去參加舞會吧，灰姑娘。
但是別忘了 :
只要半夜 12 點一過，
馬車就會變回南瓜，車伕就會變回老鼠。
而你，就會變回那個蓬頭垢面的灰姑娘。
——《灰姑娘》
4.1 家中
4.1.1 尤里
“啊～真是的！我不甘心不甘心不甘心啦！”
“怎麼了，尤里？”
今天是二月份的一個週六，這裡是我的房間。
就在不久前，玄關那邊才傳來尤里充滿活力的聲音“打擾了”，以及我媽的回應“來啦，外面很冷吧？”
不過，尤里一進房間就滿臉陰沉，跟剛剛的聲音正相反。她可很少會這樣。
“昨天，人家輸給了一個討厭的男生。煩死了！討厭討厭討厭！”
尤里搖晃著頭，把馬尾辮甩來甩去。
“喂喂，你在學校跟男生吵架了？”
“沒有，是數學啦。那傢伙出了這麼一道題。”
問題 4-1
下面的等式對嗎？
0.999 ... = 1
“原來是這麼一回事兒啊。”
“然後嘛，人家就回答說：‘這等式怎麼可能對呀’。”
“為什麼？”
“因為是 0.999 ... 呀，剛好比 1 小不是嗎？”
“是麼？話說，那個男生怎麼說的？”
“他一臉得意地說‘這個等式是對的’。啊～好不甘心啊！”
“他說了為什麼對嗎？”
“那傢伙說‘1 等於 1’，然後就開始證明了。”
4.1.2 男生的“證明”
1 等於 1。
1 = 1
將等式兩邊同時除以 3。左邊寫成小數形式，右邊寫成分數形式。
將等式兩邊同時乘以 3。
分別計算等式的左右兩邊。
0.999 ... = 1
這樣，就證明了 0.999 ... = 1。
◎ ◎ ◎
“我當時沒能反駁他，好不甘心啊！”
“我覺得，作為初中生來說，他已經答得不錯了啊。”我表示。
“誒？這樣證明就可以？”
“嗯。不過嚴格來說，還有地方不對勁。”
“嗯……其實說真的，人家回家以後也想到了一個‘證明’。可是，0.999 ... = 1 是錯的呀。因為等號‘=’是在分毫不差、精確相等時使用的符號啊。數學的魅力不就在於這種精確性嗎？所以，我有‘疑惑’，這裡就應該像 0.999 ... < 1 這樣用不等號，而不是等號……”
“那你就跟我說說你想出來的‘證明’，還有心中的‘疑惑’吧。我們一起來思考，好吧？”
尤里剛剛嘴角還拉成倒 V 字形，聽到我這句話，表情一下子明朗了起來。
“嗯！”
4.1.3 尤里的“證明”
“首先，你來講講你的那個‘證明’。”我翻開了筆記本。
0.999 ... = 1 的證明
“人家可能會證錯，別笑人家哦。”
“當然不會。”
“人家認為，應該先研究 0.9，然後研究 0.99，再然後研究 0.999。”
“喔。”
“然後，1 跟 0.9 很接近，但是偏差 0.1。”
“你說的‘偏差’指的是？”
“啊……那個，就是只差 0.1。”
“你的意思是，它們的差是 0.1 ？”我往筆記本上寫了個等式。
1 - 0.9 = 0.1
“嗯。對對，是差。原來如此，用等式來寫就好了啊！我是照這個思路思考的，一開始是 0.9。”
◎ ◎ ◎
一開始是 0.9。
1 - 0.9 = 0.1
然後是 0.99。
1 - 0.99 = 0.01
繼續這樣下去。
無限循環以上步驟後，0.999 ... 跟 1 的偏差就是 0.000 ... 了。
1 - 0.999 ... = 0.000 ...
