「我們來做一下最大公約數和最小公倍數的練習。」我寫下了問題。
問題3-1
假設 M 和 L 分別表示自然數 a, b 的最大公約數和最小公倍數。
那麼，請用 M 和 L 表示 a × b。
「哥哥，人家不懂啊。」
「回答得太快了！都說過你太輕言放棄了！」
「人家沒學過這個公式嘛！」尤里嘟起了嘴。
「就算沒學過公式，也能想想吧。—— 好吧，那我們一起想。」
「嗯！」
「我們盡量把問題具體化。特別是像出現 a, b, M, L 這樣很多變量的情況下，代入具體數字思考是非常關鍵的 。」
「舉出具體數字就行嗎？那試試讓 a = 1, b = 1 吧！ a × b = 1 × 1 = 1。a, b 的最大公約數就是……嗯，是 1 對吧，也就是說 M = 1。然後最小公倍數……嗯，L = 1。
怎麼出現這麼多 1 啊，越來越糊塗了。」
「我說啊，尤里，全在腦子裡想的話，就會亂成一鍋粥的。好好用表格總結一下。」
「很麻煩嘛。」
「尤里，讓 a = 1, b = 1 的話，它們就都是最小的自然數，而且相等。這是極為特殊的例子。所以試著想想 a ≠ b，而且數字再大一點的例子。比如說，a = 18, b = 24 怎麼樣？」
「知道了，我試試看。a = 18, b = 24 的話……」
「你分解了質因數啊。」我說。
「嗯……最大公約數是把兩個數都包含的數字合在一起，它們都包含一個 2 和一個 3，所以最大公約數是 2 × 3 = 6。」
「沒錯。最大公約數 M = 6。那麼，最小公倍數呢？」
「最小公倍數是把至少其中一方包含的數字合在一起，在這兩個數中，有三個 2 和兩個 3，所以最小公倍數是 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72。」
「最小公倍數 L = 72。那麼，在表格中再追加一行。」
「怎麼用 6 和 72 得到 432 ？」我說。
「不是做乘法嗎？ a × b 就等於 M × L 吧？」
「你確認看看。」
「你看吧！果然沒錯！它們都等於 432 ！」
「是呢。剛好 a × b = M × L。那麼在這裡，我來簡明易懂地說明一下。」
「誒？」
「再寫一次將 a = 18, b = 24 分解質因數的過程。這次我們試著把位置上下整合一下。」
「同樣也把 M = 6, L = 72 寫出來看看。」
「比對這兩張表格，就能理解 a × b = M × L 了吧。」
「一點兒都不知道！」
「是嗎？尤里剛剛你說過的吧？」
「最大公約數是把兩個數都包含的數字合在一起」。
「最小公倍數是把至少其中一方包含的數字合在一起」。
「哥哥聽得好仔細啊。」
「尤里說的『兩個數都包含的數字』和『其中一方包含的數字』裡面的『數字』指的是什麼？」
「是 2 和 3 啊。」
「對啊。分解質因數時出現的一個一個的質數就叫作質因數。尤里，跟我說一次『質因數』。」
「誒？『質因數』……為什麼要讓我重複？」
「出現新詞語的時候，自己反覆念出來比較好哦。這樣就會深深地刻在『心的索引』裡了。」
「誒？然後呢？」
「把位置整合以後寫出來就會發現，a × b 和 M × L 的合成方法不同，但出來的質因數是相同的。」
「確實，很明顯 a × b = M × L，它們分別乘起來的東西是一樣的。」
「東西？」
「啊……乘起來的質因數是一樣的。」
「嗯，分解質因數，就是把自然數分解成質因數的乘積。分解質因數非常重要，因為它能讓我們看到自然數的結構。」
「分解質因數，有這麼重要啊……」
「想到這裡，我們就很清楚 a × b = M × L 的關係了。a × b 是『a 的所有質因數』和『b 的所有質因數』的乘積。而 M × L 從結果上來說也是一樣的。因為最大公約數 M 是『a 和 b 所有重複的質因數』的乘積，最小公倍數 L 是『除 a 和 b 重複的質因數之外的所有質因數』的乘積。」
解答3-1
假設 M 和 L 分別表示自然數 a, b 的最大公約數和最小公倍數。
那麼，
是成立的。
「請聽題。把 a 和 b 分解質因數，變成以下這種形式。這時 a 和 b 是什麼關係呢？」
「哈哈。沒有共同的東西。」
「你說的共同的『東西』是？」
「是質因數！ a 和 b 沒有共同的質因數對吧。」
「這是有專門的詞彙的啊……」
「知道了知道了知道了知道了知道了！」
「你說了五次『知道了』。質數。」
「a 和 b 是『互質』的關係！」
「對，完全正確。」
「哥哥！人家可能已經習慣說『互質』了！」
「那就太好了。」