當伽利略發表他的《關於兩門新科學的對話》時，他只是將人類文化帶到了新世界的邊緣。是艾薩克·牛頓完成了最後的一大步，在這個過程中他為一種全新的思維方式繪製了藍圖。在牛頓之後，科學擯棄了亞里士多德受目的驅動的自然觀，轉而擁抱了畢達哥拉斯受數字驅動的宇宙觀。在牛頓之後，愛奧尼亞人關於世界可通過觀察和推理而被認知的主張被轉變成了一個宏大的比喻：世界就像一塊鐘錶，它的運行機制受到數字定律的控制，這種定律讓自然世界的方方面面都可被精確地預測，也包括——許多人相信——人的互動。
在遙遠的美國，它的開國元勳們在信奉神學的同時也接受了牛頓思想，並在《獨立宣言》中宣稱「自然法則和自然之神賦予」人類政治自治權。1在法國，當大革命及其對科學的仇視結束後，皮埃爾–西蒙·拉普拉斯把牛頓物理學帶上了一個更精密、複雜的新高度，並宣稱運用牛頓理論，一個智慧超群的人可以「在相同的公式中囊括宇宙中最大的天體以及最小的原子的運動；對牛頓理論來說沒有什麼東西是不確定的，未來，就像過去一樣，將會展現在它的眼前」。
今天我們都會像牛頓主義者一樣去推理。我們會談論一個人性格的力量，以及疾病傳播的加速度。我們也會談論身體甚至思維慣性，以及一支體育隊伍的動力。在牛頓之前按照這些術語來思考問題是駭人聽聞的；而在今天，不按照這些術語去思考問題也同樣是駭人聽聞的。即使那些對牛頓定律一無所知的人，內心深處也滲透著牛頓的觀點。所以研究牛頓的著作就是在研究我們自己的根。
因為牛頓的世界觀現在是我們的第二天性，要想理解他那才華橫溢的創造還是需要花費些精力的。實際上，當我在高中第一次接觸到「牛頓定律」時，它們看起來是如此簡單，以至於我很驚訝為什麼人們這麼小題大做。我感到很奇怪，這個耗費了科學史上最聰明的人之一許多年時間才完成的定律，而我，一個15歲的小男孩，只上了幾節課就學會了。為什麼對我來說這麼容易接受的概念在幾百年前卻如此難以掌握呢？
我父親似乎能夠理解。我給我的孩子講的都是像發明便利貼那樣的故事，而他通常講的都是先前的鄉間傳說。他對我說幾百年前的人在觀察世界時，他們看到的現實和我們今天看到的很不一樣。他告訴我當他還是一個生活在波蘭的少年時，有一次他和一些小夥伴把床單蓋在山羊身上，接著山羊就飛快地跑到他家裡。大人們都以為他們看見鬼了。好吧，那天晚上是猶太節日普林節，大人們差不多都喝醉了，但我父親並沒有用他們的酩酊大醉來解釋他們的反應——他說他們僅僅只是按照他們的信仰背景來解釋他們看到的東西，鬼魂是一個他們習慣使用並且感覺自在的概念。你可能會認為那很無知，我父親說，但牛頓在向世人講述宇宙的數學定律時所說的話在那個時代的人聽來就像我父親的長輩們所說的鬼魂在我聽來一樣奇怪。這是實話：今天，就算你從來沒有上過一堂物理課，你的體內也居住著一小部分牛頓的靈魂。但假如我們沒有生長在一個牛頓學說的文化裡，那些現在看起來顯而易見的定律對我們大部分人來說將會無法理解。2
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在牛頓臨死之前描述自己的一生時，他以這種方式來講述他的貢獻：「我不知道世人是如何看待我的，但是，對於我自己，我一直都像是一個在海邊玩耍的小孩，因為時不時地找到一塊更光滑的鵝卵石或者一個更漂亮的貝殼而高興不已，但我還沒發現我面前寬廣的真理海洋。」3
對於不如牛頓聰明或者高產的學者來說，牛頓的每一塊鵝卵石都足以讓他們建立起一個不朽的職業生涯。除了在重力和運動領域的工作以外，牛頓還投入很多年的精力去揭示光學和光的秘密，並且還創立了我們今天所熟知的物理學和微積分。當我把這些講給我父親聽時——他在我開始研究牛頓的著作時才第一次聽說這個人——他皺著眉頭說：「你可別像他那樣。專注在一個領域就可以了！」最初我對這句話的反應是青少年特有的傲慢。但實際上我父親說的或許有道理。牛頓的確差點兒就變成一個涉獵廣泛但最終一無所獲的天才。幸運的是，就像我們將要看到的那樣，命運出手干預，時至今日，人們把引領思想革命的功勞記在了牛頓的頭上。