這樣，右邊的 0.000 ... 就等於 0 了。
1 - 0.999 ... = 0
因為偏差是 0，所以最後 0.999 ... 等於 1 ！
0.999 ... = 1
這樣一來，嗯……Quod Erat Demonstrandum 1。證明完畢。
1即第 2 章中泰朵拉說的 Q.E.D.，意思是證明完畢或證訖。—— 譯者注
◎ ◎ ◎
“證明完畢。”尤里說。
“你思考得很好嘛，尤里。你一個初中生能解釋成這樣，我覺得已經很棒了。”
“好開心喵。”她用貓語笑著回應我，然後又馬上恢復了認真的表情，“可是，人家不喜歡‘你一個初中生’這個前提。”
“要想解釋清楚，就得用數學方式把‘無限循環以上步驟’的部分說明白才行。”
“這樣啊。那個，其實人家不太明白‘無限循環’那部分。人家還是覺得‘0.000 ... 比 0 要大一點’。這樣的話，‘0.999 ... 就比 1 小一點’了。”
“哦哦，這就是你的‘疑惑’啊。”
“沒錯。哥哥，你聽我說啊。”
4.1.4 尤里的“疑惑”
沒錯。哥哥，你聽我說啊。
關於“0.999 ... = 1 不成立”的疑惑
0.9 比 1 小。
0.9 < 1
同樣，0.99 也比 1 小。
0.99 < 1
重複以上步驟，就會出現下面這樣的算式。
也就是說，不管走到哪兒，0.999…都還是比 1 小啊！
0.999 ... < 1 ？
可是我很疑惑，這樣……真的對嗎？
◎ ◎ ◎
“原來你是這麼思考的啊。”
“嗯。我按著 0.9, 0.99, 0.999 往下思考發現，就剛剛的‘證明’來說，0.999 ... 會非常非常接近 1。而現在我很疑惑，因為‘不管走到哪兒，0.999 ... 都比 1 小’。它們倆在我腦子裡打架。好煩啊，不明白喵。”
尤里“呼 ——”地歎了口氣，看向我，彷彿在問“那正確答案是什麼呢？”
4.1.5 我的講解
“尤里，你把問題整理得很好，不過我還是想按照自己的方式再來總結一下。首先，我們思考這樣一個‘數的序列’——數列。為了好懂，我們給這些數起名叫 a1, a2, a3, ... , an, ... 吧。”
“an 呀。”尤里點點頭。
“在這裡，n 表示的是這一串 9 的個數。這樣一來，似乎就存在以下性質。就是這兩個性質在打架吧？”
(1) n 越大，an 就越接近 1。
(2) 但是，不管 n 有多麼大，an 都小於 1。
“對對，就是這兩個性質。因為它們看起來都對，所以人家才煩惱的。到底哪個是錯的呢？”
“尤里，聽好了……”我注視著她。
“嗯……”她也注視著我。
“(1) 和 (2) 都是對的。”
“誒？”
“它倆都是對的。下面這兩個說法，都是對的。”
(1) n 越大，an 就越接近 1。
(2) 但是，不管 n 有多麼大，an 都小於 1。
“誒？可是，要是 (2) 是對的，0.999 ... < 1 就成立了啊。”
“不，不成立。0.999 ... < 1 是錯誤的，0.999 ... = 1 才正確。”
0.999 ... < 1 錯誤
0.999 ... = 1 正確
“抱歉，哥哥。人家現在超級混亂……”
“混亂？”
尤里沉思，我默默地等待著。默默沉思的時間。這個時間對數學來說非常重要。不被任何人搭話，不被任何人打擾，集中精神思考的時間……從廚房隱隱傳來了我媽做菜的聲音。
“我明白了，改變‘等號’的定義！數學家還真喜歡定義呀，我們定義‘在差很小的時候用等號’吧！”
我震驚了。
