學說之間衝突，並不是災害，是機會。
——懷特海（Alfred North Whitehead）
《科學與現代世界》
即使最頑固的懷疑者，經過上面這一趟科學之旅，也該相信不可逆動力學的力量了。我們用了基於時間之箭的分析，對一大批現象，從生命的出現到豹皮花紋的產生，提供了不得不接受的解釋。如果我們說時間之箭是幻覺，把它放在一邊，那我們得到的所有見解，都得放棄了。這犧牲可太大了；而我們換得了什麼呢？一個充滿各種荒誕無稽現象的世界觀——碗裡的湯自動熱起來，檯球神秘地從球袋裡蹦出來。時間之箭的客觀存在是一個不可否定的概念。如果這需要我們對某些習用的科學概念進行翻修，那也只好這樣做。本章是全書最後的主要一章，這裡把上面所遇到的、時間之箭是真實的各種暗示，彙集在一起。我們將把這些暗示跟近來對混沌的想法相結合，這樣一做，我們將揭示時間的確具有一個能統一我們個人經驗和科學經驗的方向。
需要的是另一種描述，其中未來不是被現在或過去唯一地固定下來。嚴格的決定性論必須推翻；取而代之的是如下一個世界觀：它和我們對世界的經驗是一致的，它裡面的未來是開放的，那個未來具有真正的演化和創新，能產生我們在大自然中看到的各種美麗圖案，從黏菌的蠕動到錯綜複雜的全球天氣系統，乃至宇宙本身由以產生的過程。此新觀點真正地綜合兩個相反的、不可或缺的概念——機遇（概率）和必然（決定性）。此觀點賦予時間之箭十足的客觀存在，使我們能理解實際世界中，不管是我們看得到的還是看不到的，已經發生、正在發生、將要發生的成千上萬的過程。嚴格決定式圖像摒棄以後，拉普拉斯式的機械宇宙與自由意志之間的衝突也同時丟掉。此看法要求完全接受熱力學第二定律，承認它是時間有向性的一個表達，把它從頭就放在我們的描述裡面。現在先讓我們回顧一下我們的出發點。
時間的問題
在我們尋找時間之箭的過程中，我們調查了現代科學中所有的主要學說。我們看到，牛頓力學、愛因斯坦力學、量子力學這些所謂「基本」理論，都否定了時間具有方向。我們看到，決定論和因果論與這些理論的可逆性緊密相連。愛因斯坦建造他十分成功的引力的幾何描述，動機其實就是出於他對因果關係的第一位置持有根深蒂固的信仰。可是在這種決定性的理論中，時間被降到次要地位：不管時間朝哪個方向走，整個的未來，整個的過去，都包含在現在之中——這三者在某種意義下，只是同一整體的幾個不同方面而已。
因為這些方程沒有內在的時間箭頭，沒有理由取一個方向而不取和它相反的方向。但是情況比這還更差：時間不僅無向，它必須循環，「歷史」必須按照龐加萊回歸重複不已。就像圓是沒有盡頭的，這永恆的回返不允許時間有起點或終點。既然時間沒有任何一點是和其他點不同的，平衡——熱力學用以描述所有過程輾轉而停止的時間演化終點，這觀念也就站不住腳了。的確，如果這些理論正確，我們就得向熱力學所有的概念告別，包括熵在內，而熵是科學中唯一出現的、對我們所感覺到的時間給出一個中肯描述的量。
如果我們追隨一些理論物理學家，說世界根本是遵守決定性的、可逆性的定律，那我們就得說，我們自身的存在和我們所有的行動都可以追溯到產生宇宙的初始條件或邊界條件。在時間的黎明，這些條件就規定好了，未來行為應該遵從牛頓定律的這一指令，也已執行過了。或許是上帝選擇了這些條件——他老人家親自安排了大爆炸，使得生命和人類能夠出現。在有些方面，劍橋前數學物理學家泊爾金洪（John Polk-inghorne）還要更進一步。按照他的看法，上帝不僅點燃導火線，然後站開；他老人家的任務是存在於宇宙萬物之中，每個時刻，都是他老人家在保證自然規律的有效，在保證這些規律永不變質，在使台上的戲唱下去。即使如此，時間的實際方向不能用時間對稱的力學來解釋：它仍是上帝的、或者某個別的初始條件選擇者的另外一個選擇。初始條件預先就已假定了時間有方向。初始條件是額外的選擇，與採用它們的理論的性質無關。本章結束以前我們將指出，牛頓決定論這水晶球破裂得很嚴重：這些條件，即使原則上也不能嚴格得知。因此，我們必須對力學中演化的意義重新加以考慮。
所有這些「無時間的」理論中，量子力學最為神秘：對它的理解和差不多所有我們對世界公認的看法都背道而馳。然而對理論物理學家來說，它是一個上好的工具，因為它對原子或更小尺度上的實驗給出了預言其結果的數學方法。量子力學這我們現有的最好的物質理論，只要不想知道它的意義，完全可以輕鬆地賞玩。但想理解這理論是困難的，然而就是這些困難含有關於時間箭頭的一個重要暗示。量子力學的中心難點在於測量，在於微觀的原子分子世界和宏觀世界碰頭、測量器指針顫動、螢光屏閃光那個時刻。這研究世界必需的基本操作是不可逆的。上面第四章描述過，按照正統哥本哈根解釋，一個諸如原子的微觀系統，正是記錄它行為這一操作，使其波函數坍縮，從而產生一個特定的結果（波函數是包含所有有關該系統信息的量子力學量）。這坍縮是不可逆的：它處於可逆薛定諤方程的框架之外。
前面曾經提過，彭羅斯正在追求宇宙學中的「聖盃」之一——在一個完全量子化的引力理論裡面，把愛因斯坦的相對論和量子力學統一起來。理論物理學家多數認為彭羅斯的做法很不尋常，因為他承認了把時間不對稱性包括在宇宙基本特性之中的重要性。彭羅斯式的統一將有幾個額外的好處：它將顯含一個宇宙時間箭頭，從而說明不可逆的波函數坍縮；它將清除廣義相對論中令人為難的奇點；它將說明大爆炸的幾率極小的初始條件（這樣，不用初始條件來解釋時間之箭，而反過來用時間之箭來解釋這些初始條件）。這做法，一如其他宇宙誕生於無的嘗試性想法，或許不需要什麼神來開動萬物。不過量子力學和相對論一個自洽的融合至今仍是未中之的。
在短期間內，物理學家最好還是放棄這些主意——別的方法可能更實惠些。實際上，物理學家都是實用主義者，絕大多數根本不管時間提出的問題。他們都樂於採取蘭姆（Charles Lamb）的觀點：「時間和空間比什麼都更使我煩惱；它們比什麼都更不使我煩惱，因為我從來不想這些玩意兒。」天文學家巴羅在他《世界裡面的世界》一書的結尾，寫了他對這種態度的不滿：「對如何理解量子力學這問題，一個通常的反應是物理學家的反應，說量子力學行就可以了，別的就甭管了；說量子力學究竟是什麼意思，我們搞物理的不必去傷腦筋。可是這種態度，用在別處，是不受歡迎的。如果一個學生問二次方程怎麼解，說他只要知道給出解的公式，不想知道其所以然是怎麼得到的，我們對這學生的印象一定不會太好。要知道科學研究就是基於『行就可以』這態度的否定。」