有一件事情牛頓的確從來沒有做過，那就是在海邊玩耍。實際上，儘管他從與英國其他地區以及歐洲大陸的科學家們偶爾的互動交流中獲益匪淺——通常是通過寫信——他卻從未離開過由他的出生地伍爾斯索普，他的大學劍橋大學，以及首都倫敦構成的這樣一個小三角地帶。他似乎也從未進行過任何我們大多數人理解的那種意義上的「玩耍」。牛頓的生活中並沒有太多朋友或者他感覺親近的家人，甚至一個所愛的人，因為至少在他晚年之前，想讓牛頓參與社交活動就好像是去說服貓咪們聚在一起玩拼字遊戲。他的遠房親戚，曾經擔任過他5年助理的漢弗萊·牛頓的一句話或許最能說明問題。他說他只見牛頓笑過一次——當時有人問他為什麼居然會有人想研究歐幾里得。
牛頓對於認識世界並沒有純粹出自興趣的熱情，也沒有通過改造世界來提高人類福祉的動力。他一生獲得了許多名望，但卻沒有一個能與之分享的人。他在學術上取得了成功，卻在愛情上一無所獲。他得到了最高的禮讚和榮譽，但卻在學術爭吵中花費了太多的時間。對於這樣一個學術巨人，如果我們能夠把他稱為一個有同理心且和藹可親的人該有多好，但如果他有任何這樣的傾向，他會成功地壓制住，並變身成一個傲慢的憤世嫉俗者。他屬於，如果你說天看起來灰濛濛的，他卻會說「不，實際上天是藍色的」那種人。更讓人惱火的是，他還是那種能夠證明它的人。物理學家理查德·費曼（1918—1988）在他名為《你幹嗎在乎別人怎麼想》的書裡表達了許多自以為是的科學家的感受。牛頓從來沒有寫過回憶錄，但如果他真寫了，他很有可能會把這本書命名為《我希望我真的把你惹毛了》，或者甚至是《別煩我，渾蛋》。
史蒂芬·霍金曾經告訴我他有一種很高興自己癱瘓了的感覺，因為這讓他可以更專注於自己的工作。我猜牛頓也有可能出於同樣的理由會說，完全活在自己的世界裡而不用與別人分享時間而浪費掉它的好處太棒了。實際上，一項近期的研究報告顯示，數學優異但口才欠佳的學生更有進入科研領域的傾向。4我一直懷疑糟糕的社交技巧與科研領域的成功不無關係。我的確認識好幾個成功的科學家，他們由於被認為太過古怪而無法在其他地方得到聘用，只能在以學術研究為主大學裡工作。有一個研究生每天總是穿著同樣的褲子和白T恤，儘管有傳言說他實際上有兩套這樣的衣服，所以他的衣服偶爾還是洗過的。另一個傢伙，一個著名的教授，他害羞到當你同他講話時，他總是不敢正視你，說話也輕聲細語，如果他發覺你與他之間的距離小於4英尺（1.22米），他就會往後退。後兩種行為在一次研討會後的閒談中引起了麻煩，因為這讓我很難聽清他的話。我們第一次見面時我還是研究生，我犯了個錯誤，和他靠得太近，當他後退時我也天真地跟著他，結果他差點兒被椅子絆倒。
科學是一個極富美感的主題。儘管科學進步需要不同觀點間的相互滋養，而這只能從與其他富有創造力的頭腦的互動中獲得，但它也同樣需要長時間的獨處，這或許為那些原本就不喜歡社交，或者甚至偏愛離群索居的人提供了明顯的好處。正如阿爾伯特·愛因斯坦寫的那樣：「吸引人們投入到藝術和科學研究中的一個最強烈的動機是他們可以從日常生活裡那些讓人痛苦的粗鄙和毫無希望的枯燥中逃離……每一個動機都讓這個宇宙和它的結構成為他情感生活的支點，從而以這種方式尋獲平靜和安全感，而這些是他無法從個人經歷的狹隘漩渦中找到的。」5
牛頓對世人日常追求的鄙棄使他在追逐自己的興趣時不會受到太多干擾，但這也導致他隱瞞了很多科學研究工作，並選擇不去發表他的絕大多數著作。幸運的是，他也並沒有把它們扔掉——他就像一個值得拍攝自己電視真人秀的收集狂，只不過他囤積的不是寵物屍體、舊雜誌、7歲就穿不上的鞋子，牛頓的「東西」由對各種東西的胡寫亂畫構成，從數學、物理學、煉金術、宗教、哲學到他所花的每一便士的賬目以及他描述的他對父母的感受。
牛頓實際上保存了他寫過的所有東西，甚至是一次性的演算紙和學校的舊筆記本，對於那些希望研究牛頓的人來說，這些資料讓他們有機會以一種前所未有的程度去理解牛頓科學觀的發展過程。他的大部分科學論文最終都捐獻給了他的學術之家，劍橋大學圖書館。但其他的論文，有幾百萬字之多，最終在索斯比拍賣行進行拍賣，經濟學家約翰·梅納德·凱恩斯是其中一個競拍人，他買下了牛頓關於煉金術的大部分著作。
