相反，是語言不確切。
這東西無法表達的原因是它太確切了，
以至於語言無法表達。
——克利夫·劉易斯《空間三部曲 2：皮爾蘭德拉星》1
1祝平譯，譯林出版社，2011 年 1 月。——譯者注。
3.1 集合
3.1.1 美人的集合
“……哥，哥哥！哥哥！快 —— 起 —— 來！”
震耳欲聾的叫喊聲把我從夢中喚醒。是尤里。
“別趴桌睡覺嘛！”
“我只是在閉目沉思。”我回道。
“你口水都流出來了喵！”
我慌忙拿手抹了抹嘴。
“騙！你！的！啦！”尤里笑了。
“呃……”忽然感覺好無力。
今天是週末。這裡是我的房間。尤里跟平時一樣來我家裡玩兒。雖然她本人堅持說是來學習的……
“哥哥，今天教我‘集合’唄？”
“集合？”
“對啊。前幾天我們數學課快下課的時候，老師說‘我來講講有意思的數學吧’，就講起了集合。哥哥你之前不是也提過集合麼？所以人家也很感興趣……”
“嗯嗯。”
“不過啊，我們老師說‘集合就是聚集在一起，比如說美人的集合等’。老師話音剛落，大家立即在教室裡炸開了鍋。大家都在想：美人是誰呀？然後老師又說‘這個美人的集合，不是我要講的那個集合’。真是的，簡直莫名其妙嘛。”
“我倒覺得，對初中生來說，用數學的例子比較好呢。”我說道。
“數學的例子？”
“嗯。咱們就一起來看看吧。”我攤開筆記本。
“好呀。”尤里戴上她的樹脂邊框眼鏡說道。
3.1.2 外延表示法
“尤里，你能舉幾個 2 的倍數嗎？在自然數的範圍內就行。”
“嗯，沒問題。2 呀，4 呀。”
“沒錯。你試著從 2 開始依次說出 2 的倍數。”
“明白了，嗯……像 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... 這樣？”
“嗯。我們把聚集在一起的所有的 2 的倍數叫作‘2 的倍數的集合’，然後，我們這麼寫它。”
“這不就是列出來嗎？”
“集合就是以這種形式來寫的。”
- 用半角逗號“,”把具體元素隔開。
- 元素可以按任意順序排列。
- 如果有無數個元素，就在最後加上省略號“...”。
- 然後把所有內容用大括號括起來。
“大括號是什麼？”
“就是‘{ }’。”
“喔。那個……集合就是一堆數嗎？”
“不一定是‘一堆數’。總之，是一堆‘東西’。”
“把東西聚在一起，用大括號括起來就好了吧？簡單，簡單！”
“不過稱呼的時候就不要叫東西了，要叫元素。”
“元素？”
“我們把一個個屬於集合的東西叫作元素。”
“元素……”
“比如說，10 是‘2 的倍數的集合’的元素。我們用符號‘∈’來表示這個概念。”
“數學家還真喜歡符號呀。”尤里聳聳肩。
“同理，要想表示 100 是‘2 的倍數的集合’的元素……”
“是這樣吧！”尤里探出身子 —— 忽地飄來一縷洗髮水的香味。
“沒錯。順便說一句，用式子還能表示出 3 不是‘2 的倍數的集合’的元素。在‘∈’上劃一條線，寫作‘
’。”
“簡單，簡單……話說，1 也不包含在這個集合裡呢。”
“嗯。呀！你剛剛說的是‘不包含’麼？”
“怎麼？”
“最好說‘1 不屬於這個集合’。”
“哥哥！你今天太嚴格了啦！淨在意這些細枝末節的！”
“可是……”
“我膩味了，肚子也餓了。”
“尤里，可還沒到吃點心的時候喲。”
“唔，我已經感覺到了阿姨跟我之間的心電感應！”
尤里“嗶嗶嗶”地學著機器人，走出了房間。
沒過一會兒，外面就傳來了“阿姨～我要吃點心～”的撒嬌聲。
真是的……說得我肚子也餓了。
3.1.3 餐桌
我來到餐廳。尤里正在吃年輪蛋糕。
“啊，哥哥你吃嗎？很好吃哦！”
“你也來一個吧？很好吃的。”我媽把盤子遞到我跟前。
“尤里，你也太快就膩味了吧。”我把筆記本在桌上攤開，然後迅速往嘴裡塞了一大口年輪蛋糕。哇，真甜吶……
“這個嘛，人家會膩味，是因為要記的東西太多啦。”
“好吧尤里，那我們用猜謎的形式來講吧。”
“不愧是哥哥。果然是人家的專屬老師！”
3.1.4 空集
“這個是集合嗎？”我在攤開的筆記本上寫了個式子。
{}
“哥哥，這裡只有大括號，沒有東西呀。”
“‘東西’是什麼？”
“……哥哥你真壞，就是元素嘛。沒有元素還算集合？”
