第5章 冰封之河
時間是流動的嗎
在人們所接觸過的各種概念中，時間是人們最熟悉但卻最難以理解的一個。我們常說時光飛逝，我們也說時間就是金錢，我們總是試圖節約時間，虛度光陰便感傷不已。但是，時間究竟是什麼呢？按聖·奧古斯丁和波特·斯圖爾特大法官16的說法，我們看一眼就知道時間是怎麼回事。但是，在這新千年破曉之際，我們對時間的理解勢必要深刻一些。事實上在某些方面，我們的確理解得深刻了一些。但在另一些方面，卻不是這樣。經過幾個世紀的困惑和思考，我們已經洞悉到了時間的一些神秘之處，但留給我們的還有許多未解之謎。時間到底來自何方？一個沒有時間的宇宙意味著什麼呢？時間能像空間那樣不只有一個維度嗎？我們能夠到過去“旅行”嗎？如果能的話，我們可以改變某些事情的結局嗎？時間有沒有絕對意義上最小的量呢？時間是宇宙組成中真正的基本要素呢，還是單單為了協調人類感知而生的一種有用但卻無法在寫有宇宙的最基本原理的字典中找到的概念呢？時間是不是由某些尚未發現的更基本的概念派生出來的呢？
完備且令人信服的回答這些問題可算是當代科學家最雄心勃勃的目標。但科學家們要回答的並不僅僅是這些大問題。有些最棘手的宇宙學難題甚至來自於日常生活中的時間體驗。
時間與體驗
狹義相對論與廣義相對論粉碎了時間的普適性和唯一性。根據相對論，我們每個人都擁有舊的牛頓體系中的普適時間的一塊碎片。它成為我們個人的時鐘，無情地把我們從一個時刻推到下一個時刻。相對論令我們震驚，因為當我們每個人的時鐘滴滴答答地均勻地前進時，我們大家對時間的直覺感受沒問題，但把我們的時鐘與其他人的時鐘相比時卻會發現不同之處。你的時間沒必要與我的時間一樣。
我們可以把這種思想看做是一種給定條件。但對我而言，時間的真正本質究竟是什麼呢？如果一開始就不與其他人的時間體驗做比較，那麼個人體驗和構想的時間的全部特點是什麼呢？這些體驗有沒有準確的反應時間之本性呢？關於實在性的本質，它們又會告訴我們什麼呢？
我們的經驗告訴我們，顯而易見，過去不同於未來。未來代表了許多可能性，而過去則只有一種可能，就是實際發生的情形。我們有能力在一定程度上去影響、去塑造未來，而過去是不可改變的。在過去和未來之間的是現在的概念——每時每刻都在變化的短暫瞬間，就像電影中的畫面，當放映機的強光掃過畫面時就成為瞬間的現在。時間看起來以一種無休止的、完美又均勻的節奏不斷前進，一次次的抵達每個一閃即逝的現在。
我們的體驗也告訴我們時間具有很明顯的方向性。比如我們沒有必要為牛奶灑出而大驚小怪，因為一旦溢出來就不可能再回去了：我們從未見過灑出的牛奶自己匯聚起來，從地板上一躍而起，然後彙集到廚房櫃檯直立的玻璃杯裡。我們的世界就像一支單向的時間之箭，從未偏離固定的模式：事物開始於此而終止於彼，但卻不能反過來，開始於彼而終止於此。
因此，我們的經驗告訴我們時間的兩個特點。第一，時間看起來是可以流動的。這就像我們站在時間之河的岸旁，看著洶湧澎湃的急流奔騰而去，每一朵未來的浪花經過我們的那一刻就成為現在，當急流遠去奔向下游時就是過去。如果你覺得這種理解太過被動的話，可以把這個比喻顛倒一下：時間之河載著我們毫不停歇地向前駛去，從現在到下一刻，經過的景色遠遠褪去之時就成為過去，未來總在下游等待著我們（經驗告訴我們，時間這個概念常常激發一些讓人多愁善感的比喻）。第二，時間是有方向的。時間之流看起來朝向一個方向而且只能朝一個方向，這就意味著事情的發生只能有一種時間上的順序。如果某人給你一盒牛奶溢出的膠卷，但膠卷被切割成了單獨的幾部分，通過查看這堆圖像，你可以按正確的順序重組這些圖片，而完全不用膠片製作人給你任何指示或幫助。時間看起來有內在的方向性，從我們所謂的過去指向未來，事物總在變化——牛奶灑出，雞蛋破碎，蠟燭燃燒，人會變老——普遍來說總是按照這個方向。
時間的這些最易於為人所感受的特點最使人困惑。時間真的會流動嗎？如果答案是肯定的話，那麼什麼才是實際意義上的流動呢？時間這傢伙流動得究竟有多快呢？時間真的有方向嗎？舉個例子來看，空間看起來就沒有內在的方向——對於處在宇宙黑暗中的宇航員而言，左右、前後以及上下，都是一樣的——那麼時間的方向性是從何而來的呢？如果時間有方向的話，它是絕對的嗎？或者說事情可以向時間之箭的反向演化嗎？
讓我們先在經典物理學的背景下，來看看我們對這些問題的理解。在本章其他部分和下一章（我們將會分別討論時間的流動性和時間之箭）中我們將忽略量子概率和量子的不確定性。不過我們的討論所得可以直接推廣到量子領域，而在第7章中，我們就將從量子的角度來看看這個問題。
時間會流動嗎
從有意識的人的角度來看，答案是顯然的。當我打出這些字時，清晰地感覺到了時間在流動。每一次按鍵，都意味著現在將讓位於下一刻的到來。當你讀這些字，當眼睛從一個字掃到下一個字時，你也一定感覺到了時間的流動。但是，雖然物理學家們努力嘗試過，可沒有人在物理定律中找到任何令人信服的證據，支持時間可以流動這種直觀感受。實際上，對愛因斯坦狹義相對論思想的一些再思考卻為時間不會流動提供了證據。
為了便於理解，我們來回憶一下第3章中介紹過的時空的麵包片描述。麵包條的每一切片是某個觀測者的現在；每一片都代表著他或她眼中某一時刻的空間。這些切片一片接一片的按照觀測者的體驗排列起來的整體，就是一片時空區域。如果我們將這種設想推向極端，將每一片都想像成可以描述觀測者眼中某一時刻的全部空間，如果我們再將從古老的過去到遙遠的未來間所有可能的切片都考慮進來，這塊麵包就將代表所有時間內的整個宇宙——整個時空。每一個事件，無論何時何地發生，都可以用麵包中的某個點來代表。
如圖5.1所示，但這種描述法可能會令你抓狂。站在該圖“外面”，我們可以看到整個宇宙，每一時刻的整個空間，這種圖外人的角度是一種虛構的有利位置，沒有人有過這種體驗。我們都處在時空中。你或我曾經擁有的每一次體驗都在某一時刻發生於空間的某個位置。因為圖5.1描繪了整個時空，它包含了類似的所有體驗——你的，我的，以及每個人和每一件事情。如果你能把鏡頭推近並密切關注地球上所發生的一切，你將會看到亞歷山大大帝正在上亞里士多德的課，列奧納多·達·芬奇在為蒙娜麗莎畫上最後的一筆，喬治·華盛頓橫渡特拉華河；17你從左到右繼續觀看，就將看到你的祖母正在跟一個小女孩玩，你父親在慶祝他的第10個生日以及你在學校的第一天；再往右邊遠一點的圖像看去，你會看到自己正在看這本書，你曾孫女出生了，再遠一點，有她成為總統的就職典禮。圖5.1的分辨率太過粗糙，實際上你不會看到這些，但你能看到太陽和地球的構造史（圖解），從它們誕生於氣體凝合到太陽變成了紅巨星時的地球滅亡。所有發生的事情都可以看到。