牛頓的傳記作者理查德·韋斯特福爾花費了20年的時間來研究他的生平，最後得出結論——我們「無法簡單地按照我們理解自己同類的標準去理解」牛頓。6但如果說牛頓是一個外星人的話，至少他是一個留在日記裡的外星人。
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牛頓理解世界的努力來源於他非凡的好奇心，以及完全發自內心的對於探索的強烈渴望，就跟驅使我父親拿一片麵包去換那道數學難題答案的衝動一樣。但在牛頓這個例子中，點燃他求知慾望的還有別的東西。儘管他被推崇為科學理性的典範，但就和那些千里迢迢去哥貝克力石陣朝聖的人一樣，他對宇宙本質的探究和他的思想靈性以及宗教信仰緊密地聯繫在一起。因為牛頓相信上帝通過《聖經》和大自然現身在我們面前，所以研究宇宙定律就是研究上帝，對科學的熱情其實就是另一種形式的宗教熱情。7
牛頓對孤獨的嗜好和他長時間的工作，至少從他的學術成就這個角度來看，是極大的優點。如果說他在思想王國中的隱居對科學來說是個福利的話，它卻讓這個人付出了極大的代價，而且似乎也與他童年時期的孤獨和傷痛有關。
當我還在上學時，我就很同情那些不受歡迎的孩子，尤其是因為我也是其中一員。但牛頓的情況更糟糕，連他的母親都不喜歡他。他於1642年12月25日來到這個世界，就好像一個你並沒有記在清單上的聖誕節禮物。他的父親在幾個月之前去世，他的母親漢娜一定以為艾薩克的存在會被證明是一個短命的麻煩，因為他很明顯是一個早產兒，人們都認為他不可能活下來。80多年後，牛頓告訴他侄女的丈夫他剛出生時小到可以放進一個夸脫[1]鍋裡，虛弱到不得不在脖子周圍墊上墊子來讓腦袋和肩膀連在一起。這個小搖頭娃娃的處境是如此危急，以至於當兩名婦女被派到幾十英里之外的地方買補給品時一直都在磨蹭，因為她們相信在她們趕回來之前這個孩子肯定已經死了。但她們錯了。脖子周圍墊上墊子是讓嬰兒活命的必備技術。
如果說牛頓從來沒有發現在他生命中擁有別人有什麼用處的話，或許那是因為他的母親似乎從不覺得他有什麼用處。在他3歲那年，她嫁給了巴納巴斯·史密斯牧師，一名富裕的教區牧師長。史密斯的年紀是漢娜的兩倍還要多，他想要一個年輕的妻子，卻不想要一個年幼的繼子。
沒有人能確定這會導致什麼樣的家庭氛圍，但我們或許可以肯定地假設會有一些緊張氣氛，因為許多年後，牛頓在他所寫的關於童年的筆記中回憶說「（我）威脅我的父親史密斯先生和母親史密斯太太說要放火燒死他們，還要燒掉他們的房子」。8牛頓並沒有說他的父母是如何回應他的威脅的，但記錄顯示他很快就被趕到了他祖母那裡。牛頓和她相處得要好一些，但這個「好」的標準設置得卻相當低。他們當然並不怎麼親密——在牛頓遺留下來的所有文字記錄和塗寫中，並沒有一段關於她的溫情回憶。不過好的一面是，記錄裡也沒有他想要放火燒死她，把她的房子燒為灰燼的回憶。
在牛頓10歲時，史密斯牧師死了，他暫時回到了家裡，這個家現在包括他母親在第二段婚姻裡所生三個小孩。在史密斯去世幾年後，漢娜把牛頓送到了格蘭瑟姆的一個清教徒學校，離伍爾斯索普有8英里（12.88千米）遠。在那裡學習期間，他寄宿在一個名叫威廉·克拉克的人的家裡。這個人既是藥劑師，又是化學家。他很欣賞並鼓勵牛頓的創造力和好奇心。年輕的牛頓學習使用研缽和研杵來研磨化學物品；他通過對比迎風和背風跳遠的距離來測量風暴的強度；他製作了一架小型風車，經過改進可以利用在踏車上跑動的老鼠來提供動力，以及一輛他可以坐進去的四輪車，可以利用轉動曲柄來前進。他還製作了一隻尾部帶有燈籠的風箏，在晚上放這個風箏去嚇鄰居。
儘管他和克拉克相處得很好，但和同學卻是另外一回事。在學校裡，由於與眾不同且明顯更聰明，牛頓碰到了今天這樣的孩子也同樣會碰到的反應：別的孩子討厭他。小男孩時期經歷的那種孤獨但卻極富創造力的生活為他日後所過的那種充滿創造力但卻痛苦和孤立的生活埋下了伏筆。成年之後的大部分日子裡他過得根本就不快樂。
