117 世紀德國哲學家、數學家，歷史上少見的通才，被譽為“十七世紀的亞里士多德”。——譯者注
持久不能成為衡量真假的標準。
雖然蜻蜓的一天、樟蠶的一夜，
在其一生中都只是一段短暫的時光，
但絕非沒有意義。
——《來自大海的禮物》[6]
5.1 若尤里，則非泰朵拉
5.1.1 “若……則……”的含義
“我不明白‘若……則……’！”
今天是週六。尤里一進到我的房間，就嚷嚷道。
“什麼啊？這麼突然。”我抬起頭，把視線從桌子上移開。
“你看你看，邏輯裡不是有個‘若 A，則 B’嗎？這個，我不理解。”
我歎了口氣，面向尤里。
“尤里啊，你把話捋順了再說。”
“可是，哥哥你已經聽懂了吧？”
“……聽懂是聽懂了。”
“不愧是哥哥喵！”尤里壞笑道。
我又深深地歎了口氣，把筆記本新翻開了一頁。她拉過椅子坐在我身旁，戴上了那副樹脂邊框的眼鏡。
“假設有兩個命題，即 A 跟 B。把 A 跟 B 用‘若……則……’連起 來，形成一個新的命題‘若 A，則 B’。用式子寫出來，就是下面這樣。”
“哦哦。”泰朵拉點頭。
“命題就是判定真假的數學性觀點。既然有命題 A 跟命題 B 兩個命題，那真假的組合就總共有四種。對於每一種組合，命題 的真假都是確定的。我來動手畫個真值表 2試試。”
2表示邏輯事件的輸入和輸出之間全部可能狀態的表格，即列出命題公式真假值的表。通常以 1 表示真，以 0 表示假。——譯者注
A
B
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
真
真
“對對，就是這個，就這個我不理解。”
“尤里你知道怎麼看真值表嗎？”
“喂，看不起人嘛？比如最上面那行，意思就是‘若 A 為假且 B 為假，則 為真’。”
“嗯，沒錯。那你不理解哪一行呢？”
“我不理解第一行和第二行。第三行和第四行我理解。”
“那個嘛……”
“你看嘛，你想想‘若……則……’的意思啊！”尤里搶了我的話，“在第一行和第二行裡，A 是假的吧？也就是說‘若 A，則 B’這個前提不成立。前提都不成立了，可‘若 A，則 B’仍為真，不覺得很奇怪嗎？”
“也是啊，我應該怎麼解釋呢……”我發愁。
“那傢伙說‘思考意思以後，肯定會覺得奇怪’。可是他光說‘這樣就對啦’，卻不給我講。”
（那傢伙？）
“那個……尤里你有沒有想過，什麼樣的真值表才適合‘若……則……’？”
“誒……沒，沒想過。”
“既然你能理解第三行和第四行，那我們就先把它們放在一邊。然後，我們把第一行和第二行的所有情況列出來，研究一下哪種情況才適合‘若……則……’。”
“嗯……嗯！原來如此……哥哥你好厲害！”
“那我們來畫個真值表吧。”
A
B
(1)
(2)
(3)
(4)
假
假
假
假
真
真
假
真
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
真
真
真
真
真
真
“這就是所有的了？”尤里探出身子看著表格。
“很熱的，別靠過來嘛。來，(1)～(4) 裡哪個適合‘若……則……’？”
“總之，前提都不成立了，命題還是真的那種情況太奇怪了！”
“那是 A 為假時，‘若 A，則 B’也為假的那些咯？那就是 (1) 啊。”
“嗯！”
“可是啊，尤里，你好好看看表格。(1) 只在 A 跟 B 都為真時為真。所以，(1) 指的是‘A 且 B’。”
“啊，這樣呀。‘若……則……’跟‘且’相同，有點奇怪喵……”
“順便說一下，(2) 就是 B 本身。‘若 A，則 B’跟 A 沒有關係，這很奇怪吧？”
“啊，真的……嗯，那 (3) 呢？”
“(3) 是 A ＝ B。也就是說，A 跟 B 的真假相同時，(3) 為真。”
“‘若……則……’和‘相同’應該不一樣啊，嗚！”尤里哼唧道。
“是吧？所以，除了 (4)，其他都不適合‘若……則……’。說起來，要拿什麼放在‘若……則……’裡，本來就是人為決定的事兒。”
“嗯……雖說還有不太明白的地方，不過我明白怎麼靠真值表來判斷哪個適合‘若……則……’了。哥哥，謝啦。”
5.1.2 萊布尼茨之夢
“尤里你還真是喜歡條件跟邏輯啊。很少有人初二就能理解到這種程度。”我說。
“還好吧。”
尤里站起身，開始打量我書架上的書。咦？她夠到了之前夠不到的那一層。個子長高了不少啊。
“萊布尼茨曾經用計算來理解邏輯。”我說。