在少許對時間方向有興趣的物理學家之中，我們看到許多人為了克服量子力學的測量困難，說波函數坍縮實際上並不發生。他們說做測量時，只是我們的見識在起變化。波函數的變形並不是指真實世界而是指我們的意念：不可逆性是出於我們對程序的干預。這樣，「誤解」、「主觀性」便成為對此問題有限答案中常見的托詞。許多科學研究者不承認這是發展新而有益的學說的機會，反而退到主觀主義的說法，說不可逆性是幻覺。類似地，熱力學第二定律被看做是麻煩，而不是自然界一個不可違背的事實。第五章講到過，有人想用粗粒化把第二定律引入然後把它巧辯過去，可是這裡往往有不對的地方。另一個典型的循環論證的說法是：只是因為宇宙的初始狀態具有變化的潛在能力，所以才存在有第二定律。
「時間之箭是幻覺」這論調引出一串高度毀滅性的推理。熱力學——尤其是第二定律只是一個近似，只是我們自身的不足或「錯誤」的後果。再進一步，像生死這種明明是單向的過程，它們看上去的不可逆，只是因為我們無知，沒有看到真正的時間對稱的緣故。主觀主義學派的知識論推到極點就是唯我論——自我存在是唯一的真實。這立場邏輯上是沒有爭論餘地的，有少許科學家採取這個立場，大概就是為了避免不可逆性、測量等問題。考慮到科學為一個「外在」的客觀存在所搜集的大量證據，看上去唯我論不太可能是正確的。再說，唯我主義者往往並不勇於堅持自己的信仰：他們一有了孩子，還是照樣搞人壽保險。
事實上，就如上兩章已經強調過的，時間箭頭是增廣知識的工具，不是用以掩飾無知的手法。我們周圍看到的圖案，從松果的樸素幾何到貓身上的華麗花紋，原則上都可以從嵌有時間箭頭的方程得到解釋。對於遠離熱力平衡的場合，第二定律中祀奉的不可逆性原則將導致自組織過程，從這些過程我們可以理解自然界的各種有序結構。的確，如果沒有熱力學第二定律所堅持的不可逆性，預期生命就不會在地球上出現，也不會有表徵活東西特性的各種時間上和空間的行為。只是因為有不可逆過程，我們才懂得我們自己的存在。
潛伏在不可逆性佯謬之中的大革命，感覺到它萌動的科學家為數極少，這或許不足為奇。學術界有越來越強的壓力，要大家做專門研究，發表文章，從樹林中找出個別的樹，結果是科學文獻指數式地增長，理解逐漸被犧牲在計算聖壇上。我們的前面其實是一片廣闊的處女地，無數豐富多彩的可能性，仍待我們去探索。法國數學家、費爾德獎獲得者湯姆在他《結構穩定性與形態發生學》一書中，如下呼籲：在這世界上如此多的學者忙於計算的時候，是不是也應該讓能做夢的人做做夢？
時間新穎的可能性開始有人探討了，特別是布魯塞爾的普裡高津學派。他們問：如何把時間各種各樣的意義關聯起來——動力學中運動的時間；熱力學中不可逆性的時間；歷史，生物學，社會學中的時間。普裡高津寫道：「這明顯不是易事。然而我們生活在單一宇宙之中。為了對我們為其一部分的世界取得一個首尾一貫的看法，必須找出從一種描述轉到另一種描述的辦法。」我們無須對第二定律與可逆式動力學的對壘局面感到無能為力而袖手旁觀。我們可以採取另種觀點，它並不難以置信，它把第二定律不當為近似，而把它當做基礎。普裡高津與其小組提倡的這個途徑，是基於對微觀世界一個徹底的重新估價，它來自近來的一個認識，即動力學混沌除了最理想化的情況以外，其實到處都是。雖然動力學與第二定律永遠不會彼此歸化，它們看上去都像是自然界的內稟元素，它們之間的關係使人想到量子力學裡的波-粒子二重性。
決定論放手了
在我們對時間箭頭的搜尋中，我們先找一下牛頓，採用第二章所述的他對微觀世界的描述。當然，這樣做對尋找我們的對象不是有利的。牛頓定律說，信息如果充足，就可以決定任何系統的過去和未來。好比說，在一個罐子裡不停碰撞的成億成萬的分子，如果它們在某個時刻的位置和速度完全知道，就可以預言、倒算它們在整個時間上的行為。龐加萊進一步又證明了這些分子將要在漫長的時期中不斷重複它們的運動。在罐中分子亂動的運動之中，時間之箭丟失了。根據拍攝這分子運動的影片，即使運動可以看得見，誰也無法說氣體是否達到了平衡。可是世界並非如此簡單：牛頓力學的缺陷可以用來幫助我們揭示時間在微觀層次中的方向。
在早期，當牛頓一給出他的運動方程，人們都以為預測蘋果或行星的運動，不過只是應用數學中的練習。要知道月球如何繞地運行，只要把適當的數據放進牛頓的微分方程——月球在某個時刻的位置和速度，經過一番計算結果就自動掉出來。此後200年，聰明的數學家和理論物理學家就一直把精力花在把這方程應用到越來越複雜的場合，然後尋找這方程的嚴格解。
碰來碰去的檯球，沿著無摩擦力鐘擺滑下的老鼠，要用牛頓方程來發現它們的過去未來，就得找出所謂的運動積分。這數學程序成功與否，當時人們以為全看是否能為檯球或老鼠寫出數學表達式。人們以為所有機械式描述都是可積分的，也就是說，都是能（從運動積分）得到嚴格解的。從來沒有人停下來想一想，或許不可能嚴格地解這些方程。直到龐加萊出場。
龐加萊眼睛近視，心不在焉，舉止笨拙。他同時代的人和他開玩笑，說他是兩隻手同樣靈巧的人，因為實際上他右手跟他左手同樣不靈活。的確，他在學校的成績以繪畫得零分而有名。可是，他的數學本領遠遠補償了這些短處。1872年他學校的老師利爾德（Elliotl Liard）寫道：「我南塞班上有個數學怪物，叫亨利·龐加萊。」
次年，這怪物發表了他第一篇論文，登在《數學新年報》上，當時他19歲。到他1913年去世的時候，他一共寫了30多本書，500篇專業論文。他大概是數學史上最後的多面手大師，在學城索朋教學時，從一個科目跳到另個科目。對光學、電、彈性、熱力學、量子論、相對論、宇宙學，龐加萊都做了貢獻。他的一個同事說他是個「征服者」，不是個「殖民者」，因為隨便他研究什麼，他總引入新的思想。龐加萊也是科學普及大師。在他《科學的價值》一書中，他說：「如果大自然不美，那它就不值得認識，而大自然如果不值得認識，生命也就不值得了。」他被榮選為法國研究所文學部成員。
1889年，龐加萊震驚了科學界。因為他證明了，連只有三個成員的系統，例如太陽、地球和月球組成的系統，分析它們的運動，都會發現是個根本不可積分的系統。這是用術語的說法，其實就是指數學分析無法給出一個精確解。多過三個成員，更不用說一個氣體中成億成兆的分子，要描述它們的運動，更是困難。這是牛頓水晶球的第一個裂縫。這限制有力地提醒我們，簡並派想把一切盡可能地化簡是危險的。如果把注意力全部集中在過度簡化、能被數學征服的模型，便會有忽略真實世界整個豐富內涵的危險；特別是剝去一層層以為是模糊的現象而揭露內中的「基本」性質，這做法會使我們失掉時間真正的精華。
追求單純是科學家一再墮入的陷阱。牛頓寫道：「大自然喜愛單純，不愛過多因素的繁華。」可是對想像中最簡單的情況，龐加萊把牛頓的數學已弄得無能為力。龐加萊寫道：「一個世紀以前，有人在光天化日之下宣佈了大自然喜愛單純，可是此後不止一次，我們發現大自然並非如此。」在另一學科中，熱力學的偉大先驅吉布斯堅持道：「對任何一門學問，理論研究的目的之一在於尋找一個觀點，從那裡整個學科看上去最為簡單。」如果把吉布斯發展的平衡態熱力學和他所忽略的、本質上更複雜的、跟實際關係大得多的非平衡熱力學對比一下，我們就可以看出，吉布斯要求的「簡單」是有缺點的。在所有情況之下，我們應該牢記劍橋哲學家兼數學家惠特海德的訓誡，「追求單純，懷疑單純。」
