第10章 量子幾何
在大約10年的時間裡，愛因斯坦憑他的一雙手推倒了200多年老的牛頓體系，為世界帶來了可以證明的嶄新而深刻的引力理論。不論專家還是外行，都喜歡談愛因斯坦在塑造廣義相對論時所表現的卓絕才華和驚人的創造力，不過，我們也不應該忘記對他的成功有過極大幫助的歷史環境。這裡面影響最大的是黎曼19世紀的數學發現，他嚴格建立了描寫任意維彎曲空間的幾何方法。1854年在哥廷根大學那篇著名的就職演講中，黎曼砸碎了平直空間的歐幾里得思想鎖鏈，開闢了一條“民主的”幾何道路——用統一的數學方法處理各種不同的彎曲空間。正是黎曼的這種思想，為圖3.4和圖3.6那樣的彎曲空間帶來了定量的分析方法。愛因斯坦的天才在於他認識到這個數學寶貝彷彿就是為他實現引力新形象而定做的。他大膽宣言，黎曼幾何的數學與引力的物理學是天生的姻緣。
然而，在愛因斯坦的絕妙發現約百年後的今天，弦理論為我們提供了一個引力的量子力學圖景，不得不在距離尺度小到普朗克長度時修改廣義相對論。因為黎曼幾何是廣義相對論的數學靈魂，所以它也必然需要改變，才可能忠實反映短距離下的弦理論景象。廣義相對論斷言宇宙的彎曲性質由黎曼幾何描述，弦理論則認為只有我們在大尺度下看宇宙才會那樣。在普朗克長度那樣的小尺度下，一定會出現一種新的幾何，來做新的弦理論物理學的伴侶；這門新的幾何框架叫量子幾何。
與黎曼幾何的情形不同，弦理論家找不到什麼現成的數學寶貝躺在哪個數學家的書櫥裡，可以拿來當量子幾何。所以，物理學家和數學家們今天正轟轟烈烈研究弦理論，一點點築成一門新的物理學和數學的分支。儘管完整的故事還有待別人來寫，他們的研究已經揭開了許多弦理論所賦予時空的新的幾何性質——愛因斯坦見了也會驚愕的性質。
黎曼幾何
如果你在彈簧墊子上跳，墊子會因你的重量而塌陷、彎曲。陷得最深的是你落腳的地方，而邊緣則沒多大影響。如果在墊子上畫一幅你熟悉的《蒙娜麗莎》，你會清楚地看到這個過程。當彈簧墊子上什麼也沒有時，蒙娜麗莎與尋常一樣；但當你站在墊子上時，畫會變形，特別是你腳下的部分，如圖10.1。
這個例子觸及了黎曼彎曲幾何數學框架的根本特徵。在高斯（Carl Friedrich Gauss）、羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky），波裡亞（Janos Bolyai）等前輩數學家的基礎上，黎曼證明了，物體上任何兩個位置間的距離可以用來定量表示物體的彎曲程度。粗略地說，不均勻塌陷越大——距離關係偏離平直空間越遠——物體的曲率越大。例如，你腳下的墊子陷得最深，在那個區域裡兩點間的距離關係扭曲也最嚴重。因此，墊子的這個區域有最大的曲率，這跟你預料的一樣。蒙娜麗莎的臉在那兒經歷了最嚴重的扭曲，她那永恆的謎一般微笑的嘴角露出一絲詭異的表情。
愛因斯坦採納了黎曼的數學發現，為它賦予了精確的物理學意義。我們在第3章講過，他說明了時空彎曲體現著引力的作用。不過，現在我們要更近地來思考這種解釋。從數學上講，時空曲率——與床墊的彎曲一樣——反映了時空點之間的距離關係的扭曲。從物理學看，物體感覺的引力是這種扭曲的直接結果。實際上，如果讓物體更小，當我們更深入地認識點的抽像的數學概念的物理意義時，物理和數學將走得更近。但是，弦理論限制了引力物理學能在多大程度上實現黎曼幾何的數學體系，因為它限制了我們能讓物體變得多小。當我們走近一根根的弦時，就不能走得更遠了。弦理論沒有傳統的點粒子概念——這是它能為我們帶來引力的量子理論的基本因素。這具體說明在根本上依賴於距離概念的黎曼幾何結構，在超微觀尺度下被弦理論改造了。
圖10.1 當你站在“蒙娜麗莎床墊”上時，她的微笑扭曲了。
這些發現對廣義相對論的宏觀應用沒有產生多大影響。例如，在宇宙學中，物理學家依然把星系當作一個個的點，因為它們的大小與整個宇宙比起來是小得可憐的。因此，以這種粗略的方式實現黎曼幾何還是很精確的近似，廣義相對論在宇宙學背景的成功也證明了這一點。但是，在超微觀的領域，弦的延展本性意味著黎曼幾何肯定不會是正確的數學形式。正如我們即將看到的，它將被弦理論的量子幾何所取代，我們將面臨一些嶄新的意想不到的特徵。
宇宙大舞台
根據宇宙學的大爆炸模型，整個宇宙大約是在150億年前從一場奇異的大爆炸中轟然出現的。今天，我們看到——最早是哈勃發現的——大爆炸的“碎片”，那億萬個星系，還在向外奔流著。宇宙在膨脹。我們不知道宇宙是一直這樣膨脹下去，還是有那麼一天會慢慢停下來，然後反過來經歷一場宇宙的大收縮。天文學家和天體物理學家正努力從實驗來解決這個問題，因為答案引來一個原則上可以觀測的量：宇宙的平均物質密度。
假如平均密度超過每立方厘米十萬億億億分之一（10-29）克的所謂臨界密度——相當於宇宙中每立方米中有5個氫原子——那麼足夠強大的引力將穿透宇宙，把它從膨脹拉回來。假如平均密度比臨界值小，引力作用會很弱，擋不住宇宙永不停歇的膨脹。（憑你自己的觀察，你大概以為宇宙物質的平均密度遠遠超過了臨界值。但別忘了，物質與金錢一樣，會朝著某些地方聚集。拿地球或太陽系，或銀河系的物質密度來作為整個宇宙的密度指標，就像拿比爾·蓋茨（Bill Gates）的財產來作為全球財富的指標，我們知道多數人的財產與蓋茨相比都是微不足道的，平均下來要小得多；同樣，星系間存在著大量幾乎真空的區域，它們會大大降低宇宙的平均物質密度。）
天文學家通過仔細研究星系在空間的分佈，很好掌握了宇宙可見物質的平均量。結果比臨界值小許多。但不論從理論還是實驗，都有證據強烈表明宇宙還充滿著看不見的暗物質。這些物質不參與恆星能源的核聚變，所以不會發光，不能走進天文學家的望遠鏡。現在還沒人能認定暗物質的本性，更談不上確定它存在的總量。看來，我們還說不清今天膨脹的宇宙會有什麼樣的命運。
為了討論方便，讓我們假定物質密度真的超過了臨界值，在遙遠未來的某一天，宇宙將不再膨脹，而開始坍縮。所有星系將慢慢靠近，隨著時間的流逝，它們靠近的速度將越來越快，最後以瘋狂的速度撞在一起。你應該看到，整個宇宙在擠壓成一塊不斷收縮的物質。就像我們在第3章講的那樣，它從億萬光年開始收縮，速度在每時每刻增大，萬物在不停地匯聚到一起，擠進一個星系大小的空間；它收縮到百萬光年，然後到一顆恆星的大小，然後，一顆行星，一個橘子，一顆豆，一粒沙……照廣義相對論，它還要繼續收縮下去，成一個分子，一個原子，最後在無法抗拒的宇宙大擠壓下，它沒有了大小。根據傳統理論，宇宙從沒有大小的原初狀態爆炸而來，如果有足夠的質量，它又在大收縮中回到相同的終極擠壓狀態。