圖5.1 所有時間中的全部空間的示意圖（當然，圖上畫的只是一段時間中的部分空間）。圖中畫出了某些早期星系的形成，太陽和地球的形成，還畫出了當太陽終於燃燒殆盡最終成為紅巨星時地球的終極命運。我們的未來就在這張圖中。
毫無疑問，圖5.1是想像出來的，它位於空間和時間之外，沒有哪個地方也沒有哪個時刻能提供這樣的視角。雖然如此——雖然我們實際上無法擺脫時空的限制，遍覽宇宙的全貌——圖5.1的描述還是為我們提供了一種分析和弄清楚空間和時間基本特性的有力方法。作為主要的例子，在這一框架下，時間流動性的直觀感受可以用電影放映機比喻的變體生動地勾畫出來。想像有一束光，一片接一片的照亮時間片，使每一時間片短暫地亮一下——使時間片成為瞬間的現在——當光照射到下一個時間片時作為現在的時間片就即刻熄滅。現在，按照這種直觀方式思考時間，光照亮了某一切片，而時間片中的你在地球上，正在讀這些字；光又照亮了另一切片，而另一時間片中的你還在地球上，正在讀這些字。但是，又一次，雖然這種圖像看起來與日常經驗相一致，科學家們卻無法找到適合的物理原理來描述這樣一種活動的光。他們仍未找到這樣一種物理機制，當其朝著未來不斷演化時，能夠使某一時刻瞬間變得真實——變成瞬間的現在。
正相反。儘管圖5.1的視角是想像出來的，但卻有令人信服的證據表明，時空條——整個時空，而不是單個的時空片——是真實的。愛因斯坦的工作中尚未引起普遍重視的一點是，在狹義相對論中，所有的時刻都具有同等的地位。雖然現在的概念在我們的世界觀中起著重要的作用，但相對性卻要再一次顛覆我們的直覺，它聲稱我們的宇宙是一個平等的宇宙，每一時刻都是同樣真實的。第3章中在狹義相對論的框架下討論旋轉的桶的問題時，我們就曾遇到過這個問題。在那裡，通過類似於牛頓式的間接推理，我們得出結論，時空足可以作為加速運動的基準。在這裡，我們從另一個角度再來考慮這個問題並進一步深入。我們認為圖5.1中的時空條的每一部分與其他部分具有同等地位，這正表明，就像愛因斯坦所相信的那樣，過去、現在和未來具有同樣的實在性，我們所想像出來的時間之流——時空片一片接一片的變得光亮或黯淡——只是一種幻覺。
過去、現在和未來的持續幻象
為了便於理解愛因斯坦的觀點，我們需要實在性的有效定義，如你願意的話叫做算法也行，以便明確某一給定時刻都存在著哪些事情。現在給出一種通用的辦法。當我考慮實在性——在這一時刻存在哪些東西——時，我在頭腦中立刻勾畫出了一幅快照，此時此刻整個宇宙的靜止圖像。當我打下這些字時，我對此時此刻存在什麼的感覺，對實在性的感覺，可以列很長一張目錄——午夜時分廚房時鐘的滴答聲；我家的貓在地板和窗沿之間攀爬；照亮都柏林清晨的第一縷陽光；東京股票交易所的喧鬧聲；太陽中兩個特殊氫原子的融合；獵戶座星雲所發射出的光子；垂死的恆星衰變為黑洞的最後一刻——這些就是此刻我頭腦中所出現的靜止圖像。這些就是此時此刻正在發生的事情，因此，它們就是我所宣稱的存在於此刻的事物。查理曼大帝現在還在嗎？不。尼祿現在還在嗎？不。林肯現在還在嗎？不。埃爾維斯18現在還在嗎？不。他們當中沒有一個出現在我現在的目錄中。現在有人在2300年或3500年或57000年出生嗎？不。他們中沒有一個出現在我頭腦中的靜止畫面裡，沒有一個在我現在的時間片中，因此，也沒有任何一個在我目前的現在列表中。因此，我毫不猶豫地說，他們現在不存在。我就是這樣定義任一給定時刻的實在性；這是我們當中大多數人思考存在性時，雖然常常是不知不覺中，但常用的一種直觀的方法。
在下面的討論中，我將會用到這樣的概念，但仍然要警醒棘手的一點。一張關於現在的目錄——用這種方法來思考實在性——是一件很有意思的東西。你此刻所看見的一切事物都不會出現在你的現在的目錄裡，因為光需要花一段時間才能到達你的眼睛。任何你看到的事情都是已經發生過的了。你現在讀到的該頁中的文字這事並不是現在發生的；實際上，如果書離你有1英尺（1英尺≈0.3048米）遠，你所看到的字是它們十億分之一秒之前的樣子。如果你在房間中四處看看，你所看到的一切都是它們十億分之一秒或二十億分之一秒之前的樣子；如果你的目光貫穿整個大峽谷19，你所看到的是它萬分之一秒之前的樣子；當你看月亮時，你看到的是它一秒半之前的情形；當你看太陽時，你看到的是它8分鐘之前的情形；對於裸眼可見的恆星而言，你看到的是幾十年乃至1萬年之前的情形。令人驚奇的是，雖然頭腦中的靜止圖像描述了我們對於實在性的感覺，我們對“那兒有什麼”的直觀感覺，但它所包括的卻是我們此刻不能去體驗，或者影響，甚至不能現在就記錄的事件。事實上，一張現在的目錄只能事後編輯。如果你知道某物距離你有多遠，你就能決定現在所看到的光是何時發出的，因而你就能決定它到底屬於哪個時間片——上面應當記錄著已經過去的時刻的現在目錄。不過，這點正是關鍵，當我們用這些信息去編輯任意給定時刻的現在目錄時，我們得根據從更遠的源頭收集到的光信號不斷更新這張目錄，上面記錄的事情正是我們直覺上相信發生於那一刻的事情。
奇怪的是，這種直截了當的思考方式將會出人意料地擴展實在性的概念。你想，根據牛頓的絕對空間和絕對時間概念，在任一個給定時刻，每個人頭腦中的宇宙靜態畫面都應該包含相同的東西；每個人的現在都是同樣的現在，因此所有人在某一時刻的現在目錄都是一樣的。如果某人或某物在你的某一時刻的現在目錄上，那它必然也在我的同一刻的現在目錄上。大多數人的直覺仍然是這種思維方式，但是相對論卻告訴我們不應當如此。再看一下圖3.4。處於相對運動中的兩個觀測者都有現在——從每一個人的角度來看，都只是某個時間點——但兩者的現在卻是不同的：兩者在時空中按不同的角度切割他們各自的現在時間片。不同的現在意味著不同的現在目錄。相對於彼此運動的觀測者對於某一時刻存在什麼有不同的概念，因而他們對於實在性有不同的概念。
在日常生活的速度水平下，兩個觀測者的現在時間片之間的角度差異是十分微小的；而這就是為什麼我們在日常生活中感受不到我們所定義的現在和別人所定義的現在有什麼區別。由於這個原因，大多數狹義相對論的探討都集中在如果我們以非常大的速度——接近於光速的速度——運動時將會發生什麼上，因為這樣的運動將會顯著地放大相對論的效應。不過，將兩個觀測者對現在的定義之間的差別放大，還有另外一種方法，在我看來，這種方法會對解決關於實在性的問題有獨到的啟迪。這種方法建立在下列的簡單事實上：假如你我以略微不同的角度切開一塊普通的麵包，則剩下的麵包片將不會受到多大影響。但如果麵包非常巨大，結果就全然不同了。就像一把巨大的剪刀，只要稍稍張開一點，它所展現的刀鋒就將極其巨大；要是麵包條足夠巨大的話，兩個切片的角度只要差一點點，它們彼此之間的差別就將極其巨大。參見圖5.2。