“萊布尼茨？那是誰？”尤里回過頭。
“跟牛頓一個時期的，17 世紀的數學家。牛頓你知道吧？”
“當然，研究蘋果掉下來的那個園藝家。”
“不對不對！……真是的。是發現萬有引力定律的那個物理學家。”
“是喵？”
尤里裝傻，我笑著表示：別開玩笑了啦！
“萊布尼茨啊，把‘思考’看作了‘計算’。他想要用機械性計算來實現邏輯性思考。”
“那就是說，他要做一台會思考的機器？就像計算機。”
“對對。用現代說法來表示‘萊布尼茨之夢’，應該就是這樣吧。他是這麼說的。”
……只要是人，都能單憑計算來判斷當下哪怕是最複雜的真理。今後，人們不會再爭論已經掌握的事物，而會奔赴新的發現。3
3摘自萊布尼茨的著作《萊布尼茨著作集 1：邏輯學》（尚無中文版）。
“哇啊！好酷！不過，不可能靠計算判斷就能讓人不再爭論吧？全世界還有那麼多爭論。”
“確實……總之，萊布尼茨當時想實現的是：即使不去思考含義也能把問題解決，即機械性地解題。”
“誒？不思考含義怎麼可能解題啊？哥哥你也說過要好好思考問題的含義啊！這……到底是什麼意思？”
“‘解題時不思考含義’跟列式子時的思路很像。一思考含義就容易出錯。你看，上了初中，從算術課變成數學課的時候，老師不也說過讓你‘列式子’嗎？”
“啊！嗯，說過說過。就算是那些能用心算回答的簡單問題，老師也讓我列式子，煩死了。還有些考試不列式子就會扣分。因為這樣，我還曾經先寫了答案再補式子呢，傻乎乎的。”
“那個啊，是一種練習，好讓你學會怎麼在讀了題，列出式子以後進行機械性的計算，也就是讓你學會不思考含義地往下計算。從具體例子來理解問題，這固然很重要，但還需要從某一階段開始，把思維從‘含義的世界’轉移到‘式子的世界’。說白了，就是列式子。只要去到‘式子的世界’，不用思考含義，也能讓式子變形。我們可以用各種各樣的方法來解方程式。最後讓得出的結果從‘式子的世界’返回到‘含義的世界’，就能解開原來的問題了。”
“嗯……不太明白。”
“誒？真不明白麼。比如求蘋果價錢的題，‘設價錢為 x 日元’，列一個方程式。這就算向著‘式子的世界’啟程了。接下來解方程式，求出 x = 120，這就是求解。然後想著‘x 表示價錢’，並回到‘含義的世界’。這樣一來，就能得出答案是 120 日元。所以啊，所謂‘式子的世界’就像照出這個世界的鏡子似的。照得好的話，就能用式子的變形來解決這世上的問題。”
通過“式子的世界”來解題
“這也太順利了吧？”尤里盤起胳膊。
“當然，這是在照得好的前提下。”
“就是說……如果能組織好式子，就能用式子解開能用式子解開的問題？這不是理所當然的嘛！”
5.1.3 理性的界限？
尤里“嗚喵嗚喵”地喊著，伸展著雙臂。“呼 —— 啊，對了，哥哥，你知道哥德爾不完備定理嗎？”
“嗯，我聽說過，不過不知道具體內容。”
“那個，我之前跟那傢伙吵了一架之後，慢慢熟悉了起來。剛才那個‘若……則……’就是他跟我講的。他喜歡數學……可能是我們年級裡書讀得最多的人。”
“那個定理是怎麼回事？”
“按他說的，哥德爾不完備定理是一個很複雜的數學定理，這個定理證明了數學是不完備的。因此，數學這種由人類的頭腦創造出的最嚴謹的學問，也是不完備的。好像是叫理性的界限。他說哥德爾不完備定理證明出了理性的界限……那傢伙放了學都還在一個勁兒地說呢。”
“放了學？”
“人家連一半都沒聽懂。他也說不知道這個定理的具體內容，我這才打算來問問哥哥你……”
“你倆放學以後一直都在討論？”
“嗯？嗯。打掃完衛生，他就一直在教室黑板上畫著奇怪的圖，一邊畫一邊給我講。他沒有哥哥你講得那麼好，不過挺有意思的。”
“你回去晚了，你媽不會擔心麼？”
“啥？哥哥你在說什麼啊……莫名其妙！”
尤里說著，又開始打量我的書架。我看著她的辮子，辮子像小馬的尾巴般晃來晃去……不知為何，我心裡不太舒服。
5.2 若泰朵拉，則非尤里
5.2.1 備戰高考
“早安，學長！”
“你還是這麼有活力啊，泰朵拉。”
清晨。上學路上，泰朵拉過來跟我打招呼。
“學長，那個……有點事想跟你商量。”
“怎麼了？這麼嚴肅。”
我放慢腳步，傾聽泰朵拉說的話。
“那個，雖然邊走邊說有點不好，不過我還是想請教一下學長如何‘備戰高考’。我馬上升高二了，有點擔心高考……”
“原來是擔心高考啊。”
現在是二月，高三學生正處在高考季 4。整個學校都緊張兮兮的。他們都抱著這樣的心態：熬過這個季節，迎來“春天”。這份緊張也傳染給了我們這些高一、高二的學生。
