被丟掉的小小豆子，
在一夜之間成長到了驚人的高度。
豆莖纏繞交織，像梯子般探向天空，
被雲遮住了，望不到盡頭。
——《傑克與豆莖》
2.1 泰朵拉
2.1.1 皮亞諾公理
隨著一聲“學長”，我轉過了頭。
“呀，泰朵拉。”
這裡是我就讀的高中。我此時在庭院裡的一個小池塘邊。這兒各處放置著長椅，午休時也有來吃午飯的學生。不過現在已經放學了。我一個人坐在長椅上，望著池塘。天很冷，但我的頭腦卻很清醒，感覺很舒暢。
“原來你在這裡呀。”泰朵拉說道。
居然能發現我在這裡……不愧是綽號“可愛的跟蹤狂”的泰朵拉。不過也只有我媽這麼叫她。
泰朵拉比我低一級，上高一。她非常適合短髮，很是可愛，是一名嬌小、好奇心旺盛、活力十足的女生。
我一直在教她數學。放學後在圖書室裡、天台上、教室裡……她總會來找我，問我數學問題，是跟我關係很好的學妹。
我稍微挪了挪身子，泰朵拉坐在了我的旁邊。柔和的甜香—— 女生為什麼會這麼好聞啊。
“來了新卡片……”泰朵拉說著拿出了一張卡片，“寫了好多東西，我完全看不懂。”
皮亞諾公理（文字說明）
PA1 1 是自然數。
PA2 對於任意自然數 n，其後繼數 n' 都是自然數。
PA3 對於任意自然數 n，n' ≠ 1 都成立。
PA4 對於任意自然數 m, n，若 m' = n'，則 m = n。
PA5 假設對自然數 n 的謂詞1 P(n) 而言，下面的（a）和（b）都成立。
（a）P(1)。
（b）對於任意自然數 k，P(k) 成立，則P(k')成立。
此時，對於任意自然數 n，P(n)都成立。
1在邏輯學裡面，通常將命題裡表示思維對象的詞稱為主詞，表示對像性質的詞稱為謂詞。例如，若 P(x) = x 為奇數，則 x = 5 時以上命題成立，x = 2 時以上命題不成立。像這樣往變量 x 裡代入一個值時，判斷真偽的條件就叫作謂詞。——譯者注
“哈哈，這樣啊。”我說。
“啊，背面還有呢。”
我把卡片翻過來一看，後面還寫著邏輯公式 2。
2又叫作“合式公式”（well formed formula）。——編者注
皮亞諾公理（邏輯公式）
PA1
PA2
PA3
PA4
PA5
“這是什麼題啊……”泰朵拉說。
“這是村木老師的研究課題吧。”
村木老師是我們學校的數學老師。這位老師人很古怪，喜歡出一些跟課程沒有關係的問題。村木老師會把問題寫在卡片上，然後發給我們。卡片不定期發放，問題難度也各有不同。不管看什麼書，或是問什麼人來解題都無所謂，沒有提交期限，也不打分。我們自覺解題，把答案以報告的形式提交給老師。解村木老師的題算是一種開動腦筋的娛樂吧。但不僅如此，怎麼說呢，對我們來說，這還是一場動真格的比賽。
“研究課題……就是說，我們要根據這張卡片自己出題自己解？”泰朵拉又看了一遍卡片。
“嗯，這是皮亞諾公理，非常著名。這就是說讓我們思考這裡的 PA1~PA5。”
“瞭解……可是學長，我從老師那裡拿到卡片以後，就一直在努力研究。可是完全 —— 完完全全不懂這是什麼意思。我只看懂了一個，後繼數 n 是……”
“呀，泰朵拉，你留心點看，後繼數不是 n，而是 n'。”
“啊，是呢……這麼說，難道這裡的 n' 指的不是 n + 1 ？可是，後繼數的意思是‘下一個數’，對吧？”
n' 是 n + 1 嗎？
“這個嘛，從結果來看是這樣。”
“那麼，為什麼要寫成 n' 呢？寫成 n + 1 不就好了嗎？感覺這裡是故意寫得讓人難懂似的……而且，我不明白，這個皮亞諾公理究竟在說什麼啊？尤其是‘邏輯公式’……”
“別急別急，不要看這又看那的，先從 PA1 開始，按順序往下看。”
“啊 —— 好吧，學長你說的也對。”
“我在書上看到過皮亞諾公理，所以知道得多一些。泰朵拉，你是第一次接觸皮亞諾公理，所以‘完完全全不懂’也是理所當然的。我們來一起看吧？”
“好！”
泰朵拉大大的眼睛裡煥發著光芒。她也喜歡跟我一起研究數學呀。
“首先吧，皮亞諾公理要表達的是……”
“皮亞諾是人名吧？皮亞諾先生？”
“嗯，皮亞諾是數學家 —— 用皮亞諾公理可以定義自然數。”
用皮亞諾公理可以定義自然數。
“定義—— 自然數？！這……這這……居然還能……”
“嗯，還能這樣。”
“啊，不……不是說能不能……而是，有定義自然數的必要嗎？因為自然數……就是自然數呀。不用定義也不用幹什麼，我們就已經知道自然數是 1, 2, 3, ... 啦。”
泰朵拉口中說著“1, 2, 3, ... ”，並誇張地掰著手指示意。
“數學家皮亞諾呀，總結了自然數本質上的性質，提出了皮亞諾公理。公理指的就是不用證明也能成立的命題。命題則是判斷真假的數學性觀點。我們要用這張卡片上的 PA1~PA5 這幾個公理，定義由所有自然數構成的集合 
