典型案例
在數學證明尤其是幾何證明中，一般都離不開論證。在把握數學定理的證明過程中，首先必須分清論題和論據，然後，還需要弄清楚其中所用到的推理形式或者論證方式，才能更有效地學習相應的知識，並將之轉換為一種論證能力。
現行初一數學課本（人教版）下冊，在講「平行線的性質」時，給出了下面的問題來讓學生思考：
上一節，我們利用「同位角相等，兩直線平行」推出了「內錯角相等，兩直線平行」。類似地，你能根據性質1（兩直線平行，同位角相等），推出性質2（兩直線平行，內錯角相等）嗎？
如圖7—1所示：
因為a∥b，所以，∠1=∠2（同位角相等）。
又∠3=∠1（對頂角相等），
所以，∠2=∠3。
對於上述問題，目前我們的教材或者教輔書上，在分析相應的證明時，主要將相應問題分為題設和結論兩個部分，認為它們都是判斷，而題設和結論之間就是「如果……那麼……」的關係。其實，如果真正能夠處處從一個證明的內在結構來加以分析，可能效果會比現在的情況要好得多。
邏輯辨析
在上述「平行線的性質」的思考問題中，我們可以這樣來分析：
首先，這個問題的目標、目的是什麼，也就是論點、論題或結論是什麼？然後就是給出了什麼樣的已知條件，即論據或根據。最後，也是最重要的，就是怎樣根據所給出的已知條件來推出或者論證論點的成立。其中，必須講清楚具體論證過程中所用到的基本推理形式或者論證形式。經過長期教學，學生就可以習慣這樣的邏輯思維模式，從而更好、更嚴謹地去理解和把握證明。
知識鏈接
任何一個證明都是由論題、論據和論證方式三個要素構成的。
論題也稱為論點，是指通過論證要確定其真實性的判斷。它回答的是「證明什麼」的問題。上述問題思考中證明的論題是：平行線的性質2（兩直線平行，內錯角相等）。
論據也稱為證據，它是用來確定論題真實性的判斷。回答的是「用什麼來證明」的問題。上述問題思考中，平行線的性質1（兩直線平行，同位角相等）等都是論據。
可以作為論據的判斷包括兩類。一類是已被確認的關於事實的判斷，即事實論據。另一類是表述科學原理的判斷，即理論論據。用前者作為論據去證明論題叫作「擺事實」，用後者作為論據去證明論題叫作「講道理」。用論據證明論題的過程實際上就是「擺事實，講道理」的過程。就上述問題思考中的證明而言，「a∥b」是事實論據，而「平行線的性質1（兩直線平行，同位角相等）」、「對頂角相等」等則是理論論據。
論證方式是指論據和論題之間的聯繫方式，即證明過程中所使用的推理形式。它回答的是「怎樣用論據證明論題」的問題。上述問題思考中的證明，首先使用了下面的推理，即：如果兩條直線平行，那麼同位角相等；a∥b；所以，∠1=∠2。該推理為充分條件肯定前件到肯定後件的假言推理，是一個形式有效的推理。
上述問題思考中，在論證「∠2=∠3」的真實性時，運用了下面一個傳遞關係的有效推理，即：∠1=∠2；∠3=∠1；所以，∠2=∠3。
而且，關於∠3=∠1的得出，又運用了下述三段論推理，即：凡對頂角都相等；∠3與∠1是對頂角；所以，∠3=∠1。
總之，上述問題思考中所用到的論證都屬於演繹論證。數學證明中，大量使用的都是演繹論證。
擴展延伸
在數學證明中，如果一個判斷表述為充分條件判斷，則意味著其前件為前提或論據，後件為結論或論點。其後件才是真正要確證的目標，前件則是已知條件，而且通常都是關於事實的已知論據。而要確證所要求證的判斷為真，當然還需要運用更多的已知條件，這些已知條件通常都是理論論據或者前面已經得到確證的定理。
數學中所說的逆定理，是說一個定理的逆判斷也是成立的。兩個定理互為逆定理則意味著，這兩個定理的判斷之間具有相互推出的關係，這時的定理其實斷定了一個充要條件的假言判斷。
如上述問題思考中的性質1：如果兩條直線平行，那麼同位角相等。其逆定理是：如果同位角相等，那麼兩條直線平行。性質1及其逆定理還可以表述為：當且僅當兩條直線平行，其同位角相等。
現行初一數學課本（人教版）下冊，在講述勾股定理的逆定理時，給出了下面的例題：
判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15。