4日本與中國不同，新學期一般在每年四月開始，並在來年的三月左右結束，而大學升學考試一般在二月左右。——編者注
“高考要怎麼準備才好啊？我一點都不懂。高考是一場超大型的實力考試吧？跟學校定期舉行的考試不一樣，沒有範圍。嗯……中考那會兒，我已經很緊張了。我要往筆記本上一遍又一遍地抄相同的知識，這花掉我好多好多時間……而我那些朋友理解得快，記得也快，所以我想，是不是我沒找對方法啊……”
我沒說話，點了點頭。泰朵拉深吸一口氣，繼續說道：
“我很慶幸一上高中就開始跟學長你聊數學。我數學成績進步相當大。多虧了學長你，我才好像掌握了一點訣竅。”
“訣竅？”
“嗯。‘嚴謹地思考’‘重視定義’‘重視語言’……”
“喔，你是這個意思啊。”
“我數學成績上去了很多。英語我也很喜歡，應該沒什麼問題。但是我有時候會想，需要為了備戰高考特別地下一番工夫麼？雖然我朋友說，數學跟英語好，就沒什麼好怕的了……”
我們剛要過馬路，信號燈就變成了紅色。在我倆等紅綠燈的時候，我突然意識到一件事。
“話說，我突然想到，泰朵拉，有沒有什麼東西是你很怕的？”
“誒？”她抬起頭，大大的眼睛滴溜轉了一圈。
“在談備戰高考這個重大話題之前，先談談具體怕什麼。”
泰朵拉眨了兩三下眼，咬著指甲，努力想著。
“嗯，我覺得……我正式考試很弱。”
她說完就不吭聲了。
“正式考試很弱……是怎麼個感覺？”我溫柔地問道。
“嗯……會焦慮吧。時間分配得不好，而且沒辦法把思考到一半的題放棄而往下做別的……所以，我碰到考試就非常緊張，心想要是碰到難題了該怎麼辦。我很怕這種狀況……”
“原來如此。那練習一下‘計時賽’，也就是在規定時間內解題如何？就像練習限時考試似的。”
“哈哈……我還沒怎麼這麼做過呢。”
“認真思考很重要，但速度也很重要。”
“說的是呢……”
信號燈變成了綠色，我跟泰朵拉又走了起來。
5.2.2 上課
我們穿過住宅區的曲折小道，向著學校走去。
“咱們高中好歹是重點高中，課程表裡也包括如何備考這個課程。所以，我覺得只要好好上課，基本就沒問題了。不過，光去上課並不一定就能學得好，這是肯定的。所以，還得掌握授課內容。”
“掌握……授課內容，是嗎？”
泰朵拉忽然用兩隻手比了一個公主抱的手勢。這授課內容還真是相當多呀。
“上課重要的是集中精神聽講。這點泰朵拉你應該基本上沒什麼問題。聽老師講的內容，然後原原本本地去理解。做筆記也很重要，不過先得好好聽。一聽講，就會有疑問。不過，不能把老師的話拋到一邊，自己想自己的。要先把在意的地方趕快記下來，課後再仔細討論。上課期間要集中精神聽講，不能因為有疑問，就在上課期間一直想著，這樣可能會聽漏重要的知識點。這就糟糕了。學習是從認真聽講開始的。”
“嗯，這點我深有同感。”
“先不說這個。其實，我也跟你一樣，不清楚怎麼備戰高考。現在就在重複著‘聽講 —— 複習 —— 看參考書’這個過程。雖說我也一直在留心，嘗試自己動腦來認真思考。”
“學長你經常提到‘自己動腦來思考’呢。”
“嗯。自己動腦來思考是非常重要的。下課以後也要花時間來思考。然後，真真正正地去理解。當然，沒必要總是先理解了全部內容，再往下學習。有時候也會留下一些疑問。但是，這個時候我不會‘裝懂’。我會提醒自己‘這裡我還不懂’。要一直思考，直到自己真正理解為止。越較真，學習就越有趣。”
“……”泰朵拉無聲地點了點頭。
“如果你還沒有明白，那麼就算全世界的人都說‘明白了，很簡單啊’，你仍然要鼓起勇氣說‘不，我還不明白’。這一點很重要。就算別人再怎麼明白，如果自己不明白，那也沒有意義。要花時間來思考，思考到理解為止。這樣得到的東西就一輩子都屬於自己。誰也搶不走，認真學習，細心積累，會帶給你自信。那種‘就算考試也不會焦慮’的自信。”
“……”泰朵拉點了幾下頭。
“啊，不好意思，我只顧著自說自話了。”
“沒事兒……我身邊都沒有人會跟我說這些。老師沒有這麼說過，爸媽也沒有這麼說過。我，對我，對泰朵拉來說，學長你果然非常……重要。”
“我很開心你能這麼說。”
到學校了。
我們穿過校門，到了教學樓入口的換鞋處。入口是按年級劃分的。
“那放學後再見。”我說。
……然而，她在原地踟躕，沒有挪動腳步。
“怎麼了？”
“學長！”
“在！”
泰朵拉一下子提高了嗓門，我也不由得大聲應道。她用大大的眼睛認真地、直直地注視著我。