。暫且忘掉我們以前學過的自然數吧。下面，假設集合 滿足皮亞諾公理。此時，集合 中都包含怎樣的元素呢？我們就從這一點出發，來研究一下皮亞諾公理吧。”
“好！……阿嚏！”
泰朵拉打了個可愛的噴嚏。
“這裡冷，我們去‘加庫拉’吧。”
2.1.2 無數個願望
我跟泰朵拉並排走在校園內的林蔭道上，前往“加庫拉”。泰朵拉緊跟著我的步伐，不時小跑幾步。
“學長，童話裡總提到‘三個願望’呢。”
“被關在瓶子裡的精靈幫人實現願望……”
“就是這個。聽了這個故事以後，我就一直在想：等許完兩個願望以後，第三個願望要是許‘再實現我三個願望’就好了。”
“一直循環的話，不管多少願望都能實現吧。”
“沒錯。嘿嘿……”
“‘再實現我三個願望’是‘元願望’吧。”
“元願望？”
“關於願望的願望。這種願望就叫元願望。”
“啊，你說 Meta 3呀。關於願望的願望 ——”
3這裡的 Meta 和元願望的說法都源自元數學。元數學是一種用來研究數學和數學哲學的數學，即“數學的數學”。——譯者注
“稍等。”我停下了腳步，“這樣的話，一開始就許‘請實現我無數個願望’不就好了？元願望有這一個就夠了。”
“可是這樣一來，就把無數個要求用一句話說完了呀，這會不會顯得太厚臉皮了啊……”泰朵拉握緊拳頭強調道。
“話說，泰朵拉你的‘願望’是什麼？”
“能永遠跟學長……啊呀呀！這……這是秘密！”
2.1.3 皮亞諾公理 PA1
“加庫拉”是一個活動中心，總有很多學生聚集於此。我們從自動販賣機裡買了咖啡，坐在了休息室的四人桌前。今天難得沒什麼人。我翻開筆記本，泰朵拉在我左邊坐下。
皮亞諾公理 PA1
1 是自然數。
“你明白公理 PA1 裡的 這個式子是什麼意思嗎？”
“嗯，應該是……元素和集合的關係吧。 這個式子表示的是，1 是 這個集合的元素。”
“對對，就是你說的這個意思。”
“嗯。”
我往筆記本上寫著筆記。
“也可以用‘屬於’這種說法。”
“屬於……對對，‘1 belongs to ’，對吧？”
泰朵拉的英語發音真優美。
“嗯。如果用圖把 畫出來，大概就是下面這樣。”
1 屬於集合 N（）
“瞭解。”
“那麼，我們繼續看公理 PA2。”
2.1.4 皮亞諾公理 PA2
皮亞諾公理 PA2
對於任意自然數 n，其後繼數 n' 都是自然數。
“這裡雖然寫作後繼數 n'，事實上就是 n + 1 吧。”
“就結果來看是這樣，不過公理 PA2 還沒到那裡。”
這好難解釋啊……
“‘沒到那裡’？什麼意思？”
只要我沒能說清楚，泰朵拉就會馬上提問。直到真正理解，她才會停止思考。她本人曾說“不管幹什麼我都比別人慢，我討厭這樣”，不過這種踏踏實實思考的態度非常好。
“我們來細看一下公理 PA2。這裡寫著‘對於任意自然數 n，其後繼數 n' 都是自然數。’這裡寫的是 n'，並不是 n + 1，對吧？話說回來，在我們接下來要定義的自然數中，‘加’這個概念還沒有被定義出來呢。”
“啊？”
“就結果而言，n' 相當於 n + 1，不過這是後話了。所以，我們不能先入為主地認為 n' 就是 n + 1，並帶著這個觀念往下思考。”
“嗯，我差不多明白了。因為還沒定義 n + 1，所以不能那麼認為……對嗎？”
“對對，就是如此。話說，你覺得公理 PA2 到底在說什麼？也就是說，由所有自然數構成的集合 裡都包含什麼樣的元素？”
“嗯……因為對於任意自然數 n，n' 都是自然數，所以，對於自然數 1，2 也是自然數，對吧。”
“泰朵拉，我們還不知道 2 這個數呢。”
“啥？因為 1 是自然數，所以 1 加上 1 得出的 2 也是自然數吧……”
“不對不對，還不能‘加’1。我們還沒定義‘加’呢。”
“啊！對了。我怎麼一下子給忘了呢……”
“公理 PA1 保證了‘1 是自然數’，然後，再結合公理 PA2，我們就可以說‘1' 是自然數’，明白沒？這裡的關鍵就在於，不要寫 2，而要寫成下面這樣。”
1'（1 撇）
“哈哈，就是 Literally 地跟著公理 PA2 呀。”
“Literally ？”
“就是從字面上跟著公理 PA2 4。”她換了個說法。
4即嚴格按照公理 PA2 中的用語去描述。——譯者注
“……嗯，沒錯。這樣就能說 
了。這是因為，首先由公理 PA1 可知，1 是自然數，即 。然後由公理 PA2 可知，對於所有自然數 n，n' 都是自然數，即 
。因此，如果把 1 套進 n 裡，我們就可以說 1' 是自然數，即 了。雖然很繞，不過一步步使用公理來表示 很重要哦。”
“啊，我感覺抓到點兒要領了。這就是所謂的‘裝作不知道的遊戲’吧。只能用卡片上的公理，就算知道了結論，也要故意裝作不知道的遊戲。”