“答得很厲害！但是不對。0.999 ... = 1 裡的等號，跟 1 = 1 裡的等號是一個意思。這裡不再重新定義。0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精確相等的。”
“可是，那……不明白喵。”尤里一臉的不甘心。
這時。
“呀！啊！”
是我媽的喊聲。
我跟尤里趕緊跑去廚房。
“怎麼了？”
只見我媽穿著圍裙，衝著敞開的冰箱慌了神。
“沒有雞蛋了，昨天晚上給用了！”
我媽轉過身，盯著我，然後突然換了張溫柔的臉。
“那個，打擾你們學習，不好意思……”
“咦？沒雞蛋不能做飯嗎？”
“沒有雞蛋的蛋包飯，怎麼能叫蛋包飯呢！”我媽理直氣壯地說。
“我們還在學習呢……”
“沒雞蛋可就變成飯包飯了喲……”我媽雙手合十，眼睛朝上望著我。
“好，好，知道啦。我去超市就是啦。”
“人家也去！”
4.2 超市
目的地
我讓尤里坐在自行車後座上，載著她一起到了超市。外面真冷。
嗯 ……雞蛋，雞蛋。6 顆裝的應該夠了吧？
結完賬走出超市的時候，尤里一把拉住了我的胳膊。
“吶，哥哥……那邊有好東西。”
尤里指著的地方是賣冰激凌的。
“不行啦，我媽在等著呢。再說了，你不冷嗎？”
“不要這樣嘛……”尤里繞到我前面，像祈禱似地雙手合十，眼睛朝上望著我。為什麼大家拜託我辦事的時候都同一個動作啊……唉，算了。
我買了兩個香草味兒的甜筒，在吧檯邊上坐下。
“給，尤里。”
“嘿嘿，謝謝哥嘎！”
尤里笑容滿面。
“真會哄人。話說，你心情好了？”
“嗯？什麼啊？”
“忘了就算了。”
我倆舔著冰激凌，開始閒聊。
“話說，哥哥你將來要做什麼？”
“誒？這個……話說回來，尤里你呢？”
“嗯……當律師吧。”
“誒？！是不是受電視劇影響的？”
“才……這，這個嘛，或許有。因為很帥氣喵。可是，那個，哥哥你會不會在意妻子的收入比你高？”
“你這什麼問題……”
“你不會在意吧？這點小事。”
“……話說剛剛那道題，畫成圖就是這樣。”
我把冰激凌換到左手，在特價廣告單的背面畫了張圖。
“這個人家知道啦。”尤里回答。
“在這裡，0.9, 0.99, 0.999 這個數列無限接近 1。然後，無限接近的地方，也就是目的地，為 0.999 ...。”
“所以嘛，哥哥，0.9, 0.99, 0.999 這個往下延伸的數列雖然不會變成 1，但是會無限接近 1。這點我倒也不是不那麼不懂。”
“到底懂還是不懂啊？”
“我感覺就像哥哥你畫的那樣，無限接近 1。可是，就算無限接近，0.999 ... 也不能變成 1 呀。”
她滿臉不開心，舔了一口冰激凌。
“尤里，那我現在問你個問題，你用‘是’或‘否’來回答。 —— 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，其中會有數等於 1 嗎？”
“否。無論 0.9 的後面有多少個 9，都應該會小於 1。”
“回答正確。”我說。
“啊～真是的，感覺好煩躁啊！明明無論 0.9 的後面有多少個 9，都不等於 1。為什麼 0.999 ... 會等於 1 呢？！”
“這個嘛，稍等。尤里，這個問題呢？ —— 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，會無限接近某個數嗎？”
“是。如果在 0.9 的後面不斷地添加 9，就會接近 1，會無限接近。”
“嗯。回答正確。”我點點頭，“下面重點來嘍。0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，無限接近‘某個數’的時候，這‘某個數’啊，有以下書寫形式。”
0.999 ...