遍歷性
龐加萊在牛頓力學路途上插上「此路不通」的牌子，熱力學的創始人沒有加以理會，他們繼續苦幹自己選定的工作。他們聲明過的目的就是從原子分子方面表達世界的行為。玻耳茲曼和吉布斯與龐加萊毫無關係地設計了一個漂亮的方法來強調不同的兩種系統，一種是行為可預測的簡單系統，另一種是具有眾多分子、與日常物體更為接近的複雜系統。
為了想像無數分子的行為，他們把這行為畫在一個「相空間」裡面。這繪畫式方法在此學科整個專門討論中扮演了主要角色。相空間中的行為肖像，信息量極為豐富，它們對其中運動的顯示就和從筆觸辨識畫家一樣可靠。它們也有助於揭示時間之箭。
對在一個盒子裡運動的一個檯球，要畫它相空間肖像，我們必須說它的位置是什麼，速度是什麼。位置用3個坐標表示，習慣上用x、y、z代表左右、上下、前後3個方向，速度也用這3個相互垂直方向的份量表示。這樣一共要6個坐標來畫這檯球的行為；2個檯球，就要12個坐標；3個球，18個坐標；等等。N個球，要6N個位置速度坐標：這6N維度組成我們相空間肖像的佈局。這N個球在某個時刻的狀態就由這6N維的相空間的一個點來代表。雖然不可能想像任何大於三維的空間，我們至少直覺上可以理解，100萬個分子，用一個600萬維相空間中的一個點表示，比用平常三維空間中100萬個運動的點，更為方便。這些球按照牛頓的方程跳來跳去，那代表點在相空間就描出一個相應的軌道。
我們現在考慮一個完美的、來回擺動不已的鐘擺的相空間肖像。每次來回，鐘擺對其擺動終點的勢能和它速度達到最大時的動能進行交換。如果擺動幅度不大，鐘擺就是個可積分系統，相應的牛頓方程就能有精密解。這時候鐘擺的相空間肖像是一個點，沿著一個環永遠不停地循環[圖30（a）]。每循環一次相當於鐘擺的一個擺動週期。如果我們把這理想化系統拍成電影，然後既順放又倒放這電影，那就無法判斷哪個是肖像實際進行的方向——兩種運動都是允許的。這裡時間箭頭很明顯地被遺留在外面了。而這裡的軌道是個閉合的環，這事實鮮明地說明了龐加萊的循環時間和永遠的回歸。用我們的比喻來說，畫這幅肖像的畫家可以說是來自可預測、可積分系統畫派。
現在我們把這幅肖像和描繪一個氣體分子行為更複雜的肖像加以比較。這裡上億的分子不像鐘錘受著牽連，並且它們是不斷在相互碰撞，在和容器的牆壁碰撞。每碰撞一次，氣體的相空間坐標就做快速而重要的改變。玻耳茲曼和吉布斯經過推究，認為如果分子足夠多，時間足夠長，整個的相空間每一點都會經過。直觀上我們可以合理地預期，一個單獨的分子，隨著時間的流逝，將會造訪容器中每一點。他們把這性質叫做「遍歷性」。一個長生不老的遍歷性猴子，在一架打字機上隨意亂打，經過長遠到難以想像的時間以後，將會打出莎士比亞全集（以及狄更斯全集，乃至所有其他人的所有作品）。一個像孤立的、盛有氣體的罐子那樣的系統如果是個遍歷性系統，氣體分子就會探討相空間所有准許的地方[圖30（b）]。和鐘擺比起來，這裡飄忽不定的軌道顯示著氣體分子的隨機性運動。
玻耳茲曼、吉布斯和麥克斯韋認為氣體行為只受一個約束——能量的約束（他們考慮的是孤立系統，所以能量應該守恆）：「為了直接證明熱力學平衡問題，唯一需要的假設就是：如果對在某個實際運動狀態之下的系統，我們聽其自然，它遲早將會經歷每個與能量方程相容的相點。」難道這些遍歷性系統含有瞭解時間之箭的秘訣？
鐘擺是一個可積分系統，一群分子被假設是個遍歷性的系統，它們迥然不同的相空間肖像是區別這兩種不同行為極有價值的直觀教具。
在20世紀30年代，數學家諸如紐曼、貝克霍夫、霍普夫、哈爾末斯（P.R.Halmos）等，為遍歷性系統的理論處理，建立了一個數學上非常嚴格的框架，叫遍歷理論。該理論此後發展成為一個完整的純數學學科。一群（前）蘇聯數學家，最初經由辛欽（Aleksandr Khinchine）的啟發，後來在柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）、阿諾索夫（D.V.Anosov）、阿爾諾耳德（Vladimir Arnold）、西奈伊（Yasha Sinai）等人的領導下，逐漸把持了這領域。
圖30 (a)小振幅鐘擺的相空間肖像。這是一個可積分的動力學系統。其軌道被限制在相空間很小的一個區域。（b）一個氣體中分子群體的相空間肖像。這裡的軌道將經過相空間的每一個部分——運動是遍歷性的。
他們的工作揭示了，遍歷系統中存在有不同層次的行為——有的簡單，有的複雜，有的很奇妙：簡單同時又複雜，它們不同的相空間肖像需要用整個一個畫廊來裝。就如藝術史專家把繪畫分成「經典派」，「印象派」，「立體派」，「現代派」等等，這些肖像的分類可以揭露其中動力學不穩定性的特徵——這和混沌有密切關係，對時間箭頭在原子分子層次上的瞭解極為重要。
有個問題必須解決，我們才能找到時間箭頭——因為即使在遍歷性系統中，龐加萊回歸的陰魂仍然不散。一個系統如果被鎖在永遠回歸的循環之中，它就不可能有時間箭頭。正如龐加萊所指出，一個動力學系統，不管多麼複雜，如果注定它行為重複，就不會存在有伴隨不可逆性的、永不回頭的熵增。把龐加萊回歸和無時間宇宙割開的是兩個字：混沌。
宇宙盡頭的電子
報道一場板球比賽的新聞記者，打電話到他辦公室說：「史密斯把球打過外場員，贏得三分。」（Smith hit the ball over the slips and into the deep for three.）第二天，報紙上登的是：「史密斯把球打過懸巖，掉進藍色大海。」（Smith hit the ball over the cliffs and into the deep blue sea.）同一體裁更熟悉的例子是指揮官下的命令：「派後援來，我們要進攻了。」（Send re info rce ment, we're going to advance.）這命令經過戰壕裡的口傳，最後變成：「寄三毛五來，我們要去舞會了。」（Send three-and-four pence, we're going to adance.）
這兩個笑話告訴我們，一句話稍微變一變，意思就完全兩樣。動力學混沌與此類似：初始條件稍微變一點兒，時間上的演化就迥然不同。動力學混沌這詞有別於隨機性混沌，後者是來自外界影響的真正偶然性的行為，本章不再予以討論（這兩種混沌的區別，第六、第七章已詳敘過）。在能量可以損失的耗散系統的情況之下，我們已經提到過洛倫茲用以解釋天氣變化無常的蝴蝶效應。它強調我們現在離開拉普拉斯式決定論的夢想世界是大有一段距離了。
