範圍外就不行了。大前提是，對於我們關注的集合來說，運算為閉集。集合中沒有相當於 的元素……你說，這是什麼樣的集合？」
「嗯……抱歉，我不知道。」
「是整數集合。全體整數集合 
關於加法運算 + 和乘法運算 × 構成環。然而， 中不一定包含 （ 滿足整數 a ≠ 0，且為乘法運算的逆元）。只有當 a = ±1 的時候，逆元 
。雖說不能進行除法運算，全體整數集合也並不是『模稜兩可』的。即便沒有除法運算，整數的世界也是豐富多彩的。」
我聽著米爾嘉和泰朵拉的談話，忽然意識到了什麼。
「米爾嘉，難不成環是集合 的抽像化表現？」
「這個嘛，你這麼想也沒什麼錯。集合 關於加法 + 和乘法 × 構成環。 我們把這個環稱為整數環。另外，用 mod m 考慮加法 + 和乘法 × 的話， 集合 
也構成環。我們把這個環稱為剩餘類環。因為都叫作環，所以可以把 和 
同等看待。」
「為什麼要叫作環呢？」
「為什麼 叫『環』，我也不知道。說不定是從剩餘類環 的圓環形象來的。」2
2希爾伯特在表述「環」這個概念時，首次用到了「Zahlring」（數字的環）這個說法。
「用英語要怎麼說呢？」
「ring。」米爾嘉突然加快了語速，「整數環 和剩餘類環 都滿足『環的公理』。但是，這兩種環大不相同。 就像是數軸上排列的點， 的點則分佈在圓環上，就像是時鐘的表盤； 是無限集合， 是有限集合； 具有無限性， 具有週期性。兩者雖然大相逕庭，卻都滿足環的公理。也就是說，只要存在從環的公理中推導出的定理，這個定理一定適用於 ，也同樣適用於 。因為它們都是『環』。這就是抽像代數！」
這樣啊……我在思考某個集合，定義運算的時候，只要這個集合滿足環的公理，就能把已經經過數學家們證明的環的定理拿來用啊……
我一瞬間看到了許多命題，它們如森林般，如星座般不斷擴張，創造了一個巨大的體系。我不知道關於環的定理，但這些基於環的公理的諸多關於環的定理，一定是數學家們長年累月築造而成的。我深信 —— 是數學家們造就了如此雄偉的建築物。
7.4.3 由環到域
「因為環的公理裡沒有寫明，所以環裡不一定存在關於乘法的逆元，也就是說環裡不一定能進行除法運算。接下來，我們思考一下除法。假設存在某個環，這個環裡除 0 以外的所有元素都能進行除法運算，我們把這個環稱為域。
英語叫作 field。我也不知道為什麼起這個名字。」3
3尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金在表述「域」這個概念時，首次用到了「Korper」（域）這個說法。
泰朵拉點頭，米爾嘉突然壓低了嗓門。
「對群而言，集合中只能定義一種運算。對環而言，集合中能定義兩種運算。而對於域，集合中……」
「能定義三種運算吧！」
「不對。」
「咦？」
「並不是逐步增加運算的數量，比如說，存 在『加法』和『關於加法的逆元』就能進行『減法』的運算，同理，存在『乘法』和『關於乘法的逆元』就能進行『除法』的運算。『關於乘法是否存在逆元』是環和域唯一的區別。關於乘法……對環而言，可以包含不存在對應的逆元的元素，但對域而言，除 0 以外的所有元素都必須存在與其對應的逆元。」
「0 以外的……還帶著這個條件啊。」
「沒錯，0 的逆元可以不存在，這就相當於刨去 了『除數為 0』這個條件。」
域的定義（域的公理）
我們將滿足以下公理的集合稱為域。
關於運算 +（加法） ——
閉集
存在單位元（稱為 0）
所有元素都滿足結合律
所有元素都滿足交換律
所有元素都存在與其對應的逆元
關於運算 ×（乘法） ——
閉集
存在單位元（稱為 1）
所有元素都滿足結合律
所有元素都滿足交換律
除 0 以外的所有元素都存在與其對應的逆元