但是，我們現在很清楚，當距離尺度在普朗克長度附近或者更小時，量子力學使廣義相對論的方程不再有效。我們必須運用弦理論。那麼，既然廣義相對論允許宇宙的幾何形式可以任意小——這相應於黎曼幾何的數學允許我們想像任意小的抽像的幾何形式——我們自然會問，弦理論是如何改變這種圖景的呢？我們很快會看到，弦理論以一種奇異的方式為物理學能達到的距離尺度確立了一個下限，它聲稱宇宙在任何空間維上都不可能收縮到普朗克長度以下。
這個結果是怎麼來的？你可能忍不住要憑自己現在對弦理論的認識，大膽猜想一個答案。當然，你會說不論多少個點堆起來——點粒子就是那樣的——體積總還是零。不過，假如粒子真是一根根的弦，它們在完全隨機的方向坍縮在一起，就可能填滿體積不為零的一團，彷彿一個橡皮筋捲起來的普朗克大小的皮球。如果你這樣想，那就走對路了，但可能會忽略一些重要而微妙的特徵——弦理論巧妙地利用這些特徵發現宇宙應該有一個極限的小尺度；這些特徵則具體說明了即將到來的新的弦物理學和它可能給時空幾何帶來的影響。
為解釋這些重要問題，我們先來看一個例子，它忽略了無關緊要的細節，但又不損害新物理學的特徵。我們不考慮弦理論的所有10個空間維——甚至我們熟悉的4個展開的時空維也不都考慮——我們還是回到那個花園水管的宇宙。在第8章引進這個二維宇宙是為了說明20世紀20年代卡魯扎和克萊茵的思想。現在我們用它來作為一個“宇宙大舞台”。看看弦理論在這樣簡單的情形會有些什麼性質，然後我們根據這樣得來的知識去更好地認識弦理論所要求的所有空間維。為達到這個目標，我們想像管子宇宙的橫向維度開始是圓鼓鼓的，然後慢慢收縮，圓圈越來越小，管子越來越細，趨向一根直線——這樣我們看到一個簡化的大擠壓過程的縮影。
我們的問題是，這樣的宇宙坍縮的幾何和物理性質，在弦的宇宙和在點粒子的宇宙間會有什麼顯著不同的特徵嗎？
新特徵
我們用不著遠遠地去尋找弦物理的什麼基本新特徵。一個在二維世界的點粒子可以像圖10.2畫的那樣：在水管伸展的方向運動，在環繞的方向上運動，或者在兩個方向之間運動。一根弦的小圈也能這樣，不同的是，它會在運動中振動，如圖10.3（a）。這點差別我們已經較詳細地討論過了：弦通過振動而產生諸如質量和力荷等特徵。雖然這是弦理論的決定性的方面，但我們現在不談它，因為我們已經懂得了它的物理意義。
我們現在感興趣的是點粒子運動與弦運動的另一點差別，它直接依賴於運動所在空間的形態。因為弦是展開的物體，所以除了已經講的那些，還有一種可能的形式：它可以像繩子一樣纏繞著管子世界，如圖10.3（b）。1弦將仍然在管子上滑行和振動，不過是以纏繞的形式運動。實際上，弦可以纏繞管子任何圈（也畫在圖10.3（b）），一樣在滑行中振動。當弦這樣捲曲時，我們說它處於纏繞式的運動。顯然，纏繞式的運動是弦固有的可能運動形式，點粒子沒有對應的狀態。我們現在要來認識，這類性質全然不同的運動，對弦本身和它所纏繞的維度的幾何性質會產生什麼影響。
圖10.2 在柱面上運動的點粒子。
圖10.3 弦在柱面上能以兩種不同方式運動——“纏繞式的”（b）和“非纏繞式的”（a）。
纏繞的弦
我們前面關於弦的運動講的都是未纏繞的弦。纏繞空間的圓圈維的弦也幾乎都有我們講過的那些弦的性質。它們的振動也跟未纏繞的夥伴一樣，決定著它們的觀測性質。兩者的基本差別是，纏繞的弦有一個極小質量，取決於捲縮維的大小和纏繞的圈數。弦的振動則決定超過極小質量的那部分質量。
我們很容易明白那極小質量是怎麼來的。一根纏繞的弦有極小長度，那是捲縮維的周長和弦纏繞它的圈數所決定的。弦的極小長度決定它的極小質量：弦越長，它的極小質量越大，因為“東西更多”。由於圓周長正比於半徑，所以纏繞弦的極小質量正比於纏繞圓周的半徑。用愛因斯坦的E=mc2把質量同能量聯繫起來，我們也可以說束縛在纏繞弦內的能量正比於被纏繞的圓周的半徑。（未纏繞的弦也有極小長度，否則便又回到點粒子的王國了。因為同樣的理由，我們說未纏繞的弦也有一個極小但非零的質量。從某種意義說這是對的，但第6章講的那種量子力學效應（再想想那個“價格遊戲”卻可能消除這部分質量——零質量的光子、引力子和其他無質量或幾乎無質量的粒子就是這樣產生出來的。從這點看，纏繞的弦是不一樣的。）
纏繞弦的存在如何影響它所纏繞的空間維的幾何性質呢？日本物理學家吉川敬治（Keiji Kikkawa）和山崎政實（Masami Yamasa-ki）在1984年第一次找到一個答案，令人驚訝而困惑。
我們來看管子宇宙大收縮的最後那“驚天動地”的一幕。照廣義相對論的方式，捲縮的空間向著普朗克長度收縮，然後繼續朝更小的尺度收縮下去；關於這一幕實際發生的事情，弦理論卻有著迥然不同的說法。弦理論認為，捲縮維半徑小於普朗克長度而且還在減小的管子宇宙所發生的所有物理學過程，與半徑大的而且還在增大的管子宇宙所發生的過程，絕對是完全相同的！這就是說，當捲縮的空間向著普朗克尺度和更小的尺度坍縮時，一切的努力都被弦化解了，弦把空間幾何扭轉回來。弦理論證明，這種演化還可以說成是——或者更準確地解釋為——捲縮的空間收縮到普朗克尺度，然後開始擴張。弦理論重寫了短距離下的幾何定律，原來似乎完全的宇宙坍縮現在好像成了宇宙反彈。捲縮的維可以收縮到普朗克長度，但因為弦的纏繞，再往下收縮實際卻成了擴張。我們來看那是為什麼。
弦的狀態65
新的弦的纏繞形式的出現，意味著管子宇宙中弦的能量有兩個來源：弦的振動和纏繞。根據卡魯扎和克萊茵的傳統，這兩個來源都依賴於管子的幾何，也就是說，依賴於捲縮圓圈的半徑，不同的是帶上了明顯的弦的特徵，因為點粒子是不可能發生纏繞的。於是，我們的第一件事情是準確地決定弦的振動和纏繞的能量貢獻如何依賴於捲縮維圓周的大小。為此，我們遵照一種被證明是很方便的辦法，把弦的振動分解為兩個部分：均勻的振動和普通的振動。普通的振動指我們討論過多次的尋常的振動，如圖6.2畫的那些振動；均勻的振動說的是一種更簡單的運動：弦從一個地方到另一個地方的不改變形狀的整體性滑動。所有的弦運動都是滑動與振動的組合，不過在現在的情形，我們很容易把它們區別開來。實際上，普通振動在我們的討論中不會起多大作用，我們講完要點以後再考慮它的效應。