在牛頓快17歲的時候，他母親覺得他應該回到家裡來管理家業，於是就把他從學校裡拖了出來。但牛頓並不是一個好農夫，這證明了你也許可以是一個能計算出行星軌道的天才，但在種植苜蓿方面卻是一個不折不扣的笨蛋。更要命的是，他根本就不在乎。當他的籬笆破爛不堪，他家的豬闖進玉米地時，牛頓卻在小溪上修建水車，或者只是看書。正如韋斯特福爾寫的那樣，他厭惡那種「放羊和鏟糞」的生活。9我認識的大部分物理學家卻想要這種生活。
幸運的是，牛頓的叔叔和他在格蘭瑟姆的老校長介入了。他們看出了牛頓的天賦，於是在1661年6月他們把他送進了劍橋大學三一學院。在那裡他將接觸到他那個時代的科學思想——只等有一天去反對並推翻它。僕人們慶祝他的離去——不是因為他們為牛頓感到高興，而是因為他對他們一直很嚴厲。
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劍橋大學在超過35年的時間裡一直都是牛頓的家，這裡也是他發起思想革命的起點。儘管那場革命經常被描繪成由一系列的頓悟構成，但他掌握宇宙秘密的努力實際上更像是一場陣地戰——一場接一場使人筋疲力盡的腦力戰役，戰場被慢慢地奪回，但也付出了大量的精力和時間。一個天賦欠佳，或者缺乏狂熱奉獻精神的人是不可能在那樣的奮爭中獲勝的。
最初，甚至牛頓的生活條件也成為掙扎的來源。當牛頓去劍橋時，他母親只給了他區區10英鎊的生活費——儘管她自己每年輕輕鬆鬆就有超過700英鎊的收入。這點兒生活費讓牛頓跌到了劍橋大學社會結構的最底層。
在劍橋嚴苛的社會等級中，減費生指的是那些貧困學生，他們獲取免費的食物和教育，並靠服侍富裕的學生來賺取少量的錢財：給他們梳理頭髮、清理靴子、帶麵包和啤酒、倒便壺。對牛頓來說如果能成為一個減費生還意味著一種晉級：他是所謂的亞減費生，這種人和減費生一樣有著同樣卑微的工作，但卻不得不自己為食物和要上的課付錢。給和他一樣的男孩子做僕人，而且這些人在格蘭瑟姆學校還老是欺負他，對於牛頓來說一定很難嚥得下這口氣，因此在劍橋他品嚐到了生活在底層社會是什麼滋味。
到1661年時，伽利略的《關於兩門新科學的對話》面世也才剛過20個年頭，就和他的其他著作一樣，這本書也沒有對劍橋大學的課程設置產生多大影響。這也就意味著牛頓通過服務和學費換來的課程所包含的內容是學者們對於世界的全部知識，只要那些學者屬於亞里士多德學派：亞里士多德宇宙學、亞里士多德倫理學、亞里士多德邏輯學、亞里士多德哲學、亞里士多德物理學、亞里士多德修辭學……他閱讀亞里士多德的原著，他閱讀關於亞里士多德學說的教科書，他閱讀設定課程中的全部書籍。但他一本也沒讀完，因為和伽利略一樣，他並不認為亞里士多德的論述多麼讓人信服。
儘管如此，亞里士多德的著作成為牛頓接觸到的第一種複雜的獲取知識的方式，甚至在他駁斥這些觀點時，他也從這種練習中學會了如何處理自然世界的不同問題，以及如何以一種組織嚴密、條理清楚的方式——並帶著讓人震驚的獻身精神來思考這些問題。實際上，作為一個單身並且極少參加娛樂活動的人，牛頓工作起來比我聽說過的任何人都要努力——每天18個小時，每週7天。這個習慣他堅持了許多年。
由於對組成劍橋大學課程內容的所有亞里士多德學科不屑一顧，牛頓在1664年開始了他漫長的通往新思維方式的征途，他當時的筆記顯示他啟動了自己的學習計劃，比如閱讀和吸收歐洲當代偉大思想家的著作，這些人包括開普勒、伽利略和笛卡兒。作為一名不算太優秀的學生，牛頓還是在1665年勉強畢業了，並被授予學者頭銜，同時獲得4年額外的經濟資助用於學習。
在1665年夏天，劍橋爆發了一場可怕的瘟疫，學校被迫關閉，直到1667年春天才重新開放。在學校關閉期間，牛頓回到了他母親位於伍爾斯索普的家中，在孤獨中繼續他的工作。在某些歷史中，1666年被稱為牛頓的重大之年。根據傳說，牛頓坐在家庭農場裡，發明了微積分，想出了運動定律，並且在看到蘋果落地後，發現了他的萬有引力定律。
