典型案例
A：「書上說，有精神病的人總是不承認自己有精神病。」
B：「那你有精神病嗎？」
A：「別亂說，我怎麼會有精神病呢？」
B：「哈哈，這不正說明你有精神病嗎？」
邏輯辨析
B在論證A有精神病時使用了一個推理，這個推理有兩個前提：一個是A說的「有精神病的人總是不承認自己有精神病」，另一個是A的回答「我怎麼會有精神病呢？」此回答等同於「A不承認自己有精神病」。假定B的論證方式能成立的話，其實是可以推斷出「所有人都是有精神病的人」這一荒謬結論的，因為所有有精神病的人不承認自己有精神病，而所有沒有精神病的人無須承認自己有精神病。倘若你處在A的位置上，你會如何反駁B的論證呢？
B所使用的推理是存在問題的，但其中的問題具有一定的隱蔽性。為了揭示問題所在，我們構造一個結構與之相同的推理：
直角三角形是三角形；
銳角三角形是三角形。
所以，銳角三角形是直角三角形。
這個推理的結論明顯是不能成立的。可見，這種類型的推理必須遵循一定的規則。這種類型的推理就是我們常說的三段論。
知識鏈接
三段論是以兩個含有一個共同項的性質判斷為前提，推出一個新的性質判斷為結論的推理。三段論由三個性質判斷構成，這三個性質判斷總共含有三個詞項，每個詞項出現在兩個判斷中。我們通常把結論中的主項叫小項，結論中的謂項叫大項，只在前提中出現而在結論中不出現的那個項叫中項。小項、大項和中項通常分別用S、P和M來表示。含有小項的前提是小前提，含有大項的前提是大前提。在關於三角形的那個推理中，「銳角三角形」是小項，「直角三角形」是大項，「直角三角形是三角形」是大前提，「銳角三角形是三角形」是小前提，其大前提、小前提和結論的邏輯形式分別為：PAM、SAM、SAP。該推理的邏輯形式至少可以用如下三種方式來表示：
（1）PAM
（2）PAMΛSAM→SAP
（3）PAM；SAM∴SAP
形式（1）中，每個前提的邏輯形式各佔一行，前提和結論之間用橫線隔開，好處是能充分體現推理的結構特徵，不足之處是佔用太多篇幅。形式（2）是把推理表達成蘊含式，蘊含式的前件是由前提的合取構成的，結論構成後件，好處是能體現推理和蘊含式間的內在聯繫，但理解這種內在聯繫會有點難度，而且某個前提或幾個前提本身的邏輯形式很複雜時，會涉及太多括號，不易體現出前提的數量及前提與結論的分界線。形式（3）基本上保留了（1）的優勢，又節省了空間。
在三段論中，中項在大前提中既可能處在主項的位置上，也可能處在謂項的位置上，小前提中中項的位置也是如此，由此就形成了三段論的四類不同形式，我們稱之為三段論的四個格：
每一格中，中項在前提中的位置是固定的。在第一格中，中項在大前提中做主項，在小前提中做謂項。在第二格中，中項在大前提和小前提中都做謂項，典型案例中的三段論就是第二格的。在第三格中，中項在大前提和小前提中都做主項。在第四格中，中項在大前提中做謂項，小前提中做主項。在三段論的每一格中，就大前提而言，它可以是A判斷，也可以是E判斷，還可以是I判斷或O判斷；就小前提和結論而言，也是如此。因此，每一格我們都可以寫出4×4×4個不同的三段論形式。但並非所有的三段論推理都是有效的，如典型案例中的三段論就是無效的。
推理有效與否是針對推理的邏輯形式而言的，一個推理形式是有效的是指所有含這種形式的推理全都不可能從真前提推出假結論。有效的推理具有保真性，能保證從真前提推出真結論。判定推理形式是否有效可以用代入的方式，只要找到一種代入使得推理的前提為真而結論卻為假，就可以斷定所有含這種形式的推理全都是錯誤的，是無效的。不過這種方式有其局限性，最大的局限在於它只能用於判定推理形式是無效的，而不能用於判定推理形式是有效的。因為當我們找不到使得前提為真而結論為假的代入時，並不能由此就得出結論說：不存在這樣的代入。所以，要判定一個推理是否有效還需要有更加精確的方法。
怎麼判定一個三段論推理是否有效呢？要回答這一問題需要瞭解三段論推理的規則。凡符合三段論規則的就是正確的，否則就是錯誤的。這套規則正是為了保障三段論從真前提推出真結論。
規則1 中項至少要周延一次。
否則就犯了「中項兩次不周延」的錯誤。之所以能由兩個包含有一個共同項的性質判斷為前提，推出一個新的性質判斷為結論，是因為中項在前提中起了中介的作用，把結論中的小項和大項聯結起來了。倘若中項在前提中一次都不周延，也就是說大項和小項都沒有和中項的全部外延發生聯繫的話，小項和大項間就不會產生必然的聯繫，也就不會有必然的結論。典型案例中的推理正是犯了中項兩次不周延的錯誤，因為中項「不承認自己有精神病」在「有精神病的人總是不承認自己有精神病」和「A不承認自己有精神病」中都處在肯定判斷的謂項的位置，都是不周延的。中項「三角形」在「直角三角形是三角形」和「銳角三角形是三角形」中也都是不周延的。正確三段論必定滿足這一規則。
規則2 在前提中不周延的項，在結論中也不得周延。