“算，這叫作空集。空集也是正經八百的集合哦。”
“空集……沒東西聚在一起也算集合呀，空空的。”
“那麼，這是集合嗎？”我又繼續寫道。
{1}
“嗯。是集合啊。東西……不，元素是 1，所以可以這麼寫。”這次換尤里寫式子了。
1 ∈ {1}
“很好。剛剛還抱怨，你這不是記得很清楚嘛。”
“嘿嘿……”
“那麼，這個成立嗎？”
{1} ∈ {1} ？
“嗯……不好說，成立？”
“為什麼？”
“因為……唔，我不知道。”
“{1} ∈ {1} 是不成立的。
才成立。”
“咦……”
“1 是 {1} 的元素，但 {1} 不是 {1} 的元素。自然數 1 跟集合 {1} 是不同的。”
“這樣啊，∈ 這個符號只能像下面這麼用，對吧。”
元素 ∈ 集合
“嗯，沒錯。‘元素 ∈ 集合’是對的。不過，要注意一點：在某些情況下，某個集合也會成為其他集合的元素。”
“集合成為元素？那是什麼意思？”
3.1.5 集合的集合
“舉個例子，你看看這個式子，這個成立嗎？”
{1} ∈ {{1}, {2}, {3}}
“哇，好多大括號……這個，成立麼？”
“這個成立。你好好看看右邊的集合。我把大括號寫大點，這樣方便看。”
“嗯。”
“{1}, {2}, {3} 這三個元素屬於這個集合。”
“啊！原來如此。{1} 不光是集合，也是更大的集合的元素呀！”
“沒錯。一旦注意到這點，你就會明白，這個式子是成立的。”
“有意思！我開始覺得集合有點意思了！這個嘛，就像盛著數的盤子疊在一起一樣。”
“沒錯。”尤里的腦子轉得真快啊。
“這樣的話……哥哥，那這個式子也對吧？”
“嗯，沒錯，1 沒有直接盛在大盤子裡。”
“還有還有，這個也對吧？”
“對對。大盤子上盛著一個裝有 1, 2, 3 的小盤子。你挺明白的嘛，尤里。”
“嘿嘿！”
“那麼，我出一道題。你能寫出一個集合，讓它只包含 1 和 {1} 這兩個元素嗎？”
“嗯……嗯！簡單，簡單。是這樣吧？”
“喔，寫得不錯嘛。”
“對了，”尤里彈了個響指，“哥哥，這時候下面這兩個式子都成立吧？”
和 
“當然了。”
“那麼，能寫成下面這種形式的，只有 1 和 {1} 吧？……也是，這是理所當然的。”
某元素 / 集合 
“尤里！‘理所當然’也很重要哦！就算是理所當然的例子，也應該試著自己編編看。就算是理所當然的事兒，也應該試著用自己的話說說看。對學習來說，這是很重要的。尤里你能做到這點，相當了不起呀！”
“哥哥你能表揚我這點，也相當了不起呀！”
3.1.6 公共部分
“那麼，我們再來說說，如何根據‘集合和集合’來生成新的集合吧。”我說道。
“生成新的集合？”
“首先是用於生成兩個集合的公共部分的交集符號‘∩’。用‘∩’連接 {1, 2, 3, 4, 5} 跟 {3, 4, 5, 6, 7} 這兩個集合而形成的式子表示的也是一個集合。這個集合是由同時屬於兩個集合的所有元素構成的。”
“同時屬於兩個集合……那個，不好意思，哥哥你剛說什麼來著？”
“這個集合是由同時屬於兩個集合的所有元素構成的。換句話說，就是下面這樣。”
“喔……啊，兩個集合裡有相同的數呀。”
“沒錯。所以，這些叫作公共部分，也叫相交。我們來試著給相同的元素畫上下劃線吧。”
“嗯。”
“像這樣用維恩圖來表示，就更一目瞭然了。”
用維恩圖表示公共部分
公共部分
由同時屬於集合 A 和集合 B 的所有元素構成的集合。
A ∩ B
“嗯！”
“那麼，你知道下面這個集合是什麼樣的嗎？”
“嗯？因為是由 6 和 12，還有‘...’構成的集合，所以是 {6, 12, ...} 對吧？”
“沒錯。{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 是由 2 的所有倍數構成的集合。{3, 6, 9, 12, 15, ...} 是由 3 的所有倍數構成的集合。沿用這種說法的話，尤里你剛剛說的 {6, 12, ...} 是什麼集合呢？”
“6 的倍數……吧。由 6 的所有倍數構成的集合。”
“對對。其中 6 這個數，是 2 和 3 的最小公倍數。”