「宇宙盡頭的電子」是洛倫茲蝴蝶效應的宇宙版本（但這裡應用到一個能量不損失的守恆經典動力系統），是英國布里斯托爾大學的貝瑞（Mi chae l B erry）將它普及的。設想我們要追蹤在屋中一個很小區域瘋狂運動的一個氧分子。要這樣做非常不簡單，因為這個氧分子要遇到成萬上億別的分子，要和它們碰撞。碰撞使它轉向，每次轉的角度，原則上可以算出。為簡單起見，我們假設分子是像檯球一樣地行動。但是對這分子初始位置速度的知識，只要有一點點微小的不確定，就會很快導致對偏轉角度很大的不確定。這分子也許就碰不到本來應該碰到的另一分子，這樣就大大地改變了它的軌道。假設我們像上帝，精確地知道它的初始條件。即使在這種情況，如果僅僅忽略小如這分子和位於宇宙「邊緣」的一個電子之間的引力作用，我們也就再沒有希望預言那分子的去向了。
我們並不需要考慮宇宙邊緣的電子，我們甚至連實驗室幾尺外的電子也都不必管，除非我們在做極其敏感的實驗。想預測這個氧分子的古怪行徑，不管這些，已經夠麻煩的了。貝瑞的故事之有效力，在於他假定在某個特定時刻我們已經精確地知道那個氧分子的狀態。可是我們將要強調，即使在牛頓動力學，它的狀態也不會被知道；和此內稟的不確定相比，宇宙盡頭的電子的影響是微不足道的。
混沌粉碎了決定論
混沌存在的場合對初始條件是極端敏感的。牛頓方程能作短期預言，不能作長期預言，除非初始條件精確地知道。真實世界的這個特點，便被用來作為同時打發決定論和龐加萊回歸論的武器。在上面的例子中，氣體初始條件一個小小的改變就意味著本來要碰撞的分子不再碰撞，本來不會碰撞的分子卻要碰撞。相空間代表所有分子的代表點，其軌道就要有很快的變化。這樣，雖然牛頓方程應該能描述這氣體的行為，但是要從這決定性運動方程中對未來做準確的預言，初始條件（所有億兆個數值）必須以無窮高的精度得知才行。這工作即使原則上能做，也不是任何人腦、任何容量小於無窮的計算機能做的。說精度追求將是無窮，就是說這工作一直做下去，永遠做不完。只有進入宗教的領域，決定論才存在。千真萬確，事實上，也只有全能如上帝者，才能處理無窮多的信息。
氣體是非穩定動力系統的一個例子：初始條件中微小的變化導致它長期行為中巨大的變化。類似地，不管彈球迷怎麼想盡方法把鋼球打得跟上次一樣，結果總是不同。一個動力系統，如果是高度的不穩定，它便叫做混沌式：在此情況，初始條件很靠近的兩個軌道很快地（指數式）分離。然而描述時間上演化這問題，還不僅是搜集必須放入牛頓運動方程的數據這項實際困難。假設射人彈球檯的彈球的初始速度——初始條件之一，是一個介於0和1之間的數（也可以是介於1和100，或者兩個任意數之間，道理一樣）。這聽上去很平常，其實卻蘊藏著一個基本問題。因為我們用來描述這初始條件的任何數都是特殊的，都是非典型的。這是因為我們只能用所謂的有理數，它們由兩個整數的商定義，可是數學揭示了眾多的無理數，它們要討厭、麻煩得多，描述一個無理數得用一個無窮長度的隨機數字系列。對決定論的打擊是由於，雖然在O與1之間有無窮多個有理數，無理數比有理數還更多，更無窮地多。我們只能處理有理數，而無理數必須用有理數近似。這樣，我們能處理的數其實是一個極不正常的選擇。當鋼球開始運動時，它的速度是個無理數的概率遠遠（無窮遠）地大於是有理數的概率。我們永遠不能精密地描述它在彈球檯的行動。這是原則問題，不僅是實用問題。即使有理數也會很長，甚至需要無窮個數字來表達。例如1/3是0.3333333……一直到無窮，作數字計算時必須截斷，好比說，0.333。可是任何截斷將會很快地導致與用「精確」初始條件完全兩樣的鋼球軌道，產生完全不同的一場遊戲。初始條件多少總是不確定的，這事實我們躲避不了，必須正面對付。
只是最近人們才注意到，問世已3個世紀的牛頓運動方程所描述的經典系統是不穩定的，也才意識到牛頓式決定論是有缺點的。一度是傳統學科的流體力學的權威，賴特希爾爵士（Sir James Lighthill），最近代表幾世紀來夢想實現決定論的眾多科學家，做了一個感人的公開懺悔：「今天我們都深刻地感到，我們的前輩對牛頓力學驚人成就的崇拜，使它們在可預言性這領域中做了些推廣，這些推廣我們在1960年以前都傾向於認可，但現在我們知道是錯誤的。我們以前曾向知識界宣傳過，滿足牛頓運動方程的系統是決定性的，這在1960年後的今天，已被證明為不正確。我們在此集體向知識界道歉。」賴特希爾本人的專業，從前是工程師和應用數學家獨佔的地盤，現在經由對動力系統的新處理方法，已成為數學物理中新穎而碩果纍纍的一門學科。
無數考卷叫學生把牛頓方程應用在圓球的碰撞或行星整齊的軌道運行上，要知道這些問題都是例外，不是普遍現象。認為「正規」教育是和「現實」脫節的人，大可以用此作為武器。雖然用來處理這些問題的方程很簡單，混沌這概念的妙處就在於，從同一個源，也能產生複雜的行為。
經過遍歷理論的發展，相空間中的複雜性和時間箭頭變得容易想像（圖30）。混沌的手法可由相空間肖像顯示。我們上面看到，初始條件，即使對一場彈球遊戲來說，一般也是不能精密地確定。考慮到此點，相空間肖像不應該再用單獨一點，而應該用個一小團。這小團包含所有與初始條件不確定性相容的軌道（氣體分子的也好，彈球遊戲中鋼球的也好）：這小團包含可能性的範圍。這小團在時間上將如何運動？遊戲規則很簡單：小團按照劉維方程演化（劉維方程，第五章講非平衡統計力學時已討論過），小團的體積必須守恆，形狀不一定守恆。體積守恆的理由可以用容器中氣體來說明。不管氣體有多少種分配給諸多分子的方式，氣體處於容器中的概率總是一樣，總是等於一。氣體總不會不翼而飛。這樣，這小團可以看為一滴不可壓縮液體，永遠保持體積不變——因此保持總能量不變，但可以變化形狀（相空間中整體形狀標誌運動是如何分配在分子中的）。
現在讓我們來瀏覽一下相空間肖像畫廊（這些肖像都不是用「一點」而是用「一小團」畫的），看看是否能看出不同畫家的手法（圖31）。圖31（a）是主考老師的得意之作，簡單美感的曲線說明這是個可積分（非遍歷性）的系統，這裡的小團做週期性的旋轉，只經歷整個相空間（「佈局」）的一小部分，並且保持它的形狀。此畫派肯定也影響了圖31（b），那是一個遍歷性系統，處於小團中所有的軌道仍然始終彼此靠近（不然小團就變模糊了），但是小團經歷整個相空間。肖像（a）和肖像（b）代表穩定的（或規則的，或非混沌的）動態，因為初始條件中微小的不確定性，在長時間以後的系統狀態中導致的不確定性，仍是同樣地微小。
肖像（c）揭示的是可能更有興趣的情況。它的狂舞，像一幅賈克遜·泊羅克（Jackson Pollock）的畫：這運動經歷整個的相空間，因此是遍歷性的。可是小團的體積總是不變，它的形狀卻變成越來越長、越來越細的細絲，變成像掉進水裡的一滴墨汁，放進咖啡裡的一團奶油。到了它最後滲入佈局的每個部分之後，它就不再演化了。這點具有重要意義，因為它告訴我們，在概率分佈函數（小團）的層次上，可以達到平衡，時間演化可以有個終點。因為這種肖像和不同液體的擴散混合頗有相似之處，所以它叫做混合式遍歷流。霍普夫第一個研究了這種時間演化的數學細節，雖然這種行為吉布斯已經想到過。