對於時空而言也是一樣的。在日常速度下，對於處於相對運動狀態的兩個觀測者而言，描述現在的時間片的方向之間只有一個微小的角度。如果兩個觀測者距離很近，幾乎不會產生什麼影響。但是，就像長條麵包一樣，即便角度很小，可如果要探討的是非常大的距離的話，切片之間也會產生巨大的差距。對於時空片而言，不同片之間的巨大偏離就意味著不同觀測者對現在發生的事件的認識存在著巨大的差異。如圖5.3和圖5.4所示，這就意味著相對於彼此運動的個人，即使是以普通的日常速度運動，但只要空間上相隔很遠，也會有不同的現在概念。
圖5.2 （a）：以略微不同的角度切開一塊普通的麵包，切片之間將不會分離多少。（b）：對於大麵包而言就不一樣了，雖然還是以相同的角度切開，但麵包越大，切片之間的偏離就越大。
為了使討論更加具體，想像一下丘巴卡20。他在一個非常非常遙遠的行星上——距離地球大概有100億光年——他正懶散地坐在他的臥室裡。再進一步假設你（只是靜靜地坐著在讀這本書）和丘巴卡相對於彼此靜止（簡單起見，忽略行星的運動、宇宙的膨脹、引力效應，等等）。由於你和丘巴卡相對於彼此靜止，因此在時間和空間問題上，你們將達成一致：你們兩人將以類似的方式切割時空條，也就是說你們的現在目錄將會彼此吻合。過一小會兒，丘巴卡站起來去散步——非常放鬆的漫步——但朝著遠離你的方向。丘巴卡運動狀態的變化意味著他的現在概念，他的時空切片，都將發生輕微的旋轉（參見圖5.3）。這種角度上的微小變化在丘巴卡附近不會產生什麼明顯的效應：他新定義的現在概念，同在他的臥室裡的其他人的現在概念之間的差異非常小。但是如果相距100億光年的話，丘巴卡的現在概念上的這種微小變化將會被放大[如圖5.3（a）和圖5.3（b）所述，但是如果所要討論的兩個點距離很遠，則這兩個點現在的微小改變將被清楚地放大]。雖然在丘巴卡靜坐時，他的現在和你的現在是一樣的，但由於丘巴卡的輕度運動，你們兩人的現在變得完全不一樣了。
圖5.3 （a）：兩個相對於彼此靜止的人對於現在有相同的概念，因此就會有相同的時間片。如果一個觀察者遠離他們的時間片——每個觀察者眼中的現在——相對於彼此則發生了旋轉；如圖所示，對於運動的觀察者而言，變黑的現在的時間片旋轉到靜止的觀察者的過去的時間片中。（b）：觀察者之間偏離得越遠，時間片產生的偏離就越大——他們對於現在的概念偏離就越大。
圖5.3和圖5.4用圖示的方法闡釋了關鍵思想，但運用狹義相對論的方程，我們可以計算出你們的現在差別到底有多大。1如果丘巴卡以每小時10英里的速度遠離你而去（是的，丘巴卡大步流星地走著），那麼在他的新的現在目錄裡地球上所發生的事情，對你而言，其實是150年前發生的。依照他的現在概念——他的概念與你的概念同樣有效，並且就在剛才你們倆對於現在的概念還完全一致——你還沒有出生。如果他以相同的速度朝你走來，如圖5.4所示的那樣，角度變化的方向相反，那麼他所謂的現在對你而言，將是未來150年後！這樣看來，按照他所謂的現在，你不再是這個世界的一部分。假如，丘巴卡不是走，而是跳進了千年帝國之鷹飛船21以每小時1000英里的速度（比協和式超音速客機22的速度慢一點）飛行，如果他的方向是離你而去，那麼他所謂的現在對你而言，將是15000年前地球上發生的事情，反之則是未來15000年後所發生的事情。如果方向、運動速度合適的話，貓王、尼祿、查理曼大帝、林肯或某個未來才出生的人，都有可能出現在他的現在目錄上。
圖5.4 （a）和圖5.3（a）的唯一區別在於，當一個觀察者朝另一個觀察者運動時，她的現在片會轉到另一個觀測者的未來，而非過去。（b）同圖5.3（a）一樣——在同樣的相對速度下，更大的間隔意味著現在概念上更大的分歧——只不過轉動指向未來而不是過去。
儘管令人驚訝，但卻不會產生任何矛盾，就像我們前面所解釋的，某物距離你越遠，接受它所發散出的光就需要越長的時間，從而決定它應該屬於哪個現在目錄也需要花更長的時間。舉個例子來說，即便正在前往福特大劇院總統包廂的約翰·維爾克斯·布思23在丘巴卡新的現在目錄上（此時丘巴卡正站起來，以每小時9.3英里的速度遠離地球而去2），丘巴卡也無法採取任何行動來拯救總統林肯。這麼遙遠的距離，將需要許多時間來接收和交換信息，因此，實際上只有丘巴卡幾十億年後的後裔，才會接收到有關那一夜的華盛頓的光。問題在於，當他的後裔用這個信息來更新過去的現在目錄時，他們將會發現林肯的暗殺與丘巴卡站起來遠離地球而去都在相同的現在目錄上。而且，他們也將發現在丘巴卡站起來前一瞬間，他的現在目錄也包含了21世紀的你正坐在那兒讀這段話。3
類似的，有一些關於未來的事情，比如誰將贏得2100年的美國總統大選，看起來是完全開放的：此次競選的候選人很有可能還沒有出生，更不用說決定競選了。但是如果丘巴卡從椅子上站起來以每小時6.4英里的速度朝地球走來，他的現在目錄——他對於現在存在什麼，發生了什麼的認識——將包括22世紀第一屆總統的選舉。對於我們而言還未決定的一些事情，在他看來卻已經發生了。又一次，丘巴卡再過很多億年才能知道選舉結果，因為得花那麼長時間，我們才能把信號傳遞給他。但是當丘巴卡的後裔收到選舉結果用來更新丘巴卡的歷史冊頁，更新他過去的現在目錄時，他們發現選舉結果居然和丘巴卡站起來開始走向地球的時刻記錄在同一張現在目錄上，丘巴卡的後裔注意到，比這張現在目錄早了一點點的現在目錄中，記錄著你在21世紀的某一天看完這段文字的事件。
這個例子有兩點非常重要。第一，雖然對於接近光速時相對論效應會變得非常明顯這一事實，我們已經習以為常；但還需要知道，對於低速運動，如果空間上能夠相距很遠，那麼相對論效應也會得以放大。第二，這個例子對下面的問題很有啟發性，即時空（麵包條）究竟是真的實體還是只是一種抽像的概念，一種空間的現在和它的歷史以及所謂未來所組成的抽像整體。
