4.1 家中

4.1.1　定義

「哥哥，哥哥，我說哥哥！」

今天是週六，尤里剛剛還在我房間裡懶洋洋地看書，突然就蹬著腿叫了起來。尤里的腳看來已經痊癒了。

「啥事？你不是在看書嗎？」

「太無聊啦 —— 出點什麼題吧！」

「好好，那麼我就出個著名的證明題。」

問題4-1

證明 不是有理數。

「這個人家不會……等等，嗯，這道題我在學校做過！老師講得很複雜，說什麼假設 是有理數，就可以說 是有理數。如果可以說 是有理數，因為 是有理數……不好意思，我證明不了。」

「呃……算了，那我們來一起想吧。」

「嗯！一起想啊，真好！」

「解數學題的時候，關鍵在於讀清楚問題。」

「這是必然的啊，不讀怎麼解啊。」

「可是，有很多人不讀問題就開始解題了。」

「還有這種人？」

「嗯嗯……我說的有點過了，應該是有些人不理解問題的含義就開始解題。」

「問題的含義？讀一下問題不就知道了？」

「讀問題的『深度』可是因人而異的。」

「這個嘛，說得容易……」

「讀問題的時候，重點在於弄清楚定義。」

「定義又是什麼來著？」

「我們就在弄清楚『定義的定義』。」我微笑著說道，「定義是語句的嚴格含義。就『證明 不是有理數』這個問題來說，我們需要回答下面這兩個問題。」

• 是什麼？

• 有理數是什麼？

「好麻煩喵。必須一個個回答嗎？」

尤里搖晃著頭，馬尾辮也跟著一搖一擺的。

「必須一個個回答。不理解定義就解不了題啊。」

「唔……好吧， 我還是懂的。」

「那你說說看吧， 是什麼？」

「這個簡單，平方等於 2 的數對吧？啊，對了，得是正數。負數情況下 的平方也等於 2。」尤里大幅度地點著頭，一副得意的樣子。

「我就知道你肯定懂。不過這麼答不好。比較一下下面這兩種說法看看。」

× 「平方等於 2 的數對吧？啊，對了，得是正數。」

○ 「 指的是平方後等於 2 的正數。」

「老師，人家知道啦。『 指的是平方後等於 2 的正數』，這樣就行了吧。」

「嗯，很好。那接下來是有理數的定義。這個你懂嗎？」

「嗯……『有理數是能用分數表示的數』，這樣嗎？」

「可惜啊，答錯了。」

「誒？！有理數不就是像 和 這樣的分數嗎？！」

「按你這麼說， 也算是有理數嘍？」我說。

「啊，這個不算。應該說是可以用 的形式表示的數字！」

「大致說對了。但是分母不能為 0。所以應該說，有理數指的是能用 的形式表示的數字。」

「整數指的是 ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 這樣的數字吧？」

「對。整理一下就是下面這樣。」

• 整數指的是 ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 這樣的數字。

• 有理數指的是能用 的形式表示的數字。

「唉，光讀問題就很累了喵。」尤里說。

「習慣了就好啦。養成弄清定義的習慣，這點也是非常重要的哦。」

「問題不要爽快地一讀而過，而是要粘著它去讀。」

「粘著它？」

「就是靜下心來仔細讀啦！」

「這無所謂了……剛剛我寫出了整數和有理數的定義。讀數學書要帶著問題去讀，要一邊問自己『定義是什麼』一邊讀。」

「要是有不懂的詞語該怎麼辦？」

「看這本書的索引。」

「索引指的是書最前面的那個嗎？」

「不不，書最前面的是目錄。目錄位於書籍開頭，按照頁數次序編排，記載著每章的章節標題。而索引位於書籍的最後，寫著某個詞語在書的哪一頁。找詞語解釋的時候就要用到索引，教科書和參考書這種需要查詞的書上肯定會有索引。」