確實，那一年並不是一個糟糕的年份，但事情也不是像人們說的那樣就發生了。萬有引力定律並不像一個聰明的點子那樣簡單，通過一次頓悟就能得到——需要做大量的工作才能為一個全新的科學傳統構建基石。10並且，故事書中牛頓和蘋果的形象具有破壞性，因為它讓人覺得物理學家似乎只需要靈光一現就能取得進展，就好像某人的腦袋在被撞過之後現在能預報天氣似的。在現實中，即便是牛頓要想取得進展，腦袋也需要被撞許多次才行，並且需要花費很多年的時間去加工他的觀點並得出對它們深層意義的真實理解。和橄欖球運動員一樣，我們科學家之所以會忍受這些撞擊帶來的頭痛，是因為我們熱愛我們的運動勝過我們討厭疼痛。
大多數歷史學家對那個神奇的頓悟故事都持懷疑態度，一個原因在於牛頓在瘟疫期間對於物理學的深刻見解並不是一次性出現的，而是經歷了三年的時間——從1664年到1666年。此外，在那段時期結束時也並未出現牛頓革命：在1666年，牛頓本人都還不是一個牛頓主義者。他依然認為勻速運動源於運動物體的某種內在屬性，而在說到「重力」這個概念時，他指的是某種源於物體原材料的內在屬性，而不是地球施加的一種外部作用力。他當時所提出的觀點僅僅只是一個開始，一個讓他對許多東西感到困惑和糾結的開始，這些東西包括作用力、重力以及運動——所有這些基本概念最終都將構成他的偉大著作《數學原理》的主題。
我們之所以會對牛頓在伍爾斯索普農場時的所思所想知道得比較清楚，是因為他習慣性地把它們全部記錄在一本巨大的、大部分是空白的筆記本裡。這個筆記本是他從史密斯牧師那裡繼承來的。牛頓能有那個筆記本非常幸運，在以後的歲月裡，他將有足夠的紙張去寫下數以百萬計的文字和數學註解，這些都是他的工作記錄。
我曾經提起過像大學以及數學公式等這樣的創新，但其他無名的科學革命的推動因素常常被我們忽視，其中的佼佼者就是不斷增長的紙張的可獲性。牛頓的運氣很好，英國第一家取得商業成功的造紙廠成立於1588年。同樣重要的是，皇家郵政在1635年開始向公眾提供服務，這讓不善社交的牛頓有機會可以和其他科學家通過信件進行交流，甚至是那些偏遠地區的科學家。但在牛頓的時代紙張依然非常昂貴，所以他很珍愛他的筆記本，並將其稱為「雜記簿」。在這個筆記本中我們發現了牛頓探索運動物理學的細節，從而可以一窺從這個才華橫溢的頭腦中想出的，時至今日依然還在發展的觀點的究竟。
比如，我們知道在1665年1月20日，牛頓開始在他的雜記簿中記錄一個針對運動的全面的數學——而不是哲學——研究。這個分析的重要之處在於他對微積分的發展，這是一種全新的、專門用來分析變化的數學工具。
使用奧雷姆的傳統方法，牛頓把變化設想為一條曲線的斜率。比如，如果你用曲線圖中的縱軸來代表物體運行的距離，將橫軸設定為時間，那麼曲線圖的斜率就代表了它的速度。因此，一條平直的線條就表示位置沒有發生改變，而一條斜線或者曲線則表明物體的位置發生了劇烈的變化——也就是說它在以極快的速度運動。
圖(a)到圖(c)表示勻速運動，圖(a)表示速度為零(靜止狀態），圖(b)表示低速運動，圖(c)表示高速運動，圖(d)表示加速運動。
但奧雷姆和其他人在分析曲線圖時採用的方法比我們今天的更具定性特徵。以距離和時間的曲線圖為例，人們並不認為它的每一個點代表著物體在橫軸坐標所顯示的時間內經過的距離。人們也不認為曲線圖的斜率代表了物體在每一個瞬間的速度。相反，對於牛頓之前的物理學家來說，速度指的是平均速度——經過的全部距離除以它所需的時間。那些都是很初級的運算，因為在那些運算中他們考慮的時間常以小時、天，甚至周為單位。實際上，在1670年之前人們還無法精確測量時間，直到英國鐘錶匠人威廉·克萊門特發明出鐘擺式鐘錶之後，人們才有可能在測量時間時將其精確到接近於秒。
牛頓的分析所揭示的內容超越了平均數的意義，使人們認識到了曲線圖和它的斜率在每一個單獨的點上所具有的價值。他解決了一個之前還從來沒有人可以解決的問題：你怎樣定義一個物體的瞬時速度，它在每一個瞬間的速度是多少？當物體運動所需時間實際上只是一個單獨的時間點時，你怎樣用它來除物體這個點上運動的距離？這樣做有意義嗎？在他的雜記簿中，牛頓解決了這個問題。
如果說伽利略喜歡想像「極限情況」，比如把一塊平面一直傾斜，直到它變成垂直狀態，牛頓則將這種理念帶到了一個全新的極限。為了定義給定時間內的瞬時速度，他首先設想以傳統方式計算出平均速度，這段時間包含了所說的那個時間點。接著他設想出一種全新的、抽像的東西：將那段時間不斷壓縮，直到在極限情況下，它的長度趨近於零。