關於運算 + 和 × ——
- 所有元素都滿足分配律
（域與環的區別在於，關於乘法是否存在逆元）
「來，我們照老樣子，來舉個域的例子。因為『示例是理解的試金石』嘛。」
米爾嘉攤開兩手催著泰朵拉。
「我想想……」
泰朵拉嘴裡念叨著，在筆記本上寫著什麼。過了一會兒，她唰地舉起了手。
「我想到了……比如說，分數 
的集合是『域』嗎？」
「a 和 b 是什麼？」米爾嘉馬上反問道。
「a 和 b 是整數。所以我指的是全體 
的集合。我認為這個集合是域。」
「對她的回答，你怎麼看？」米爾嘉問我。
「有兩處不足。」我答道，「一處是，她似乎忘記了分母可能為 0。條件必須是 
。然後還有一處不足就是，這個集合已經有名字了，它是全體有理數的集合 
。」
「啊！是這樣呢。全體有理數的集合是『域』吧？」
「沒錯。叫作有理數域。說起來，在之前證明基本勾股數的無限性的時候，我們也利用了全體有理數的集合是域這個條件呢。」
「啊，對啊。是用直線切斷單位圓的那個證明吧。」我點頭。
「在整數環 中加入一般的除法就是有理數域 。」米爾嘉繼續講道，「那麼，要是想在剩餘類環 中加入一般的除法，該怎麼辦呢？這就出現了下一個問題。」
問題7-2 （將剩餘類環變成域）
剩餘類環
是域，寫出模 m 滿足的條件。
「能給我點時間嗎？我還沒完全掌握環和域的定義……」
「你隨意。」
我也在想。已經給出很多提示了，大概能猜到是怎麼回事了。我在筆記本上寫了幾個剩餘類環的運算表，開始思索。
「難不成，是這個條件嗎？」
泰朵拉畏畏縮縮地開口。
「嗯？什麼條件？」米爾嘉問道。
「模 m 的條件吧，這個，對於任意整數 …… 不對，只對於集合的元素就好，啊！還要除去 0 …… 嗯，所以 m - 1 個整數里 1, 2, ... , m - 1 中的每個數字只要與模 m 互質， 就能變成域……我認為。」
「喔……」
「因為那個，在同余式裡考慮除法運算的條件的時候，能進行除法運算的只有與模互質的數字。所以，我才……」
「泰朵拉，這個事兒吧……唔！」
「沉默是金！」米爾嘉拿手摀住了我的嘴，不讓我評價。
（好溫暖）
米爾嘉就這麼捂著我的嘴，像唱歌一樣說道：
「泰朵拉，泰朵拉，喜歡詞語的泰朵拉，
『整數 1, 2, ... , m - 1，與模 m，互質。』
你的心，沒有因這個想法雀躍嗎？」
「誒？這，這個 …… 1 和 m 互質，2 和 m 互質，3 和 m 互質，4 和 m 互……」
就在這時，泰朵拉突然不說話了。
過了三秒。
她慢慢瞪大了眼睛。
慢慢張開了嘴。
兩手慢慢摀住了嘴。
「這是……質數？！」
「沒錯。」米爾嘉點頭。
「唔嗯。」我也點頭。現在該把手放開了吧？
「就是說，m 是質數對吧。嗯，這個……也就是說，m 是質數的時候，剩餘類環 是域！」
「就是這樣。m 是質數的時候，關於乘法，剩餘類環 除了 0 以外的所有元素都有與其對應的逆元，也就是域。也可以反過來說，剩餘類環 為域的時候，m 是質數。雖然也有 m = 1 這種特殊情況。」
泰朵拉眼眶濕潤了。
「為什麼，為什麼我會這麼感動呢。突然在這種地方出現了質數！環的公理和域的公理裡面，根本就沒有提到過質數。然而由剩餘類環創造域的時候，元素數字是質數這個條件在這裡居然會起到作用，真是不可思議！」
米爾嘉終於把手從我的嘴上拿開了。呼……
「假設 p 為質數，將剩餘類環 
看作是域，這時可將其稱為有限域 
。
如果把像時鐘一樣旋轉的剩餘類環看作整數的微縮模型，那麼用質數 p 構造出的有限域 也可以說是有理數的微縮模型吧。從時鐘到 mod，然後是群·環·域 —— 世界旋轉得真壯觀啊。」
米爾嘉一臉滿足地總結道。
解答7-2 （將剩餘類環變成域）
模 m 是質數時，剩餘類環