「索引啊……話說哥哥老師，人家都累了，咱們根本都沒在解題，乾脆吃個點心吧！」

「孩子們！薄煎餅烤好了哦！」廚房傳來我媽的喊聲。

「太好啦！簡直是心靈感應！」尤里說。

「是食慾的力量。」我說。

4.1.2　命題

餐桌上擺滿了剛剛烤好的薄煎餅。

「來證明 不是有理數吧。」我說。

「吃東西的時候不要討論數學題。」我媽說。

「這是楓糖漿嗎？」尤里望著糖漿瓶子。

「是啊，加拿大原產，100% 純天然。」

「真好吃。」尤里咬了一口薄煎餅。

「尤里真是個好孩子。」我媽笑盈盈地開始洗平底鍋，「紅茶再過一會就好了。」

「接下來呢？」尤里對我說。

「試著說說接下來要證明的命題。」

「命題是什麼？」

「對對，這種態度好，就是要抱有想弄清楚定義的這種態度。命題是可以判斷真假的數學概念。打個比方，像『不是有理數』『存在無數個質數』這樣的就是命題。再說得簡單點，『1 + 1 等於 2』這樣的也是命題。」

「我懂了。命題對吧。—— 拿點黃油給我。」

「給。那來猜個謎，『1 + 1 等於 3』是命題嗎？」

「不是啊，因為 1 + 1 等於 2 嘛。」

「不不，『1 + 1 等於 3』也是命題。這是假命題，也就是不正確的命題。因為命題是可以判斷真假的數學概念，所以有真命題，也有假命題。」

「有沒有無法確定是否正確的觀點呢？」

「比如說『楓糖漿很好吃』是尤里你的觀點，可這個觀點並不是命題。楓糖漿好不好吃因人而異，這不是能從數學上判斷真假的東西。那麼，我們接下來要證明的命題是什麼來著？」

「接下來要證明的命題是……『 不是有理數』，對吧？」

「嗯。沒錯。要解證明題的時候，應該徹底弄清楚接下來要證明的命題，不能貿然就往前衝。」

「知道了。」

「弄清楚之後，就用寫數學公式的方法來討論吧。」我把薄煎餅迅速塞進嘴裡。

「真沒規矩！得細嚼慢咽好好品嚐啊！」我媽端著紅茶走來，大聲叫道。

4.1.3　數學公式

我跟尤里在餐桌上鋪開紙，繼續我們的話題。

「學會用數學公式進行表達很重要，這會將問題引入數學公式的世界。數學公式是數學家們給我們備好的方便工具，當然要拿來用。」

「怎麼用數學公式寫出『 不是有理數』呢？人家完全不理解。」

「因為有理數指的是能用 的形式表示的數字，所以有理數可以全寫成『a 分之 b』這樣的分數形式。」

「懂了。」

「尤里，你這樣可不行啊，得問一問 a, b 指的是什麼。只要出現字母就要馬上弄清楚。在這裡 a, b 指的是整數，但是分母 a 不為 0，所以『 不是有理數』這個命題可以寫成『不存在整數 a, b 使得 』。這就是我們想要證明的命題。」

「唔，知道了啦。」

「那麼在這裡，我們假設『存在整數 a, b 使得 』。」

「嗯？這不就跟我們想證明的相反了嗎？」

「嗯。不 過『相反』不是邏輯用語，在邏輯用語上我們稱其為否定。現在我們假設了想去證明的命題的否定。」

「否定，是吧。」

「當然，因為像 、、 以及 這樣，分子分母同時乘以零以外的同一個數，得到的分數就全部相等，所以 a 和 b 的組合可能有無數種。在這裡我們把分數 約分完的分母叫作 a，分子叫作 b。那麼根據『存在整數 a, b 使得 』這個假設，就有下面這個等式。」