我們有兩點基本發現。第一點，弦的均勻振動（整體滑動）所激起的能量反比於捲縮維的半徑，這是量子力學不確定性原理的直接結果：小半徑的空間更嚴格束縛了弦的活動，從而通過量子力學的幽閉效應增大了弦運動的總能量。所以，當捲縮維的半徑減小時，弦運動的能量必然會增大——這明顯是反比性的特徵。第二點，跟我們以前發現的一樣，纏繞運動的能量正比而不是反比於維的半徑。記住，這是因為纏繞弦的最小長度——從而也是最小能量——正比於那個半徑。這兩個事實說明，大的半徑意味著大的纏繞能和小的振動能，而小的半徑意味著小的纏繞能和大的振動能。
這將我們引向一個重要事實：任何一個捲縮維的圓周半徑大的二維世界（或者說較粗的管子世界）都對應著一個半徑小的夥伴，前者的弦的纏繞能等於後者的弦的振動能，而前者的弦的振動能等於後者的弦的纏繞能。由於物理學性質關心的是弦結構的總能量——而不在乎能量如何在纏繞和振動間分配——所以這兩個幾何形態不同的管子世界沒有物理學的區別。於是，弦理論得出一個非常令人驚訝的結論：不論管子世界是“粗”還是“細”，它們之間不存在什麼區別。
這是宇宙的一個“雙贏”策略。假如你是位精明的投資者，你遇到下面的困惑時也會這麼做的。假定在華爾街上市的兩種股票——一種是做健康器械的，一種是做心臟瓣膜的——牢牢地相互關聯著。它們今天的收盤價都是1美元一股。據可靠消息，如果一家股票漲了，另一家就會跌；而且，那位消息靈通人士——他是完全信得過的（儘管他的做法有點兒違規）——告訴你，明天這兩家股票收盤時的價格肯定會互為反比。就是說，如果一家的收盤價是2美元，則另一家該是1/2美元（50美分）；一家是10美元，另一家就是1/10美元（10美分），等等。但是，那人不能告訴你哪家高，哪家低。你該怎麼辦呢？
你會一下子把所有的錢都投進來，平均分配到兩家公司的股票。因為通過幾個例子你就能計算出結果，不論第二天股市如何，你都不會賠的。最壞的情形也能保住本錢（兩種股票都是1美元1股）；但只要股價有變化——像你的內線說的那樣——你總會賺錢的。例如，健康公司在4美元收盤，而心臟瓣膜公司在1/4美元收盤，兩者之和是4.25美元，超過了前一天的2美元。而且，從淨賺的錢看，你用不著管哪家高哪家低。如果你只關心總的收入，那麼兩家公司的不同狀況並不會對結果發生影響。
弦理論中的能量也處於類似的情形。弦的能量也是兩個來源（振動的和纏繞的），兩者對總能量的貢獻一般是不同的。但我們在下面會看到，不同的幾何形態構成的一對——一個產生高纏繞/低振動能，一個產生低纏繞/高振動能——在物理上是沒有區別的。另外，在股票的情形，除了總收入以外，兩種股票是可以區別的；但兩種弦的圖景是絕對沒有物理學區別的。
實際上，在股票市場也含有類似情形。不過，我們應該考慮另一種投資方式：你沒有將錢平均投向兩家公司，而是買了1000股健康公司，3000股心臟瓣膜公司。這時候，你的總收入與哪家公司收盤高低有關係。例如，健康收盤10美元，心臟收盤1/10美元時，你原來投入的4000美元現在成了10300美元；如果兩家收盤情況相反，則你的股票價值該是30100美元——多多了。
不管怎麼說，反比例的股價一定會產生下面的結果。假如你有個朋友，她買股票跟你完全“對著來”——3000股心臟瓣膜公司的，1000股健康公司的。於是，在健康收盤高（10美元）的情形，她的股值是30100美元，跟你在相反情形的股值一樣；同樣，當心臟瓣膜收盤高時，她的股值為10300美元，還是跟你在相反情形的股值一樣。這就是說，從總的股值看，兩個股價的高低更替的影響將完全被兩種股票數量的交換所抵消。
記著最後這一點，我們現在回到弦理論，在一個具體例子中考慮可能的弦能量情況。假定管子世界的圓圈半徑是普朗克長度的10倍，我們記作R=10。弦可以纏繞管子任意多圈，如1圈、2圈、3圈，等等。弦纏繞管子的圈數叫纏繞數。纏繞的能量決定於纏繞弦的長度，正比於半徑與纏繞數的乘積。另外，任何纏繞的弦都能振動，我們現在講的整體的均勻振動的能量與半徑成反比，也就是半徑的倒數1/R（這裡是普朗克長度的1/10）的整數倍。我們稱這個整數因子為振動數。2
你可以看到，這種情形與我們在華爾街遇到的情形很相似。在這裡，纏繞數和振動數恰好相應於兩家公司股票的份額，而R和1/R則類似於兩種股票的收盤價格。現在，我們可以像計算股值那樣，通過纏繞數、振動數和半徑來計算弦的總能量。表10.1列舉了部分弦狀態的總能量。表中還列舉了在管子半徑R=10情況下我們選擇的纏繞數和振動數。
纏繞數和振動數可以是任何整數，所以完整的表是無限長的。不過，就我們的討論來說，這幾行有足夠代表性。從表中可以看到，我們選擇的是高纏繞能和低振動能的狀態：纏繞能的因子為10，而振動能的因子為1/10。
現在想像管子收縮，半徑從10縮到9.2、7.1……直到1.1、0.7，最後收縮到0.1（1/10），停下來。我們現在討論這種情形。對這個幾何特徵不同的管子宇宙，我們可以得到類似的一個弦能量表：現在纏繞能的因子是1/10，而振動能的因子是它的倒數10。結果是表10.2。
表10.1 在圖10.3所示宇宙中運動的弦振動和纏繞的例子，纏繞維的半徑為R=10。振動能的因子為1/10，纏繞能的因子為10，從而得出所列的總能量。能量單位為普朗克能量。例如，表中最後一列10.1的意思是10.1倍普朗克能量。
乍看起來，兩張表是不同的。但仔細看看，除了數字的次序不同外，兩表的“總能量”是完全相同的。為在表10.1中找到與表10.2的某個能量對應的值，只需要交換纏繞數和振動數。就是說，當捲縮維的半徑發生改變時（如從10到1/10），振動與纏繞所扮演的角色也相互替換了。於是，只要我們考慮弦的總能量，捲縮維的大小就不會產生什麼影響。像那兩種股票價格的變化完全被股票份額的交換所補償一樣，把半徑從10調換為1/10的結果，也將通過交換振動數和纏繞數而消化。而且，這種結論對任何半徑和它的倒數都是成立的，我們選擇R=10與R=1/10不過是為了簡單方便。3