“學長，那個、那個……那什麼，那個……學長，那個……”
“怎麼了，泰朵拉。”
“那個！”
預備鈴響了。
“那……那，那放學後再見……”
5.3 若米爾嘉，則米爾嘉
5.3.1 教室
放學後，我們班的教室。
雖然課上完了，班會也開完了，可米爾嘉還在看書。
“在看什麼書？”
米爾嘉沒說話，拿起書，給我看了看封面。
Gödel's Incompleteness Theorems
“外文書啊……”
“哥德爾不完備定理。”米爾嘉回答道。
“咦！話說，之前尤里跟我提過這個定理，是什麼……證明了‘理性的界限’的定理？”
“尤里跟你說這個？”她抬起頭，一臉嚴肅。
“……嗯。”
“理性的界限……這理解得不好。”米爾嘉評價道，“那你呢？”
“我？”
“你跟尤里正確解釋了沒？”她直勾勾地盯著我。
“……沒。”我懾於米爾嘉的目光，把我跟尤里的談話告訴了她。
“萊布尼茨之夢啊……嗯。”
米爾嘉靜靜地把書放下，閉上雙眼，沉默了一會兒。她閉眼的時候，不知為何，我總是不由自主地沉默。或許我是在等待由米爾嘉內部而生的某樣東西。或者是因為，她毫無防備閉上雙眼的樣子，非常地……
“學長！米爾嘉學姐！好久不見！”
活力少女進了教室。我把目光從米爾嘉身上移開。
“啊，米爾嘉學姐，你在想事情啊……對不起。”泰朵拉慌忙用雙手遮住嘴。因為是高年級的教室，之前她都不好意思進來，不過最近也習慣了，都是大大方方地跑過來。
“好久不見？……今天早上我們不是才剛見過麼？”我說。
雖然泰朵拉慌慌張張地衝了進來，米爾嘉卻毫無反應，仍然閉著眼，還在思考。
泰朵拉用指頭戳了戳我，指了指米爾嘉扣在桌面上的書。書的封底上印著的標記跟學校圖書室裡的不一樣。
這標記是什麼？藏書印？
“雙倉圖書館。”米爾嘉睜開眼說道，“泰朵拉你也來啦。正好，我們來玩命題邏輯 5 的形式系統 6 吧。”
5英文寫作 Propositional Logic，亦稱命題演算，是由命題邏輯的重言式組成的系統。由兩種方式形成：給出公理，根據確定的推理規則推導出一系列重言式，這稱作公理演算；還有一種是借助自然演算，不給出公理，利用一系列推理規則推出定理。——譯者注
6英文寫作 Formal System。形式系統是一個完全形式化了的公理系統。就其本身而言，只講符號、公式和公式的變換。在一個公理系統內，使用特殊的人工語言，用一系列特定的符號表示邏輯概念或簡單命題，用公式表示復合命題或真值形式，把證明變成符號與符號之間的變換。形式系統包括各種初始符號、形成規則、公理、變形規則。命題演算就是一個形式系統。——譯者注
5.3.2 形式系統
“下面，我們來生成一個命題邏輯的形式系統玩兒。”
米爾嘉拿著白色粉筆，站在了黑板前。
我跟泰朵拉在教室的最前排坐了下來。
“研究邏輯學的方法分為兩種，語義學和句法學。”
說到“語義學”時，她在黑板上寫了個 Semantics；說到“句法學”時則寫了個 Syntax。
“簡單來說，語義學就是使用真假值的方法。把真值或假值分配給命題，研究命題的關係。不過我們下面要用的是句法學。不用真假值，而是通過關注邏輯公式的形式來往下研究。總之，就是不思考含義，只思考形式。”
邏輯學的研究方法
語義學（Semantics） 使用真假值
句法學（Syntax） 不使用真假值
“句法學研究的是形式系統。接下來我們要生成一個形式系統，暫且將其稱為‘形式系統 H’吧。”
“那個，我想問一下……”泰朵拉舉起手，“形式系統……這個概念太抽像了，我不知道該怎麼理解才好……”
“泰朵拉，你可以先不用理解，它馬上就會變具體了。”米爾嘉溫柔地回應道，繼續寫著板書。
“接下來，我們按照下面這個順序來逐一定義概念。”
- 邏輯公式
- 公理和推理規則
- 證明和定理
“公理、證明、定理……這些數學概念我們都很熟悉了。下面我們要在形式系統中定義這些概念，然後以數學的微縮模型的形式來感受生成好的形式系統 H。”
“數學的……微縮模型？！”泰朵拉感到不可思議。
米爾嘉撣了撣手上沾到的粉筆末。
“生成形式系統是‘用數學研究數學’的第一步。”
“用數學……研究數學？”從剛剛開始，泰朵拉就一直在鸚鵡學舌般重複米爾嘉的話。不過……我自己也完全不知道她要講什麼了。
“先別管這些。”米爾嘉說，“我們看邏輯公式。”
5.3.3 邏輯公式
“我們如下定義形式系統 H 中的邏輯公式。”
邏輯公式（形式系統 H 的定義 1）