“說得好！就是這樣。可以用‘卡片上的公理’，也可以用‘經過邏輯性推理由公理推出的結論’。但是，除此之外都不准用。除了已定義的內容以外，一概裝作不知道。確實是‘裝作不知道的遊戲’。”
“嗯。用 PA1 和 PA2 的話，就知道 1 和 1' 包括在我們定義的自然數的集合裡了。我來畫張圖！”
1' 也屬於集合 （）
“不錯。”
“學長，話說回來，邏輯公式裡出現的 
……”
“嗯，這個是全稱量化符號‘
’（讀作‘任意’），意思就是‘對於所有的’。卡片上是按下面這種格式寫的。
這裡的意思是，對於集合 的所有元素 n，‘關於 n 的命題’都成立。
有時也用推出符號‘
’ 5來這麼寫：
5“”為推出符號。例如，“A 推出 B”可表示為 
。——譯者注
有時候條件中也會提前說明 
，並在邏輯公式中省略 
。
這幾種寫法都是一個意思。看了很多數學書以後，你就會發現寫法可以多種多樣。”
“這樣啊……那麼，我們接著看公理 PA3 吧！”泰朵拉右手握拳，高高揚起手臂。
“不不，公理 PA2 還有可說的地方呢，泰朵拉。”“啥？”
2.1.5 養大
“我們已知 1' 屬於集合 。也就是說，1' 是自然數。那麼，對 1' 使用公理 PA2 會如何呢？”
公理 PA2：對於任意自然數 n，其後繼數 n' 都是自然數。
“難不成……會出現後繼數的後繼數？”
“沒錯。在我們已知的自然數 1' 上再加上一個‘'’，得到的 1'' 也是自然數。”
“這樣的話，嗯……也就是加多少個‘'’都行？”
“就是這樣！”
“呼……也是呢。因為 1, 2, 3, 4, 5, ... 這樣的自然數有好多，所以也得有 1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...才行啊。”
“PA1 和 PA2 這兩個公理，養大了我們的自然數。”
1, 1', 1'', 1''', 1'''', ... 屬於集合
“這樣啊……”
“然後把集合 N 寫成下面這樣。”
“這樣就定義了自然數，對吧？”
“不，還沒有呢。我們目前只用到了 PA1 和 PA2 這兩個公理。”
“啊，對呀。但是抓到要領了，就不好玩兒啦。”
- 可以使用公理。
- 也可以使用“經過邏輯性推理由公理推出的結論”。
- 可以重複使用公理。
-
我們就是這樣定義集合 的。
“嗯，總結得很好。我們希望這個 N 能夠成為所有自然數的集合。那麼，根據公理 PA1 和 PA2，我們已知集合 N 的格式是 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...}。”
“嗯。這個集合也就是 {1, 2, 3, 4, 5, ...}。但是，我們現在要‘裝作不知道’。”
“對對，就是這麼回事。這是‘裝作不知道的遊戲’。”
“光靠兩個公理就能生成無數個自然數，真厲害呀。簡直就像讓兩面鏡子面對面……‘兩面相對的鏡子的談話’呀。”
“不，光用 PA1 和 PA2，我們還不能說已經生成了無數個自然數。”
“誒？”
泰朵拉瞪大了雙眼看著我。
2.1.6 皮亞諾公理 PA3
“不能說有無數個自然數嗎？可是，不是說加多少個‘'’都行的嗎？沒有盡頭吧？”
“對。但是還不能說‘已經生成了無數個自然數’。”
“……為什麼？”
“你覺得呢？”
“可……可是，不都生成 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...} 了嗎？”
“嗯。”
“那麼……就有很多 ——”
“可是啊，沒人能保證 1、1' 和 1'' 各不相同。”
“這個……可是，1' 跟 1 是不一樣的吧。”
“公理 PA1 和 PA2 裡都沒提到 1' ≠ 1。”
“咦？還要深究到這個份兒上嗎……”
“沒錯。因此才有了皮亞諾公理 PA3。”
“哇啊……皮亞諾可真厲害。”
皮亞諾公理 PA3
對於任意自然數 n，n' ≠ 1 都成立。
“我們可以根據公理 PA3，說 1' ≠ 1 嗎？”
“當然。因為‘對於任意自然數 n，n' ≠ 1 都成立’，所以拿 1 套在 n' ≠ 1 中的 n 裡，1' ≠ 1 就成立了。”
“哦哦，因為 1 是自然數……這樣啊，原來如此。學長，剛剛我才發覺，‘對於任意自然數 n’這個說法超厲害的！不用管 n 是什麼，只要留意一點就好，也就是只要留意 n 是不是自然數就好。我吧，對條件和邏輯這方面很不擅長……可能不太能理解這種‘不由分說’的地方。”
“嗯，你這方面跟尤里確實大不一樣。尤里她好像就喜歡這種一錘定音的邏輯，這種‘不由分說’的感覺。不過，我也很明白你說的感覺。瞻前顧後這點跟我有點像啊。”