表10.2 同表10.1，但半徑為R=1/10。
表10.1和表10.2是不完整的，原因有兩個。第一個我們講了，弦的振動數和纏繞數可以有無限多的可能，而我們只列舉了幾個。這當然不會有什麼問題——我們只要有耐性，想把表列多長都行。我們會發現，表中的關係總是成立的。第二個原因是，除纏繞能外，我們只考慮了來自弦的均勻振動的能量。現在，我們要把普通振動也考慮進來，它們為總能量帶來另一份貢獻，而且還決定著弦攜帶的力荷。但更重要的是，這些貢獻與半徑大小無關。這樣，即使我們在表10.1和表10.2里考慮了這些更具體的特性，兩個表還是相互對應的，因為普通振動的貢獻在任何情況下都是相同的。於是，我們可以說，半徑為R的管子世界裡粒子的質量和力荷與半徑為1/R的情形是完全一樣的。因為質量與力荷決定著基本的物理現象，所以在物理上我們不能區別這兩種不同幾何的宇宙。一個宇宙做的實驗在另一個宇宙中有一個對應的實驗，它們將導出相同的結果。
爭論
喬治和格雷茜走進二維管子世界，成了二維生命，做了那裡的物理學教授。兩人各建起一個與對方競爭的實驗室，都宣佈自己確定了捲縮維的半徑。兩人的實驗精度一貫令人佩服，但奇怪的是這回他們的結果卻是矛盾的。喬治說半徑R=10倍普朗克長度，而格蕾茜宣稱R=1/10倍普朗克長度。
“格蕾茜，”喬治說，“據我的弦理論計算，我知道，假如圓圈維的半徑是10，我就能預期看到表10.1所列的那些能量的弦。我已經用新的普朗克能量加速器做了好多實驗，已經證實了這個預言。所以，我相信，我敢說那圓的半徑是R=10。”格蕾茜替自己說了差不多同樣的話，不過她的結論是她發現了表10.2所列的能量，從而證明半徑R=1/10。
格蕾茜靈機一動，讓喬治看到兩個表雖然次序不同，內容卻是完全一樣的。可喬治總要遲鈍一些，他問，“怎麼會這樣呢？根據量子力學和纏繞弦的基本特徵，我知道不同的半徑會產生不同的弦能量和力荷，如果承認這一點，那我們的半徑應該是相同的。”
格蕾茜根據她對弦物理學的新發現告訴喬治：“你說的差不多是對的，可不完全。一般情況下，不同的半徑會產生不同的能量；但在特殊情形，例如兩個半徑互為倒數——10與1/10——則允許的能量和力荷實際上是完全一樣的。你看，你說的纏繞，我說是振動，而你說的振動，我說是纏繞。大自然可不管我們怎麼說，物理學決定於基本的物質構成——粒子質量（能量）和它所帶的力荷。不論半徑是R還是1/R，弦理論中基本物質構成的這些性質是完全一樣的。”
喬治費好大氣力才明白過來，他回答說：“我想我明白了。雖然你我給出的弦的具體描述有所不同——要麼纏繞捲縮維的方式不同，要麼振動行為不同——但它們表現的物理學特徵卻是完全相同的。因為宇宙的物理學性質依賴於這些基本物質組成的性質，所以在半徑互為反比的兩個宇宙間沒有什麼不同，也沒有辦法區分它們。”說得完全正確。
三個問題
現在你可能會問：“你看，假如我是管子世界裡的一個小生命，我可以很簡單地拿皮尺去測量管子的周長，從而毫無疑問地確定它的半徑——沒有假設，也沒有但是。那麼，不同半徑而又不可分辨的兩個世界有什麼意思呢？另外，弦理論不是排除了普朗克長度以下的尺度了嗎，為什麼我們還在談多少分之一普朗克長度的半徑的維度呢？最後，雖然我們在講二維的管子世界，但誰會把它當真呢？——當我們把所有的維都考慮進來時，它還能有什麼意義嗎？”
我們先來看最後這個問題，答案會把我們引向前兩個問題。
雖然我們在二維管子世界裡進行討論，僅限於1個展開維和1個捲縮維，但這樣做只是為了簡單。如果我們有3個展開維和6個捲縮維——後者是所有卡-丘空間裡最簡單的形態——那些結論也是完全一樣的。每個捲縮維有一個半徑，它與半徑為倒數的維將生成在物理學上完全相同的宇宙。
我們甚至還可以把這個結論推得更遠。在我們的宇宙中，可以看到三個展開的空間維，據天文學家的觀測，它們看起來都延伸到大約150億光年（1光年大約是9萬億千米，所以這延伸的距離大概是1.4億億億千米）。我們在第8章講過，沒人知道那距離以外在發生什麼。我們不知道它們是繼續無限延伸下去，還是把自身捲縮成超出我們望遠鏡“感覺能力”的一個巨大的圓。假如它們是捲曲的，那麼在太空遠行的宇航員不斷朝著同一個固定的方向走下去，就能最終繞宇宙一圈——像麥哲倫（Magellan）環遊地球那樣——回到原來出發的地方。
看來，我們熟悉的展開維也可能是些圓圈，從而也像弦理論說的那樣，R與1/R的世界是不可區別的。具體說，這些圓的半徑應該是剛才講的150億光年，是普朗克長度的10萬億億億億億億億（1061倍），而且還在隨宇宙膨脹而增大。如果弦理論是對的，這個宇宙與一個展開維的半徑只有1/R=1/1061=10-61普朗克長度的宇宙在物理學上是一樣的！這是在弦理論下我們熟悉的宇宙空間的另一幅圖景。實際上，在那個“倒數世界”，小圓圈還將隨時間變得更小。因為R增大，1/R自然會縮小。現在我們似乎真的走到盡頭了。這能是真的嗎？我們六英尺的身軀怎麼可能“活”在這樣難以置信的微觀世界裡？那麼“一丁點兒”宇宙怎麼能在物理上與我們看到的茫茫太空相同呢？而且，我們現在也自然走近上面提的第二個問題：弦理論似乎剝奪了我們探索普朗克尺度以下的距離的能力。但是，假如圓半徑R大於普朗克長度，它的倒數1/R自然只有普朗克長度的若干分之一。那麼結果呢？答案將關聯我們的第一個問題，而且揭示了空間和距離的重要而奇妙的一面。
兩個距離
距離是我們認識世界的一個十分基本的概念，似乎很簡單，人們常常忽略它還有玄之又玄的地方。狹義和廣義相對論曾給我們關於空間和時間的概念帶來過驚人的影響，弦理論也生出一些新奇的特徵，這些經歷使我們今天在距離的概念上也更小心翼翼了。物理學中最有意義的定義是那些可操作的——就是說，定義為所定義的東西提供了至少是原則上的測量方法。畢竟，不管概念如何抽像，有了可操作的定義，我們就能在實驗中揭示它的意義，測量它的大小。