▷邏輯公式 F1 若 x 是變量，則 x 是邏輯公式。
▷邏輯公式 F2 若 x 是邏輯公式，則
也是邏輯公式。
▷邏輯公式 F3 若 x 和 y 都是邏輯公式，則
也是邏輯公式。
▷邏輯公式 F4 只有 F1~F3 規定的內容是邏輯公式。
“我們設這個 F1 裡寫的變量為 A, B, C, ... 這樣的大寫英文字母。不過，因為只有 26 個英文字母，所以到 Z 以後我們就得像 A1, A2, A3, ... 這麼寫，這樣才可以生成無數個變量。”
米爾嘉說著用手指向泰朵拉。
“那我出道題看一下你們是否理解了。”
A 是邏輯公式嗎？
“這……嗯，我覺得是。”泰朵拉答道。
“為什麼？”
“A 為什麼是邏輯公式……這個，怎麼說好呢？”
“說理由就行了。因為 A 是變量，而我們在 F1 裡定義了‘若 x 是變量，則 x 是邏輯公式’，所以 A 是邏輯公式。”米爾嘉說道。
“啊……瞭解。原來這樣啊，拿定義當理由就行了啊。”
“那下一道題。”米爾嘉不給留任何空檔。
是邏輯公式嗎？
“嗯，是。”
“為什麼？”
“嗯……因 為 A 是邏輯公式，而 F2 裡寫著‘若 x 是邏輯公式，則 也是邏輯公式’，用 A 代換裡面的 x，就能出來 。”
“很好……下一道題。”
是邏輯公式嗎？
“嗯，是邏輯公式。”
“錯了。”米爾嘉立即說道，“邏輯公式的定義中沒有出現‘∧’這個符號。F3 裡的是‘∨’而不是‘∧’。 不是形式系統 H 中的邏輯公式。”
“我……沒好好看。”泰朵拉輕輕敲了一下自己的腦袋。
“接下來看這道題。”
是邏輯公式嗎？
“這個……這次是‘∨’。是，這個是邏輯公式。”
“很遺憾，答錯了。”米爾嘉說道，“要注意是否有括號。”
不是形式系統 H 中的邏輯公式
是形式系統 H 中的邏輯公式
泰朵拉重新看了一遍米爾嘉寫的板書。
“啊……確實，F3 裡寫的是‘若 x 和 y 都是邏輯公式，則 也是邏輯公式’……不可以省略括號嗎？”
“也有省略的寫法。不過，在句法學裡，字符串……也就是字符的排列方法很重要，為了強調這一點，我們暫且把括號也明確地寫出來吧。”
“嗯，知道了。”
泰朵拉往攤開的筆記本上迅速寫著筆記。
“下一道題。”
是邏輯公式嗎？
“怎麼這麼複雜……是， 是邏輯公式。”
“為什麼？”
“嗯……因為 和 A 都是邏輯公式，F3 裡寫著‘若 x 和 y 都是邏輯公式，則 也是邏輯公式’，所以用 代換裡面的 x，用 A 代換 y，就能得出 也是邏輯公式了。”
“好的。下一道題。”
是邏輯公式嗎？
“這、這個嘛，1, 2, 3, 4……嗯，這個是邏輯公式。”泰朵拉用心數完括號說。
“沒錯。理由呢？”
“理由啊……因為 F2 裡寫著‘若 x 是邏輯公式，則 也是邏輯公式’，所以重複用它就行了。”
“這個很像皮亞諾算術裡的後繼數啊……”我說。
“啊！確實如此，很像很像。”泰朵拉點頭。
“在定義邏輯公式時，我們使用了邏輯公式本身。”米爾嘉說道，“這就是所謂的遞歸定義 7。”
7也叫作歸納定義，是一種實質定義，指用遞歸的方式給一個概念下定義。——譯者注
5.3.4 “若……則……”的形式
“那麼……在這裡，為了方便理解形式系統 H 中的邏輯公式，我們來定義一個符號‘
’。”米爾嘉說道。
符號“
▷符號IMPLY 把
定義為
。
“它的意思是，一旦遇到 這種形式，就將其看作 的略寫。舉個例子，如果寫成下面這樣。
就相當於寫了以下邏輯公式。”
“嗯，我懂了。”泰朵拉點頭。
“那不用‘
’能寫下面這個邏輯公式嗎？”
“嗯……能。”泰朵拉走上前去，在黑板上寫了下面這個邏輯公式。
“很好。”
“ 總為真呢。”泰朵拉說道。
“你說的‘真’是？”米爾嘉眼神一變。
“誒？‘若 A，則 A’總為真……對吧？”泰朵拉回答道。
“現在我們在討論形式系統。沒有什麼‘真’和‘假’，泰朵拉。”
“啊！米爾嘉學姐，這……是‘裝作不知道的遊戲’嗎？”
“裝作不知道的遊戲？”米爾嘉反問道。
“就是說……或許之後，我們會把 定義為‘若 A，則 A’，但是在定義之前，我們都不能隨便把它拿來用。就算知道，也必須裝作不知道 —— 就是這麼個遊戲。”
“唔……嗯，這麼說也行。”米爾嘉略表同意，“討論形式系統時，我們要降低體溫，去感受機器的心情。不能讓含義牽著我們的鼻子走。舉個例子，邏輯公式 說到底就是把字符排列如下。這裡沒有什麼真假，我們只關注它的形式。”