“哦哦原來如此！……唔，這也難怪，因為是公共部分嘛。”
“……只激動了一下下而已麼。那麼，下面這個呢？”
“這個……咦？偶數和奇數的公共部分沒有元素呀！”
“沒有元素的集合有一個特殊的名字。”
“啊！空集！看，就是這樣。”
“嗯，答得很好。”
3.1.7 並集
“下面我們來講講並集。並集的符號是‘∪’。看完例子你馬上就會明白了。”
“我明白了。就是把兩個集合的元素全部並到一起唄。”
“沒錯。用維恩圖表示，就是下面這樣。”
用維恩圖表示並集
“‘由至少屬於兩個集合中任意一方的所有元素構成的集合’叫作這兩個集合的並集。
並集
由至少屬於集合 A 和集合 B 中任意一方的所有元素構成的集合。
A ∪ B
“話說回來，3, 4, 5 重複了，那麼為什麼不這麼寫呢？”
“一般不那麼寫。因為 {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7} 和 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 作為集合來說是相等的。
“誒？人家不明白。”
“集合這東西吧，只由‘都包含哪些元素’來決定。我們不考慮它包含的某個元素的個數。使用‘∈’這個符號，我們只能知道‘某元素是否屬於某集合’，而並不能知道屬於某集合的某元素有多少個。所以，就算採用 {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7} 和 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 這兩種寫法，我們也沒法區分這兩個集合。”
“喔……”
“而且，即使改變集合裡元素的書寫順序，集合也還是那個集合。例如，{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 跟 {3, 1, 4, 5, 2, 6, 7} 就是一個集合。”
“原來如此啊。”
“我們回到‘∪’上來。下面這個等於什麼？”
“嗯……把偶數和奇數合起來的那個。”
“‘那個’？尤里，它有一個特定的名字。”
“啊！是自然數吧！”
“沒錯。等於自然數集 2。”
2關於 0 是否是自然數，學界存在爭議，本書認為“0 不是自然數”。另外，自然數集即由所有自然數構成的集合，也稱自然數集合。——譯者注
= 自然數集
3.1.8 包含關係
我媽端來了花草茶。
“我不愛喝這個。”我小聲說道。
“你說什麼？”
“沒什麼……”
“這多好的飲料呀！”
不過，不愛喝的還是不愛喝嘛 —— 我腹誹著。
“好好聞啊。”尤里在一旁讚道。
“尤里真是個乖孩子。”我媽說著就回廚房了。
“目前為止……”我繼續講數學，“我們看了生成公共部分的交集運算，還有生成並集的並集運算。這兩個運算都是由兩個集合來生成新的集合。”
“嗯。”
“我順便介紹一下其他的符號吧。還有一個跟它們很像的符號 ⊂。它表示的是兩個集合的包含關係。”
“包含關係？”
“就是表示一個集合‘包含於’另一個集合。”
“你那麼說我哪兒懂啊，簡直跟唸咒似的。”
“呃……有嗎？”
“哥哥你是人家的老師，教得教明白呀！”
“看一下具體例子，你馬上就會明白啦。現在，我們思考下面這兩個集合。”
{1, 2} 和 {1, 2, 3}
“嗯。”
“集合 {1, 2} 的所有元素也都屬於集合 {1, 2, 3}，對吧？”
“嗯。就是 1 跟 2 唄。”
“此時，我們說集合 {1, 2} 包含於集合 {1, 2, 3}。然後，這兩個集合的關係可以像下面這樣用符號 ⊂ 來表示。”
{1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
“明白了。”
“可以說 {1, 2} 包含於 {1, 2, 3}，也可以說 {1, 2} 是 {1, 2, 3} 的子集。”
“子集……咦？可以說‘包含’了？”
“對對。這裡要用‘包含於’的說法。為了不把‘元素與集合的關係’跟‘集合與集合的關係’搞混。我來舉幾個例子吧。”
“咦，空集 {} 也包含於 {1, 2, 3} 呀。”
