4.2.1 奇偶
「就這樣，我給她講了怎麼證明 
不是有理數。」我說。
放學後，我們在音樂教室隨便找了個座位閒聊。盈盈一心一意地彈著鋼琴。剛才那首曲子是二聲部創意曲。我把之前跟尤里講的話告訴泰朵拉跟米爾嘉，不過米爾嘉一直面對著盈盈的方向。
盈盈這個女孩子今年上高二，跟我、米爾嘉同年級不同班，擔任鋼琴愛好者協會「最強音」的會長，除了上課，基本都坐在音樂教室的鋼琴前面。
「學長真是會教人啊。」泰朵拉說，「『互質』……用英語該怎麼說呢？」
「我記得是 relatively prime。」我說。
「relatively prime，就是相對地質，對吧。」泰朵拉點點頭說，「可能指的是兩個數互相起到質數的作用吧。」泰朵拉英語很好，用英語理解似乎能理解得更透徹。
「你知道其他的證明方法嗎？」一直看著盈盈的米爾嘉轉過身來，冷不丁地問了一句。還以為她在專心聽彈琴，沒想到她一直在認真地聽我們說話啊。
「其他的證明方法？」我很疑惑。
「用反證法。」米爾嘉說，「假設 
是有理數，則存在整數 a, b 使得
把兩邊同時平方，去分母得到
2a2 = b2
到這一步，跟你的證明是相同的…… 在這裡，我要問了 —— 如果將 2a2 分解質因數，有幾個質因數 2 ？」
「怎麼能知道有幾個 2 啊。」我說。
「確實，我們沒法知道個數。但是，個數是，整數。」米爾嘉一字一頓，聽得人心急。
「整數……哦。」
「說到整數就？」
「就要調查奇偶性……對嗎？」
泰朵拉回答。
誒？
不研究 2a2 的奇偶性，卻去研究質因數 2 的個數的奇偶性？
「那麼，就像泰朵拉說的，我們來研究一下奇偶性看看。」米爾嘉說，「2a2 含有奇數個質因數 2 ？還是偶數個質因數 2 ？」
「啊！奇數個！」我提高了嗓門。
沒錯，我明白了！因為 a2 是平方數，所以包含偶數個質因數。當然，也包含偶數個質因數 2。而 2a2 是 a2 再乘以一個 2，所以有奇數個質因 數 2……
「對。2a2 = b2 的左邊有奇數個質因數 2，那麼右邊呢？」
「因為 b2 是平方數，所以有偶數個質因數 2……」我說。
「所以呢？」米爾嘉絲毫不給我喘息的機會，追問道。
「兩邊質因數 2 的個數不一樣。矛盾。」我說。
「存在奇數個質因數 2」← 從左邊可知「不存在奇數個質因數 2」← 從右邊可知
「推導出了矛盾。」米爾嘉說，「根據反證法， 不是有理數。Quod Erat Demonstrandum。證明完畢。」
米爾嘉豎起食指。
「好了，這樣我們的工作就告一段落了。」
這樣啊……著眼 於「質因數 2 的個數的奇偶性」，從而推導出矛盾，而且還省去了 a 和 b 互質這個前提。有意思。
解答4-1a （
使用反證法。
1. 假設
2. 存在整數 a, b 使得
(a ≠ 0)。
3. 將兩邊同時平方，去分母得到2a2 = b2。
4. 左邊含有奇數個質因數 2。
5. 右邊含有偶數個質因數 2。
6. 這就推導出了矛盾。
7. 因此，
泰朵拉一副不理解的模樣。
「怎麼了，泰朵拉？」米爾嘉問道。
「在剛才的證明過程中，出現了
2a2 = b2
這個等式。」泰朵拉說，「米爾嘉你剛才的意思是這個等式左邊和右邊的值相等對吧，但是我感覺剛剛你用的不是『值相等』這一點，所以我才會有些焦躁。」
「喔？泰朵拉指出來的這點很有趣嘛。你什麼意見？」米爾嘉把話鋒轉向我。
「誒？比較兩邊質因數 2 的個數，確實不等於比較兩邊的值……嗎？不過你的證明應該是對的，因為式子是個等式，所以只要判斷左邊和右邊整數的結構相同就可以了。整數的結構是用質因數表示的，所以……」