“請問……‘不思考含義’的意義是什麼呢？”
“有時，如果人們在思考了含義的基礎上進行論證，根據就會變得不明確。如果不去思考含義，只關注形式，根據就會變得明確。因為不管怎麼說，人們只會使用明確定義過的事物。”米爾嘉回答道。
哦……所以米爾嘉才會每次都問“為什麼”啊，原來是想要根據呀。泰朵拉沉思。不知為何，今天的泰朵拉很踏實，不再是平日裡那個
慌慌張張的小女生，給人一種謹慎認真的印象。
“話雖這麼說……”泰朵拉開了口，“可是現在我們只得出了‘ 是 的省略形式’這一點線索呀。這個……就論證而言，感覺也太簡單了。”
“因為我們才剛定義了‘邏輯公式’而已呀，泰朵拉。下面我們進入到‘公理’。”
看著兩位美少女討論數學，我禁不住心潮澎湃。
原來如此。剛剛，我們是在製作數學的微縮模型。講皮亞諾算術那會兒，我們定義了自然數集 
和自然數的加法運算。這裡的形式系統 H 則更加根本，因為它連真假都沒有。
唔……剛剛，米爾嘉說什麼來著？
我看著黑板上的詞語。公理、推理規則、證明、定理……？連支撐數學的最重要的概念 —— 證明 —— 都能被我們以微縮模型的形式建立起來嗎？
用數學研究數學 —— 我細細品味著米爾嘉的這句話。
5.3.5 公理
“我們剛剛定義了邏輯公式，下面來定義公理。在形式系統 H 裡，公理指的是 P1～P4 中任一種形式的邏輯公式。”
公理（形式系統 H 的定義 3）
▷公理 P1
▷公理 P2
▷公理 P3
▷公理 P4
注意，x, y, z 表示任意的邏輯公式。
“P1～P4 是公理的形式，也叫公理模式。只要把邏輯公式代入公理模式中的 x、y、z 裡，什麼都能成為公理。那這次換你來答。”
米爾嘉推了推眼鏡，看著我。
是公理嗎？
“嗯，是公 理啊。”我答 道，“P1 裡寫著 ，用邏輯公式 A 代換這裡面的 x，就變成了 ，對吧？”
“很好。”米爾嘉點頭，“那這個呢？”
是公理嗎？
“我覺得成立……”我答道，“不對，這就考慮到真假了。光看形式的話 —— 我認為，不是公理。”
“為什麼？”米爾嘉問道。
“看公理的定義就知道了。”我答道，“公理的定義有四個，P1～P4。不管把任何邏輯公式套到裡面的 x、y、z 裡，都不會變成 這種形式。”
“唔……差不多吧。”
“米爾嘉學姐……”泰朵拉帶著哭腔說道，“你們在說什麼，我一點兒都跟不上。”
“是嗎？”米爾嘉一臉平靜，“哪裡不明白？”
“全都不明白……啊，不，我明白你們在說公理，也明白公理就是某種形式的邏輯公式。我不明白的是……怎麼說呢，為什麼要把這個弄成公理。”
“那我們從頭開始講吧。”
5.3.6 證明論
“為了從形式上研究數學，我們在前面以字符串的形式定義了邏輯公式。接下來我們要從形式上來定義公理、證明、定理等。以希爾伯特 8為首的數學家們發現了用於形式系統的公理。也就是說，他們想出了能用來生成形式系統中的邏輯公式的集合。”
8德國著名數學家，被稱為“數學界的無冕之王”，是天才中的天才。——譯者注
“那是數學家們先天地假設了公理為真，對吧？”
“不對，並不出現真假。”米爾嘉說道。
“不出現真假，也有公理……嗎？”
“句法學是基於與‘證明’的關係來思考公理的。公理指的是能在證明時無條件地使用的邏輯公式。也可以說，公理就是‘即使沒有證明，也可以視為定理’的邏輯公式。”
泰朵拉似乎對米爾嘉的話有了些許感觸，只見她眼神中透露出十分的認真，咬著指甲。
“那個，我……我想問一下，‘為真’和‘已被證明’是……不同的概念嗎？”
“這問題提得好，泰朵拉。確實不同，雖說這個話題有點跑偏了。——一看公理的示例就會發現，公理越來越複雜，讓人們很難理解。像 這樣的還好，要是遇到像 
這樣的公理，人們就頭疼了。因為人們很難去掌握這種結構。不過……我們回憶一下：這裡我們研究的公理只有字符串這種形式。也就是說，假如這裡有一台計算機之類的機器，我們就能檢驗給出的邏輯公式是否為公理。因為我們不需要思考含義，只要機械地檢驗字符串的形式即可。我們還可以做一台‘公理測定儀’。”
“不好意思，我再打斷一下。”泰朵拉舉起手，“我還卡在‘公理’這個詞上。我記得……從 P1～P4 的形式來看的話，是不能構成 的。這點我明白。可是，可是……我不明白為什麼由 P1～P4 得出的邏輯公式，能當‘公理’來用呢？”