分析：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等於最大邊長的平方。
解：（1）因為152+82=225+64=289，而且172=289，所以，152+82=172，這個三角形是直角三角形。
（2）因為132+142=169+196=365，而152=225，所以，132+142≠152，這個三角形不是直角三角形。
上述例題的「解」中，例（1）和例（2）的最後一句都是論點，而前面部分都是論據。但在它們的求解過程中，所用到的推理是不同的。例題（1）中用到的是充要條件假言推理的肯定前件式；例題（2）所用的推理則是充要條件假言推理的否定前件式，但都是有效的推理形式。即：
（1）當且僅當在一個三角形中，a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形；152+82=172；所以，這個三角形是直角三角形。
（2）當且僅當在一個三角形中，a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形；132+142≠152；所以，這個三角形不是直角三角形。
簡單分析例題（1）和（2），似乎用的都是充分條件假言推理而已。但如果這樣看待的話，則例題（2）就是一個充分條件假言推理的否定前件式，而這只能是一個無效的推理了。
顯然，例題（2）的推理形式和它表面上的表達是不一樣的。之所以如此，就是因為其中的推理是充要條件的而非充分條件的。為什麼如果斷定了a2+b2=c2，就可以斷定這個三角形是直角三角形了呢？這其實就是因為勾股定理的逆定理是成立的。那為什麼如果斷定了a2+b2≠c2，則這個三角形就不是直角三角形了呢？這其實是因為勾股定理是成立的，即如果是直角三角形則a2+b2=c2，是直角三角形是其中a2+b2=c2的充分條件，則a2+b2=c2是其為直角三角形的必要條件。總之，a2+b2=c2，既是成為直角三角形的充分條件，也是成為直角三角形的必要條件，即充要條件。
我們現有教材或輔導書的講解，雖然讓學生明白了怎樣做題，但並沒有讓學生真正明白其中存在的「道理」或者邏輯。
勤思多練
1.試分析下列論證，指出其中的論題、論據和論證方式。
（1）已知：△ABC
求證：∠A+∠B+∠C=180°
證明：如圖7—2，過點A作直線L，使L∥BC；
因為L∥BC，所以∠2=∠4（兩直線平行，內錯角相等）；
同理，∠3=∠5；
因為∠1，∠4，∠5組成平角，所以，∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）；
所以，∠1+∠2+∠3=180°（等量交換）。
（2）基本初等函數都是連續的。因為我們已經證明，角函數和反函數是連續的，冪函數是連續的，指數函數是連續的，對數函數是連續的，而角函數、反函數、冪函數、指數函數和對數函數是所有的基本初等函數。
2.單項選擇題。
（1）美國食品和藥物管理局（FDA）管理在市場中引入的新的治療藥劑，因此它在改善美國人的健康方面起了非常關鍵的作用。那些在學校裡、政府研究團體內的人的職責是從事長期的研究，以圖發現新的治療藥劑，並對它們進行臨床驗證。而使實驗室裡的新發現比較容易地轉移到市場上是FDA的作用和職責。新的重要的治療方法只有在轉移之後才能有助於病人。
以下哪項最可能是上面陳述的一個推論？
A.FDA有責任確保任何銷售到市場上的治療藥劑在當時都處於受控狀態。
B.在新的治療藥劑到達市場之前，它們不能幫助病人。
C.研究團體有責任對新藥進行特別長期的測試，而FDA卻沒有這樣的責任。
D.FDA應該更緊密地與研究者合作以確保治療藥劑的質量不會下降。
（2）張華是甲班學生，對圍棋感興趣。該班學生或者對國際象棋感興趣，或者對軍棋感興趣；如果對圍棋感興趣，則對軍棋不感興趣。因此，張華對中國象棋感興趣。
以下哪項最可能是上述論證的假設？
A.如果對國際象棋感興趣，則對中國象棋感興趣。
B.甲班對國際象棋感興趣的學生都對中國象棋感興趣。
C.圍棋和中國象棋比軍棋更具挑戰性。
D.甲班所有學生對中國象棋感興趣。