“沒錯。”
“而且，{1, 2, 3} 也包含於它本身？”
“對的。當集合包含於它本身時，我們有時還會採用 {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3} 這種寫法。另外，有時還會限定只有集合不包含於它本身時才能使用 ⊂，而且為了明確表示集合不包含於它本身，還可能會採用 
這種寫法。不過，這些要是能明確定義下來就好了……”
“唔……話說，{2} 也可以吧？”
“什麼‘也可以吧’？”
“我的意思是，{2} 也是 {1, 2, 3} 的一部分吧……”
“尤里，再怎麼說，你也得好好用一用新學的詞吧。”
× {2} 是 {1, 2, 3} 的一部分。
√ {2} 包含於 {1, 2, 3}。
√ {2} 是 {1, 2, 3} 的子集。
“……知道了啦，老師。{2} 也是 {1, 2, 3} 的子集吧！”
“嗯，是的，這位同學。”
“哥哥，既然要叫人家，就好好叫人家的名字嘛。”
3.1.9 為什麼要研究集合
學習就此告一段落。
尤里從架子上拿下瓶子，掏出檸檬糖。
“話說，哥哥，∈、∩、∪、⊂ 這些，簡直跟檢查視力似的。出來這麼一堆符號，像在玩解謎遊戲，還算有意思。不過啊，集合很重要嗎？”
“這個嘛……對整理數學概念而言，集合很有用。數學書裡經常會出現你說的這些好像是用來檢查視力的符號。”
“就算數學書裡經常會出現，可今天這些集合的知識，比如公共部分呀，並集呀，不都是理所當然的嗎？為什麼這些很重要呢？為什麼數學家會去研究集合呢？”
尤里用認真的眼神看著我。有那麼一瞬間，我看到了她的頭髮上閃著的微弱光澤。
“……我也解釋不了，回頭我去問問米爾嘉吧。”
“米爾嘉大人！對了，對啊！我想見米爾嘉大人！”
“來我們學校就能見到啦。”
“啊？等到人家入學那會兒，米爾嘉大人早就畢業了啦！”
“嗯？”其實我的意思是讓尤里來學校玩兒，而非就讀……咦？畢業？對啊，還有一年多，我跟米爾嘉就都該畢業了……
“把米爾嘉大人叫到家裡來嘛。你只要說‘有好吃的巧克力，來玩唄’，她應該就會來了吧。”
“你打算用食物來釣米爾嘉上鉤？”
“總之，你要好好問問她哦，哥哥！”
為什麼，數學家會研究集合呢？
3.2 邏輯
3.2.1 內涵表示法
“為了處理無限。”米爾嘉回答道。
“無限？”我不解。
這裡是圖書室。我坐在老地方，米爾嘉則背靠窗戶面向我站著。她身姿颯爽，很是引人注目。
“為了處理無限。這是研究集合的目的之一。”她答道。
“可是，集合的元素有時候也是有限的吧？”
“當然。但是，集合是靠無限集合 3 來發揮它的本領的。不動用集合跟邏輯，就很難處理無限。”
3即由無限個元素組成的集合，又稱無窮集合。——編者注
“集合跟……邏輯？”
我開始思考 —— 我明白集合跟邏輯都很重要，但是它們完全是兩碼事吧，集合是元素聚在一起，而邏輯像是……用數學將證明導向正確方向的指向標。
看到我一臉難以置信的表情，米爾嘉便繼續解釋。她一邊用食指比劃著圈圈，一邊在窗前來回踱步。每當她轉過身時，細長的髮絲都會在空中輕輕飛揚。放學後的圖書室裡，只有我們兩個人 —— 悠閒的時光。
米爾嘉漸漸進入了“講課”模式。
“集合以‘屬於或不屬於’為基礎，邏輯則以二選一式的‘真或假’為基礎。如果拋開集合的外延表示法，從內涵表示法來考慮，集合跟邏輯的關係就很清楚了。在集合的外延表示法中……”
◎ ◎ ◎
在集合的外延表示法中，我們將元素一個個列出，以表示集合。這是你教給尤里的方法，對吧？
{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 外延表示法的示例
外延表示法具體列出了每個元素，因此一目瞭然。然而，它對無限集合而言則具有局限性，因為我們不可能把無限個元素都給一一列出。如果省略號“...”裡省略的內容不明確，就會引發問題。
相對而言，在內涵表示法中，我們將元素滿足的條件作為命題寫出，以表示集合。也就是說，我們是用邏輯來表示集合的。例如，要用內涵表示法來表示“2 的所有倍數的集合”，就要用到命題“n 是 2 的倍數”。在豎線“ | ”的左邊寫出元素的類型，在右邊寫出命題。