“書寫形式？慢著，等一下！”尤里喊道。
她的髮絲如黃金般閃爍了一下。
“怎麼了？”
“我明白了，哥哥！人家明白了！讓我來確認一下。”
“當然可以。”
“話說，0.999 ... 表示‘某個數’吧？”
“沒錯。”
0.999 ... 表示“某個數”。
“0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，就會無限接近 0.999 ... 所表示的‘某個數’吧？”
“嗯，就是這樣。”
0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，就會無限接近“某個數”。
“雖然接近，可是即使 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，‘某個數’也是出不來的。這點也對吧？”
“嗯。很好，很好。”
即使 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，“某個數”也是出不來的。
“那這個 0.999 ... 所表示的‘某個數’就等於 1 啊！”
0.999 ... 所表示的“某個數”就等於 1。
“嗯。這就對了，你怎麼突然明白了啊？”
“哥哥，人家明白啦。我也很明白自己不明白哪裡了。人家啊，才意識到 0.999 ... 表示‘某個數’。”說著她舔了一口冰激凌，冰激凌已經開始流到甜筒上了。
- 0.999 ... 表示“某個數”。
- 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，就會無限接近“某個數”。
- 即使 0.9, 0.99, 0.999 這樣一直延伸下去，“某個數”也是出不來的。
- 0.999 ... 所表示的“某個數”就等於 1。
“嗯嗯，我知道誰是犯人了，哥哥。犯人就是‘0.999 ...’這個寫法！這讓人分不清楚嘛！”
尤里卡吧卡吧地連冰激凌帶甜筒一起嚼。
“這個嘛，寫數列的時候，都是像 0.9, 0.99, 0.999, ... 這樣，在最後加上省略號‘...’。所以我會認為在 0.9, 0.99, 0.999 的後面肯定會出現‘0.999 ...’。可是，不是這樣的。0.9, 0.99, 0.999 的後面不會出現 0.999 ...。都是因為寫成 0.999 ... 才會分不清！真是的！寫個 
之類的不就好啦！比如說，像下面這樣。
-
0.9, 0.99, 0.999, ... 無限接近 。
-
並且，等於 1。
這麼告訴我的話，我就完全不會混亂了啊。”
“是啊。”
“哥哥把剛剛我起名叫 的數寫作‘0.999 .. .’了吧？這規矩要一開始就說明白嘛！真是的！這不就只是數的寫法的問題了嘛！”
“看來你完全理解了啊，尤里。”
“哥哥，這個得想好久才能明白啊。就算老師講了，我也一定會理解錯。0.999 ... 指的不是數列裡出現的數，指的是數列去向的目的地，可以不用到達那裡。我很明白哥哥說的是什麼啦。確實，0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精確相等的。因為它是 0.9, 0.99, 0.999 接近的目的地嘛。”
“就是如此。”
“咦？這麼說的話……這兩個就完全不一樣了呢。”
0.999 ... 等於 1
0.999 ... 9 小於 1
“對對。像 0.999 ... 這樣，在數的最後加上省略號的，是數列去向的目的地；像 0.999 ... 9 這樣，在中間加上省略號，最後又寫上一個 9 的，是數列中出現的數。天差地別呀。”
“這，這個，好混亂啊！”
“可是，尤里你已經不會弄錯了吧？”
“嗯……”
我忽然注意到了腳邊的白袋子。
這是啥來著？
袋子裡放著 —— 一盒雞蛋。
“完蛋了！我媽還在等著呢！”
解答 4-1
下面的等式是對的。
0.999 ... = 1