「話說，a 和 b 是整數吧？」

「對。而且分數 是最簡分數。此時 a 和 b 存在什麼關係？」

「互質吧？」

「喔，答得好快啊。」

「因為人家是『互質』的達人嘛！」

「那是啥……那麼，我們把左邊的 平方，整理一下式子。」

「等等！為什麼把兩邊同時平方啊？」

「請聽題！」

「是！」

「 的定義是什麼？」

「 指的是平方後等於 2 的正數。」

「沒錯。『平方後等於 2』就是 重要的性質，所以我試著把兩邊同時平方，然後得到 2a2 = b2。a 和 b 是什麼關係來著？」

「a 和 b 是互質的整數吧。」

「對。別忘了 a ≠ 0。—— 我們需要時刻確認變量表示什麼，這點很重要。」

「唔，感覺數學是一門確認的學問啊。」

「因為我把焦點集中在整數上，所以試著『調查奇偶性』。調查奇偶性，也就是研究是奇數還是偶數，這是一個方便的工具。左邊的 2a2 是奇數呢？還是偶數呢？」

「不知道……不，我知道，是偶數。」

「沒錯。2a2 指的是 2 × a × a，因為乘了 2，所以 2a2 是偶數。然後又因為等式 2a2 = b2 的左邊是偶數，所以右邊也是偶數，也就是說 b2 是偶數。什麼數平方後得偶數呢？」

「偶數？」

「對。也可以確定 b 是偶數。換言之，b 可以寫成下面這種形式。」

b = 2B

「確實……不對！這個 B 是什麼？」

「很好很好，你這一句問得好。B 是整數。因為 b 是偶數，所以存在滿足 b = 2B 的整數 B。」

「話說，為什麼會出現 B 這樣的字母？比起『存在整數 B 使得 b = 2B』來說，直接寫成『b 是偶數』不是更簡單嗎？」

「因為我想用數學公式思考啊，所以用數學公式表達了偶數這個詞。」

「哥哥你還真是喜歡數學公式啊。」

「沒錯。因為數學公式是一種便利的交通工具。想走得更遠，就要盡量使用它，不能慌慌張張地就往前跑。那麼，因為 b 可以寫成 b = 2B 這種形式，所以 2a2 = b2 也就可以變形成下面這種形式。」

「然後可以得到 a2 = 2B2。a 和 B 是什麼來著？」

「是整數吧，你要確認多少次啊！」

「確認無數次。要自問自答到自己都覺得煩。順便提一句，因為 a ≠ 0，所以上面的式子才成立。那麼，把焦點集中在整數上的時候，我們試了什麼方法？」

「什麼呢……啊，奇數偶數？」

「對，是『調 查奇偶性』。等 式 a2 = 2B2 的右邊是偶數，就是說 2B2 是偶數，因此我們知道了左邊也是偶數，也就是說知道了 a2 是偶數。平方後是偶數的整數……」