{n | n 是 2 的倍數 } 內涵表示法的示例
在內涵表示法中，因為我們會寫出元素應滿足的命題，所以產生誤解的風險較低。只要我們通過命題來明確寫出元素應該滿足的條件，那麼就能表示出有無數個元素的集合。處理無限集合時，內涵表示法要比外延表示法更方便。
即使在表示同一個集合時，內涵表示法的命題也未必只有一種寫法。例如，下面這些集合指的就是同一個集合。
雖然內涵表示法很有用，但我們還需要注意一下。
如果沒完沒了地使用內涵表示法，就會產生矛盾。
◎ ◎ ◎
“……就會產生矛盾。”米爾嘉說到這裡，停下了腳步。
“矛盾？”我不解。
矛盾指的是某個命題跟它的否定都成立……
“因內涵表示法而產生矛盾的一個著名例子就是 ——”
她利落地在我身邊坐下，湊到我耳邊輕聲說道：
“羅素悖論 4。”
4英文寫作 Russell's Paradox，又稱為理髮師悖論，由英國哲學家羅素於 1901 年提出。——譯者注
3.2.2 羅素悖論
如果假設“任何命題都能表示集合”，就會產生矛盾 —— 這就是羅素悖論。在此我們採用 
這個命題。
問題 3-1（羅素悖論）
假設
是一個集合，請說明其中的矛盾。
假設 是一個集合，我們用 R 來表示這個集合。
在此，我們來研究 R 是不是它本身的元素，即 R 是不是集合 的元素。
因為我們已經假設 是一個集合了，所以按理說，R 要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合。也就是說，以下命題不是真命題，就是假命題。
(1) 假設命題 為真，則 R 是集合 的元素。此時，R 滿足命題 。換句話說就是，下面的命題為真。
在此，我們用 來代換“”右邊的 R，則代換後的命題也為真。
然而，這樣就跟我們原本假設的以下命題相矛盾了。
(2) 假設命題 為假，則 R 不是集合 的元素。此時，R 不滿足命題 。換句話說就是，命題 是假命題。也就是說，以下命題為真命題。
R ∈ R
在此，我們用 代換“R ∈ R”右邊的 R，則以下命題也為真命題。
然而，這樣就跟我們原本的假設“命題 為假”相矛盾了。
由 (1) 和 (2) 可知，此處產生了矛盾，且無論命題 為真還是為假，矛盾都會產生。
證明到此為止。
解答 3-1（羅素悖論）
我們討論了集合
耍小聰明，是躲不開羅素悖論的。因為羅素悖論是單憑集合中最重要的“∈”來產生矛盾的。
為了防止矛盾產生，就需要給集合的內涵表示法裡用的命題加一些限制條件。
我舉一個簡單的限制條件的例子。設一個全集 5U，如果在 U 的範圍內思考集合，那麼內涵表示法就相對穩妥一些。也就是說，不是像 {x | P(x)} 這樣無限制地使用命題 P(x)，而是像 {x | x ∈ U ∧ P(x)} 這樣，只針對集合 U 的元素 x 來使用命題 P(x)。
5全集指的是包含我們所研究的問題中涉及的所有元素的集合。——譯者注
3.2.3 集合運算和邏輯運算
內涵表示法用命題來表示集合，因此，集合與邏輯密切相關也很正常。集合運算和邏輯運算的對應關係非常清楚。
6又稱合取。——譯者注
7又稱析取。——譯者注
補集 
指的是由屬於全集 U，但不屬於集合 A 的所有元素構成的集合。
德·摩根定律也很美。
德·摩根定律為什麼美？
因為上面的四個式子能用同一種寫法來表示……這麼說，你應該不明白吧？
德·摩根定律的寫法是下面這樣的。
h(f(x, y)) = g(h(x), h(y))
只要把這裡出現的 f(x, y)、g(x, y)、h(x) 這三種函數像下面這樣具體寫出來，我們就會發現，德·摩根定律能表示上面所有的式子。
f(x, y)
g(x, y)
h(x)
h(f(x, y)) = g(h(x), h(y))
x ∩ y
x ∪ y
x ∪ y
x ∩ y
x ∧ y
x ∨ y
x ∨ y
x ∧ y
內涵表示法是通過邏輯來表示集合的。不管是多麼抽像的概念，只要能通過邏輯來表示，就能以集合的形式令它“開花結果”，令它成為數學的研究對象。雖說我們在使用內涵表示法時仍然需要留心不能引發矛盾，但數學的研究對象的範圍會得到驚人的拓展。