4.3 音樂教室
4.3.1 字母的導入
“那個男生是尤里的男朋友嗎？”泰朵拉問道。
“不是啦，怎麼可能。”我回答。
“他肯定是想待在喜歡的女生身邊吧。”泰朵拉露出不同於以往的笑容說道。
這裡是音樂教室。現在已經放學了，米爾嘉和盈盈正在彈鋼琴。我跟泰朵拉在教室的角落裡小聲聊著天。
盈盈是個美少女，有著一頭波浪般的卷髮，跟我和米爾嘉不在同一個班，但在同一個年級，都上高二。她還是鋼琴愛好者協會“最強音”的會長。這位鋼琴少女，除了上課以外基本上都泡在音樂教室裡。聽說她甚至獲得了學校的批准，能夠自由進出音樂教室。
盈盈和米爾嘉交替彈著鋼琴，每彈完一曲，就對曲子進行評價。剛才，盈盈說想分別彈出“機械的巴赫 2”跟“空中的巴赫”，米爾嘉則說想彈出“正式的巴赫”跟“超群的巴赫”的區別。真複雜，不明白她們在說什麼。
2巴洛克時期（即 17 世紀前後）的德國作曲家，管風琴、小提琴和大鍵琴演奏家。—— 譯者注
我把我跟尤里的對話告訴了泰朵拉。
“尤里真聰明啊。我還覺得 0.999 ... 小於 1 呢。”
泰朵拉平常總是慌裡慌張的，可是一提到尤里，不知怎麼地，就會稍稍沉著一些。
“學長你跟尤里解釋的時候，是用下面這種形式來表示‘n 個 9 排列成的數’的，對吧？”泰朵拉說道。
“嗯，對。因為用 n 這樣的字母來表示，解釋起來會輕鬆一些。an 的 n 叫作下標。與其用‘0.999 ... 9 裡的 9 的個數’這種麻煩的說法，倒不如用下標這種說法，直接把它叫作‘an 的 n’更簡潔，對吧？”
“啊，對。在思考數學的時候，我也希望自己能‘導入新的字母’，就像這個 n。可是，腦子不往那邊轉 —— 我感覺字母多了，就會變複雜。”
泰朵拉說著拿起自動鉛筆，就像試筆時一樣在自己的筆記本上寫了寫字母表。
現在是盈盈正在彈鋼琴。米爾嘉抱著手臂站在她身後。有一瞬間，她朝我這邊看了一眼，可是馬上又把視線收了回去，看盈盈彈奏了。
4.3.2 極限
我跟泰朵拉繼續解釋。
“那我們來好好講講極限吧。”
◎ ◎ ◎
假設把 n 持續增大，an 就會無限接近“某個數”。此時，我們將這裡的“某個數”稱為極限值，寫成下面這樣。
舉個例子，an 無限接近“某個數”（我們把這個數叫作 A）時，我們就說，“極限值等於 A”，可以用式子寫成下面這樣。
對了，我們有時也不用 lim，比如像下面這麼寫。
時 
然後，我們把“數列無限接近‘某個數’”叫作收斂。也就是說，“收斂”跟“存在極限值”是等價關係。
我們把求極限值叫作“求極限”。
泰朵拉盯著我寫的數學公式。
我盯著泰朵拉。
“學長，這種寫法很好懂啊。”她指著下面這個式子說道。
時
數列的極限
持續增大 n，則 an 會無限接近數 A。
收斂於 A
“是啊。人們在講極限的時候經常這麼用。”
“可是，下面這種寫法對嗎？”
“嗯，對呀。有哪裡奇怪嗎？”
“不能用箭頭來表示‘無限接近’的感覺嗎？”
“原來你是這個意思啊。不過，‘
’是對會變化的量用的。 的意思是持續增大變量 n，
指的是通項 an 接近數 A。”
“嗯。”
“不過，在 an 收斂的時候， 表示的是一個已經確定了的‘數’。這個數不可能再變化了，所以我們不用箭頭。”
錯誤
正確
“這樣啊……”泰朵拉說著又捏了一把自己的臉頰，“話說，數列不總是收斂的吧？”
“嗯，沒錯。比如，我們思考一下這樣的數列。”
10, 100, 1000, 10000, ...
“這個……越來越大了呢。”泰朵拉一下子把手舉得高高地說道。
“沒錯。這個數列會無限變大。換句話說就是，它不會無限接近‘某個數’。因此，這個數列不收斂。我們把不收斂稱為‘發散’。數列 10, 100, 1000, 10000, ... 是發散數列。我們把像這個數列這樣無限變大並發散的情況稱為發散至正無窮大。”
“等……等一下，學長。不能認為它‘無限接近無窮大’嗎？”泰朵拉問道。