否則就犯了「大項不當周延」或「大項擴大」、「小項不當周延」或「小項擴大」的錯誤。該規則也可以表述為「在結論中周延的項，在前提中必須周延」。三段論的結論是從前提推導出來的，倘若一個項在前提中不周延而在結論中周延，那麼它在結論中所斷定的範圍就超出了前提所斷定的範圍。這樣，從前提出發就不能必然地推出結論，也就不能保證推理的正確性。例如：
中年人是建設祖國的重要力量；
青年人不是中年人。
所以，青年人不是建設祖國的重要力量。
大項「建設祖國的重要力量」在前提中位於肯定判斷的謂項，是不周延的，而在結論中充當的是否定判斷的謂項，是周延的。正因為如此，才導致由真實的前提推出了虛假的結論。需要注意的是，該規則只是要求不能擴大，倘若某個項在前提中周延而在結論中不周延，並不違背規則。再者，該規則只是針對結論中周延的項而言的，只有對結論中周延的項我們才需要考慮它在前提中是否周延。
規則3 結論和前提中否定判斷的數量要相等。
由於三段論由兩個前提和一個結論構成，因此，結論和前提中否定判斷的數量相等就只會有兩種情況：0=0，1=1。前者表明前提和結論中都無否定判斷，後者表明結論為否定判斷且前提之一為否定判斷。這一規則意味著：若兩個前提肯定，則結論必肯定；若結論肯定，則兩個前提必肯定；兩個前提不能都是否定判斷；若一個前提是否定判斷，另外一個必須是肯定判斷；若結論否定，則前提必定有一個而且只能有一個是否定判斷；若前提中有一個否定判斷，則結論必為否定判斷。
規則4 一個正確的三段論只能含有三個詞項。
否則就犯了「四詞項」或「四概念」錯誤。例如：
群眾是真正的英雄；
我是群眾。
所以，我是真正的英雄。
這個推理看似只含三個詞項：群眾、真正的英雄、我，其實含有四個詞項，因為「群眾」的兩次出現其內涵是不同的，在「群眾是真正的英雄」中是就整體而言的，在「我是群眾」中是針對個體而言的，也可以說，前者是在集合意義上使用的，後者是在非集合意義上使用的。
擴展延伸
由於在四個格中中項所處的位置不同，三段論的一般規則運用到不同格時會有不同的體現，從而決定了各格的不同用途。如三段論的一般規則在第一格中體現為兩點：小前提必須肯定；大前提必須全稱。這使得第一格尤其適用於審判工作中定罪和量刑的環節，故第一格又稱審判格。第一格還有典型格之稱，因為所謂的三段論公理若以三段論形式來刻畫，將分別是第一格的兩個三段論：
MAP；SAM∴SAP
MEP；SAM∴SEP
前者表示：若斷定一類事物的全部具有某種性質，則必定斷定這一類事物中的部分也具有這一性質；後者表示：若斷定一類事物的全部不具有某種性質，則必定斷定這一類事物中的部分也不具有這一性質。運用第一格時常犯的錯誤是小前提否定，如下面的對話：
父：「你怎麼能說髒話呢？」
子：「您不也說髒話嗎？」
父：「我又不是學生。」
對話中父親的思維過程相當於一個三段論推理：
學生是不應當說髒話的；
我不是學生。
所以，我不是不應當說髒話的。
這個三段論違背了三段論的一般規則，大項「不應當說髒話的」在前提中不周延，在結論中周延，犯了大項不當周延的錯誤。
在實際運用過程中，三段論常以省略的形式出現。這種省略絲毫不影響聽者或讀者對推理的理解，因為被省略的總是不言而喻的部分。如「沒有文化的軍隊是愚蠢的軍隊，而愚蠢的軍隊是不能戰勝敵人的」，這裡省略了「沒有文化的軍隊是不能戰勝敵人的」這一結論。不過省略形式的三段論往往會使推理中所含的錯誤更加隱蔽，所以，要判定一個省略三段論推理是否有效，我們還必須把它恢復成完整的三段論。
勤思多練
1.指出下列三段論的大項、中項、小項，以及大前提、小前提和結論，並分析三段論是否有效。
（1）一切植物都能進行光合作用，莊稼是植物，所以，莊稼能進行光合作用。
（2）反芻動物都不是食肉動物，獅子是食肉動物，所以，獅子不是反芻動物。
（3）甲班所有運動員都穿紅色運動服，跑在最前面的那個運動員穿紅色運動服，所以，跑在最前面的那個運動員是甲班的運動員。
（4）菌類植物不是綠色植物，因為綠色植物都含有葉綠素，而菌類植物不含葉綠素。
2.單項選擇題。
（1）所有切實關心教師福利的校長，都被證明是管理得法的校長；而切實關心教師福利的校長，都首先把注意力放在解決中青年教師的住房上。因此，那些不首先把注意力放在解決中青年教師住房上的校長，都不是管理得法的校長。
為使上述論證成立，以下哪項必須為真？
A.中青年教師的住房問題，是教師的福利中最為突出的問題。
B.所有管理得法的校長，都是關心教師福利的校長。
C.中青年教師的比例近年來普遍有了大的增長。
D.所有首先把注意力放在解決中青年教師住房上的校長，都是管理得法的校長。
（2）某些經濟學家是大學數學系的畢業生。因此，某些大學數學系的畢業生是對企業經營很有研究的人。
下列哪項如果為真，則能夠保證上述論斷正確？
A.某些經濟學家專攻經濟學的某一領域，對企業經營沒有太多的研究。
B.某些對企業經營很有研究的經濟學家不是大學數學系畢業的。
C.所有對企業經營很有研究的人都是經濟學家。
D.所有的經濟學家都是對企業經營很有研究的人。