“唔……”米爾嘉把手指貼在嘴唇上開始思考，“我們現在卡在含義和形式的夾縫中間。我們想從形式上研究數學，為此就要定義一個能從形式上表示數學中的觀點的邏輯公式。然後，我們還想從形式上定義公理、證明、定理。在數學中，公理是證明的起點。在我們的形式系統中，公理 —— 也可以說成‘形式公理’—— 就是‘形式證明’的起點，即‘邏輯公式’。從‘形式公理’出發，通過‘形式證明’，就可以生成‘形式定理’。”
“數學，真的可以用形式系統來表示麼？”
“這問題很深奧。”
然後，米爾嘉似唱非唱地說道：
“薔薇的顏色、薔薇的形狀、薔薇的香氣 —— 擁有以上一切的花，才叫作薔薇。那形式系統到底有沒有數學的顏色、形狀和香氣呢？這個問題我們改天再想。”
5.3.7 推理規則
“我們剛剛定義了邏輯公式和公理。公理已經以公理模式的形式給出。把邏輯公式代入 P1～P4 的 x、y、z 裡，就能生成無數個公理。不過……”
米爾嘉在黑板前來回踱步，繼續“上課”。
“不過，形式是有限的。光靠公理模式不能生成新形式的邏輯公式。因此，我們定義一下推理規則吧。從形式上表示我們的邏輯性推理的，就是推理規則。”
推理規則（形式系統 H 的定義 4）
▷推理規則 MP 根據 x 和
，可推出 y。
注意，x、y 表示任意的邏輯公式。
“這個推理規則有個特殊的名字，叫作 MP，即假言推理 9，這裡 MP 是 Modus Ponens 的首字母。如果不習慣這裡的‘根據 x 和 ，可推出 y’，理解起來就會很困難。比如，根據邏輯公式 A 和邏輯公式 ，可用推理規則 MP 推出 B。下面再舉個稍微複雜點的例子。只看形式喲。”
9復合判斷的推理方法之一。從一個假言判斷的前提出發，通過斷定它的前件或後件(包括其否定)，而推出它的後件或前件（包括其否定）的演繹推理。例如：如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等。——譯者注
根據邏輯公式
，可用推理規則 MP 推出
。
“……”泰朵拉默默地舉起了手。
“請講。”米爾嘉像老師一樣說道。
“嗯……這 個 Modus Ponens 指的 是，若‘x 為真’且‘若 x，則 y 為真’，則‘y 為真’嗎？”
“你怎麼想的？”
“我覺得……不是。我們是在用句法學生成形式系統，所以不會出現真假的概念。這個推理規則也必須看形式吧？而不是思考含義……”
“沒錯，泰朵拉。”
“話說……我感覺這個‘裝作不知道的遊戲’到這裡就已經難得不能再難了。原來一邊聽一邊還不能被含義牽著走是這麼難啊。”
“習慣問題。只要能降低自己的體溫就行。”米爾嘉衝我們投來了一個溫柔的笑容，然後一邊揮動著手指，一邊講道，“當然，人們是不可能不思考含義的。而且，這種形式系統也不是胡亂生成出來的。其背後肯定有目的 —— 生成這種有意思的系統的目的。重要的是，不能由人來進行思考，而要從形式上、機械性地進行思考。”
“萊布尼茨之夢……”我無意中小聲說道。
“那麼，思考時能不思考含義嗎？”米爾嘉繼續往下講，“連不能描述含義的機器都能思考的事情是什麼呢？機械性的思考、形式上的數學 —— 該怎麼研究這種形式上的數學呢？”
“形式上的數學？那是？”我忍不住插嘴道。
“當然，我們研究形式上的數學本身也要用到數學。”
“話說，形式上的數學……難不成……”
“沒錯，這就跟‘用數學研究數學’連上了。”
米爾嘉說完，注視著我們。
5.3.8 證明和定理
“來，看看我們瞭解到哪兒了。”米爾嘉說道。
- 定義了邏輯公式。
- 定義了公理。
- 定義了推理規則。
“這樣，我們就能從形式上表示‘證明’了。我們基於公理，進行推理，然後構成證明 —— 這是數學中重要的一環。在此我們要做的是把證明從形式上表示出來。形式系統 H 中的證明可以如下定義。”
證明和定理（形式系統 H 的定義 5）
我們把以下邏輯公式的有限序列稱為邏輯公式
的證明。
注意，對於所有的
，下面 (1) 或 (2) 成立。
(1)
是公理。
(2) 存在小於 k 的自然數 s, t，根據
和
可推出
此外，我們把存在“證明”的邏輯公式
“在此我們定義了形式系統 H 中的‘證明’和‘定理’。總體來說，證明就是邏輯公式的序列。不過，要想讓邏輯公式的序列成為證明，那麼排列順序要遵循一定的規則。排在序列裡的邏輯公式有兩個條件：(1) 自己是邏輯公式；或者，(2) 自己前面一定存在能推理出自己的邏輯公式。你們明白我在說什麼嗎？”