“這是不行的。無窮大不是一個數，所以就不是無限接近‘某個數’了。所以我們不說‘極限值無窮大’，也不說‘收斂至正無窮大’。我們只說‘發散至正無窮大’。”
“嗯……這樣呀。”
4.3.3 憑聲音決定音樂
“#C 3不行啦！”盈盈喊道。
3此處指升 Do，即 Do, Re, Mi, Fa, So 的 Do。——譯者注
“是麼……”米爾嘉回應道。
“就不能‘
’地接下去啦！”
“喔……右手難唱原來是因為這個嗎……”
盈盈跟米爾嘉一邊說著話一邊走到了我們這邊。盈盈的表情有些糾結。
“休息？”我問。
“你們聊什麼呢？”米爾嘉反問我。
“lim 好難啊。”泰朵拉說。
“是嗎？”米爾嘉歪了歪頭。
“我感覺差不多明白了什麼是‘無限接近’，但是一旦像 lim 這樣出現式子……我就不能很直觀地看懂了。”
“lim 來自於 Limit，也就是極限。”米爾嘉說。
“是這樣，可是一扯到式子我就……”
“打擾一下。”盈盈突然探出身子插了句嘴，“數學中之所以會用到式子，是因為式子是最好的表現手法。”
然後盈盈停頓了一下，看著自己的掌心，若有所思。她又翻過手，看著自己的手背。格外纖長的手指 —— 果然是彈鋼琴的手指啊。
“音樂是憑聲音的。”她看著自己的手說道，語氣中透出少有的認真。“總之最後是‘聲音’。如果能用語言表現世界，那用語言就可以了。不過，有些世界只能用聲音來表現。”
隨後盈盈用她那纖長的手指，指向自己的胸口。
“音樂 —— 屬於我。能把我這胸口撕裂，並暴露出我正在激烈蠢動著的內心的，只有音樂。我是這麼想的。我為了音樂呼吸，為了音樂進食。”
她的語氣異於往常。我們一時語塞。
“有時候，有些人會說‘我不懂音樂’。這些人用一句‘不懂’就打發了所有無法用語言充分表達的事物，而不去直接品味音樂。就算不能用語言表現也無所謂。正是因為不能付諸言語，才憑聲音來表現。想用言語形容的人不去聽聲音，光是一個勁兒尋找辭藻，而不去聽演奏者奏出的關鍵的聲音，不品味聲音響起的時間以及聲音飄蕩的空間。不要尋找辭藻了！去聆聽聲音！……就是這麼回事。”
“不去聽聲音？這就像想學數學卻不看式子吧？”我聯想道。
“啊！沒錯！”泰朵拉也發話了，“不認真看式子，就是不去看數學家創造出來的世界。不好好看式子，而被自然語言拖了後腿的話，就不是在研究數學了。是這個意思吧？”
“自然語言？”我不解。
“啊，就是 Natural Language 4。”
4即自然語言，指的是一種自然地隨文化演化而來的語言，如英語、漢語、日語。與自然語言對應的有世界語。世界語言屬於人造語言，是一種為某些特定目的而創造的語言。——譯者注
“音樂跟數學完全是兩碼事，但又有著相似之處。”我說道，“演奏者奏出了聲音，我們就要好好聽。數學家寫出了式子，我們就要好好看。就是這樣。”
“重要的是，音樂拿聲音當語言，數學則拿式子當語言。”泰朵拉說道。
“語言……？”盈盈問道。
“啊，就是最重要的‘表現形式’（Representation）。”泰朵拉回答。
“可能不一定是式子。”我說，“關於‘極限’的解釋用到的是‘無限接近這個值’這種表述，而不是‘變成這個值’。要仔細看數學書上是怎麼寫的，這很重要。”
“總之……”盈盈說，“我創作音樂，創造音樂。我不確定未來能不能以音樂為生，但是，肯定會跟音樂有關，一定會……”
這時，盈盈兩手“啪”地拍了一下。
“哎呀，我怎麼都說出來了，羞死了，羞死了！”她看似害羞地一把攏起了長髮。
“沒事，盈盈你沒問題的。你彈鋼琴和作曲不是都很厲害麼？”
“……你這人雖然鈍，人倒是不錯。”
“鈍？”
“這個，‘純’跟‘鈍’長得很像啊。純粹的遲鈍。喏，就像‘三角函數’跟‘三角關係’只有一個詞不同。知道麼，‘天真’跟‘天才’只有一個字不同。還有‘質數’跟‘質優’也只有一個字不同……我去喝口水。”
盈盈唬了我們一通，從音樂教室走了出去。
4.3.4 極限的計算
“你告訴泰朵拉基本的極限了嗎？”米爾嘉問我。
“誒？”
“比如說，這種題。”她往我筆記本上寫了個式子。
問題 4-2（基本的極限）