不管是代數、幾何，還是分析，我們都能用集合跟邏輯來表示研究對象。
而且，數學本身也能成為數學的研究對象。
只要使用集合跟邏輯，就連“用數學研究數學”都能辦得到。
◎ ◎ ◎
“……就連‘用數學研究數學’都能辦得到。”米爾嘉說道。
米爾嘉流暢的解說竟讓我有了絲絲醉意。
“‘用數學研究數學’指的是？”
光當——
圖書室入口傳來了很大的聲響。
是活力少女 —— 泰朵拉。
3.3 無限
3.3.1 雙射鳥籠
“哎喲喲喲喲……”泰朵拉揉著膝蓋走了進來。
“怎麼了？”我問道。
“對、對不起，打擾到你們了。我不小心撞到門口那個運書的手拉車了 …… 應該是瑞谷老師放在那兒的吧，好危險呀。”
“……泰朵拉，那車子一直都放在那兒吧。”
“這個……東西太多了，我眼睛有點花。”
“你肯定是想把所有東西都一眼看完吧。”我回應道。
“嗯……話說，今天討論什麼問題？”泰朵拉問道。
我跟她大概說了說集合、邏輯，還有無限的問題。
“無限好難啊，數不清楚呢……”泰朵拉嘀咕道。
“數不清楚？”米爾嘉問道。
“無限個也就是沒有止境，所以數不清楚吧。”
“有時候就算不知道‘個數’，也能知道‘個數相等’。例如……”米爾嘉攤開雙手，“像這樣讓雙手的指尖碰在一起，拇指對拇指，食指對食指，然後小指對小指。”
米爾嘉讓雙手的指尖碰在一起 ——
在她胸前形成了一個小小的“鳥籠”。
“就算不知道右手有幾根手指，也不知道左手有幾根手指，只要能像這樣把雙手的指頭一一對應，就可以說雙手的手指根數相等。”
“誒？”泰朵拉一頭霧水。
“打個比方，假設從某個有限集合到另一個有限集合，存在下面這樣的映射。此時，兩個有限集合的元素個數相等。這種映射一般稱為雙射8。”
8也稱一一映射。——編者注
雙射
“我提個問題。映射是什麼來著？”泰朵拉問道。
“就是‘對應關係’啦，泰朵拉。”我回答，“就像米爾嘉把左手手指跟右手手指互相對應一樣，映射就是讓某些東西與某個集合的元素對應的方法。”
“你這表述太模糊了。”米爾嘉評價道，“假設存在集合 A 和集合 B，對於集合 A 的任意元素，集合 B 中都有唯一元素與之對應。此時，我們把這種對應關係稱為 A 到 B 的映射。這個嘛，也可以說映射是將函數概念一般化而得來的。”
米爾嘉停了一下，又繼續往下講。
“我們來簡單總結一下各種映射 —— 滿射、單射、雙射。”
◎ ◎ ◎
滿射指的是沒有“多餘元素”的映射，允許出現“重複”。
沒有“多餘元素”的映射——滿射的示例
如果有“多餘元素”，就不是滿射。
因為有“多餘元素”，所以不是滿射的映射的示例
單射指的是沒有“重複”的映射，允許出現“多餘元素”。
沒有“重複”的映射——單射的示例
下面這種因為有“重複”，所以不是單射。
因為有“重複”，所以不是單射的映射的示例
雙射指的是滿射且單射的映射。
也就是說，雙射是沒有“多餘元素”且沒有“重複”的映射。
沒有“多餘元素”且沒有“重複”的映射——雙射的示例
雙射的話，可以建立逆映射。
雙射的話，可以建立逆映射
如果存在雙射，那麼自然就會想到兩個集合的元素個數相等。
◎ ◎ ◎
“……確實自然就會想到。”泰朵拉點頭，像米爾嘉那樣用手比出了一個小小的鳥籠。是“雙射鳥籠”。
米爾嘉的語速越來越快，口若懸河。
“我們試著把用映射來思考元素個數的方法，從有限集合應用到無限集合吧。無限集合的元素個數也可以通過映射來研究，然而在無限集合裡，會發生一些有悖直覺的不可思議的事情。因為太不可思議了，所以連那個伽利略 9都走上了回頭路……”
916 世紀意大利物理學家、天文學家及哲學家，科學革命中的重要人物，提出了伽利略悖論。伽利略悖論認為，有多少整數就有多少完全平方，雖然大部分整數自身不是完全平方。——譯者注
“伽利略？”我不解。
3.3.2 伽利略的猶豫
我們來聊聊“伽利略的猶豫”吧。
伽利略知道，能生成從自然數到平方數的雙射。
伽利略想，既然“存在雙射即個數相等”，那麼可以說自然數和平方數的個數相等麼……不，不對勁。因為平方數只不過是自然數的一部分。