你看，丘巴卡關於實在性的觀點，他頭腦中定格的畫面，他對於現在存在何物的概念與我們的實在性觀念是一樣真實的。因此，在評價實在性的構成時，如果我們不考慮他的觀點，那就未免太狹隘了。對於牛頓而言，這樣一種平等主義的做法並不會有多大的不同，因為，在一個有絕對空間和絕對時間的宇宙裡，所有人的現在時間片都是一致的。但在相對論的宇宙裡，也就是我們的宇宙裡，這樣的平等主義就會帶來很大的不同。儘管我們熟悉的關於現在存在何物的概念只相當於單獨的一片現在時間片——我們通常把過去看做已經逝去的，未來是還沒有發生的——我們卻不得不將丘巴卡的現在切片一起考慮來擴大我們的認識，就如上文中所討論的，他的現在切片與我們的有很大的不同。此外，由於丘巴卡最初的位置和他移動的速度是任意的，我們必須得將與所有可能性有關的現在時間片都包括進來。這些現在時間片，正如我們上文中所討論的，將以丘巴卡——或者其他或真實或假設的觀測者——在空間中的初始位置為中心，根據給定速度的不同而旋轉一定的角度。（唯一的限制是光速的限制，在尾注中將進一步解釋，根據圖示，光速的限制相當於旋轉角度最大為45度，順時針或逆時針均可。）正如你在圖5.5中所看到的，所有的現在時間片充斥於整個時空條。事實上，如果空間是無限的——如果現在時間片能向無限遠處擴展——那麼旋轉的現在時間片可以任意遠為中心，因此它們的集合可以遍佈於時空中的每一點。24
圖5.5 一個不同觀測者（不管是真實的還是假想中的）的現在片的例子，這些觀測者距離地球不同遠近，速度也各異。
因此，如果你認為實在性由你現在頭腦中定格的事情組成，如果你同意你的現在概念與位於遠方空間中可以自由移動的某人的現在概念一樣有效，那麼實在性將涵蓋時空中所有事件。整個麵包都存在。就像我們視所有空間都真實的存在一樣，我們也把所有時間（包括過去、現在和未來）視為真實的存在。過去、現在和未來顯然是有區別的。但是，就像愛因斯坦曾經說的“對於我們這些充滿信心的物理學家而言，過去、現在和未來之間的區別只是一種幻覺，雖然它總是存在的”。5唯一真實的事物就是整個時空。
體驗和時間的流動
以這種方式來思考問題的話，雖然從不同的視角來看事件發生的時間不同，但它們總是存在的。它們永遠佔據了時空中的某一點。它們並沒有流動。如果你在1999年新年除夕的午夜度過了非常愉快的時光，你一直都會擁有它們，因為那是時空中不可變的一個點。接受這種說法有些困難，因為我們的世界觀對過去、未來和現在有著截然不同的看法。如果我們固執於熟悉的時間觀念，就會發現它將在現代物理冷酷的事實面前碰壁，它所能有的唯一的安身之處就是人類的意識。
不可否認，我們的意識體驗似乎遍佈於整個時空切片。打個比方來說，我們的思想就好比先前提到過的放映機的光，當時間的某時刻被意識的力量照亮時，它們就成為鮮活的畫面了。從某一刻到下一刻的流動感源於我們的思想、感覺和認知在意識上的改變。改變的結果將會導致持續的運動；它會發展成前後一致的故事。但是——不依靠任何心理學或神經生物學的借口——我們可以想像一下我們是如何感受時間的流動，即使實際上並沒有這樣的事情發生也沒關係。為了便於理解我的意思，想像一下現在有一台有點毛病的DVD播放器，它會隨意的前進或後退，我們用它來播放電影《飄》：屏幕上剛才還放映某一刻的畫面，但下一刻立刻就切換成了完全無關的畫面。當你觀看這種跳躍性的畫面時，你可能很難弄清楚到底在演什麼。但對於郝思嘉和白瑞德來說沒有問題。在每一幀畫面中，他們做他們在那一幀畫面中總會做的事情。如果你把DVD停在某個特殊的畫面，問他們相關的想法和記憶，他們給你的答案將與DVD功能正常時他們會給你的答案一模一樣。如果你問他們是否因南北戰爭的混亂順序而迷惑，他們將會疑惑地看著你，認為你一定是喝了太多的冰鎮薄荷酒。在任意給定的畫面裡，他們將會有畫面那一刻的思想和回憶——特別是，那些想法和記憶給他們的感覺是時間像平常一樣平穩而連貫地逝去。
類似的，時空中的每個時刻——每個時間片——就好比一部電影中的某一幀靜止畫面。畫面的存在與否取決於是否有光照亮它。就像郝斯嘉和白瑞德一樣，對於正處於任何這樣時刻的你來說，這就是現在，“現在”就是你當時感受到的那一刻。並且“現在”永遠都是你正在感受到的那一刻。而且，在每一個獨立的時間片裡，你的思想和記憶都足以使你產生時間在不斷地流向下一刻的感覺。這種感覺，這種時間正在流動的意識並不需要之前的時刻——之前的畫面——來“連續放映”。6
稍稍想一下，你就會意識到這是一件非常好的事情，由於另外的更為基本層面的原因，放映機所發出的光有序地將時間激活的概念有非常嚴重的問題。假如放映機正常地放映著某一瞬間的畫面——比如說1999年新年夜的午夜敲鐘場面——突然畫面暗了下來，意味著什麼呢？如果某一時刻已被點亮，那麼處於照亮狀態就是那一時刻的特性之一，該特性也應該像發生在那一時刻的其他事情一樣永恆而無變化。歷經照亮——“活”起來，成為此時，成為現在——然後再回歸黑暗——“休眠”，變成過去——就是經歷變化。但變化的概念與單獨的時刻無關。變化將不得不通過時間來發生，變化標誌著時間的流逝，但時間的概念究竟是什麼呢？從定義上看，時刻並不包括時間的流逝——至少不是我們所說的時間——因為時刻是時間的原材料，並不會變化。某個特殊時刻不再變化就像空間中某個特殊位置一樣：如果某位置變化，它就是空間中的另一個位置了；同理，如果某時刻變化，它就是另一個時刻了。放映機的光激活每一個新的現在這樣的直觀圖像經不起仔細的推敲。換句話說，每一時刻都被照亮，每一時刻都會保持其被照亮的狀態。每一時刻都是這樣。仔細想來，時間的河流更像是一塊巨大的冰塊，每一時刻都永遠的冰凍在它自己的位置上。7
這樣的時間概念與我們的內在感受非常不同。雖然這種概念源於愛因斯坦的洞察力，可他本人也很難完全接受這種觀念上的深刻轉變。魯道夫·卡那夫8敘述了他和愛因斯坦之間就這個問題展開的精彩對話：“愛因斯坦說有關現在的問題困擾著他。他解釋說有關現在的體驗對人類來說意味著某種特殊的東西，一種從本質上不同於過去和未來的東西，但這種重要的不同卻不會也不能出現在物理中。這種無法被科學理解的體驗似乎讓他很頭疼但卻不得不順從。”
這種順從就給我們提出了一個關鍵問題：究竟是科學不能像解釋肺可以吸入空氣那樣，輕易地解釋存在於人們意識中的時間的基本特性呢？還是人類意識強加給時間一種人為的特性，因而無法用物理定律來解釋呢？如果你在工作日問我這個問題，我將贊成後一種觀點，但夜幕降臨，當重要的思想都變為日常生活慣例時，就很難完全抵制前一種觀點了。時間是一門深奧的科目，我們還遠遠沒有理解它。很可能未來的某一天，某個聰明的人發現了一種新的看待時間的方式，揭示了流動的時間的真正物理學基礎。以上建立在邏輯和相對性基礎上的討論，可能就是故事的全部。當然，時間流動的感覺在我們的生活體驗裡根深蒂固，並且遍佈於我們的思想和語言中。我們已經而且將繼續誤入用習慣性的口語描述時間的流動這樣的歧途。但不要把語言和實在性搞混淆了。比起深刻的物理定律，人類語言更善於描述人們的體驗。