圖31 相空間概率密度的時間演化；（a）非遍歷性；（b）遍歷性；（c）混合式。[錄自巴力斯古《平衡統計力學與非平衡統計力學》，第718頁。]
混沌的作用可以在圖32中看到。這裡顯示的是肖像中「筆法」的細節，在初始條件小團中鄰近兩點之間距離隨時間的變化。
圖32 混合式流動的動力學不穩定性。（a）初始相空間概率分佈中相聚d的兩點。不管d是多小，這兩點將隨時間指數式地分離，如（b）所示。比較圖31（c）。[錄自柯文尼，《研究》第20卷，第190頁（1989）。]
不管兩點最初靠得多麼近，它們總隨時間指數式地分離。在很短時期內，這樣兩點的行為差別不大。但過了一段時間以後，它們的長期軌道就完全不同，它們各自經歷相空間中完全不同的區域。這正是我們所謂混沌式時間演化的意義，因為只有我們能無窮精確地得知初始條件，我們才能利用牛頓的決定性方程來計算未來的行為。用相空問繪畫語言來說，如果開始是單一的一個點，我們就可以求助於牛頓。但是對混沌系統，初始時刻不會沒有的不確定性意味著牛頓物理的基石——可預言性——瓦解粉碎了。
對於這種混合型流動，一絲不苟的決定性必須退位給概率陳述。這就是說，我們必須一開始就放棄決定性的軌道，而只運用概率——這正是統計力學的辦法。此結論對時間箭頭頗具意義，科學家們，尤其是玻耳茲曼，想用分子運動來說明不可逆的熱力學第二定律，既然他們用的主要方法之一就是統計力學，因此我們剛得到的結論，對時間箭頭頗有意義。要注意：我們達到這結論，並沒有引用任何主觀論證。
這混合型肖像只是整個混沌肖像「族」裡的成員之一。如果把遍歷性系統按照不穩定程度即混沌程度排列，混合型流動是居中的。比它更混沌的行為發生在所謂K型流動中。這裡，K代表柯爾莫哥洛夫，他和西奈伊研究了這種流動的性質。K型流動的行為處於完全不可預言性的極端，儘管「內中的」運動方程仍然是決定性的。K型流動具有如下令人注目的性質：初始即使有無窮多個測量，也不能預言下次測量的結果——除非初始測量是無限準確的，物理上那當然不可能。這種流動本質上是隨機性的。
所有這幾種行為可能聽起來都有點太抽像。遍歷性系統跟實際世界之間究竟有多少共同之處？事實上，直到西奈伊的創始性T作出現以前，很多人已經開始懷疑，現實與嵌在遍歷性理論中抽像數學之間，是否有任何關係。但1962年，西奈伊宣佈，他證明了一個只盛有兩個或多個按照牛頓方程運動的檯球的盒子，也具有圖31（c）所示的混合性質。西奈伊的結果是對決定論又一個打擊。僅僅兩個球的運動，雖然比較理想化，確也具有有統計力學所研究的行為的性質。而直到那時為止，人們普遍以為，遍歷性（更不用說更強的混合性了）只是巨大數目的原子或分子（例如一個氣體中成億成兆的分子）才有的性質。西奈伊指出，如果盒子裡的球不止兩個，那麼動態就更退化一步，成為K型流動。這樣，即使一場檯球遊戲其實也是混沌式的，也是不可預測的。球桿碰球的情況，稍微有點變動，球的長期位置就完全不確定了。幸虧對檯球球迷來說，這不可預測性只是在擊球完畢很長時間以後才能察覺到，並且是在不存在摩擦力的情況之下才行。
西奈伊創始性工作以後，許多別的理想化的情況，其中有的涉及檯球彼此之間碰撞和檯球與凸面邊界碰撞，也都被證明具有混合式流動甚至K型流動的性質。從理論觀點看來，缺點是建立遍歷性性質極其困難，一個典型的嚴格證明長達數十頁。已證明具有遍歷性性質的情況都比較「奇異」，例如檯球式的相互作用不能作為分子作用的典型，因為檯球直到碰撞以前，根本不管彼此的存在。真實世界裡的相互作用總是更平滑些。不過，很多人認為這只是一個技術性的困難，認為真實系統大多可以用遍歷性的K型流動來模擬。
混沌與時間之箭
對於相空間肖像畫廊如何跟時間配合這問題，現在讓我們來試圖給出一個更堅實的理解。我們已經看到，一個混沌式混合型系統（例如盒子裡的氣體），它的概率分佈開始是一個小團，然後逐漸生出越來越細的捲鬚。這種捲鬚的成長和探觸標誌著氣體分子對多得令人頭暈的可能性進行調查。用單獨一點的一定軌道來代表氣體所有分子的運動是無意義的。我們唯一能說的是：氣體分子，開始如果是在相空間某個小體積中某一點，現在就可能處於肖像中某條捲鬚中的任何一點。這裡存在有巨大的可選擇性。這也許就是微觀層次的時間箭頭，因為小團具有一個毫不留情的傾向，把自己變得越來越模糊，最後達到平衡的死亡狀態，那時整個相空間佈滿細絲——變成了一團概率均勻的棉絮。
我們一旦放棄基於軌道的決定性描述，我們其實就已經根據對甚至是最簡單的情況的瞭解，徹底進行了理論上、哲學上的再估價。我們不再有一個僵硬的決定性框架和固定的預言本領，我們被「降級」到統計層次，那裡不存在決定性，那裡的未來行為只是在一種概率意義上可預測。
以前沒有不可逆性的場合，現在可以為不可逆性騰出地方來了，並且做法完全是客觀的。它和動力學不穩定性密切相關，而這不穩定性是系統中的一個內稟性質，一個客觀性質。因此即使在只有少數幾個檯球或分子的情況下，也運用概率並且承認這是基本做法是有道理的。這做法是基於系統的內稟性質，而和我們的干預、粗粒化方法以及其他「主觀」行動無關。
以前認為是不允許的東西，經過運用概率理論對非穩定遍歷性系統的描述，變為可能了——其中包括不可逆性，從而包括時間之箭。可是龐加萊的回歸論不再來搗亂了嗎？它不是說誰也逃不過永恆的回歸嗎？量子芝諾徉謬（見第五章）發明者米斯拉證明了：當我們放棄用個別點子畫成的肖像，而採用基於小團的肖像，用基於概率的圖像代替基於軌道的圖像，龐加萊回歸就不再成立。
關鍵是：只有採用概率途徑，而不是用牛頓的決定性方程，我們才可以合法地尋找一個量，它類似於熵，從它能得到第二定律的時間箭頭。米斯拉在1978年的一篇重要論文裡，證明了對於K型流動可以找到這樣一種熵。上面我們看到，K型流動包括檯球和理想氣體，一般認為在大自然中很是普遍（這點尚未被證明），尤其是牽涉到宏觀系統的場合。就像熱力學的熵一樣，米斯拉的熵也是在平衡態時達到最大，那時概率分佈停止演化。
借助動力學非平衡熵，我們把牛頓學說的蓋子揭開了，發現它裡面的情況其實是和平衡這熱力學概念相容的。這對我們在微觀層次上尋找時間方向是一個緊要的發現。這是因為，就如第二定律所示，平衡狀態其實就是時間之箭的箭靶。至於這箭頭指向「前」，還是指向「後」，是另一個問題。回憶一下，作為此分析基礎的經典力學是時間對稱的：理論上可能有兩個不同的時間演化，一是朝著未來的熱力學平衡，一是朝著過去的平衡。