整體和部分的個數相等 —— 這明顯很奇怪。因此伽利略認為，在“無限”這個條件下，不能說個數在雙射中是相等的。
17 世紀，伽利略就在此處折返。
伽利略：在“無限”這個條件下，不能說個數在雙射中是相等的。
19 世紀，康托爾 10和戴德金 11也發現了這個數學事實，但他們沒有像伽利略那麼想。戴德金認為，整體和部分之間存在雙射正是無限的定義。這是一場驚人的思維大顛覆。
1019 世紀德國數學家，創立了現代集合論並提出了集合的勢和序的概念。——譯者注
1119 世紀德國數學家，提出了戴德金 η 函數、戴德金 ζ 函數、戴德金和、戴德金分割、戴德金環等重要理論。——譯者注
戴德金：無限指的是在整體和部分之間存在雙射。
康托爾深入研究了無限集合中元素的“個數”。這裡的“個數”一般被稱為“濃度”12。
12也叫基數、基、勢。——譯者注
當發現錯誤時，人們一般都會認為自己失敗了，從而折返。然而，戴德金認為這不是失敗，而是一個發現。如果將“在整體和部分之間存在雙射的集合”定義為無限集合，那麼不管元素個數是有限還是無限，個數在雙射中都是相等的。
出錯了、不合邏輯 —— 之所以會陷入這種泥潭，是因為碰上了前所未有的概念。我們可以認為自己失敗了，然後折返。不過，我們也可以認為這是一個新的發現，然後繼續前進。
在擴展概念時，人們經常會碰到這種情況。
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不存在加 1 後等於 0 的自然數。
——那就將其作為負數 -1 的定義。
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不存在平方後等於 2 的有理數。
——那就將其作為無理數
的定義。 -
不存在平方後等於 -1 的實數。
——那就將其作為虛數單位 i 的定義。
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在整體跟部分之間存在雙射。
——那就將其作為無限集合的定義。
擴展概念時的困難之處就在於“飛躍前的停滯”。
◎ ◎ ◎
“……就在於‘飛躍前的停滯’。”米爾嘉說道。
“原來如此。”我點頭。
“每個人都會猶豫。這種猶豫經常會體現在數的命名上。”
“命名？是指什麼？”泰朵拉問道。
“咱們來個英語單詞測試吧。”米爾嘉指著泰朵拉說道。
“負數？”米爾嘉問道。
“Negative Number。”泰朵拉回答。
“無理數？”
“Irrational Number。”
“虛數？”
“Imaginary Number。”
“否定的、不合理的、想像中的……”米爾嘉從座位上站起來，“這些英語單詞充分體現了人類面對全新概念時產生的猶豫。”
她扭頭望向窗外。
“要向新的道路前進時，任誰都會猶豫啊。”
3.4 表示
3.4.1 歸途
米爾嘉說要跟盈盈練習鋼琴，就去了音樂室。
我跟泰朵拉從學校出來，踏上平時常走的那條曲曲折折的小路，向著車站前進。
我回憶著米爾嘉的講解，開始自言自語似地嘀咕。
“集合跟邏輯……集合的內涵表示法是通過邏輯來表示集合的。我們把‘滿足某個命題的東西’視為‘該集合的元素’。用命題的形式來表示條件，就是創造‘集合’這個對象。換句話說，‘美人的條件’創造了‘美人的集合’……”
“是這麼回事嗎……”泰朵拉也慢慢地開了口，“你說的‘表示’是‘寫出來’的意思吧？我們沒法把無限個元素具體寫出來，但是可以把無限個元素擁有的共同性質寫出來……”
泰朵拉走在我身旁，我默默地聽她講著。
“英語的 Describe 從詞源上講是 De-Scribe，Scribe 是‘寫’的意思……”泰朵拉說到這裡，好像進入了自己的世界，眼中完全沒有我。“實際上，就是寫在什麼上面。這……就是表示的本質？即使同為‘表示’，Describe 又跟 Express 不一樣。Express 是‘向外’（Ex）推出（Press），是把心裡的東西一把推出去，那麼 Describe 是往那些東西上面寫嗎？ Represent 呢？ Denote 呢？”