第6章 偶然和箭頭
時間有方向嗎
即使時間並不流動，探究時間是否有方向——事物在時間中的發展演變是否有一個可以用物理原理來辨認的方向——仍然自有其意義。這個問題等於是在問，事件在時空中的分佈是否存在某種固有的順序？事件按時間順序發生與逆著時間順序發生會有什麼不同？就像我們每個人所知道的那樣，兩者之間一定存在著巨大的不同；正是由於這種不同，生活才會既充滿希望，又令人痛苦不堪。但是，我們將會看到，解釋過去和未來之間的不同之處比你想像的還要困難。而更令人驚訝的則是，我們將要解答的問題與宇宙起源時的具體條件有著密切的聯繫。
謎團
每一天中，我們都有成百上千次的機會看出順著時間方向發生的事件和逆著時間方向發生的事件之間的巨大區別。滾燙的比薩從烤箱中拿出的過程中會冷卻下來，但我們從未看到過比薩從烤箱中拿出後會變得比以前更熱。放進咖啡中的奶油攪勻後會變成均質的棕褐色液體，但我們卻從未看到一杯淡咖啡不經攪拌，自己會分離出白色奶油和黑色咖啡。雞蛋墜落、打碎並破碎出來，但我們卻從未看到破碎的雞蛋和雞蛋殼自己聚集起來，形成未破碎的雞蛋。當我們擰開可樂瓶時，壓縮的二氧化碳氣體會跑出來，但我們卻從未看見過分散的二氧化碳聚集起來並嗖的一聲返回瓶中。室溫環境中的杯子裡的冰塊會融化，但我們卻從未看到杯子裡的水珠會在室溫下凝結成冰。這些習以為常的事件，連同數不勝數的其他事件，只沿一個時間方向發生。它們從不會逆著時間方向發生，因此它們為我們帶來了先和後的概念——它們給我們帶來了穩定可靠且具有普適性的過去和未來的概念。這些現象使我們確信，從外部（如圖5.1所示）觀測整個時空的話，我們將看到時間軸具有明顯的不對稱性。雞蛋已經破碎的那個世界在時間軸的一端——傳統上我們將其稱之為未來——而對應著的另一端就是雞蛋尚未破碎的世界。
或許最顯而易見的例子是，我們的意識可以存儲被我們稱之為過去的許多事情——這就是所謂的記憶——但卻沒人能夠記住被我們稱之為未來的事情。因此，很顯然，過去和未來之間存在著很大的不同。各種各樣的事情在時間的長河中總是沿著確定的方向發生。我們能回憶起的事情（過去）和不能回憶起的事情（未來）之間有著明顯的區別。這就是為什麼我們會說時間具有方向性或有一個箭頭。1
物理學和廣義上的科學，都以規律為基礎。科學家們研究自然，發現規律，並用自然定律來解密這些規律。因而，你可能會認為，使我們清楚地感受到時間之箭的各種各樣難以計數的規律性，意味著存在這樣一條基本的自然定律。構建這樣一條定律最笨的辦法就是引進溢出牛奶定律或破碎雞蛋定律，前者說的是從牛奶溢出來就不會自己再匯聚起來，後者則是雞蛋破碎出來就不可能再自己聚集起來形成一個完整的雞蛋。但這樣的定律對我們毫無用處：它只是描述性的，只是簡單的說明觀測到發生了什麼，而無法提供任何解釋。但我們期盼著物理學最深奧的領域中存在著某種不這麼傻的定律，我們可以用它來描述組成比薩、牛奶、雞蛋、咖啡、人和星球的粒子——組成一切事物的基本成分——的運動和性質，這個定律將會告訴我們事物為什麼會按照某種特定的順序演化而不能反過來。該定律將給予我們所觀測到的時間之箭一個基本解釋。
但令人頭疼的是沒有人發現這樣的定律。而且，從牛頓到麥克斯韋，到愛因斯坦，他們所發現的物理定律，以及今天的所有物理定律，都顯示出過去和未來之間存在著一種完美的對稱性。25我們並未在這些定律中發現只可沿著時間軸的某個方向應用該定律的限制條款。這些定律應用於時間軸的不同方向時不會有什麼區別。過去和未來在這些定律下看來都是一樣的。即使我們的經驗一次又一次告訴我們，事件如何隨時間發展存在一定的方向性，但這樣的時間之箭卻不存在於基本的物理定律中。
過去、未來和基本物理定律
怎麼會這樣？物理定律沒有提供用以區分過去和未來的基礎嗎？為什麼會沒有物理定律能夠解釋事件只能按這種順序發展而不能逆過來呢？
這種情況更為令人迷惑。眾所周知的物理定律實際上聲明——與我們的生活經驗相反——奶油咖啡可以分離成黑色的咖啡和白色的奶油；破碎的蛋黃和破碎的蛋殼能自己聚集起來形成一個完美光滑的雞蛋；室溫下水杯中融化的冰水可以重新形成冰；你打開蘇打水時放出來的氣體可以自己返回瓶中。我們現今所知的所有物理定律都完全支持所謂的時間反演對稱性。這種對稱性說的是，如果事件可以按照某種時間順序發展（奶油和咖啡混合，雞蛋打碎，氣體溢出），那麼這些事件也可以按照相反的方向發展（奶油和咖啡分離，雞蛋完好如初，溢出的氣體回到瓶子裡）。簡短地用一句話來總結就是，物理定律不僅沒有告訴我們事件只能按某種方向發展，而且還從理論上告訴我們事件可以向相反的方向發展。26
但重要的問題是，為什麼我們從沒有看到這樣的事情發生呢？我敢打賭一定沒有人親眼看見打碎的雞蛋聚集起來恢復成原樣。但是如果物理定律允許這種情況存在，而且這些定律平等地對待打碎的雞蛋和未打碎的雞蛋的話，為什麼一種情況從未發生而另一種情況總是發生呢？
時間反演對稱性
解決上述謎團的第一步需要我們更為紮實的理解已知物理定律為什麼滿足時間反演對稱性。為了這個目的，這樣想像一下：現在是25世紀，你與你的搭檔庫斯托克·威廉姆斯在新的星際聯盟打網球。由於不太習慣金星上較低的引力，庫斯托克用力過猛，一個反手球將球打到了深不可測的漆黑星空中。一架正在經過的太空飛船拍攝到了飛馳而過的球，並把膠片送到了CNN（星際新聞網）27播出。這兒有一個問題：如果CNN的技術人員犯了錯誤，把這段網球的片段反過來放映，人們是否能看出來呢？如果你知道拍攝時攝像機的朝向，你可能會指出他們的錯誤。但是，如果沒有任何其他信息，只看底片的話，你能挑出他們的錯誤嗎？答案是否定的。如果順著時間方向，底片將顯示球從右飛向左，如果反過來就會變成球從左飛向右。當然，從經典物理學定律的角度來看，網球朝左或朝右運動都是可以的。因此無論片子是順著時間的方向還是逆著時間的方向放映，你所看到的運動與物理定律完全一致。