換句話說，牛頓設想你可以讓時間小到比任何有限數還要小——然而又要比零大。今天我們把這樣一個間隔的長度稱為「無窮小」。如果你計算出一段時間內的平均速度，然後將那段時間壓縮到無窮小，你就得到了這個物體在一瞬間的速度，也就是它的瞬時速度。
找出物體在給定時間內的瞬時速度——或者，更通常的說法，一條曲線在給定時間點上的斜率——所用到的數學定律構成了微積分的基礎。[2]如果構成化學物質的原子是不可分割的，那麼無窮小就像是構成空間和時間的不可分割物。
利用他的微積分，牛頓發明了變化的數學。特別是在計算運動方面，他把瞬時速度的複雜概念引入到文化當中，而這個文化最近才發明出它有史以來第一種測量速度的辦法——把一條打結的繩子從船尾扔進海裡，繩子的一頭固定在一個輪盤上，通過數給定時間內經過的繩結個數來計算速度。現在，有史以來第一次，人們在談論物體在某個特定瞬間的速度時——或者任何東西的變化時——有了意義。11
今天微積分被用來描述所有類型的變化——空氣流過機翼的方式、人口增長以及天氣系統變化的方式、股票市場的上漲和下跌、化學反應的發展過程。在任何一家你需要用圖表表示數量的企業裡，在所有現代科學領域裡，微積分都是一個重要工具。[3]
微積分最終幫助牛頓把物體在任何給定時間所受到的作用力同它在那個瞬間速度的變化聯繫在了一起。並且，它還向人們展示了如何通過疊加速度上所有細微的變化來得到物體的運動路徑，並以時間函數的方式將其呈現出來。但那些定律和方法要在幾十年後才會出現。
在物理學方面，就和在數學方面一樣，牛頓的雜記簿裡記錄的東西遠遠超越了人們的想像。比如在牛頓之前，物體間的碰撞被視為這兩個物體內部構造的一種競爭，就像兩個壯碩的角鬥士爭著把對方扔出競技場一樣。然而，按照牛頓的思維方式，在對物體進行分析時只能考慮施加在它身上的外部原因——也就是說，作用力。
儘管在思維方式上有了進步，但在他的雜記簿中所記錄的100多條關於這個問題的公理中，牛頓對於他所說的「作用力」只提供了一個不完美的、令人費解的表述。特別是，他並沒有給出如何把作用力量化的提示，比如因地球牽引力而產生的那種作用力，或者使物體運動狀態發生變化的那種作用力。牛頓在伍爾斯索普那些年裡開始描繪的那幅畫他花費了幾乎20年的時間才將其完美化——而它離點燃牛頓革命的星星之火還相差甚遠。
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物理學家傑裡米·伯恩斯坦講述了一個關於奧地利物理學家沃爾夫岡·保利在1958年訪問美國的故事。保利給哥倫比亞大學的觀眾描述了一種理論，但在觀眾席上就座的尼爾斯·玻爾似乎對這個理論有所懷疑。保利承認第一次見到他的理論時或許會覺得它有些瘋狂，但玻爾回應說，不，問題是這個理論還不夠瘋狂。聽到這句話，保利轉向觀眾席辯解說：「是的，我的理論足夠瘋狂！」緊接著玻爾堅持說：「不對，你的理論還不夠瘋狂！」「很快這兩位著名的物理學家就在觀眾面前氣沖沖地走來走去，互相叫喊，看起來就像兩個五年級的學生。
我提起這個是為了說明所有物理學家以及所有革新家的錯誤觀點比正確觀點還要多，如果他們非常擅長做自己所做的事情，他們也同樣擁有瘋狂的想法，而這些才是最好的那種——當然，只要它們是正確的。從錯誤觀點中甄別出正確觀點不是一個容易的過程，需要耗費大量的時間和精力。因此我們應該對那些擁有古怪想法的人報以同情。實際上，牛頓就是其中一員：在瘟疫暴發期間取得了這樣一個幸運的開局後，他下半輩子的大部分時間都花在了追逐錯誤觀點上，許多後來研究他工作的學者都認為這些觀點是瘋狂的。
事情一開始進展得非常順利。在1667年春天劍橋大學重新開放後不久，牛頓回到了三一學院。那年秋天，三一學院舉行了一場選舉。12我們時不時地都會面對一些會對我們的未來產生巨大影響的互不相關的處境——個人面臨的挑戰、改變我們生活的工作面試，以及有可能會對我們日後的機遇產生重要影響的大學或職業學校的入學考試。對於牛頓來說，三一學院的選舉是所有這些的總和：它的結果將決定這個24歲的年輕人是留在大學裡一個被稱為「研究員」的高級職位上，還是回去過一種「放羊和鏟糞」的生活。他的機會並不大，因為三一學院已經三年沒進行過選舉了，並且只有9個職位空缺，但候選者卻要多得多，他們中的很多人都有政治背景，有些人甚至還有國王簽署的信件，命令一定要選他們。但牛頓真的被選上了。