泰朵拉停下腳步，從書包裡拿出辭典。
“你那本是英英辭典？”我問道。
她“唰”地一下抬起頭。
“什麼？啊，是的。對不起，我剛剛一個人想入迷了。”
“嗯，你心裡的想法都被 Express 出來了喲。”
3.4.2 書店
泰朵拉讓我陪她選參考書，我們就順路來了書店。
“學長，數學參考書要選什麼樣的才好呢？我已經買了一大堆了……”
泰朵拉仰望著擺滿了數學參考書的書架。
“這麼說來，我一直挺奇怪，你挺在意每本參考書在表述上的差異吧。”
“啊，以前是的……怎麼說呢，我有時候感覺非得買很多書才行。這算是一種不安麼？感覺只要買了那些學霸們用的參考書，我的成績就也能跟他們一樣高……就像買遊戲攻略書似的。”
“你現在也還這麼想嗎？”我忍俊不禁。
“不要笑人家嘛。這個嘛……我現在想法有點不一樣了。我覺得不在於‘買或不買’參考書，而在於‘用或不用’自己的腦子吧。買了參考書不看也沒用，而且光看也沒用，一定要好好動筆，認真思考才行。可是，有時候我還是會禁不住想：如果手邊有本好的參考書，是不是‘唰唰唰’地就能搞懂了呢……”
泰朵拉從書架上拿了一本參考書，翻了開來。耳邊傳來了輕輕的翻書聲。她翻了幾頁，又把書放回了書架上。
“要是我，我選的時候就會想：什麼參考書適合自己呢？”
“學長的意思是？”
“你看啊，每個人不懂的地方、想不通的地方都不一樣吧。尤其是數學，有時候光是理解了一句關鍵的話，整個人就開竅了。所以，我都是仔細考慮自己不明白哪些知識以後，再去選擇相匹配的參考書。”
“誒？學長，你剛剛說的話超 —— 級重要啊！麻煩你再說具體點，讓我也能理解！”
泰朵拉湊到我面前。
“……嗯，舉個例子吧。假設你不明白‘數學歸納法’，然後你對著鏡子問，也就是問自己‘我自己都不明白哪些地方呢？’你可能會不由自主地想回答‘我全都不明白！’不過，這時不能放任自己，要牢牢站住腳。然後，耐心找出自己是從哪裡開始不明白的。找出對自己而言的‘不明白的初始點’。如果你發現‘就是這兒！’，也就是找到了初始點，那你再來書店，翻開參考書，找到寫有‘初始點’相關內容的那頁，踏踏實實地讀，花上大把時間來思考這本書是否能解答自己的疑問。衡量完一本參考書後，再拿另一本重複同樣的過程。只要這樣來回讀，就有可能找到適合自己的參考書。也就是說，沒有一本參考書是適合所有人的，我們要找出適合自己的那一本參考書。
“可是，感覺會花上很多時間……”
“這也沒辦法呀，因為面對式子的時候……”
“任何人都是一個小數學家，對吧？”泰朵拉接過我的話說道。我們相視而笑。
“學習啊，最基本的就是要問自己‘我都不明白哪些地方呢？’”
“學長講的我最容易懂了……要是能把學長你擺在我的書架上，那該多好啊……”
泰朵拉吐了吐舌頭，偷看了我一眼。
3.5 沉默
美人的集合
“研究出集合是為了處理無限？！”尤里很吃驚。
在接下來的那個週末，我在自己家裡把米爾嘉的話複述給了尤里。
“無限有這麼厲害嗎？我不太能理解啊……”
“我也還不明白，得一點點學啊。”
“唔……”
“不用著急，尤里你經常動腦，也能準確地把問題用語言表述出來。明白嗎？數學是不能逃避的，所以我們要沉下心來對待它。尤里你沒問題的。”
“是、是喵……”
“當然了。你能理解的數學深奧到我都想像不到。”
“……話說，哥哥。”
尤里慢慢摘下了眼鏡。
“嗯？”
“那個，人家……”
尤里把眼鏡折疊好，放進口袋，看著我。
“嗯。”
“你覺得人家屬於‘美人的集合’嗎？”
“誒？這個的真假對每個人來說都不一樣，這不能算是命題啊……”
“如果把哥哥你當作‘美人測定儀’的話，就能當命題了呀。”
“這個……”
“可以把全集限製成你身邊的女生。”
“這……”
“哥哥，你覺得人家是‘美人的集合’的元素嗎？”
“……”
“不說‘是’，也不說‘不是’。沉默就是你的答案嗎？”
即使數學新導入了一個抽像的概念，
只要明確定義了這個概念，
那麼就算它看似漂浮於虛空之中，
也會立即化身成集合與其元素，飄落到地面上，
隨之混入各種各樣的數學之中，朝氣蓬勃地開始發光發熱。
——志賀浩二13[13]
13日本數學家，生於 1930 年，東京工業大學名譽教授。——譯者注