我們如何才能得到一個可操作的距離的定義呢？在弦理論的背景下回答這個問題會令人大吃一驚的。1988年，布朗大學的布蘭登伯格（Robert Brandenberger）和哈佛大學的瓦法兩位物理學家指出，假如某個空間維是圓，那麼在弦理論中存在著兩個不同然而相關的可操作定義。每個定義都有一套不同的測量距離的實驗程序，而測量的基礎大致說來卻是一個很簡單的原理：如果探針以已知固定的速度運動，我們可以根據它經過某個距離的時間來確定那段距離的長度。兩個定義的差別在於實驗過程所選擇的探針不同。第一個定義用的是未纏繞在圓圈維的弦，而第二個定義用的是纏繞的弦。我們看到，弦理論中存在兩種不同的可操作的距離定義，原因正在於所用的基本探針具有延展的本性。在點粒子理論中沒有纏繞的概念，所以只有一種距離定義。
兩種操作過程會有怎樣不同的結果呢？布蘭登伯格和瓦法的發現既令人驚奇，也難以捉摸。借助於不確定性原理，我們大概能明白那答案的意思。未纏繞的弦可以自由沿著圓周滑動，長度正比於半徑R。根據不確定性原理，弦的能量正比於1/R（回想一下我們在第6章講過的探針的能量與它對距離敏感性的關係）。另一方面，我們知道纏繞的弦有著正比於R的極小能量，於是不確定性原理告訴我們，它對距離的敏感程度正比於R的倒數，1/R。將這個思想用數學公式表達出來，我們就能看到，如果拿它們來測量空間的捲縮維的半徑，那麼未纏繞的弦將測得R，而纏繞的弦將測得1/R。這裡，我們的測量還是像從前一樣，以普朗克長度為單位。兩個實驗都可以說自己的結果是圓周的半徑——弦理論教導我們的是，以不同探針來測量距離可以得到不同的結果。實際上，這個性質可以推廣到所有長度和距離的測量，而不僅限於確定捲縮維的大小。纏繞與未纏繞的弦探針所獲得的結果將互成反比。4
如果宇宙真像弦理論描繪的那樣，我們為什麼沒在尋常的生活和科學活動中遇到過那兩種可能的距離概念呢？我們講距離的時候，似乎總是從經驗來講的，只有一種距離，沒有任何線索暗示還藏著另一種距離的概念。我們為什麼會錯過那個可能呢？原來，儘管在我們的討論裡R與1/R是高度對稱的，但當R（從而1/R也）遠遠偏離1（當然還是指1個普朗克長度）時，兩個可操作的定義中有一個是極難實現的（雖然還有一個是極易實現的）。大概說來，我們總是操作那個容易的，完全不知道還有另一種可能。
兩種方法難易懸殊的原因在於所用探針的質量大不相同——要麼纏繞的能量高，要麼振動的能量高。假如半徑R（從而1/R也）遠離普朗克長度（即R=1），這時候，所謂“高”能相應於重得驚人的探針——例如比質子重百億億倍，而所謂“低”能，差不多就是比零質量重一點兒的探針。在這樣的背景下，兩種方法便有著天壤的難易差別。因為，光是產生那樣的重弦形態也遠遠超越了我們今天的技術能力。因此，在實踐中，只有那個涉及較輕的弦形態的方法才有技術上的可能，那也是我們在討論距離問題時一貫用的方法。這種方法培養了我們的直覺，從而也符合我們的直覺。
把實際拋到一邊，在弦理論主宰的宇宙中，我們可以自由選擇一種方法來測量距離。天文學家測量“宇宙的大小”，是通過檢驗穿過太空碰巧進入他們望遠鏡的光子；顯然，光子在這兒可真是光光的沒有質量的弦。結果，光子測得的距離是1061倍普朗克長度，前面已經說過了。假如我們習慣的那3個空間維也是捲縮的，假如弦理論是正確的，那麼從原則上講，用迥然不同的（當然現在還沒有的）儀器的天文學家，應該能測量重弦纏繞的空間有多大，他們將發現那距離是光子測得距離的倒數。在這個意義上，我們可以認為宇宙既可能像我們尋常感覺的那麼大，也可能小得可憐。根據輕弦模式，宇宙是巨大而膨脹的；而據重弦模式，宇宙是渺小而捲縮的。這裡沒有矛盾，而是存在著兩種不同然而卻同樣合理的距離定義。由於技術的限制，我們很熟悉第一種定義，而不管怎麼說，兩個概念都是一樣有效的。
現在我們來回答前面的問題，大人如何能在小宇宙中生存？當我們測量一個人的身高，說他高1.8米時，我們一定在用輕弦模式。為比較他們與宇宙的大小，我們必須用同樣的過程來測量宇宙，上面說過，那是150億光年，比1.8米大多了。這樣的人類如何能活在重弦模式所測量的“小”宇宙中呢？這是一個沒有意義的問題——是在拿蘋果同橘子比。現在我們有了兩個距離概念——輕弦探針的和重弦探針的——我們也該在相同的模式下比較測量結果。
最小尺度
慢慢往前走，我們就要到頭了。如果我們堅持用“容易的辦法”來測量——也就是用最輕的弦模式來測量——結果將總是大於普朗克長度。為看清這一點，我們考慮假想的三維空間的大收縮，並假定我們熟悉的那三維是圓的。為討論方便，假定在思想實驗的開始，未纏繞的弦模型是輕的，我們用它來測量宇宙，發現它有一個巨大的半徑，正在隨時間而收縮。當它收縮時，未纏繞的弦變得越來越重，而纏繞的弦越來越輕。當半徑一路收縮到普朗克長度——即R=1時——纏繞的弦與振動的弦正好有相同的質量。這時，兩種測量距離的方法都同樣難以實現；而且，它們將得出相同的結果，因為1也是它自己的倒數。
半徑繼續往下收縮，纏繞的弦將變得比未纏繞的更輕，這樣，它們自然成為我們用以測量距離的“更容易的方法”。根據這種測量，結果是較重的未纏繞弦的結果的倒數，即半徑大於1個普朗克長度，並且還在增大。這不過反映了，當未纏繞弦測量的R收縮到1，並繼續收縮時，纏繞弦所測量的1/R將增大到1並且繼續增大。於是，當我們決意總以輕弦模式這種“更容易”的方法來測量距離時，我們遇到的最小半徑就是普朗克長度。
因為輕弦模式測量的宇宙半徑總是大於普朗克長度的，一個特別的結果就是，我們避免了一個會趨向於零的大收縮。根據最輕弦模式的測量，宇宙半徑不會朝比普朗克長度更小的方向收縮，當它收縮到普朗克長度時，它會反過來開始增大。反彈的一幕替代了無限的大擠壓。
用輕弦模式測量距離，符合我們關於長度的傳統概念——那是早在弦理論發現以前就形成的了。如我們在第5章看到的，正是因為這個距離概念，我們才在普朗克尺度以下的距離遇到了不可克服的劇烈的量子波瀾。我們又一次看到，弦理論憑它的兩個互補的距離概念避免了那可怕的超短距離。在廣義相對論的物理學框架和相應的黎曼幾何的數學框架下，距離的概念只有一個，它可以是任意小的數值。在弦理論的物理學框架和相應的新生的量子幾何的領域裡，距離的定義有兩個。小心翼翼地運用這兩個定義，我們發現有一個概念在大尺度下，與我們的直覺和廣義相對論都是相容的，但在小尺度下卻迥然不同。具體說來，小於普朗克尺度的距離是不可能達到的。