上文中，我們一直在使用這樣一個假設，即，沒有力作用於網球，因而網球是勻速運動的。現在我們把力加進去考慮一些更普遍的情況。根據牛頓定律，力的作用將會改變物體的速度：力意味著加速度。做了上述的假設後，我們再來看看網球的情況：網球在空中飛行時，由於受到木星引力的作用，向下加速運動，朝著木星表面向右劃出一段美麗的弧線，如圖6.1（a）和圖6.1（b）所示。如果你逆著放這段運動的底片的話，網球將向上加速運動，因而會朝遠離木星的方向劃出一道弧線，如圖6.1（c）所示。現在有了個新問題：底片所描述的逆向打網球的運動——實際上所拍攝到的運動的時間反演運動——是經典物理學定律所允許的嗎？這種運動會在真實的世界中發生嗎？乍看之下，答案顯然是肯定的：網球的運動軌跡既可以是向右下的弧線，又可以是向左上的弧線，或者是數不清的其他軌跡。那麼，困難之處到底在哪？這個嘛，雖然答案確實是肯定的，但推演過於草率而忽略了問題的真正內涵。
當逆向放映片子時，你會看到當網球撞擊到木星時，會以相同的速度（但以完全相反的方向）遠離木星，朝左上的方向運動。片子的最初部分顯然與物理定律相一致：舉個例子來說，我們想像一下，某人在木星表面以該速度擊出網球就符合這種情形。關鍵的問題在於，逆向運動的其餘部分是否與物理定律相一致。以該初速度擊出的網球——在受到木星向下的引力的作用下——實際上會沿著片子其餘部分中所描述的逆向運動的軌跡運動嗎？運動反過來之後，它會順著原始的向下的軌跡運動嗎？
圖6.1 （a）：從金星飛到木星的一個網球。（b）：特寫。（C）：在撞到木星之前，網球的速度反向，新的運動軌跡。
這些更為精煉的問題的答案是肯定的。為了避免混淆，我們先把它講清楚。圖6.1（a）中，在木星的引力產生有效作用之前，網球是純向右運動的。圖6.1（b）中木星的引力有效地作用於網球，產生一個將它拉向地心的力——正如你在圖中所看到的，引力的方向大部分是豎直向下的，不過也有一部分是向右的。這就意味著，當網球接近於木星表面時，它向右的速度將會略微有所增加，而它向下的速度將會增加得非常多。因此，在逆向放映的片子中，從木星表面擊出的網球會略微向左主要向上運動，如圖6.1（c）所示。木星的引力將對網球向上的速度產生重要影響，使它越來越慢，同時也會減慢球向左的速度，只是沒有那麼誇張而已。隨著球向上的速度的迅速減少，它速度的方向將主要向左，進而使得向上的弧線的運動軌跡偏左。接近弧線的末端，網球向上的速度和在下降過程中因木星引力而產生的額外的向右的分速度，將在引力作用下變為零，此時球以原始大小的速度向左運動。
上述論證都可以定量研究，但值得注意的關鍵之處在於，該運動軌跡恰與網球初始的運動軌跡相反。如圖6.1（c）所示，簡單的逆轉球的速度——速度相等，但方向完全相反——我們可以使它完全沿著原來的軌跡運動，只是方向相反而已。我們再回到片子的討論上，我們所看到的向上偏左的弧形軌跡——我們用以計算軌跡的是牛頓的運動定律——正是我們將片子逆過來放映所看到的。因此，逆向放映的片子所描述的網球的時間反演運動，和時間上正向運動一樣，都遵守物理學定律。逆向放映電影時我們所看到的運動，在真實世界中可以實際發生。
雖然上述討論中有一些細節被我放到了註釋裡，但其結論仍然具有普適性。2所有已知和廣為接受的有關運動的定律——從剛才討論過的牛頓的經典力學，到麥克斯韋的電磁理論，再到愛因斯坦的狹義和廣義相對論（記住，我們將在下一章討論量子力學）——都具有時間反演對稱性：按時間軸正向發生的運動同樣也可以逆著時間軸發生。由於術語有點混亂，我再來強調一下，不是把時間反過來。時間仍然保持原樣。我們的結論是，要想使一個物體的運動軌跡逆轉，只要在其路徑上任意一點逆轉其速度即可。同樣的，相同的程序——在其路徑上任意一點逆轉其速度——將使物體按我們在反向放映的片子中所看到的方式運動。
網球和破碎的雞蛋
觀察網球在金星和木星之間運動——無論朝向哪個方向——並非十分有趣。但既然我們所得出的結論可以廣泛應用，我們現在就來看一些更加有趣的地方吧，比如說你的廚房。把一個雞蛋放在廚房的餐桌上，讓它沿著桌邊滾動，然後掉到地上摔碎。可以肯定的是，在這一系列事件中存在許多運動。雞蛋掉下來，蛋殼摔碎了，蛋黃濺得到處都是，地板震顫，周圍的空氣中形成漩渦。摩擦產生熱量，使雞蛋、地板以及空氣中的原子和分子運動得更快。但是，正如物理定律告訴我們的，如何才能使網球絲毫不差地逆著原來的軌跡運動；同樣的定律也會告訴我們如何才能使每一片蛋殼碎片，每一滴蛋黃，每一塊地板，每一團空氣精確的逆著原來的軌跡運動。我們所需做的“全部”只是將碎雞蛋每一塊碎片的速度反過來。更準確地說，我們在網球問題上的分析告訴我們，只要我們能把與雞蛋破碎直接或間接相關的每一個分子和原子的速度都同時逆轉過來，那麼整個雞蛋破碎的運動就會反過來進行。
再強調一次，就像網球運動一樣，如果我們能成功逆轉所有的速度，我們所看到的就像一部反向放映的電影。但是，不同於網球之處在於，雞蛋破碎的逆運動將給人留下極其深刻的印象。廚房各處空氣分子碰撞和微小的地板震動所產生的波彙集在碰撞的位置，造成每一片碎蛋殼和每一滴蛋黃都朝著發生碰撞的位置運動。每一種成分都以最初雞蛋破碎過程中的速度運動，只是方向都相反而已。無數滴蛋黃都飛回形成一個球，就像無數片碎蛋殼完美的排列在一起形成一個光滑的卵形容器。空氣和地板的震動與結合在一起的蛋黃和蛋殼碎片的運動配合得非常完美，形成一個重新組合的雞蛋，恰好反彈離開地板，向上飛到廚房的餐桌上，輕巧地落在餐桌邊緣，然後滾動幾英吋（1英吋≈2.54厘米）優雅地回到遠處。如果我們逆轉全程中每一樣東西的速度，就將發生上述的事情。3
因此，不管一件事情簡單，比如網球的運動弧線，還是更為複雜，比如一顆雞蛋的破碎，物理定律都告訴我們，在一個時間方向上發生的事情，至少從理論上來看，是可以反過來發生的。
原理和實踐
網球運動和雞蛋的故事告訴我們的不只是自然定律具有時間反演對稱性，這些故事還告訴我們，為什麼我們在真實的經驗世界裡看到的許多事情只能朝一個方向發生，反過來則不行。讓網球逆著其軌跡運動並不難。拿著它，並以相同大小的速度朝相反方向將其擲出，就這樣即可。但使雞蛋所有的混亂碎片逆著原來的軌跡運動就要困難到不可想像了。我們需要抓住每一片雞蛋碎片，以相同速度但朝相反的方向同時發送回去。很顯然，那遠非我們（或者聚齊所有人力物力）所能做到的。
我們找到了我們一直尋求的答案了嗎？雞蛋打碎卻無法重新復原（即便兩種運動都是物理定律所認可的）的原因是因為其中一種可實現而另一種無法實現嗎？答案就是那麼簡單，就是因為雞蛋打碎容易——使雞蛋從桌上滾下去——而使雞蛋復原難嗎？
如果答案是這樣的，相信我，我將不會在這裡大費周折地講這麼半天了。困難與否確實也是答案的一個重要部分，但整個答案更加奧妙和令人驚奇。在以後的章節中我們將解釋這個問題，但這裡我們首先需要對這一小節進行更加深入地討論和瞭解。為了達到這一目的我們不得不引進熵的概念。