“誒？是是是……是麼？”泰朵拉紅了臉，“不好意思，我老說奇怪的話。”
“沒有，沒事的。你隨便說，我也能從中學習嘛。”
我話音剛落，泰朵拉嘴角就漾開了微笑。
2.1.7 小的？
我一口喝下了冷掉的咖啡。這時，泰朵拉舉起了手。
“公理 PA3……我不太明白。”
即使對方就在眼前，她也總會在提問的時候舉起手。
“哪裡呢？”
“公理 PA3 是不是在說‘1 是最小的’呢？”
公理 PA3：對於任意自然數 n，n' ≠ 1 都成立。
“嗯……可以說是，也可以說不是。”
“什麼意思？”
“公理 PA3 主張 1 有著特別的作用。不過啊，還不能說 1 是‘最小的’。你覺得這是為什麼呢？”
泰朵拉麵露難色，開始思考。今天的加庫拉意外地安靜。平時的話，因為有學生們的談話聲或者管樂社團的練習聲，這兒很是熱鬧。
她就像是一隻毛茸茸的小松鼠。泰朵拉松鼠……我突然想到俄羅斯方塊那樣的遊戲，從上面掉下來的不是方塊，而是一個個小小的泰朵拉……這麼想著，我差點“噗”地笑出來。
“為什麼還不能說‘1 是最小的’呢？”她問道。
“嗯……因為我們現在要定義自然數的集合，而數學領域中平時我們認為理所當然的東西都還沒有定義呢。”
“……不行，我不明白。”她有點懊惱。
“我們還沒有定義‘小’這個概念呢。‘大’跟‘小’都還沒有定義出來，所以我們還不能說‘1 是最小的’。”
“喔……就是說，連這麼基本的東西都還沒定義唄？”
“嗯。那麼，我們回歸正題。還剩下兩條皮亞諾公理。”
“沒錯。”
2.1.8 皮亞諾公理 PA4
“皮亞諾公理 PA4……”
“嗯，是這條。”泰朵拉指向卡片。
皮亞諾公理 PA4
對於任意自然數 m, n，若 m' = n'，則 m = n。
“你應該會看了吧，這條。”
“或許吧……那個，字面意思和邏輯公式的意思我差不多懂了，‘’是‘推出’的意思，對吧？”
“嗯。”
“‘若 m' = n'，則 m = n’的意思我明白。就是說‘若 m' 和 n' 相等，則 m 和 n 相等’。不過我不明白，這到底跟定義自然數有什麼關係呢？”
“原來你是這裡不明白。”
“而且 ……感 覺‘若 m' = n'，則 m = n’像是理所當然的。因為 m' = n' 就相當於 m + 1 = n + 1，所以 m = n 就是理所當然了吧……”
“喂喂，你又用錯公理了。思路反了。你思考了後繼數的‘含義’，於是就注意到了 m' 意味著 m + 1，這樣自然就會覺得‘若 m' = n'，則 m = n’是理所當然的了。你可沒有完全遵守你自己說的‘裝作不知道的遊戲’的規則。”
“啊……我又搞錯了嗎？”
“是的。公理 PA4 主張的是，定義後繼數時需注意後繼數應滿足‘若 m' = n'，則 m = n’。換句話說，這條公理是讓我們定義一個求後繼數的運算‘'’，而這個運算要能滿足‘若 m' = n'，則 m = n’這個性質。”
“運算……原來如此，‘'’是運算呀。可……可是，這樣一來，會怎麼樣呢？唔唔……腦袋好疼。明明是數學，卻又不像是數學。跟平常不一樣，腦袋轉來轉去都暈了……”
泰朵拉說著抱住了頭。
“嗯。假設運算‘'’滿足‘若 m' = n'，則 m = n’這個性質，那麼……就能避開 Loop 6了。”
6此處指“循環”。——譯者注
“Loop…… 是‘輪子’那個詞的英語嗎？”
“嗯。這裡的 Loop 是我在心裡畫的概念圖……我們已知 是 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...}。在這裡，我們用上運算‘'’，試想一下‘'’在這個元素上來回走。那麼，我們就能看到下面這種鏈條關係。”
“哈哈，從 1 開始依次是後繼數、後繼數……一個個往下延伸呀。”
“對對。然後呢，這個雖然看起來像一條直路，但是比如，我們在中途讓 1' 等於 1'''''。”
“啊……確實可以。”
“比如，1' 等於 1'''''，那麼這個鏈條就不是一條直線了，而會構成一個週而復始的循環。”
比如，1' 等於 1'''''，那麼就會構成一個循環
“為什麼……啊，是這樣沒錯。後繼數一旦走到 1''''' 之後，就會回到 1'。”
“這跟我們想生成的自然數的結構不一樣。我們希望自然數不要構成循環，而要呈一條直線前進，對吧？”
“等一下！”
泰朵拉一把抓住了我的胳膊，滿臉認真。
“請等一下。我快明白了……我感覺自己已經‘抓到’了學長你說的那句‘思路反了’的意思。公理展現的是‘n' 應該具有的性質’，是吧？”
泰朵拉忘我地搖著我的胳膊，繼續說道：