現在他的種田生涯被遠遠地甩在了身後，人們或許會以為牛頓將下定決心展開工作，把他雜記簿中關於微積分和運動的想法轉化成牛頓定律。但他並沒有這麼做。相反，在接下來的幾年中，牛頓在兩個相差甚遠的領域裡取得了不俗的成就——光學和數學，特別是代數。後者產生了很好的回報，他很快就被劍橋大學的數學家小圈子視為天才。結果，當富有影響力的艾薩克·巴羅從盧卡斯數學教授這個聲望很高的職務上卸任時——史蒂芬·霍金在幾個世紀之後擔任的就是這個職務——巴羅有力地安排了牛頓坐上了他的位子。13以那個時代的標準來看他的薪水相當豐厚：牛頓的大學願意提供給他的工資是他母親願意給他的10倍——每年100英鎊。
牛頓在光學領域的努力並沒有讓他獲得很好的回報。當他還是學生時，他就曾閱讀過由牛津大學科學家羅伯特·玻意耳（1627—1691）和羅伯特·胡克（1635—1703）最近撰寫的關於光學和光的著作。玻意耳同時還是化學領域的先驅。羅伯特·胡克「彎腰駝背，面色蒼白」，不僅是一名優秀的理論家，更是一名富有才華的實驗家，這一點在他擔任玻意耳的助理時顯現無遺。玻意耳和胡克的著作啟發了牛頓，儘管他從未承認這一點。但很快他不只是進行數學運算，他也開始展開實驗，比如通過打磨玻璃來改進望遠鏡。
牛頓從各個角度展開光學研究。14他用一枚針狀的錐子戳自己的眼睛，用力壓它，直到他眼前一片空白，只能看見彩色的圓圈。光線是從壓力中產生的嗎？他盯著太陽一直看，直到忍受不了時為止——時間長到他花了好幾天才恢復過來——他注意到當他把視線從太陽上移開時，他看到的顏色是失真的。光是真實存在的還是想像的結果呢？
為了在實驗室研究顏色，牛頓在他書房僅有的一扇窗戶的百葉窗上鑽出一個小孔，可以讓陽光透進來。哲學家認為太陽的白光是最純的那種光，完全沒有顏色。胡克用這樣的光照射稜鏡，發現從稜鏡裡出來的光是帶有顏色的。他推斷說像稜鏡這樣的透明物質會產生顏色。牛頓也同樣用光照射稜鏡，但他卻得出了一個不同的結論。他注意到儘管經過稜鏡的光變成了彩色光，但當用彩色光照射時，稜鏡並沒有讓顏色發生改變。最終，牛頓推斷說玻璃並不會產生顏色，而只是——以不同的角度彎曲光線會得到不同的顏色——將組成白光的顏色分離出來了而已。牛頓宣稱白光並不是純淨的，它是一種混合光。
這樣的觀察引導著牛頓在1666年和1670年之間得出一個關於顏色和光的理論。這個結論的結果是——當胡克將其稱為一種假說時牛頓被激怒了——光是由像原子那樣的微粒的光線組成。我們現在知道牛頓理論的細節是錯誤的。當然，愛因斯坦在幾百年後恢復了微粒的概念——今天它們被稱為光子。但愛因斯坦的微粒是量子微粒，它們並不遵循牛頓理論。
儘管牛頓在望遠鏡上的工作給他帶來了名聲，但光線微粒的概念遭到了人們極大的質疑，就像愛因斯坦的理論在他的時代遭到的質疑一樣。至於羅伯特·胡克，他的理論把光描述成由波構成，這個理論遭到了人們的反對。並且，胡克抱怨說牛頓只是把他之前所做的實驗略作改動就把它們當成了自己的。
數年間對光學廢寢忘食的研究卻讓牛頓捲入了一場學術戰爭，並且很快這場戰爭就變得激烈和惡毒。更糟糕的是，胡克是個急性子，行事魯莽，短短幾個小時就可以寫出對牛頓的回復，而牛頓是一個一絲不苟，對所有事情都小心謹慎的人，他感覺有必要投入大量工作來準備他的答覆。他光在一個例證上就花費了好幾個月的時間。
個人之間的恩怨暫且放在一邊，這是牛頓第一次經歷新科學方法的社會面——公眾討論和觀點駁斥。牛頓對此並沒有興趣。他原本就是一個孤僻的人，他退出了。
由於對數學感到厭倦，並且對他光學理論的批評也讓他感到憤怒，到17世紀70年代中期時，牛頓——才三十出頭，卻滿頭灰髮，通常還不梳理——實際上與整個科學界斷絕了聯繫。他在之後的10年一直保持這種隔絕狀態。