熵
在維也納中央公墓，貝多芬、勃拉姆斯、舒伯特和斯特勞斯的墓穴旁樹立著一個刻有s=klogW方程的墓碑，這一方程就是熵這個強有力的概念的數學公式。這個墓碑的主人就是生活在19世紀、20世紀之交的路德維格·玻爾茲曼，最具洞察力的物理學家之一。1906年，由於糟糕的健康狀況和低沉的心情，玻爾茲曼在和妻女在意大利度假時自殺了。具有諷刺意味的是，就在他離世的幾個月之後，有實驗證實了玻爾茲曼為之畢生熱烈維護的思想是正確的。
熵的概念最初是由工業革命時期的科學家們在考慮鍋爐和蒸汽機時所提出的，熵的概念促進了熱力學領域的發展。通過多年的研究，尤其是在玻爾茲曼的辛勤鑽研之後，熵的基本觀點被進一步完善起來。玻爾茲曼版本的熵，可用其墓碑上的方程準確的表述，利用統計學原理將構成物理系統的單獨組分的數目與系統的整體性質之間聯繫起來了。4
為了感受一下他的思想，想像拆開一本《戰爭與和平》，將其693頁雙面紙都高高拋向空中，然後把所有的紙頁收集到一堆。5當你檢查那一堆紙時，你會發現頁碼混亂的紙張遠遠比整齊排序的要多。原因是顯而易見的。紙張混亂的方式有許多種，而按序排列的方式只有一種。要整齊有序，頁碼就必須精確排列成1、2、3、4、5、6；一直到1385、1386。其他的排列方式都是無序的。一個簡單而又基本的事實是，所有排列方式都是平等的，某件事情發生的方式越多，它發生的可能性就越大。如果某件事情有無數多種的發生方式，就像落地頁碼的錯誤排列一樣，該事情發生的可能性就有極其大。直觀上，我們都可以很好地理解這個問題。如果你買一張彩票，你中獎的方式就只有一種。如果你買了一百萬張不同號碼的彩票，你就有一百萬種中獎的方式，這樣你走運的機會就提高了一百萬倍。
熵這個概念其實就是該觀點的一種具體表述，可以通過數清在物理定律制約下，實現任意給定物理條件的方式的數目來確定相應物理系統的熵的大小。熵越高就意味著實現該物理條件的方式越多，熵越少就意味著方式越少。如果《戰爭與和平》的頁碼是按照正確的數字順序來排列的，則是低熵組合，因為滿足標準的只有一種排列方式。如果頁碼是無序排列，那就是一個高熵組合，很簡單的計算就可以告訴我們共有1245521984537783433660029353704988291633611012463890451368876912646868955918529845043773940692947439507941893387518765276567140592866271513670747391295713823538000161081264653018234205620571473206172029382902912502131702278211913473582655881541071360143119322157534159733855428467298691398151599251190858672609934810561430341343830563771367151105704786941333912934192440961051428879847790853609508954014012593285063290603410951314946638983905267676104278041667301549455228188610250246338662603601508886647010142970854584815141598392546876231295293347829518681237077459652243214888735167928448340300078717063668462384353624245167362286109198539391815030760468904664912978940625033265186858373227136370247390401891094064988139838026545111487686489581649140342644411087191184416428090275713773809067258708430215795015899162320458130129508343865379081918237777385214375363122531641598589268105976528144801387748697026525462643937189392730592179674716916697815519856976926924946738364227827733457767180733162404336369527711836741042844934722347792234027225630721193853912472880929072034271692377936207650190457109788774453544358680331916095924987744319498699770033324946307324375535322906744817657953956218403295168144271042227608124289048716428664872403070364864934832509996672897344642531034930062662201460431205110109328239624925119689782833061921508282708143936599873268490479941668396577478902124562796195600187060805768778947870098610692265944872693410000872699876339900302559168582063973485103562967646116002251592001137227412733180748295472481928076532664070230832754286312646671501355905966429773337131834654748547607012423301287213532123732873272187482526403991104970017214756470049929226458643522650111999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999——約為101878——種不同的無序排列方式。6如果你把這些紙張扔向空中，然後再收集成一疊，可以肯定它們將處於無序排列的狀態，因為這種排列方式比唯一的有序排列擁有更高的熵——達到無序排列的方式有很多種。