“沒錯。正因為皮亞諾想說‘1 是自然數’，所以才準備了公理 PA1，即 。正因為他想說‘任意自然數都有後繼數’，所以才準備了公理 PA2，也就是 。然後，因為沒有比 1 小的自然數……啊，不能說‘小’。嗯……正因為他想說‘沒有後繼數為 1 的自然數’，所以才準備了公理 PA3，即 n' ≠ 1。然後……正因為他想說‘後繼數一個個地一直延伸下去’，才準備了公理 PA4，對吧？！”
“泰朵拉……你剛剛收到了皮亞諾發出的信息哦！你明白了他想傳達給你的自然數是什麼樣子！”
她放開方纔還緊握著的我的胳膊，臉上泛起一陣紅暈，站了起來。
“皮亞諾先生發出的信息……原來就是這樣的啊。啊！”
泰朵拉叫了一聲。
我隨著她的視線看去 ——
米爾嘉微笑著站在那裡。
2.2 米爾嘉
米爾嘉 —— 我的同班同學，擅長數學。不，不能說是擅長，應該說是在數學方面沒有人能比得上她。她戴著金屬邊框的眼鏡，一頭烏黑的長髮，是一名健談的才女。不過，我不太明白，除了數學她都在想些什麼……從我第一次遇到她那會兒開始，就是如此。我很難明白她的真實想法。
“原來你們在這兒啊。泰朵拉，你拿卡片來了麼？”
米爾嘉慢慢地走向我們這邊。
她向泰朵拉伸出手。
一舉一動都優雅動人。
“嗯……”
泰朵拉把卡片交給米爾嘉，“咚”地坐在了椅子上。
“皮亞諾算術。”米爾嘉站著翻看卡片正反面後說道。
“這個叫皮亞諾算術嗎？”泰朵拉問道。
米爾嘉用中指向上推了一下眼鏡。
“PA1～PA5 是 Peano Axioms，也就是皮亞諾公理。研究滿足皮亞諾公理的集合 ，再定義謂詞 P(n)，以及加法運算和乘法運算，就能研究 Peano Arithmetic，也就是皮亞諾算術。話說，你講解完了沒？”
我迅速把講給泰朵拉的內容告訴了米爾嘉。
她繞到我座位後面，隔著我肩膀看著筆記。
髮絲輕拂我的臉頰。
柑橘般的甜香包圍著我。
我感到米爾嘉的手正搭在我肩上。
（好溫暖）
“喔……嗯，是這樣。雖然沒什麼錯，不過循環麼……”
她挺直身子，閉上眼睛。剎那間，周圍的氣氛緊張了起來。米爾嘉一閉眼，所有人都不由自主地沉默了。
“循環這個說法不貼切。”米爾嘉睜開眼睛說道。
“是嗎……”我有點焦躁，“如果沒有 PA4，也就是說，沒有 
這條公理，就算沿著後繼數‘'’形成的路徑構成了循環，也不能抱怨什麼吧。”
“先不說那個。我想說的是，PA4 防的是會合，而不是循環。雖說防止了會合也就防止了循環。”
“……會合？”
“我畫張圖解釋一下吧。”
米爾嘉沖泰朵拉擺了擺手。
這手勢是叫泰朵拉從我旁邊讓開？
一瞬間，現場氣氛變得很僵。
泰朵拉猶豫了一下，站起身移到了她對面的座位。
米爾嘉坐在了泰朵拉的旁邊。
……誒？她是想坐在那兒來著？
然後她繼續往下講。這、這個……
“舉個例子，如果只有 PA1、PA2、PA3，自然數還可以形成下面這種結構。這更應該說是會合，而不是循環。”
米爾嘉拿過我的自動鉛筆，畫了一張圖。
如果只有 PA1、PA2、PA3，還可以會合
“太奇怪了。a 這個元素是哪兒來的？從 1 可到不了 a 吧？”
我反駁道。“好好讀讀公理，你就明白了。PA1、PA2、PA3，不管是哪一條，都沒寫著‘所有元素都是沿著 1 過來的’。並且，光憑這三個公理，我們也推導不出以上結論。因此，可以存在不能沿著 1 過來的元素，比如這裡寫著的 a。這就是說，如果只有 PA1、PA2、PA3，也能建立上面這種模型。就像你說的那樣，PA4 防止了循環。不過，它也防止了 a 來會合。”
“米爾嘉學姐……”泰朵拉出聲說道，“聽你說完我想到，如果 PA4 禁止會合，那麼是不是就不需要 PA3 裡的 n' ≠ 1 了呢？”
“需要。”米爾嘉馬上答道，“如果沒有 PA3，而只有 PA1、PA2、PA4，那麼自然數還可以是這種結構。”
米爾嘉又畫了一張圖。
如果只有 PA1、PA2、PA4，還可以是這種結構
“確實沒有會合，然而，這並不是我們期待的自然數的結構……對吧？”米爾嘉上揚了尾音，問道。
“嗯。”我點頭，“如果只有 PA1、PA2、PA4，集合可能就會從無限遠的地方跑過來，再跑到無限遠的地方去吧。”
“看來皮亞諾先生是經過深思熟慮以後，才得出這個公理的呀……”
“來研究最後一條公理 PA5。”米爾嘉說道。
2.2.1 皮亞諾公理 PA5
來研究最後一條公理 PA5。
皮亞諾公理 PA5
假設對自然數 n 的謂詞 P(n) 而言，下面的（a）和（b）都成立。
（a）P(1)。
（b）對於任意自然數 k，P(k) 成立，則 P(k'）成立。
此時，對於任意自然數 n，P(n) 都成立。