「所以都說了是偶數嘛！真是的……」

「嗯，因為 a2 是偶數，所以 a 也是偶數。換句話說，a 可以寫成下 面這樣的形式。」

a = 2A

「A 指的是某個整數。」我補充道。

「哥哥……我感覺跟剛才的過程好像啊。」

「對，很像。你有沒有覺得不可思議？」

「什麼？」尤里歪著頭。

「將等式變形，就得到了關於 a 和 b 的信息。」

「有嗎？啊，好比 a 是偶數這樣的？」

「沒錯。a 和 b 都是偶數。」

「所以呢？」

「a 和 b 都是偶數，也就是說它們都是 2 的倍數哦，尤里。」

「誒？ a 和 b 不是『互質』的嗎？」

「對對。」我露出了微笑。尤里對條件真是敏感啊。

「如果 a 和 b 互質，最大公約數應該是 1，那麼 a 和 b 就不可能都是 2 的倍數了。」

「尤里，這是為什麼呢？」

「因為如果它們都是 2 的倍數，那麼 a 和 b 的最大公約數就大於等於 2 了。」

「沒錯。這就是重點。我們知道了下面兩個命題都是成立的。」

「a 和 b 是互質的」← 假定條件「a 和 b 是不互質的」← 將數學公式變形導出的結果

「誒……」

「我們把這樣『P 』和『非 P 』同時成立的情況稱為矛盾。」

「矛盾是指亂七八糟嗎？」

「不不，認真聽我講，別突然偏離數學思維的軌道。數學不可能壞掉也不可能亂七八糟。矛盾指的是，對於命題 P ，同時存在『P 』和『非 P 』。這就是矛盾的定義。」

矛盾的定義

將 P 設為命題。

矛盾指的是，對於命題 P，同時存在『P』和『非 P』。

「一開始我們做出了這樣的假設：將 a, b 設為互質的兩個整數，則存在 。」

「嗯。沒錯沒錯。」

「我們並不知道這個假設是真是假，但肯定不是真就是假。然後我們從假設出發，進行了邏輯性推導，發現了矛盾。會出現矛盾是因為之前哪裡搞錯了嗎？」

「嗯……我認為沒有哪裡搞錯。」

「嗯。毫無疑問，我們的推導過程中每個步驟都是有理有據的。然而，只有一個命題，我擅自決定了它的真假。那就是『存在整數 a, b 使得 』這個假設。會出現矛盾是因為我擅自決定了這個命題為真。所以『存在整數 a, b 使得 』這個命題實際上是假的。」

「擅自決定『這個是真的』，然後出現了矛盾就說『抱歉抱歉，是假的』？」

「是呢。不過直到矛盾出現之前，我們的推導過程都不能出錯呢。」

「那是自然。」

「那麼，『存在整數 a, b 使得 』這個假設是假的，換句話說就是『不存在整數 a, b 使得 』。」

「光這樣就證明了 不是有理數了嗎？」

「對。因為根據定義，能用 的形式表現出來的就是有理數，不能用 的形式表現出來的就不是有理數。這種以定義為基石來一步步證明的感覺，你能明白嗎？」

「差不多吧。證明這東西好麻煩啊。」

「剛才我們使用的證明方法叫作反證法。」

「反證法？」

「反證法指的是『假設要證明的命題不成立，從而推導出矛盾的方法』。這是極為常用的證明方法哦。」

「啊！這是反證法的定義對吧！」

反證法的定義

反證法指的是「假設要證明的命題不成立，從而推導出矛盾的證明方法」。

解答4-1　（ 不是有理數）

使用反證法。

1. 假設 是有理數。

2. 此時，存在整數 a, b 滿足以下條件（a ≠ 0）。

• a 和 b 互質。

• 

3. 將兩邊同時平方，去分母得 2a2 = b2。

4. 因為 2a2 是偶數，所以 b2 也是偶數。

5. 因為 b2 是偶數，所以 b 也是偶數。

6. 因此存在整數 B，使得 b = 2B。

7. 把 b = 2B 代入 2a2 = b2，得到 a2 = 2B2。

8. 因為 2B2 是偶數，所以 a2 也是偶數。

9. 因為 a2 是偶數，所以 a 也是偶數。

10. 因為 a 和 b 都是偶數，所以 a 和 b 不互質。

11. 這跟「a 和 b 互質」相矛盾。

12. 因此， 不是有理數。

「那麼，我們把今天講過的內容整理一下。」

• 先讀問題

• 反覆確認定義

• 習慣「○○ 指的是 ○○」的說法

• 用數學公式表達

• 如果出現整數，則「調查奇偶性」

• 如果出現變量，則要問「這個變量是什麼？」

「除了這些，我們還學了反證法。覺得怎麼樣？」

「好累啊。不過我明白『證明的感覺』了，還有定義和數學公式的重要性……可是人家記不下這麼長的證明過程喵……」

「這你就錯了。把剛才的證明過程全背下來也沒有意義。自己打開筆記本，拿起鉛筆，再用自己的力量證明一次。」

「嗯……用自己的力量？」

「對。自己的力量。大多數情況下都不會特別順利，可能會在某一步卡住，所以證明不出來也不要灰心喪氣哦。自己感覺自己懂了，但怎麼都證明不出來。遇到瓶頸的話就看看書，或者是讀讀自己以前寫的筆記，不斷重複練習，直到自己能獨立完成整個證明過程為止。通過不斷地重複，自己學習數學的能力也會增強。這跟把過程全背下來截然不同，這裡養成的是對於數學性構造的理解能力和邏輯思維，以及熟練運用數字的性質來處理問題的能力。」