上面講的有點兒玄，我們把關鍵的一點再強調一遍。假如我們硬是不在乎什麼“難”與“易”的距離測量方法，而要堅持用未纏繞的弦來測量，那麼當R收縮到普朗克長度以下時，我們似乎真能走近比普朗克尺度更小的距離。但上面的討論告訴我們，那所謂“更小的距離”需要小心來理解，因為它可以有兩種不同的意思，而只有一種符合我們的傳統觀念。在這裡，當R收縮到普朗克長度以下時，如果我們還堅持用未纏繞的弦（這時它們已經變得比纏繞的弦更重了），那我們實際上是在用“難”的方法來測量距離，從而那“距離”的意思不滿足我們標準的用法。然而，這裡討論的絕不僅僅是語義學的問題、傳統習慣的問題或者測量的可行性問題。即使我們願意用非標準的距離概念來描寫一個比普朗克長度更小的宇宙，我們遇到的物理學——如前幾節討論的——並沒有什麼不同，還是那個大半徑宇宙（傳統距離的表義下）的物理學（舉例來說，就像表10.1與表10.2之間對應的物理學）。真正有意義的正是物理，而不是語言。
布蘭登伯格、瓦法和其他一些物理學家根據這些思想重新寫下了宇宙學定律，在那裡，大爆炸和可能的大收縮都不再牽扯一個零尺度的宇宙，而是每個維都是普朗克長度的宇宙。這當然是一個誘人的圖景，原來那個起源於並可能坍縮成一個無限緻密的點的宇宙所具有的那些數學的、物理的和邏輯的難題都煙消雲散了。儘管很難想像整個宇宙捲縮在一個普朗克尺度的小球裡，但比起想像它擠壓成一個沒有大小的點，還是好得多了。我們將在第14章討論，弦宇宙學還是一個年輕的領域，不過希望很大，很可能為我們帶來這樣一個比標準大爆炸模型更容易理解的模型。
結論普遍嗎
如果空間維不是圓，結果會怎樣呢？那些關於弦理論的最小空間距離的驚人結論還能成立嗎？誰也說不準。圓形維度最基本的特徵是允許弦的纏繞。只要空間維——不論什麼形狀——允許弦的纏繞，我們講的大多數結論應該還是成立的。但是，假如有兩維是球形的呢？這種情況下弦不能“牢牢”繞在球面上，因為它總會“滑落下來”，像一根橡皮筋從籃球上滑下來。另外，弦理論限定了這些維的收縮尺度嗎？
大量研究表明，答案有賴於一個完全的空間維是捲縮的（如我們這一章講的），還是在坍縮的孤立的“一小塊”空間（我們將在第11章和第13章討論）。弦理論家普遍相信，不論形狀如何，只要我們是在讓一個完整的空間維發生收縮，它就像圓的情形一樣，有一個極限的尺度。確立這一觀念是未來研究的一個重要目標，因為它將直接影響弦理論的諸多方面，包括它的宇宙學意義。
鏡像對稱
愛因斯坦通過廣義相對論在引力的物理學與時空的幾何學之間建立了聯繫。乍看起來，弦理論鞏固並拓寬了物理與幾何的聯繫，因為振動弦的性質——它們的質量和所攜帶的力荷——基本上取決於空間捲縮部分的性質。不過，我們剛開始看到了，量子幾何這一弦理論的幾何物理學還有些奇奇怪怪的東西。在廣義相對論和“傳統”幾何學中，半徑為R的圓與半徑為1/R的圓是絕對不同的；然而在弦理論中，它們在物理上卻是不可區別的。這使得我們敢雄心勃勃地往前走得更遠，我們想，也許還有差別更大的空間幾何形式——不僅大小不同，形態也不同——但在弦理論中卻找不出它們有什麼物理的差別。
1988年，斯坦福大學直線加速器中心的狄克松（Lance Dixon）有一個關於這方面的重大發現，歐洲核子中心（CERN）的勒克（Wolfgang Lerche）、哈佛的瓦法和當時在麻省理工學院（MIT）的瓦納（Nicholas Warner）也發現了同樣的東西。這些物理學家在基於對稱性考慮的美學原則下提出一個大膽猜想：為弦理論的捲縮維選擇的兩種不同卡-丘空間，也許能生成相同的物理。
為說明這種奇異的可能性如何能夠發生，我們回想一下，卡-丘空間的孔洞數決定著弦能產生多少族可能的激發態。這些孔洞像我們見過的單孔或多孔的環，如圖9.1。我們在紙上畫的二維圖有一大缺點，不能表現一個六維的卡-丘空間可以具有不同維的孔洞。雖然我們畫不出這些孔，但可以用大家理解的數學來描述它們。關鍵的一點是，源自弦振動的粒子族的數目只依賴於孔的總數，而與某個維的孔數無關（因此，我們在第9章的討論裡並不在意孔的類型有什麼不同）。接下來我們想像兩個卡-丘空間，它們在不同的維有不同數目的孔，但孔的總數卻是相同的。由於不同維的孔數不同，所以這兩個卡-丘空間有不同的形態。但因為孔的總數相同，所以它們生成的宇宙有相同數目的粒子族。當然，這不過是一個物理性質。如果要一切物理性質都相同，那要求就嚴格得多。不過，這一點性質至少能說明狄克松-勒克-瓦法-瓦納猜想很可能是對的。
1987年秋，我來到哈佛大學物理系做博士後，我的辦公室剛好在瓦法的走廊下面。我的學位論文研究的就是弦理論中捲縮卡-丘空間的物理和數學性質，所以瓦法常向我通報他在這方面的工作。1988年秋的一天，他經過我辦公室時停下來告訴我，他和勒克、瓦納有了那個猜想。我很感興趣，但也有些懷疑。興趣來自這樣的認識：如果猜想是對的，它將在弦理論的研究中開闢一條新路；而懷疑來自我的擔心：猜想是一回事，證實那些理論性質卻是另一回事。
在接下來的幾個月裡，我總在考慮他的猜想。坦白地說，我一半認為它是錯的。然而，奇怪的是，我與普裡澤（Ronen Ples-ser）做過的一個看似不相干的項目令我很快完全改變了看法。普裡澤那時是哈佛的研究生，現在在魏茨曼研究所和杜克（Duke）大學，我們曾滿懷熱情地想發展一種方法，從一個初始的卡-丘空間出發，用數學操作生成一種尚未知曉的卡-丘形態。我們特別感興趣的是所謂的軌形變換（orbifolding）技術，先前是由狄克松、哈維（Jeffrey Harvey，在芝加哥大學）、瓦法和惠籐在20世紀80年代中期發展起來的。粗略地講，就是將原來的卡-丘空間裡不同的點黏在一起，按一定的數學法則生成一個新的卡-丘空間。圖10.4示意了這樣一個過程。這幅圖背後的數學是很可怕的，因為這一點，弦理論家只是對最簡單的空間形態——如圖9.1的高維多孔麵包圈——考察了這種技術的應用情況。不過，普裡澤和我發現，革普納（Doron Gepner，那時在普林斯頓大學）的一些美妙發現也許能提供一個有力的理論框架，把軌形變換技術推行到如圖8.9那樣複雜的卡-丘空間。