理論上講，我們可以運用經典物理學定律來計算將整沓紙扔向空中後每一頁所將降落的位置。而且，理論上講，我們也可以精確預測這些頁碼的最終排列方式，因而（在量子力學中，情況將有所不同，而那是我們在下一章要討論的內容）看似沒必要依靠諸如此類哪種結果更有可能出現的概率概念。但是統計學確實是強有力且非常有用的工具。如果《戰爭與和平》只是一本只有幾頁的小冊子的話，我們很快就能成功地完成計算，但是對於真正的《戰爭與和平》8這麼做就不可能了。這693張紙隨著溫和的風飄蕩，相互摩擦、滑落、碰撞，最後落到地上，想要追蹤這693張紙的精確運動將是一項非常艱辛的工作，遠遠超出了當今世上最強有力的超級計算機的運算能力。
而且——這點非常關鍵——即使得出確切的答案也沒有什麼用處。當你查看這疊紙時，你不會在乎每一頁碰巧在哪兒，你感興趣的是整體效果——它們是否正確排列。如果它們是，那非常好。你可以坐下來像往常一樣繼續閱讀安娜·帕夫洛夫娜和尼古拉·羅斯托夫。但是如果你發現書頁的排列亂七八糟，那麼你不會在乎這種錯誤排列具體是怎樣的。如果你看到了一種錯誤的排序方式，你就相當於看到了所有的錯誤排序方式。除非出於某種古怪的原因，你需要追究每一頁的具體下落，否則你甚至都不會注意到是否有人把你那已經混亂的頁碼搞得更亂。最初的一堆紙就是混亂排列的，即便進一步弄亂也還是混亂的。因此，並不僅僅因為統計學討論比較容易進行，還因為利用統計學所能得到的結果——混亂或者不混亂——更與我們所真正關心的和需要記下來的事情有關。
這種全局式的思考方式是利用熵來考慮問題的統計學基礎的核心。就像任何一張彩票都有中獎的機會一樣，《戰爭與和平》被多次顛倒順序後，任何一種排列方式都有可能發生。使統計學變得有用武之地的原因在於，我們感興趣的頁碼排列方式只是兩類：有序和無序。前一類只有一種（頁碼正確的排列為1，2，3，4；等等），而後一類則有多種（除正確順序之外的每一種可能的排列方式）。這兩種分類是便於應用的合理分類，因為，就像上文所述，利用這種分類你可以對任何一種頁碼的排列方式做出全局性的評價。
即便如此，你仍然可能建議對這兩種分類進行進一步的區分，比如，只有少數幾十頁的排列是混亂的，只有第1章的頁碼排列無序，等等。事實上，考慮這些中間狀態的分類有時是很有用的。然而，每一種亞分類中的可能的頁碼排列方式總數與所有的混亂排列方式總數相比是非常小的。比如說，《戰爭與和平》第一部分排列混亂的方式總數只不過是所有混亂排列方式總數的百分之一的10-178。所以，儘管開始的時候，未裝訂書所導致的無序頁碼排列方式可能只屬於某種中間狀態，而非完全混亂狀態，但可以肯定，如果你再三顛倒頁碼，頁碼排列順序最終將展現不出一點規律性。頁碼排列總是趨向於演變為完全混亂排列的狀態，因為這類型的排列方式確實太多了。
《戰爭與和平》這個例子點出了熵的兩個最顯著特徵。首先，熵是物理系統中無序度的量度。高熵意味著構成系統的組分的許多排列方式毫不起眼，這就相當於說系統處於高度無序狀態（當《戰爭與和平》的頁碼處於混亂狀態時，進一步的顛倒頁碼順序幾乎不會被大家注意到，因為頁碼本身就已經處於混亂狀態，再顛倒頁碼也不會產生什麼重要影響）。低熵就意味著只有少數一些排列方式顯得不起眼，也就相當於說系統處於高度有序狀態（當《戰爭與和平》的頁碼排列有序時，你很容易就注意到對其順序所做的任何改動）。第二，由許多組分構成的物理系統（比如說，很多頁處於混亂狀態的書），有自然演化成更為無序狀態的趨向，因為相比於達到有序狀態，達到無序狀態的方式更多。用熵的語言來說，物理系統傾向於向著高熵狀態演化。
當然，要想使熵的概念準確且具有普適性，其物理定義就不能是在使其不變的情況下數清這本或那本書頁碼的重新排列數目。事實上，熵的物理定義需要在保持物理系統整體上、大局上不變的情況下，數清其基本組成成分——原子，亞原子粒子，等等——的可能有的排列組合數目。比如在《戰爭與和平》的例子中，低熵就意味著幾乎沒有哪次重新排列會不被注意到，因此該系統就處於高度有序狀態；而高熵就意味著大量的重排都會顯得不起眼，換句話說，整個系統處於無序狀態。28
讓我們來看一個不錯的便於說明問題的物理例子，想想先前提到的可口可樂瓶。當氣體，比如最初被密封進瓶子裡的二氧化碳，傳播到房間的每一個角落時，單個分子可能有許多種重排方式，但是這些重排沒有什麼顯著區別。比如說，當你揮動胳膊時，二氧化碳分子將會來回穿梭，迅速改變位置和速度。但從整體上看，分子的調整不會帶來整體性質上的變化。在你揮動胳膊之前分子是均勻分佈的，揮動胳膊之後仍然是均勻分佈的。氣體的這種均勻分佈狀態對於分子的大量重排方式是不敏感的，這正是所謂的高熵狀態。相比而言，如果氣體分佈在較小的空間內，比如說瓶子內，或被障礙物密封在房間牆角，就會出現有意義的低熵狀態。原因很簡單。正如一本薄薄的書的頁碼只可能有幾種排列方式，小地方只能為分子的排列提供一點點空間，因而也就只會產生很少的排列方式。
但當你擰開瓶蓋或是挪開障礙物時，你就為氣體分子打開了一個全新的世界，它們開始運動、碰撞，很快播散到房間的各個角落。為什麼呢？這和《戰爭與和平》問題中的統計學推演是一樣的。毫無疑問，一些分子經過碰撞將會離開最初的氣體團或使一些剛剛離開的氣體分子又被撞回來。但因為房間的體積遠遠超過了最初的氣體團，如果它們分散開來，分子將會有更多種的排列方式。因此，氣體從最初的低熵狀態——氣體聚集在一個小區域內，自然演化到高熵狀態——氣體均勻地分佈在更大的空間內。一旦氣體達到這種均勻狀態，將一直維持高熵狀態：運動和碰撞會使分子四處移動，從而造成一種又一種的重排方式，但大部分重排方式都不會影響氣體的全局性的、整體性質。而這就意味此時處於高熵狀態。9
理論上，就像《戰爭與和平》的頁碼一樣，我們能用經典物理學定律來精確確定在某一特定時刻每一個二氧化碳分子的位置。但由於二氧化碳的分子數目太大了——一個可樂瓶裡大約有1024個——進行這樣的計算事實上是根本不可能的。但不管通過什麼方式，即使我們做到了，手裡拿著一張記有億億億個粒子的速度和位置的單子，對於我們瞭解分子是如何分佈的並沒有多大的意義。把焦點集中在全局性的統計特點上——氣體四散分佈或集中在一起，也就是說，氣體處於高熵狀態還是低熵狀態——才更富有啟發性。