公理 PA5 裡新出現了一個概念，即自然數 n 的謂詞。這個自然數 n 的謂詞就是，在給出自然數 n 的具體值時，讓 P(n) 成為命題的條件，這裡把它叫作 P(n)。其實我們管它叫什麼都無所謂。公理 PA5 敘述了如何證明“對於任意自然數 n，P(n) 都成立”。——沒錯，這就是數學歸納法 7。自然數的定義中出現了數學歸納法，耐人尋味。因為這暗示著數學歸納法跟自然數的本質有關。
7這是一種數學證明方法，通常用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數範圍內成立。——譯者注
如果自然數是有限的，例如只有 1, 2, 3 這三個自然數。這樣一來，只要證明 P(1), P(2), P(3) 這三個命題都成立，就能證明對於所有自然數 n，P(n) 都成立。
然而，自然數有無數個。我們不可能去實際調查無數個自然數。想就所有自然數提出某些主張，就必須用到數學歸納法。PA5 是一種機制，用於就所有自然數來提出某些主張。也正因如此，皮亞諾公理裡才會有 PA5。
◎ ◎ ◎
“那個……米爾嘉學姐？”泰朵拉怯怯地開了口，“那個‘數學歸納法’，我其實還不太明白。雖說在課上也學習過……”
“那麼，我就簡單說說吧。數學歸納法分為兩個步驟。”
米爾嘉開始講解，看上去很開心。
2.2.2 數學歸納法
數學歸納法分為兩個步驟。
步驟 (a)：證明命題 P(1) 成立。這就是所謂的出發點。
步驟 (b)：證明對於任意自然數 k，“P(k) 成立，則 P(k + 1) 也成立”。
如果能證明步驟 (a) 和步驟 (b)，那麼就能證明對於所有自然數 n，P(n) 都成立。
這就是通過數學歸納法來進行的證明。
◎ ◎ ◎
“這就是通過數學歸納法來進行的證明。”米爾嘉說道。
“瞭解……”泰朵拉點頭。
“那麼我出一個簡單的問題，你們馬上就能解出來的那種。”米爾嘉繼續說道，“沒有加法運算‘+’就沒法往下講了，所以我在這裡假設，我們已經通過皮亞諾公理定義了自然數，而且自然數跟加減乘除這些運算都已經定義完了。”
問題 2-1（奇數的和與平方數）
證明對於任意自然數 n，以下等式成立。
“啊，好……我來證明。根據數學歸納法……”
“不對。”米爾嘉大力敲了一下桌子，“首先來編個例子，平常都是這樣的，蠢貨才會忘記示例。”
“啊……我想起來了，‘示例是理解的試金石’對吧？”泰朵拉說著偷瞄了我一眼，“先寫一個具體例子。”
“那麼，當 n 分別等於 1, 2, 3 時，這個等式的確成立……那個……話說我寫完具體例子才注意到，1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) 這個式子，是由 n 個奇數相加而成的。”
“沒錯。你注意到的這點很重要。”米爾嘉豎起食指，“人的心會把具體的例子壓縮。下意識地找尋規律，發現較短的表示方法，這就是人心。比如‘由 n 個奇數相加而成’。有很多方法能用來證明問題 2-1，不過這裡，你就試著用數學歸納法來想想吧，泰朵拉。”
“好，嗯……”
◎ ◎
嗯……將與自然數 n 有關的謂詞 P(n) 定義如下。
謂詞 P(n)：
然後，按順序證明步驟 (a) 和步驟 (b)。
步驟 (a) 的證明：首先，證明 P(1) 成立。因為 P(1) 即如下命題，所以 P(1) 成立。
命題 P(1)：1 = 12
這樣一來，步驟 (a) 就證明完畢了。
步驟 (b) 的證明：接下來，證明對於自然數 k，P(k) 成立，則 P(k + 1) 成立。假設對於自然數 k，P(k) 成立。那麼，這就相當於以下等式成立。
假設命題 P(k)：
接下來，我們的目標是證明 P(k + 1) 成立。P(k + 1) 就是下面這種形式的等式。
目標命題 P(k + 1)：
這裡只是把有 k 的地方全換成 (k + 1)。證明上面這個等式成立就是我們的目標。那麼，我們先由等式 P(k) 變換出等式 P(k + 1)。等式 P(k)…… 也就是下面這個等式。
我們思考一下把該等式的左邊變成等式 P(k + 1) 左邊的情況。
為此，我們在該等式的兩邊加上 (2(k + 1) - 1)。
好了。下面，我們把得到的等式重新寫一遍。
這跟 P(k + 1) 的形式一致。也就是說，由假設命題 P(k)，可以推導出目標命題 P(k + 1)。這樣，我們就證明了步驟 (b) 成立。
然後，由於步驟 (a) 和步驟 (b) 都成立，所以根據數學歸納法，可證明對於任意自然數 n，P(n) 都成立。也就是說，以下等式對於任意自然數 n 都成立。
這就是我想說明的。—— Q.E.D.8。