經過幾個月的緊張探尋，我們得到一個令人驚訝的結果。如果以恰當方式把某些特殊的點黏接在一起，生成的卡-丘空間將以一種奇異的方式表現出與原來空間的區別：新空間的奇數維的孔數等於老空間的偶數維的孔數，反過來也對。特別的是，這意味著孔的總數——從而粒子族的數目——是相同的，儘管兩個奇偶相對的空間形態和基本的幾何結構當然是完全不同的。5
圖10.4 所謂環形變換技術是這樣一個過程：通過將初始卡-丘空間的不同點黏接在一起而生成一個新的卡-丘空間。
結果顯然與狄克松等人的猜想相關，這令我們很興奮。接下來，普裡澤和我又去研究一個關鍵問題：那兩個卡-丘空間除了粒子族的數目相同而外，別的物理性質也相同嗎？經過兩個多月仔細而艱難的數學分析，其間還得到我的學位論文導師、牛津大學的羅斯（Graham Ross）和老朋友瓦法的啟發和鼓勵，普裡澤和我最後得到了答案：差不多可以肯定是那樣的。因為一個與交換奇偶性有關的數學理由，我們以鏡像流形來稱這些在物理上等價而幾何形態不同的卡-丘空間。6每一對鏡像卡-丘空間當然並不是我們平常講的字面意義的鏡像。儘管它們有不同的幾何性質，在用於弦理論的額外空間時，卻能生成同一個物理的宇宙。
發現這個結果後的幾個星期，我們是在焦慮中度過的。普裡澤和我都明白，我們正在弦理論的一個浪頭上，我們證明，愛因斯坦建立的幾何與物理學的緊密聯繫在弦理論中煥然一新了：在廣義相對論中意味著不同物理性質的不同幾何形態，在弦理論中卻可能生成相同的物理。但是，假如我們錯了呢？假如那些物理性質以我們忽略了的某種微妙方式產生變化呢？我們把結果告訴了丘成桐，他禮貌然而嚴厲地指出，我們一定在哪兒錯了；他說，從數學觀點看，我們的結果太離奇了，不會是真的。他的意見使我們很猶豫。如果一個小結論或不會太引人注意的結論，犯點兒錯誤也許還算不得什麼；而我們的結果是在一個新方向上邁出的意想不到的一步，當然會引起強烈反響。如果它錯了，所有的人都會知道。
最後，我們把文章反覆檢查了，越來越有信心，就拿出去發表。幾天以後，我正坐在哈佛的辦公室時，電話響了。那是得克薩斯大學的坎德拉斯打來的。他開口就問我是不是坐好了。當然。接著他告訴我，他和兩個學生林克（Monika Lynker）和施姆裡克（Rolf Schimmrigk）發現了一樣東西，會讓我從椅子上蹦起來。他們仔細考察了計算機生成的大量卡-丘空間例子，發現這些空間幾乎都是成對出現的，兩個空間的差別僅在於奇數維和偶數維的洞的數目相互交換了。我告訴他，我還坐得好好的——普裡澤和我已發現了相同的結果。坎德拉斯和我們的結果原來是互為補充的：我們走得遠一點，證明了鏡像空間生成的物理學是一樣的；而坎德拉斯和他的學生證明大量的卡-丘空間都以鏡像對的形式出現。通過這兩篇文章，我們發現了弦理論的鏡像對稱。7
鏡像對稱的物理學和數學
愛因斯坦在空間的幾何與物理的現象間建立的剛性而惟一的聯繫，在弦理論中獲得了解放，這是一個驚人的“範式的轉移”。但這些發展所帶來的遠不只是哲學態度的改變。鏡像對稱還特別為認識弦理論的物理和卡-丘空間的數學提供了強大的工具。
在所謂代數幾何領域從事研究的數學家，在弦理論發現很久以前就一直在為純數學的理由研究卡-丘空間。他們發現了這些空間的許多具體性質，沒有一個顯得有未來的物理意義。不過，卡-丘空間的某些性質已經證明是很困難的——基本上不可能完全揭示出來。但弦理論的鏡像對稱的發現極大改變了這種局面。大致說來，鏡像對稱說的是，原來認為毫不相干的特殊的卡-丘空間對現在被弦理論緊緊聯繫在一起了。聯結它們的是一個共同的物理宇宙，任選一個空間作為捲縮維的空間形式，都將生成這樣的宇宙。這種意外的內在聯繫提供了一個新的有力的物理學和數學工具。
舉例來說，假如你在忙著計算與捲縮維的某個卡-丘形式相關聯的物理性質——如粒子的質量和力荷。你並不特別關心計算結果與實驗的聯繫，因為我們已經看到，現在做那些實驗還有大量理論和技術的障礙。實際上，你是在靠思想實驗做計算，關心的是假如選擇了某個卡-丘空間，宇宙應該像什麼樣子。開始計算的時候，一切都還順利；但接著，你的計算遇到了難以逾越的障礙。沒人能幫你，世界上最好的數學家也不知道該怎麼往下算。你迷失了方向。但是你後來發現這個卡-丘空間有一個鏡像夥伴。因為這兩個空間生成的弦物理是完全相同的，你意識到自己可以自由地隨便拿一個來做計算。於是，你用原來那個卡-丘空間的鏡像夥伴重新做剛才那些艱難計算，你相信計算的結果——物理——應該是一樣的。起初你可能認為重新做的計算也會像原來那麼難，但你卻驚喜地發現，兩個計算雖然結果會是一樣的，但具體形式卻大不相同。原來的某些可怕的計算，在鏡像的卡-丘空間裡變得非常簡單了。為什麼會這樣呢？這不是兩三句話就能說明白的，不過，至少對某些計算來說，幾乎肯定是這樣的，而且計算的難度可以大大降低。它的意義自然是清楚的：你從迷失的方向裡走出來了。
這多少有點兒像下面的例子。假設有人陪你數一堆橘子，橘子隨便堆放在一隻大果箱裡，那箱子3米長，3米寬，3米高。起初，你一個個地數，但很快發現這太累人了。幸運的是，這時來了一個朋友，他是看到橘子送來的。他告訴你，橘子原來整整齊齊堆放在小箱子裡（他正好拿著一隻那樣的箱子），小箱子堆在一起，長、寬、高都是20個。你很快算出，送來了8000小箱橘子。現在你需要知道的只是數清一隻小箱子裡能堆放多少橘子。這是很容易的。你從朋友那兒借來小箱子，用橘子把它填滿，這樣，原來那艱巨的使命不費吹灰之力就完成了。總之，發現一種聰明的計算方法，做起來就容易得多。
弦理論中的許多計算都是這種情形。從一個卡-丘空間看，計算可能牽涉大量艱苦的數學步驟；然而，如果轉移到它的鏡像空間，計算可以更有效地重新組織，從而能夠相對容易地實現。這一點是普裡澤和我發現的，後來，坎德拉斯和他的合作者得克薩斯大學的奧莎（Xenia de la Ossa）、帕克斯（Linda Parkes）和馬裡蘭大學的格林（Paul Green），令人驚奇地將它投入了實踐。他們證明，幾乎所有困難的計算都能在鏡像空間裡實現，只需要一台電腦和幾頁的代算計算。
這對數學家來說更是特別激動人心的發現，因為其中的某些計算也曾令他們困惑過多年。用物理學家的話說，弦理論把它們都解決了。