這兩種演化應該選哪個，這問題對我們現有的基本原則來說太深奧了，是無法解決的。答案很可能歸根到宇宙學上去。也許根據彭羅斯的建議，我們在第五章考慮宇宙學時間箭頭時曾討論過這建議，不過這還是屬於臆測。我們採取的做法是：把第二定律當做自然界一個唯象事實，用它根據觀測來選擇朝向未來的演化。我們採取這簡單而意義重大的步驟以後，就能把第二定律的時間箭頭加進動力學的結構之中，從而使後者徹底變質。在此解決不可逆性佯謬的辦法之中，第二定律和力學的地位相等，這辦法和簡並派不成功的方法迥然不同，歷史悠久的簡並派總想用力學來說明熱力學。
這辦法從米斯拉後來和普裡高津、庫爾巴伊（Maurice Courbage）的合作中得到更多的支持。他們證明了如果存在一個類熵量，那麼可逆性的軌道便不能用。他們並且還發現了與不可逆性相容的時間模式，叫做「內在時間」，它標誌著一個動力系統的年齡。這年齡反映著系統的熱力學情況，而牛頓方程中的描述則表達純粹動力學可逆性的特徵。
自從不可逆性佯謬問世以來，人們100多年來把力學和熱力學放在敵對位置。而布魯塞爾小組在兩者之間建立了一個令人注目的關聯。海森伯的不確定性原理（見第四章）所表示的、玻爾對量子力學的解釋所強調的量子力學中觀測量的互不相容，我們在這裡發現一個和它很類似的情況：一個系統的熱力學性質（即系統的不可逆年齡）如果完全知道，可逆性動力學描述就失去意義；反過來，動力學描述如果完全確定，熱力學觀點就立不住腳。對此情形，普裡高津做如下說明：「世界之豐富多彩，不是一種語言可以盡括的。音樂不能完全歸納在從古典作曲家巴哈到近代作曲家希恩堡的各種風格之中。我們經驗的各種不同方面，同樣地不能用單一的描述一言而盡。」
分別以動力學和熱力學描述的可逆性和不可逆性，看上去是同一個硬幣的兩面。就如我們在量子力學中發現的情況一樣，世界整個結構太豐富了，我們的語言說不完，我們的頭腦懂不全。對時間這新的看法具有兩個緊要而互補的方面，它們之間對比之強烈，猶如天堂和地獄。統治天堂的是動力學方程，它們是可逆的，是「無時間」的，它們的單純保證著永遠無窮的穩定。地獄則像是實際世界的近親，其統治者是起伏、不定、混沌的。這是個不穩定的，朝著死亡與平衡衰退的世界。
KAM來到
這樣，在經典物理學的核心中發現了能描述年齡概念的一種新時間；它和隨時間增大的一種熵聯繫著。這樣一來，不可逆性和熵看來都是充分不穩定的動力系統的基本性質，即使系統只含有兩三個相互碰撞的物體。我們難道在熱力學時間箭頭與統治微觀世界的可逆性方程之間，得出了一個普遍的聯繫嗎？還沒有完全這樣：別忘記我們還沒有考慮相空間肖像畫廊中所有各種運動，我們只考慮了可積分系統和遍歷性系統兩種。要知道此外還有牽涉到三個或更多個物體的情況，這些都是不可積分的，這是龐加萊首先發現的，本章上面已經提過。
我們處理過的相空間肖像是兩種極端情況——極端「簡單」與極端「複雜」的。遍歷性系統，特別是混合型流動或K型流動，屬於「複雜」系統，因為即使是兩個或三個檯球在一個盒子中的運動，相空間肖像是毛髮狀的，表示整個的相空間都將被經歷。另一方面，一個理想化的鐘擺或者一顆繞日運行的行星是簡單（可積分的）系統的例子，意即它們的運動受著高度限制，沒有碰撞，可預測，因而是非遍歷性的；它們的行動單調無味，有規有矩。這些可積分系統的相空間肖像是由受限制的（非遍歷性）軌道組成，這些軌道週期性地重複咬自己的尾巴。這定性上和我們自己對簡單系統的經驗相符，「咬自己的尾巴」相當於地球重新開始一個繞太陽的循環，鐘擺下一次的擺動。
這看來頗令人不解，儘管一個穩定的地球軌道讓我們非常放心。從我們上面得到的認識，地球的繞日運動似乎具有一個隨便亂來的混沌系統所具有的因素：它應該不是一個可積分的「二體問題」，因為還有月球和其他行星的引力作用。天體的運動其實是多體作用的結果（天體其實不止兩個），因此，按照龐加萊的理論，這運動應該是不可積分的。而我們不是已經看到了除掉最簡單的情況以外總應該出現混沌？
幸好我們仍可指望太陽每天升起，虧的是一個以柯爾莫哥洛夫-阿爾諾耳德-摩塞（KAM）命名的定理。此定理出於柯爾莫哥洛夫1954年開始的關於龐加萊回歸的工作，這工作隨後在20世紀60年代初期由他的同事阿爾諾耳德加以發展。摩塞（Jrgen Moser）同時先後在德國和美國用類似的方法做了同一工作。他們的研究證明了龐加萊的這種系統屬於完全規則和完全混沌之間的一種中介情況。
這種行為半明半暗的區域，可以從在簡單情況裡加一劑新配料以後達到。在我們地球繞日運動的模型中，這新配料就是我們引入的一個或多個代表月球或其他行星的小小的力。人們起先以為這種攝動肯定會把非遍歷性轉化為遍歷性，把一個簡單的相空間肖像，例如描述鐘擺的環，改變成一個複雜的肖像，例如我們已經遇到過的「毛茸茸」的混合型流動。
可是KAM定理表明，這不一定發生：這小攝動在佈局的不同部分，作用不同。佈局有些部分仍舊是規則的，就和未加攝動以前一樣，有些部分就出現了很不規則的、混沌的行為。前者的初始條件小團仍舊被限制在比較簡單的閉合環體裡面，而後者的小團則伸出細長的卷。圖33示意一個簡化過的例子。規則區域相當於穩定的運動，相當於物體之間沒有碰撞；混沌區域相當於物體經受了碰撞的隨機化作用。看來好像這幅肖像是兩個畫家畫的，每個畫家畫了不同的部分。這兩部分一般很複雜地彼此纏繞著。
圖33 一個不可積分系統相空間行為的簡化圖。規則行為區域和無規則行為區域同時存在。參見圖31。
許多不同的因素支配著佈局應該如何分成規則和無規則的兩種區域。假設開始的攝動很小。我們逐漸增大輸入系統的能量，我們將觀測到一個所謂「隨機躍遷」：本來主要是很規則的運動變成主要是很不規則的運動。原因是：能量越大，碰撞越有機會破壞和平的規則運動。此外，外加攝動的增大如果超過某個值，所有的動力學運動，由於同一緣故，都要變成混沌式運動。
天體力學界的天體物理學家聽到KAM定理的消息以後都非常興奮，因為它為證明行星運動是穩定的這尚未解決的問題大大向前走了一步。行星運動如果是不穩定的，那麼像地球這樣一個行星就會一聲不響地掉入深淵。生命也許從來就沒有出現過。即使出現了，天空中的混沌行為也不會給古人什麼宇宙「內在規律性」的線索了。在第二章我們看到了，這種鼓勵對發展智力思考（以及可逆性時間）曾起過極大作用，沒有這種鼓勵，牛頓科學本身也許不會升到統治地位。
圖34 KAM定律對熱力學第二定理的挑戰。[錄自《新物理》（P.C.W.Davies編輯）中福特的論文的圖12.14。]
就如KAM定理所預言，在相空間，某些部分運動是無規的，在太陽系中我們的確能找到一些粒子。狀若土豆的土星第七衛星，它的運動就是混沌式運動。它圍繞土星的軌道大致是規則的，但它同時不規則地、不可預測地打觔斗，就像一個土豆在地上打滾一樣。冥王星的軌道中也有類似的行為。火星與木星之間的小行星帶中的空隙，混沌動力學也給了解釋。