「遵命！熱血教官！」

4.1.4　證明

我們回到了房間。

「哥哥，我拿點糖哦。」尤里從架子上取下了瓶子，「檸檬，檸檬……誒？檸檬的已經吃完了？！唉，那就拿哈密瓜的好了。哥哥，別吃人家的檸檬糖嘛。」

「那又不是你的糖……」

「我說哥哥，證明有這麼重要嗎？」尤里舔著哈密瓜糖問我。

「是啊。數學家們最重要的工作之一，就是把研究出來的結果以『證明』的形式保留下來。歷史上有無數的數學家做過無數的工作。現代的數學家們則通過『證明』在歷史上烙下自己的腳印。」

「這樣啊。證明原來是數學家的工作啊……」

「對啊。數學家們一直在賭上性命去證明。」

「我在學校學過，但是沒有像哥哥講得這麼深刻啊。我以前一直只認為證明題要比計算題麻煩得多。證明是這麼重要啊，數學家們重要的工作……但是『賭上性命去證明』，是不是有點太誇張了？」

「嗯，即使證明不出來也不會死，說『賭上性命去證明』確實有點過頭了。不過啊……在某件事上『花費時間』，不就相當於『賭上性命』嗎？因為活著的時候能做的事情是有限的，在這個世界上能用的時間是有限的，數學家們把『有限』生命中的一部分用在了證明上。」

「有限？」

「人類的生命是有限的，卻能在數學中處理無限。這也是相當了不起的。能寫出『對於任意整數 n……』這種表現也很不可思議。只是寫了一個字母 n 就能表示出無限的整數，用一個字母就能捕捉到無限。變量也是由從前的數學家們想出來的工具啊。」

「用一個字母就能捕捉到無限……啊，這就是『將無限宇宙盡收掌心』的意思啊！數學家真是喜歡無限啊。」

「或許吧。話說，尤里你知道『對於任意的 n，都具有 ○○ 的性質』這個命題的否定是什麼嗎？」

「『不具有 ○○ 的性質』吧？」

「『對於任意的 n，都不具有 ○○ 的性質』嗎？」

「嗯。」

「不，不對哦。『對於任意的 n，都具有 ○○ 的性質』的否定是『對於某個 n，不具有 ○○ 的性質』或者是『存在某個 n，不具有 ○○ 的性質』。舉個例子，就這個糖果瓶來說，

　　『所有糖果都是檸檬味兒的』

這個命題的否定是

　　『某個糖果不是檸檬味兒的』

或者

　　『存在不是檸檬味兒的糖果』。

只需要存在一個不是檸檬味兒的糖果就可以否定所有了。比如說哈密瓜味兒的。」

「攻破一個就可以擊破『所有』嗎？」

「就是這樣。反證法從原命題的否定開始證明。如果想證明對於任意的糖果都存在某個性質，就要假設存在某個不符合這個性質的特殊糖果，從而推導出矛盾。這樣的話，就能把精力集中在這個特殊糖果上深入思考。這就是人們經常運用反證法的原因之一。」

「原來如此。」

「命題的證明是永遠存在的。永遠指的是時間的無限性。已被證明過的命題，在證明它的數學家死後仍然是被證明過的。證明是嚴密的、不可推翻的。數學領域的證明是穿越時空的時間機器，是經過歲月的洗滌也不會腐朽的建築物。證明為人類在有限的生命中去觸碰永遠提供了機緣。」

「哥哥，你真帥啊！」尤里帶有幾分嘲弄般地語氣笑著說。

「只有你會說我帥……不過，受到表娘還是很高興的喵。」我說。

「哥哥！別學人家說話嘛！」