約翰和傑克去清掃一個大煙囪。那煙囪只有踩著裡面的鋼筋踏梯才能上去，傑克在前面，約翰在後面抓著扶手一階一階地爬上去了。下來時，傑克依舊走在前面。於是，鑽出煙囪時傑克的臉上全被煙囪裡的煙灰蹭黑了，而約翰臉上竟連一點煙灰也沒有。
約翰看見傑克的模樣，心想自己一定和他一樣髒，於是就到附近的小河裡去洗了又洗。而傑克看見約翰乾乾淨淨，就以為自己也一樣乾淨，只草草地洗了洗手就上街了。街上的人都笑痛了肚子，還以為傑克是個瘋子呢。
傑克後來對兒子說：「其實別人誰也不能做你的鏡子，只有自己才是自己的鏡子。拿別人做鏡子，白癡或許會把自己照成天才的。」
這個故事讀來妙趣橫生，發人深省。故事的最後一段話，固然可以說明自我觀照的重要，但是我們難道真的不能把別人當自己的鏡子嗎？
在回答這個問題之前，我們先來看博弈論中一個著名模型：髒臉博弈。假定在一個房間裡有三個人，三個人的臉都很髒，但是他們只能看到別人而無法看到自己。這時，有一個美女走進來，委婉地告訴他們說：「你們三個人中至少有一個人的臉是髒的。」這句話說完以後，三個人各自看了一眼，沒有反應。
美女又問了一句：「你們知道嗎？」當他們再彼此打量第二眼的時候，突然意識到自己的臉是髒的，因而三張臉一下子都紅了。為什麼？
當只有一張臉是髒的時候，一旦美女宣佈至少有一張髒臉，那麼臉髒的那個參與人看到兩張乾淨的臉，他馬上就會臉紅。而且所有的參與人都知道，如果僅有一張髒臉，臉髒的那個人一定會臉紅。
在美女第一次宣佈時，三個人中沒人臉紅，那麼每個人就知道至少有兩張髒臉。如果只有兩張髒臉，.兩個髒臉的人各自看到一張乾淨的臉，這兩個髒臉的人就會臉紅。而此時如果沒有人臉紅，那麼所有人都知道三張臉就是髒的，因此在打量第二眼的時候所有人都會臉紅。
即便沒有美女的宣佈，參與者也知道至少有一個人的臉是髒的。為什麼美女的一句看似無用的廢話，三個人就都知道自己的臉是髒的呢？
這就是共同知識的作用。共同知識的概念最初是由邏輯學家李維斯提出的。對一個事件來說，如果所有博弈當事人對該事件都有瞭解，並且所有當事人都知道其他當事人也知道這一事件，並且所有當事人都知道所有當事人都知道這一事件，那麼該事件就是共同知識。
假定一個人群由A、B兩個人構成，A、B均知道一件事實f，f是A、B各自的知識，而不是他們的共同知識。當A、B雙方均知道對方知道f，並且他們各自都知道對方知道自己知道f……
這就相當於動態博弈中的倒推法，是獲得決策信息的方式。但是它與一條線性的推理鏈不同，這是一個循環，即「假如我認為對方認為我認為……」。也就是說，當「知道」變成一個可以循環繞動的車轱轆時，我們就說f成了A、B間的共同知識。因此，共同知識涉及一個群體對某個事實「知道」的結構。在上面的博弈中，美女的「廢話」所引起的唯一改變，是使一個所有參與人事先都知道的事實成為共同知識。
在靜態博弈裡，沒有一個博弈者可以在自己行動之前得知另一方的整個計劃。在這種情況下，互動推理不是通過觀察對方的策略進行的，而是必須通過看穿對手的策略才能展開。
要想做到這一點，單單假設自己處於對手的位置會怎麼做還不夠。即便你那樣做了，你會發現，你的對手也在做同樣的事情，即他也在假設自己處於你的位置會怎麼做。每一個人不得不同時擔任兩個角色，一個是自己，一個是對手，從而找出雙方的最佳行動方式。
為了對這一點加深瞭解，我們來看下面這個據說來自微軟的試題。
有3頂黑帽子，2頂白帽子。讓三個人從前到後站成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，只能看見站在前面那些人的帽子顏色。最後那個人可以看見前面兩個人頭上帽子的顏色，中間那個人看得見前面那個人的帽子顏色但看不見在他後面那個人的帽子顏色，而最前面那個人誰的帽子都看不見。從最後那個人開始，問他是不是知道自己戴的帽子的顏色，如果他回答說不知道，就繼續問他前面那個人。現在最後面一個人說他不知道，中間那個人也說不知道，當問到排在最前面的人的時候，他卻說已經知道。為什麼？
這是共同知識的機制在發生作用。最前面的那個人聽見後面兩個人都說了「不知道」，他假設自己戴的是白帽子，那麼中間那個人看見他戴的白帽子就會做如下推理：「假設我戴了白帽子，那麼最後那個人就會看見前面兩頂白帽子，因總共只有兩頂白帽子，他就應該明白他自己戴的是黑帽子。但現在他說不知道，就說明我戴了白帽子這個假定是錯的，所以我戴了黑帽子。」問題是中間那人也說不知道，所以最前面那個人知道自己戴白帽子的假定是錯的，所以推斷出自己戴了黑帽子。
在這個過程中，只有通過三個回合的揣摩，每個人才能知道其他人眼裡看到的帽子顏色，從而判斷自己頭上的帽子顏色。