對於日夜在力學中尋找時間箭頭的人，KAM定理乍看上去不是好事。他們才剛以為終於能把時間的描述放在動力學不穩定性和隨機性的基礎上，KAM定理又來搗亂，說複雜系統能在相空間某些部分呈現簡單、無時間性的行為，和時間之箭能在相空間另外一些部分出現一樣地肯定。然而，重要的計算機模擬工作（特別是亞特蘭大的喬治亞工業學院的福特與其合作者所做的）表明，在「物體數目充分大」的情況下——具有成億成兆分子的宏觀層次是肯定滿足這條件的——所有關於規則週期運動的行跡都會被淹沒掉。那時，KAM定理將失去作用，遍歷性、不穩定性、從而不可逆性再次主宰一切。雖然我們應該說明，這些話還沒有給予嚴格的數學證明，時間之箭看來經過計算機的數字啃嚼而復活。這和我們自己的經驗相符：正是在日常物體、事件（例如在融化的雪人）的層次上，我們最感覺到時間的箭頭。
可是，這裡看來好像也有一個截止點和粗粒化中的差不多。第五章介紹了那裡的截止點，它說當我們從原子尺度移到蘋果尺度的過程中，時間之箭會神秘地出現，因此我們將粗粒化輕率地打發掉。現在當我們從少許幾個原子移到「數目充分大」的情況的過程中，時間箭頭的出現是否也具有某些隨意性？統計力學啟示我們利用「熱力學極限」辦法來處理這問題。我們不要設想一個任意大的分子集合，讓我們考慮如下的系統：它的分子數目N和它的體積V都趨向無窮，但分子的密度（N除以V）一直保持為有限。熱力學極限避免了時間箭頭在某個隨意尺度上的出現。這是統計力學不可缺少的一手，應用很廣，例如固體轉化為液體時熔點溫度的理論計算。在熱力學極限下，KAM定理失效；任何「無時間性』的規則行為都被沖走，只有無規則的混沌式運動留下來。這樣，時間之箭就顯露出來了。
相對論混沌
關於相對論力學中的混沌只有少許認識。第三章提到，廣義相對論中，運動是沿著兩點之間距離最短的測地線進行的。法國數學家哈達馬（Jacques Hadamard）在19世紀末證明了，在一個曲率為負常數的面上，測地運動是高度不穩定的。此後又證明這運動是一個遍歷性K型流動。在某些宇宙學場合，可以證明這種測地運動是的確發生的，於是在這些場合中可以建立內在時間和年齡的觀念。此外，甚至相對論不變場——用以描述電磁現象的那種，看來也有K型流動的性質，因此也具有內稟的不可逆性。可是在有引力相互作用的場合中，證明諸如動力學熵、動力學年齡的存在，殊非易事，至今尚無答案。
量子論與不可逆性
至此為止，我們所考慮的是：當我們用牛頓的觀點來處理微觀層次上的事件時，不可逆性會以何種形式登上舞台。可是近代的證據（第四章討論過）是說：要正確地描述微觀物質，必須運用量子力學的語言，儘管這樣做有許多困難。因此，我們應該設法把不可逆性的討論建築在量子理論上。這樣做和用經典理論有許多相似之處。
在量子力學中，一個系統的狀態由波函數描述，而對於嵌置其中的可觀測量（諸如位置、速度），測不准原理保證它們總有些內在的不準確性。然而，被薛定諤方程決定的波函數的演化是可逆的，就像牛頓力學中的軌道一樣。因此，很自然的一個問題是：是否存在一種波函數的動力學不穩定性與經典力學中的混沌類似。這樣一來，我們必須把第五章提到的量子力學密度矩陣拿來取代波函數，作為考慮的基本對象，就如在動力學不穩定的系統的經典力學中，幾率分佈函數是它的基本對像一樣。
儘管多年來許多人的認真努力，在小的量子系統中，我們（至今）還沒有找到與混沌類似的現象。這和量子理論中存在一種強形式的龐加萊回歸有關，它說：所有有限的、隔離的量子系統。比如放置薛定諤的貓的裝置都是週期性的——它們都要永恆地回返。薛定諤的貓將永遠陷在既活又死的暖昧狀態之中。這樣，量子力學中似乎沒有一條趨向平衡的單向通途。然而，只要承認存在具有巨大數目分子的宏觀物體，就可以把一種熵引入量子力學。辦法是採用熱力學極限，就像經典力學對大的、不可積分的龐加萊系統的處理一樣。當然，和上面那種情形相同，只是在考慮宏觀系統而不是考慮微觀系統的時候，不可逆性才可以這樣出現。
對於量子力學的主要困難之一——第四章討論的測量問題，這一結論頗為重要。雖然量子力學的實際應用已成慣例，但是對它應該如何理解仍有可爭論之處。為了事件在真實世界中發生，波函數在測量時必須坍縮，這時信息是如何從理論中提取出來，這便是最大的難處。量子力學在微觀層次上是非常成功的，那麼現在大驚小怪些什麼？
貝爾（John Bell）是歐洲粒子物理中心（CERN）的一位理論物理學家，他對量子力學的內在問題做過深刻的思考。他採取的是「悄悄地」態度。他認為：「量子力學裡基本性的含糊並沒能阻止我們進步。我們的理論學者在那含糊中邁步前進……已取得的成果是極為動人的。如說這是患夢遊病的人做的，我們難道要把他叫醒嗎？我覺得是不叫為宜。因此我現在把聲音放低，悄悄地說話了。」
如果一個人喜歡在微觀世界中生活，那也就不妨夢遊夢遊。可是從第四章得出的結論是：量子力學用來描述我們自己的世界時，發現它在宏觀層次上是有問題的。困難可以用像薛定諤的貓那樣的量子佯謬來說明，其中「量子實際」需得用「又死又活的貓」這類暖昧狀態來描述。對此情形，貝爾概括如下：「世界究竟應該如何劃分為我們可言的儀器和我們非可言的量子系統？通常的理論中的數學要求這樣一個劃分，但不告訴我們如何劃分。」
他繼續說道：「難道億萬年來，世界波函數一直在等一個單細胞生物的出現，然後才躍遷（坍縮）?還是它還得多等一會兒直到出現了一個有資格的——有博士學位的觀測者？如果這個理論不是僅僅只能用在理想化的實驗室過程，我們不是就得承認，差不多每個時刻，差不多每個地方，都在進行差不多的『類測量』過程？這樣一來，難道還有某個時刻是沒有躍遷的、是薛定諤方程能適用的？」
一般看法認為：每做一次測量，波函數就不可逆地、完全不能預定地、隨機地坍縮——因為這坍縮到底是在薛定諤方程的範圍之外。可是，正如玻爾與其學生羅森菲爾德（Leon Rosenfeld）一再強調過的，測量這過程是用一個宏觀的儀器，在宏觀世界與微觀世界的「交界處」進行的。按照上述辦法把熵和不可逆性引入量子理論框架，對於這個疑難問題，可以得到一些認識。如果可以找到一個類熵的量，可逆的波函數就可以被一個概率手段所取代，就像牛頓方程被劉維方程所取代一樣。不可逆性一旦被承認，波函數坍縮就失去它先前那種神秘性。從這個觀點來看，測量過程根本沒有什麼東西令人注目——它就是與熱力學第二定律相符的一個不可逆過程的典型例子。