“啊，這個，嗯……”泰朵拉困惑地看著我。
“那我來求一下這個式子的值。”我拿過自動鉛筆。
◎ ◎ ◎
我來求一下這個式子的值。
這道題是求 
的極限值，也就是求下面這個 
。
n → ∞ 時 
首先，我們來把數列具體寫一下。因為“示例是理解的試金石”。
也就是說，我們只要回答下面這個問題即可：當持續增大 n 時，是否存在無限接近 的數？如果存在，則這個數是多少。
光看分母的話，很簡單吧？分母是這麼一個數列。
像下面這樣寫會讓我們容易明白一些。
當持續增大 n 的時候，
也會無限增大，如果用式子來表示，就是下面這樣。
n → ∞ 時 
如果持續增大 n，分數 的分母也會無限增大。因為分母無限增大，所以分數 自身會無限接近 0。用式子表示時，可以寫成下面這樣。
n → ∞ 時 
用 lim 這種寫法的話，就是以下形式。
這樣一來，我們就會知道存在極限值，且這個極限值為 0。
◎ ◎ ◎
“原來如此……”泰朵拉感歎道，“剛才聽了學長你說的，我想‘當 n → ∞ 時，’能不能寫成下面這樣？”
解答 4-2（基本的極限）
因為當 n → ∞ 時，
。因此答案如下：
“嗯，可以呀。有什麼不對嗎？”
“嗯……這樣的話，怎麼說呢，就好比 的極限值是 ∞ 似的，因為剛剛學長你說了，咱們不說‘極限值無窮大’……”
“哦哦，這個呀。我剛剛沒解釋清楚。∞ 確實不是數。在這裡，我們是像下面這樣來展開並定義等號的，泰朵拉。”
時
“數列 
可以說是‘發散至正無窮大’吧？”
“嗯，可以。”我點頭。
米爾嘉一直默默地聽著我們的談話，這時她突然開了口。
“下一道題。”
問題 4-3（基本的極限）
“誒……這跟剛才的不一樣嗎？”泰朵拉問道。
“剛才是誰強調說‘不認真看式子，就是不去看數學家創造出來的世界’來著？”米爾嘉問道。
“啊……是 ……是我說的。我看。”
泰朵拉又看了一遍筆記本。
“……我明白了，是不一樣。我看漏了 
（Sigma，西格瑪）。可是，我算不太出來這個。lim、，還有……”
“換人。”米爾嘉的手滑過我的肩膀，回到了鋼琴的旁邊。
“我們想計算的是……”我對泰朵拉說道，“下面這個式子。
要想計算這個式子，我們得把精力放在求和上。
然後，思考如何用帶 n 的式子來把上面這個式子表示出來。如果留著 ，處理起來會很複雜。首先，為了證實自己的理解——”
“要舉出具體例子，是吧？”泰朵拉拿起了自動鉛筆。
“對對。你能把通項也寫出來嗎？”
“啊，對呀。能寫。”
（通項）
“嗯，這樣就準備 OK 了，泰朵拉。接下來我們要用到常用的‘等式變形’。我們在等式兩邊同時乘以 
，然後把項偏移一個位置。”
“項偏移，就是每一個項裡的 10 的指數都增加 1，對吧？”
“沒錯。這裡我們從‘表示通項的等式’兩邊分別減去‘項偏移後的等式’。這樣一來，中間的項就會相互抵消，‘唰’地一下消失。”
“啊！原來如此。除了開頭跟結尾，其他的都抵消掉了。”
“接下來計算這個結果。”
“接下來，只要考慮‘當 n→ ∞ 的時候，這個式子的右邊會怎麼樣’就行了。”
“當 n → ∞ 的時候，這個式子的……”泰朵拉嘀咕道，“
這部分，極限值會變成 0 吧？因為分母 
會無限變大。”
“沒錯。”我說，“換句話說，答案是這樣。
n → ∞ 時 
也就是說，是下面這樣。”
解答 4-3（基本的極限）
“做完了？”不知何時，米爾嘉站在了我們身後，手裡拿著樂譜，“那我們來算 0.999 ... 吧。”
問題 4-4
計算 0.999 ...。這裡，我們把0.999 ... 定義如下。
“米爾嘉，你是按照這個思路來出題的呀……”我說道。
“你之前沒注意到嗎？”說著，米爾嘉在筆記本上展開了式子。
“也就是說，0.999 ... 等於 1。”米爾嘉說道。
解答 4-4
“0.999 ... 原來是能計算出來的呀……”
“因為我們定義的時候就定義了‘它能計算出來’啊。”我說。