米爾嘉把食指伸到我面前，晃了兩三下。
「廢話太多了。只要說『根據質因數分解的唯一分解定理，等式兩邊每個質因數的個數都是一樣的』就行了。」
「這樣啊……」泰朵拉說，「還有質因數分解的唯一分解定理這回事啊……嗯，真後悔沒一下子想到。我思維練習還不夠啊。不過，儘管這樣……」
「米爾嘉，你那個證明方法很有趣啊。」
「嗯……」
米爾嘉說著把臉別過去，突然站起來，開始跟還在不停地彈著鋼琴的盈盈說起話來。
這麼說來，米爾嘉在要跟我分個高下的時候絕對不會移開視線，但是有時候也會唰地看向別處，比如說被我表揚的時候……難不成米爾嘉是在害羞？
4.2.2 矛盾
米爾嘉和盈盈開始四手聯彈。這應該也是巴赫的曲子吧。
「反證法還真是常用啊。」泰朵拉坐到我旁邊，「我……對反證法很不拿手。雖然能假設原命題的否定，但是總記不住。因為心裡總留意著這個命題是錯的……」
「嗯，確實。反證法很不容易，因為要從錯誤的命題出發，進行正確的論證，再不斷推導出錯誤的命題。不僅如此，最後想準確地推導出矛盾也是很難的。」
「沒錯！」泰朵拉用力點著頭。從她身上飄來一陣甜甜的香氣。
「就是這樣，推導矛盾好難啊，總覺得『推導矛盾』就好像在做錯事一樣。嗚嗚嗚……」泰朵拉繼續說道。
「推導矛盾指的是表明
『P 』且『非 P 』
P 是什麼樣的命題都無所謂。用邏輯公式寫下來就是這樣。
對了，教科書中把 P 的否定寫作 
，而講邏輯的書裡則寫作 
（not P）。雖說要推導出矛盾，也不是非得在自己的證明過程中推導出 P 和 兩種結論。打個比方，P 可以是證明完畢的命題，也就是定理。這時只要在自己的證明過程中推導出 ，然後說『跟定理 P 相矛盾』就可以了。」
泰朵拉雙眼瞪得大大的，聽得入神。
「剛才在米爾嘉的證明過程中，推導出了兩個命題，即『含有奇數個質因數 2』和『不含有奇數個質因數 2』。這就是導出 P 和 兩種結論的例子。」
P 含有奇數個質因數 2 不含有奇數個質因數 2
「我好像被『矛盾』這個詞給搞昏頭了。剛才學長很容易地就說出了『推導出 P 和 兩種結論』，可是一提到矛盾，我感覺就要引發大混亂了。一定是成語故事裡面那個矛盾給我的印象太深刻了。」泰朵拉擺出拿矛刺盾的樣子。
「嗯，我明白。」
泰朵拉輕輕咬著指甲，沉默了一會兒。又開始慢悠悠地說道：「用反證法表明矛盾的時候用 
，命題 P 是什麼都可以嗎？就是說……用反證法證明數論的時候，也可以利用幾何和解析定理推導出矛盾吧？」
「嗯，可以啊。跟數學領域什麼的沒有關係。」
「不管對於任何定理 P，把 甩上去就可以……這樣的話，重要的是知道定理是什麼啊……」
「這麼說確實如此。不過 P 不一定是著名的定理，也可以是一個小的命題，只要被證明了就行。」
「好吧，那我以後推導矛盾的時候，盡量想著 
。啊，對了……學長？」泰朵拉聲音一下子變小了。
「嗯？」
「那，那個……」
鋼琴聲停了。
泰朵拉小聲說了句「完蛋」。
「純真公主和青澀王子！回家嘍！」盈盈說。
「大家快跟米爾嘉女王大人一起回家吧！」
在數學領域，除了證明定理 P 以外，
其他更常用的方法是假設 P 為 false，從而推導出矛盾
（即推導出 false 或相當於 false 的結論）。
常抄個近道：不直接表明 false，
而是去證明像 
這樣明顯相當於 false 的結論。
——David Griess,Fred B. Schneider, A Logical Approach to Discrete Math [21]