在量子理論中引入內稟不可逆性很富有吸引力，它把熱力學第二定律從開始就包含進去，並且解釋了測量過程。然而，由我們看來，這仍舊是一套不完備的理論，可逆的量子定律和不可逆的熱力學仍舊是以某種特殊方式連接起來的。我們同意貝爾的看法，即在這方面某些基本措施仍待發現：「觀察事物的新方法將牽涉到某種想像躍進，這躍進將使我們驚訝。無論如何，量子力學的描述將被取代。在這方面，它和其他人為的理論一樣。但在更大的程度上，從它的內部結構中可以看到它的末日命運。它本身就載有自我毀滅的種子。」也許彭羅斯的猜想，即一個令人滿意的、未來的量子引力理論中的時間是不對稱的，能提供所需的「徹底的意識更新」。這樣一套理論，如果成功，可以期望拿掉廣義相對論中的奇點，說明熱力學第二定律，解釋波函數坍縮。不過這項工作屬於未來。
時間與豹斑
這對於前幾章用以描述豹子如何得到身上的花紋、黏菌如何聚合的方程，有何意義？那些含有時間箭頭的非線性「運動」方程，它們的動力學來源是什麼？
物理學成功地運用了這些方程——其中包括第五章提到的著名的玻耳茲曼方程來描述諸如黏滯性、擴散、熱傳導的運輸過程。我們熟悉的不可逆過程——擴散，在它裡面的是物質從高密度區流進低密度區。類似的，黏滯性來自一種液體的摩擦，由於這種摩擦，流體中的有序的機械能耗散為熱能，熱能相當於分子的隨機運動。
可測的量，比如一個液體的黏滯性和熱導率，大多數人認為是物質的「客觀」性質。但是絕對堅持原子簡並論的人，卻認為這些日常現象是「幻覺」，應該予以摒棄。難道這些像黏滯性的性質，真是一個基本上無視時間的宇宙裡面，我們目空一切的想像中的虛構？為了解釋周圍的世界，我們難道還得向主觀因素求助？幸好我們有理由相信，答案是否定的。這是因為現在有一個可說是普遍的方法，可以用來導出這些運動方程，這方法看來和不可逆性的來源有深奧的關係。儘管這普遍方法有不少數學上的困難，它看來能夠闡明時間箭頭問題。特別是：20世紀60年代晚期至70年代早期，喬治（C laud e George）與何寧（Fran oise Henin），在與普裡高津密切合作之下證明了，一個大的耗散系統的時間演化，可以唯一地分成為兩個完全獨立的、叫做「亞動力學」的成分。
一個是「運動」成分，它描述系統的長期演化，含有到達熱力學平衡態的途徑。另一個是「非運動」成分，它描述初始條件開始以後不久的短暫行為，這種行為隨演化而消失。我們還不太清楚，這兩種行為究竟如何劃分，究竟在哪個時刻分子就不記得初始條件了，就在時間之箭的影響之下奔向平衡態了。對此問題，活躍的研究仍在進行。動力學不穩定性（混沌）是一定需要的。有件事是肯定的：這種行為如能從微觀動力學導出，主宰運動成分的將是一個高度普適性的、時間不對稱的運動方程。這樣，我們終於揭露了統計力學中的時間箭頭。
亞動力學這園地，豐饒多產。它使新的和老的運動方程可以系統地導出，並來描述一大批不同的現象。巴力司古（Radu Balescu），巴黎南邊豐特乃玫瑰鎮CEA（歐洲原子協會）的米斯基齊（J.H.Misguich），貝爾格萊德物理研究所的西卡爾卡（Vladimir Shkarka）和本書作者之一柯文尼將此分析擴展，他們研究其演化的系統受著一個時間上有變化的外在場的支配，例如由激光產生的電磁場。這對於探求可控聚變發電是一個頗有興趣的課題，因為後者就是把由電離原子組成的等離子體限制在一個磁場裡面，希望載有正電荷的原子核彼此碰撞，從而釋放大量的核能。這種等離子體的時間演化可以用非線性運動方程精確地描述，而這些方程可以用亞動力學手段得出。此外，在空間時間都變化的電磁場的情況之下，描述幾種特定等離子體的演化的方程，也可以用同一手段來解。
在避免用主觀的方法把不可逆的運動方程從力學中推導出來的努力中，如果說布魯塞爾小組是孤軍奮戰，那就錯了。別人也試圖用過另一些同樣是微觀的、客觀的方法。加州大學伯克利分校的一位數學家蘭弗德（Oscar E.Lanford Ⅲ）在1975年對玻耳茲曼方程做了至今為止最嚴格的數學推導。可是，他只能證明他的推導只是在很短時期內有效，而我們預期它應該最適宜描述對稀薄氣體的長期行為。其他一些人發展了基於「定標」技術的方法，這些人中包括慕尼黑大學的斯庖恩（Herbert Spohn）。不過這些方法有與蘭弗德的方法同樣的缺點。這些手段的優點是高度的數學嚴格性，但是它們沒有布魯塞爾小組所發展的那麼多的科學內容。
熵與創生
不可逆性與熵看來和所有事件中最重大的事件——時間、宇宙本身的誕生無可避免地連在一起。這啟動所有事件的事件——宇宙的無中生有和熵的產生不可解脫地結合在一起，因此是不可逆的。第三章講過這個熵，它無所不在：彭齊亞斯和威爾遜在1965年發現的來自全天的微波黑體輻射，相信是大爆炸的一個遺跡。這個黑體輻射由低能光子「稀粥」組成，遍佈全宇宙，它是一個豐富的熵源。
可惜的是，這個熵不可能跟描述宇宙大尺度結構的愛因斯坦相對論方程掛鉤。這些方程只能描述可逆過程，因此無法解釋這個熵從何而來，除非用我們已經遇到過的、定義模糊的粗粒化。如果我們因為這辦法是特殊的而不加採用，那麼問題仍然存在：熵是如何產生的？
均茲格（Edgar Gunzig）、戈呵紐（Geheniau）、普裡高津在1987年對此問題提出的一個解答，雖屬臆測，卻具有魅力。這個答案建築在另外一些宇宙學家的想法之上，其中包括，除均茲格外，有布柔特（Robert Brout）和恩格勒爾特（Fran ois Englert），他們的宇宙無中生有，在上面第四章中曾有討論。
讓我們來回想一下他們的看法：最初，時空是一無所有的，是平直的——根據愛因斯坦對引力的解釋，那時沒有物質使時空彎曲。海森伯的不確定性原理允許在短期間內可以免費借能量來創造宇宙。根據愛因斯坦的物質-能量關係，這能量產生物質（以黑洞形式），物質又引起時空的彎曲——也就是我們所謂的引力。從「無」，我們得到相當多的「有」；儘管如此，產生宇宙所需的總能量等於零，因為宇宙中所有引力的能量是負的，它和產生的質量的（正）能量恰好抵消。
本章前面我們試圖用原子分子的語言來表達第二定律時，我們看到，混沌和動力學不穩定性這些概念與熱力學不可逆性相容。這裡的建議是：平直（「閔可夫斯基」）時空量子真空的不穩定性與不可預測性，經過種下充滿物質的宇宙的創生的種子，導致出不可逆性。這樣，物質形成的過程被認為是在宇宙學尺度上不可逆的，並且黑體輻射中的熵就是這個原始過程產生的。時間的誕生於是變為一個無可避免的單向過程。它是時間之箭的最終表現。
有人認為，宇宙創生以後，經歷過一個「暴漲」膨脹階段（其時黑洞蒸發），然後轉變成我們今日熟悉的那種物質輻射混合體。這個模型中一個很有意思的特點是，我們在它裡面再次看到時間的雙重面目：不可逆性與重複。因為宇宙如果是開放的，也就是說，如果沒有充分的物質把它拖向「大坍縮」，它就要一直膨脹下去，宇宙中的物質密度將要變為極端稀薄。這種情況相當於一個平直的時空，於是整個這場戲將要重演在大得非常非常多的尺度上。看來，我們在這本書裡一再強調的時間的這雙重性質，在無與倫比大的尺度上，居然也可能存在。