“無限會欺騙感覺。”米爾嘉說道，“沒有幾個人能模仿歐拉 5老師。處理無限的時候，如果依賴感覺就會失敗。”
518 世紀的瑞士數學家、自然科學家。——譯者注
“這樣啊……”泰朵拉應道。
“不要依賴感覺 —— ”米爾嘉看著我說。
“要依賴邏輯。”我接道。
“不要依賴語言——”
“要依賴式子。”
“是這樣。”米爾嘉微笑道。
“啊，所以……”泰朵拉說道，“才在思考極限的時候，用 lim 這樣的式子，而不用‘無限接近’這個詞，對吧？”
“不過，為了更進一步討論，我們還需要精確定義 lim 本身。”米爾嘉在我們身邊踱著步說道，“當然，不能用‘無限接近’這個詞。”
“誒……那要怎麼辦？”
“式子。”米爾嘉簡潔地回答道。
“用式子，來定義 lim ？這，這這……怎麼可能……”
“當今時代，能。”米爾嘉豎起食指，“人類是近些年才將極限掌握到如此程度的。柯西 6將極限概念導入數學，是在進入 19 世紀後；魏爾斯特拉斯 7用式子來定義極限，則是在 19 世紀後半期。”
619 世紀法國數學家、物理學家、天文學家。由於在數學分析學領域有諸多貢獻而被稱為“法國高斯”。——譯者注
719 世紀德國數學家，曾受聘於柏林大學，被譽為“現代分析之父”。——譯者注
這時，盈盈回來了。
“米爾嘉親，繼續練習！”
“用式子，來定義 lim……”泰朵拉小聲念著。
米爾嘉“砰”地敲了一下她的頭。
“是 
- δ 語言 8！”
8數學分析中的一個方法，只使用（有限的）實數值來討論極限。——編者注
4.4 歸途
前途
米爾嘉和盈盈還要繼續練習，所以我就跟泰朵拉兩個人去車站了。她在我身後走著，距離我半步。不知從何處飄來了梅花的香氣。
“感覺今天聊了好多啊。”
“對啊。”
我想起我們今天在音樂教室裡聊的內容。盈盈很認真地看待音樂，打算從事音樂方面的工作。她在仔細考慮這件事，說“音樂屬於我”。
“那個，學長你……將來有什麼目標？”
“這個嘛……泰朵拉你呢？”
“我呀，我打算……從事能應用英語的工作。不過，最近我們在學計算機，計算機方面的工作好像也很有意思。我要是能像盈盈那樣，能說自己正在為了無限接近目標而學習，那就好了……”
“是啊。”
如果換成泰朵拉，那她最後應該會說“英語屬於我”吧。——這麼說來，尤里說過想當律師。雖然不知道她有幾分是認真的，不過這行沒準還挺適合她呢。
“……是吧。”泰朵拉說道。
“是啊。”我恍惚地隨口答道。
米爾嘉將來會幹什麼呢？會當數學家嗎？話說回來，感覺那個才女哪行都能幹……
……咦？
回過神來，泰朵拉已經落在我後面老遠。她一個人停了下來。
“怎麼了？”我趕緊折回去。
“……”她不回答，眼睛看著地面。我看不到她的表情。
“喂，怎麼了？”我彎下腰，看著她的臉。
“我……”她用微弱的、模糊的聲音說道，“我這人，什麼都不行呢。”
“……為什麼這麼說？”
“我這人，什麼都不行啊。”泰朵拉仍舊看著地面說道，“米爾嘉能談論很高深的數學，盈盈能創作出很棒的音樂，可是我……我什麼都不會。對我而言，因為學長你，數學才變得有意思了。可是，我淨問問題來浪費學長你寶貴的時間。我什麼……什麼都為你做不了。”
“泰朵拉……你錯了。我因為你，才有了毅力。分類討論的時候，舉例的時候，我都會想起你。這種對一件事堅持到底的努力精神，我是從你身上學到的。”
“……”她還低著頭。
“所以啊，你還是可以跟之前一樣，來隨便問我問題。這還能反過來讓我學到一些東西。”
“學長……”泰朵拉抬起頭，面色緋紅，“謝謝你。是呢……如果我有不明白的，那我就不客氣，直接問你。可是，如果煩到你的話，請你一定要說哦。”
泰朵拉注視著我，接著說道：
“因為高考很重要。”
我們把數列
逐步接近的“目的地”
稱為該數列的極限值，記作〔
〕。
然後，我們稱數列
注意，這裡只是把數列指向的目標稱為該數列的極限值，
並沒有說數列會到達該目的地。
這絕不，絕不（Never ！ Never ！）
意味著數列在“經過無限的操作後”等於 0。
——《無限的悖論》[12]