“規則的含義……我完全沒聽懂。”泰朵拉說道。
米爾嘉稍稍放慢了語速。
“現在，假設我們要把幾個邏輯公式排成一列，來做一個叫證明的東西。規則 (1) 是，公理可以隨時排列。規則 (2) 是，可以把能根據任意一個已排列好的邏輯公式推理出來的邏輯公式排列在那些已排列好的邏輯公式的後面。根據這兩條規則排列而成的邏輯公式的序列就叫作證明。當然，這裡所說的‘公理’是指形式系統 H 中的公理，‘推理’是指使用了形式系統 H 中的推理規則的推理。明白嗎？”
“就是說，只排列‘公理’或者‘根據公理推理出的邏輯公式’？”泰朵拉一臉糾結地問道。
“稍微有點不同。”米爾嘉回答，“除了‘根據公理推理出的邏輯公式’，還可以把根據‘根據公理推理出的邏輯公式’推理出的邏輯公式也排列出來。也就是說，可以列出的邏輯公式包括‘公理’，或‘根據公理推理出的邏輯公式’，或根據‘根據公理推理出的邏輯公式’推理出的邏輯公式，等等。也就是列出能根據‘公理’通過有限次的連續推理得出的邏輯公式。”
“啊，沒錯，我就是想說這個。”泰朵拉說。
“我們根據這兩個規則來生成一個邏輯公式的序列。”米爾嘉繼續說道，“這個邏輯公式的序列就是‘證明’。這樣一來，位於‘證明’最末尾的邏輯公式 就是名副其實的‘定理’了，因為該邏輯公式是根據‘公理’反覆‘推理’而得到的。這樣一來，我們就定義了邏輯公式、公理、推理規則、證明，以及定理。以上內容中沒有出現實數，也沒有出現直線，更沒有二次函數、方程式、矩陣。我們只是在形式上建立了數學最為基礎的部分。”
德沃夏克 10 的《念故鄉》從教室的揚聲器裡傳了出來。
1019 世紀世界重要的作曲家之一，捷克民族樂派的主要代表人物，e 小調第九交響曲《自新大陸》享譽世界。——譯者注
“這麼晚了？學校的時間管理太嚴格了。”米爾嘉看向窗外。
天色已經完全暗下來了。
“那我給你們留個作業。”米爾嘉看著我微笑道，“ 是定理嗎？”
5.4 不是我，還是我
5.4.1 家中
這裡是我家。現在是夜晚，我一個人坐在桌前。
學校的摸底考試就快到了，整個年級一起考。按理說我應該提前複習一下的，但現在卻沒有那個心情。我自己看課本，把後面的問題都提前解完了，所以上數學課就跟複習似的。高中難度的數學已經過完一遍了，課上的練習也基本都是滿分。不管是課本還是問題集，都沒什麼難度。
比起學校裡的題，書上寫的題、村木老師出的題，還有跟米爾嘉討論數學時出現的那些題更令我感到興趣十足。
我翻開筆記本。這是用來做‘我自己的數學’的專用筆記本，上面還有米爾嘉和泰朵拉寫的不少東西。
我在新的一頁上總結了“形式系統 H”的重點。
關於形式系統 H 的總結
▷邏輯公式 F1 若 x 是變量，則 x 是邏輯公式。
▷邏輯公式 F2 若 x 是邏輯公式，則
▷邏輯公式 F3 若 x 和 y 都是邏輯公式，則
▷邏輯公式 F4 只有 F1~F3 規定的內容是邏輯公式。
▷符號 IMPLY 把
▷公理 P1
▷公理 P2
▷公理 P3
▷公理 P4
▷推理規則 MP 根據 x 和
5.4.2 形式的形式
我思考著米爾嘉留的作業。
問題 5-1（形式系統中的定理）
我認為 是形式系統 H 中的定理。為了說明這點，就必須在形式系統 H 裡證明 。
雖說是證明，卻不能像平時做數學那樣去證明。不能用反證法，也不能用數學歸納法。因為下面我要進行的證明，其形式必須是形式系統 H 中定義過的那種。因此我只能用下面這兩個“工具”。
- 以形式系統 H 中的“公理”為起點
- 用形式系統 H 中的“推理規則”來推理
公理和推理規則……必須運用這兩個工具來生成邏輯公式的序列，然後到達目的地 。
這個……要怎麼形容才好呢？有點像解謎，又不同於單純的解謎。給出的條件非常有限，但是又與解數學題很像。確實像是數學的微縮模型。
該從哪兒著手呢……
從“示例是理解的試金石”這一理論出發，首先試著舉幾個公理的例子好了。因為要證明的邏輯公式是 ，所以變量是 A。拿 A 代換公理 P1～P4 裡的 x、y、z 試試吧。
根據公理 P1：
根據公理 P2：
根據公理 P3：
根據公理 P4：
我盯著這幾條公理……嗯？這不是很簡單嗎？
根據 P2 可知， 是公理。也就是說“若 A，則 
”。此外，根據 P1 可知， 也是公理。也就是說“若 ，則 A”。