現在你該明白，在數學家和物理學家之間存在著許多有益的而且通常是友好的競爭。事實上，兩個挪威數學家——埃林斯魯德（Geir Ellingsrud）和斯特羅姆（Arild StrOmme）——就曾計算過坎德拉斯和他的夥伴們用鏡像對稱成功解決了的一個問題。大體說來，那相當於計算在某個特別的卡-丘空間裡能“堆放”多少個球，有點兒像我們在大果箱裡數橘子的問題。1991年，在伯克萊舉行的一次物理學家和數學家會議上，坎德拉斯宣佈他的小組用弦理論和鏡像對稱得出的結果是317206375。埃林斯魯德和斯特羅姆也宣佈了他們艱難的數學計算結果：2682549425。幾天裡，數學家和物理學家一直在爭論：誰是對的？這個問題成了弦理論定量可靠性的真正考驗。許多人甚至說——多少帶點兒玩笑——這是弦理論能否與實驗對比的最好檢驗。另外，坎德拉斯的結果遠不僅是埃林斯魯德和斯特羅姆也計算了的數值結果，他們還宣佈說回答了許多別的極端困難的問題——實際上，那些難題連數學家也從未想過。但弦理論可信嗎？數學家和物理學家們在會上進行了廣泛的交流，可分歧最終還是沒能解決。
大約一個月過後，一封電子郵件在參加過伯克萊會議的人中間傳開了，信的主題是物理學贏了！埃林斯魯德和斯特羅姆在他們的計算機代碼中發現了一個錯誤，改正以後他們也證實了坎德拉斯的結果。從那以後，許多數學家都來檢驗弦理論鏡像對稱的定量可靠性：所有的檢驗都勝利通過了。在物理學家發現鏡像對稱近10年後，最近，數學家在揭示其內在的數學基礎方面取得了重大進展。根據數學家康澤維奇（Maxim Kontsevich）、曼寧（Yuri Manin）、田剛（Gang Tian）、李軍（Jun Li）和吉溫托爾（Ale-xander Givental）等人的重要成果，丘成桐和他的合作者劉克峰等終於從數學上嚴格證明了用來計算卡-丘空間能放多少個球的公式，從而解決了困擾數學家幾百年的一大難題。
除了這場獨特的勝利，這些發現真正讓我們看到物理學開始在數學舞台上嶄露頭角了。過去許多時候，物理學家曾在數學的倉庫裡“發掘”出一些工具來構造和分析物理世界的模型。現在，通過弦理論的發現，物理學家開始償還他們的債務，為數學提供新的方法去解決他們的未解問題。弦理論不僅樹起一個統一的物理學框架，還可能實現一個同樣深刻的數學大聯合。
註釋
1.為了討論的完整，還應該說明，雖然到現在為止我們在書中講的許多東西都同樣適用於開弦（兩端自由的弦）或閉弦圈（這正是我們所關心的），但在這裡討論的問題上，兩種弦將表現出不同的性質。畢竟開弦是不會纏繞在某個捲縮維的。不過，聖巴巴拉加利福尼亞大學的Joe Polchinski和他的兩個學生戴建輝（Jian-Hui Dai）和Robert Leigh在1989年說明了開弦如何能很好地符合我們在這一章得到的結論。他們的成果最終將在第二次超弦革命中發揮重要作用。
2.如果你想知道為什麼均勻振動的允許能量是1/R的整數倍，請回想一下第4章的量子力學討論——特別是關於那個倉庫的討論。我們從那裡知道，量子力學的能量像鈔票一樣，是離散的能量“元”組成的：是不同能量“元”的整數倍。在管子世界均勻振動的弦的情形，能量元正好是1/R，我們在正文裡用不確定性原理解釋過了。這樣，均勻振動的能量就是1/R的整數倍。
3.從數學上講，在捲縮維半徑為R或1/R的宇宙中，弦能量的形式為v/R+wR，這裡v為振動數，w為纏繞數。同時交換v與w和R與1/R——即交換振動數與纏繞數，同時半徑換為倒數，這個方程的形式是不變的。這就是兩個宇宙的弦能量相同的原因。我們在討論中用的是普朗克單位，也可以換成更傳統的單位，即用一個所謂弦標度
來改寫能量公式——弦標度的值大約是普朗克長度，10-33厘米。這樣，弦能量可以表達為v/R+wR/α′，在交換v與w和R與α′/R時，它是不變的。這裡，R和α′/R用的是傳統的距離單位。
4.你大概很奇怪，在半徑為R的捲縮維上纏繞著的弦怎麼可能測得那半徑是1/R呢？這種憂慮是很正常的，不過，問題本身卻表述得不夠準確。你知道，我們在說弦繞著半徑為R的圓時，必然利用了某個距離定義（這樣“半徑為R”才有意義）。但這一個距離定義卻是與未纏繞的弦模式相關的——即與振動模式相關。從這個定義——也只有從這個定義——看，纏繞的弦在空間的捲縮維展開。然而，從第二個距離定義——即與纏繞弦相關的那個定義——看，它們卻是局限在空間的一點，就像第一種定義觀點下的振動弦一樣，而那“一點空間”的半徑在它看來是1/R，如正文所講的。
這多少說明了纏繞和未纏繞的弦所測得的半徑是互為倒數的，但是，這一點還是有點兒難以捉摸，看來我們應該為對數學感興趣的讀者說說它背後的數學。在普通的點粒子量子力學裡，距離與動量（本質上還是能量）通過富裡葉變換相聯繫。就是說，在半徑為R的圓周上的位置本證態｜x＞可以定義為｜x＞＝∑Neixp｜p＞，這裡p＝v/R，而｜p＞是動量本證態（類似於我們所說的弦的均勻振動模式——沒有形變的整體運動模式）。但在弦理論中，還存在另一個位置本證態的概念，
＞，通過纏繞弦的狀態來定義：＞
，這裡
＞是纏繞弦的本證態，＝wR。根據這些定義，我們馬上發現，x以2πR為週期，以2π/R為週期。這說明x是半徑為R的圓周上的位置坐標，是半徑為1/R的圓周上的位置坐標。說得再具體些，我們現在可以讓兩個波包｜x＞和＞從原點開始隨時間演化，從而實現我們的兩個操作方法來定義距離。不論用哪種方法，圓周的半徑都正比於波包四到原來狀態所需的時間。由於能量為E的狀態伴著相因子Et演化，所以對振動模式來說，時間（從而也是半徑）為t～1/E～R；而對纏繞模式來說，t～1/E～1/R。
5.對數學感興趣的讀者可以看到，更準確地說，弦振動的旋數等於卡－丘空間歐拉特證數的一半，這在上一章注3里已經說過了。這個數由h2，1與h1，1之差獉的絕對值來確定。這裡，hp，q是（p，q）Hodge數。這兩個量分別給出了非平凡同調了一圓（“三維孔”）和同調2－圓（“二維孔”）的數目（精確到一個數值變換）。因此，我們在正文裡講孔的總數，而準確地說，族數依賴於奇數維和偶數維孔洞數之差的絕對值。然而結果是相同的。例如，如果兩個卡－丘空間的差別在於各自的h2，1和h1，1Hodge數是相互交換的，粒子族數———以及“孔”的總數———是不會改變的。