8意思是證明完畢或證訖。Q.E.D. 是拉丁片語 Quod Erat Demonstrandum（意思是“這就是所要證明的”）的縮寫。這句拉丁片語譯自希臘語，包括歐幾里得和阿基米德在內的很多早期數學家都用過。—— 譯者注。
◎ ◎ ◎
“Q.E.D.。”泰朵拉說。
Q.E.D.——證明結束的標誌。
“完美。”米爾嘉說。
看到泰朵拉精確地變形了等式，我也非常吃驚。
“泰朵拉，你不是說不太明白嗎？為什麼……”
“嗯……我會把等式套到數學歸納法的模式裡。課上我們也有練習過。不過，我真的不太明白。那個，我對步驟 (b) 一頭霧水。剛剛在證明步驟 (b) 的時候，我是這麼說的：‘假設對於自然數 k，P(k) 成立’。可是……可 是真的好奇怪啊！因為我一開始想證明的是‘對於任意自然數 n，P(n) 都成立’。然而在這裡，我卻感覺簡直就是假設了想證明的條件。先假設想證明的條件，再往下證明，感覺好奇怪啊。雖然我會按照數學歸納法的模式來寫出證明過程，可是卻不明白為什麼這樣就算是證明出來了。”
泰朵拉把話一口氣說完後，看了看坐在身旁的米爾嘉。
米爾嘉看著我，眼神裡好像在說“來，該你了”。
“這個問題問得非常好，泰朵拉。”我說道。
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這個問題問得非常好，泰朵拉。
我舉個簡單的例子來解釋一下。
數學歸納法可以比作多米諾骨牌。
我們想證明的是“一大串排放整齊的多米諾骨牌會全部倒下”。
步驟 (a) 相當於“最開始的那張多米諾骨牌會倒下”。
步驟 (b) 相當於“如果第 k 張多米諾骨牌倒下，那麼第 k + 1 張多米諾骨牌也會倒下”。換句話說，就是“如果一張多米諾骨牌倒下，那麼下一張多米諾骨牌也會倒下”，好好想想看。
- 如果一張多米諾骨牌倒下，那麼下一張多米諾骨牌也會倒下。
- 事實上，多米諾骨牌會倒下。
這兩個條件完全不同吧？泰朵拉。
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“噢噢……確實，想像一下眼前擺著多米諾骨牌的話，‘如果一張多米諾骨牌倒下，那麼下一張多米諾骨牌也會倒下’跟‘事實上，多米諾骨牌會倒下’完全不同呢……”
“是吧。”我說，“而且，由於斷句的問題，人們經常會產生一些誤會。例如，數學歸納法的步驟 (b) 是下面哪一個？”
(1) 對於任意自然數 k，“P(k) 成立，則 P(k + 1) 也成立”。
(2) “對於任意自然數 k，P(k) 成立”，則 P(k + 1) 也成立。
“……啊！原來如此！數學歸納法裡用的是 (1) 吧！我覺得我好像想到 (2) 那邊去了。”
“沒錯。”我點頭。
解答 2-1（奇數的和與平方數）
把等式 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 成立寫作 P(n)，並使用數學歸納法。
(a) 因為 1 = 12，所以 P(1) 成立。
(b) 假設對於自然數 k，P(k) 成立，則以下等式成立。
在等式兩邊加上 (2(k + 1) - 1)，整理得到以下等式。
以上等式成立，即 P(k + 1) 成立。
因為以上 (a) 與 (b) 皆成立，所以根據數學歸納法，對於任意自然數 n，P(n) 都成立，即以下等式成立。
2.3 在無數腳步之中
2.3.1 有限？無限？
天色徹底暗了下來。
我們三人走出加庫拉，一起前往車站。我們排成一列，在窄窄的小路上前後走著，最前面的是泰朵拉，然後是我，米爾嘉走在最後面。
我邊走邊想：
腳步，要一步步向前邁。我們不可能提前知道所有的腳步。
生活，要一天天往下過。我們不可能提前知道所有的生活。
我們不知道接下來會發生什麼。
未來總是像一條朦朧、難解的道路。
不過……
不過，我們的回憶或許會留在這腳步之中。
曾在春雨中，與泰朵拉傘下同行……
也曾在茜紅色的光線下，與米爾嘉相依前行……
一切回憶，都在這無數的腳步之中。
泰朵拉轉過頭，對我們說了句話：
“光用五條公理就能定義自然數，真厲害呀……”
“是啊。”我表示同意，“不過，這麼一想，PA5 還真是複雜啊。雖說只是一條公理……”
“用有限抓住無限。確實很有魅力。”米爾嘉說道，“不過，就算是無限，也是受某種形式、某種限制、某種寫法所制約的。我們不能用既定的形式來記敘尚未定型的無限。”
2.3.2 動態？靜態？
“可以說，皮亞諾用叫作後繼數的‘下一步’，走向了叫作自然數的無限麼？”我一面走，一面說著。
“也不能小看這‘下一步’呢。”泰朵拉說道，“數學歸納法也是一步步地來證明的……”
“一步步地來證明……這種動態概念對麼？”米爾嘉說道，“數學歸納法看上去像是一步步地來證明的。雖然這麼想也沒什麼不好，但是，數學歸納法表示的是“命題對於所有的自然數都成立”。這是靜態概念。這個說法不是針對一個個自然數，而是針對由所有自然數構成的集合。利用邏輯的力量，一口氣抓住全部。你用的‘多米諾骨牌的比喻’還不錯，不過較為片面。”
“嗯……”我說道。
“我、我也……”泰朵拉開口，“我也這麼想過，在學長教我數列的時候。比如，假設存在‘對於所有自然數，
都成立’這個說法，如果一個個去看數列，就會感覺‘啊，數列在漸漸變大’。可是光看‘對於所有自然數， 都成立’這個說法，就會有米爾嘉學姐說的那種靜態的感覺。”
“用皮亞諾公理可以定義自然數集。定義自然數用到的是‘集合跟邏輯’。皮亞諾是想用集合跟邏輯來建立數學的基礎。”
“用集合跟邏輯，建立數學的基礎……”我重複道。
“啊！黃燈了！”
泰朵拉叫著，跑過了人行橫道。這位活力少女剛剛跑過馬路，信號燈就變成了紅色，我跟米爾嘉在道路的這一側站住了。
等綠燈。
泰朵拉衝我們這邊招著手。
我揮手回應。
“啊，對了。”我對身旁的米爾嘉說道，“剛剛在加庫拉……我沒想到你會坐到泰朵拉的身邊。”
沉默。
過了一會兒，米爾嘉直視著信號燈，突然開了口：
“……坐在對面更能看清楚你的樣子。”
“誒？”
“綠燈了。”
2.4 尤里
2.4.1 加法運算？
“皮亞諾算術真有意思喵。”尤里說道。
今天還是與以往一樣的週末。我和尤里在我的房間。尤里纏著我，讓我給她講皮亞諾算術。
“是嗎？哪裡有趣了？”
“這個嘛，根據公理能一錘定音。一開始只給出了 1，然後為了生成後繼數，準備了運算‘'’。只用這點條件，就能一口氣生成無數個自然數。而且，還事先準備了公理來防止出現會合。真是無懈可擊呀！人家最喜歡這種了。皮亞諾滴水不漏，真行啊！”
“……你可真敢說啊，尤里。”
“話說，‘加法’也能定義嗎？”
“沒錯。定義‘加法’沒有你想像中難。”
加法運算的公理
ADD1 對於任意自然數 n，n + 1 = n' 都成立。
ADD2 對於任意自然數 m, n，m + n' = (m + n)' 都成立。
“誒？這樣真的能定義加法嗎？”尤里問道。
“嗯，可以呀。應該說這樣能定義‘+’這種運算。”
“那麼，我來試試 1 + 2 = 3 ！”
“好啊。不過要計算的不是 1 + 2，而是 1 + 1'。”
“……誒？啊，是呢。因為我們還不知道 2 呢。”
“因此，等式 1 + 1' = 1'' 成立。然後，只要把 1' 跟 1'' 分別起名為 2 和 3，就可以證明 1 + 2 = 3 了。”
“那麼，2 + 3 = 5 呢？”
“因此，等式 1' + 1'' = 1'''' 成立。然後，跟剛才同理，只要把 1', 1'', 1'''' 分別起名為 2, 3, 5，就可以證明 2 + 3 = 5 啦。”
2.4.2 公理呢？
“話說回來，泰朵拉真是不可思議。嘴裡說著不明白不明白，卻‘唰唰地’就弄明白了。哥哥，那個泰朵拉到底是什麼人啊？”
“我也經常這麼覺得。泰朵拉她呀，之前還總跟我說不太會做數學呢。她很努力，也非常勤奮。尤里你也應該向她學習。”
“……唔，哦。”尤里皺起了眉，不過又馬上聳聳肩繼續說道，“米爾嘉大人也是風采依舊呢喵。米爾嘉大人到底是怎麼學習的啊……”
尤里很崇拜米爾嘉，管她叫“米爾嘉大人”。
“米爾嘉也肯定是踏踏實實地在學呀。”
“是嗎……話說數學歸納法也很有意思。關於所有自然數 n 的證明 ……
‘由 n 個奇數相加而得到的結果’相當於‘n 的平方’……咦？有點不對勁啊，哥哥。”
尤里慢慢抬起頭，表情略顯嚴肅。
“哪裡啊？”
“為什麼可以用等號？哥哥你剛剛定義了加號‘+’，還沒有定義等號‘=’吧？”
我嚇了一跳。
“啊……確實如此。”
尤里開始壞笑。
“不光沒有定義等號‘=’，還沒有定義屬於號‘∈’呢！”
“這個……你說得對。”
“對吧！出現的大部分符號都還沒定義呢！連全稱量化符號‘’，推出符號‘’都沒有定義。定義是由公理產生的吧？那麼……”
尤里注視著我說道：
“哥哥，=、∈、、 這幾個符號的公理在哪兒喵？”
不管要證明整數的何種性質，
都必須在某處用到數學歸納法。
因為，只要追溯至基本概念就會發現，
整數本質上是通過數學歸納法定義的。
——高德納 9
9Donald Ervin Knuth，著名計算機科學家，算法與程序設計技術的先驅者、斯坦福大學計算機系榮休教授、計算機排版系統 TEX 和 METAFONT 字體系統的發明人，著作有《計算機程序設計藝術》系列等。—— 編者注
我的筆記（皮亞諾算術）
皮亞諾公理
加法運算的公理
乘法運算的公理
不等號的公理