對衝突的厭惡並不是他陷入新的、幾乎完全孤立的唯一原因——在過去數年間，甚至當他還在研究數學和光學時，牛頓就開始把他每週100個小時的工作時間的重心轉移到了兩個新愛好上，他並不渴望與任何人討論這些愛好。這些「瘋狂的」研究計劃也是他後來一直飽受批評的原因。而它們也確實不屬於主流：以數學和文本分析法來解讀《聖經》，以及煉金術。
對後來的學者來說，牛頓做出投入到對神學和煉金術研究的決定是無法理解的，就好像他為了給基督教科學派寫小冊子而放棄了給《自然》雜誌供稿一樣。然而，那些評判並沒有把這項事業的真實範圍考慮在內，因為把他在研究物理學、神學以及煉金術時所投入的努力統一起來的目標是一致的：瞭解世界真相。簡單地思考一下這些努力很有意思——並不是因為它們被證明是正確的，也不是因為它們證明牛頓精神失常，而是因為它們凸顯了在有成果的科學研究與沒有成果的科學研究之間那條窄窄的分界線。
牛頓相信《聖經》會通過它的某種元素把真相披露給虔誠的信徒，但簡單的文本閱讀並不能夠參透它。他也同樣相信過去那些虔誠的信徒，包括像瑞士醫師帕拉塞爾蘇斯這樣的偉大煉金術士，擁有上帝賜予的深刻見解，並把它們以一種加密的形式包含在他們的作品中，以躲避那些不虔誠的人。在牛頓發現他的重力定律後，他甚至相信摩西、畢達哥拉斯以及柏拉圖在他之前就已經知道了它的存在。15
鑒於他的天賦，牛頓想把他的觀點轉化成對《聖經》的數學分析是可以理解的。他的工作引導著他得出了他認為的創世紀、挪亞方舟，以及其他《聖經》事件的精確日期。他也對一個基於《聖經》的關於世界毀滅的預言進行計算並不斷對其進行修訂。16他其中一個最終的預言說世界將會在2060~2344年之間的某個時間毀滅。（不知道這會不會被證明是真的，但奇怪的是，這確實和地球氣候變化的某些場景非常吻合。）
此外，牛頓開始懷疑《聖經》中某些章節的真實性，並相信一個巨大的騙局破壞了早期教會的遺產，就是為了支持耶穌作為上帝的觀點——他認為這個觀點是偶像崇拜。簡而言之，他並不相信三位一體，這很諷刺，因為他就是三一學院的教授。這同樣也很危險，因為他極有可能會丟掉他的職位，或許更要命的是，他把他的這些觀點告訴了不應該告訴的人。但當牛頓致力於重新解讀基督教時，他卻對讓外界知道他的工作非常慎重——儘管牛頓把他在宗教方面的工作，而不是他在科學領域革命性的工作視為他最重要的成就。
牛頓在那些年的另一項熱愛——煉金術——也同樣耗費了他大量的時間和精力，並且那些研究還將持續30年，這比他投入到物理學研究上的時間多得多。它們同樣也耗費資金，因為牛頓建造了一個煉金實驗室和圖書館。在這裡，我們同樣也會錯誤地把他的努力簡單地視為非科學行為，因為就像他的其他追求一樣，他的研究進行得非常認真仔細，並且，鑒於牛頓根深蒂固的信仰，這些研究都進行了詳盡的論證推理。牛頓又一次得出一個對於我們來說難以理解的結論，因為他的推理論證是在一個更大的、我們根本就不熟悉的背景下展開的。
今天我們會把煉金術士想像成穿著長袍，留著長鬚，念著咒語試圖把肉豆蔻變成黃金的人。我們目前所知最早的煉金術士是一個名叫孟地斯的波洛斯的埃及人，他生活在公元前200年左右，每一次當他結束「實驗」時他都會唸咒語：「一種本性在另一種本性中得到快樂。一種本性毀滅另一種本性。一種本性控制另一種本性。」17這聽起來就好像是兩個人結婚時，他在把有可能發生的不同事情羅列出來。但波洛斯口中所說的本性其實是化學物質，他也確實對化學反應有一定的瞭解。牛頓相信在遙遠的過去，像波洛斯這樣的學者已經發現了深奧的真理，雖然它們都已失傳，但可以通過分析希臘神話來復原它們，牛頓相信在希臘神話裡有以密碼形式寫成的煉金術秘方。
在研究煉金術時，牛頓依然保持著他一絲不苟的科學態度，無數次仔細地展開實驗，並詳盡地做筆記。所以這位未來《數學原理》——通常被稱為科學史上最偉大的著作——的作者同樣花費了數年時間在筆記本裡記滿了在實驗室中觀察到的現象，比如：「把不穩定的綠獅溶入維納斯的鹽中進行蒸餾。這種精油是綠獅，綠獅維納斯的血。用毒液殺死了一切的巴比倫惡龍，被狩獵和月亮女神戴安娜的鴿子戰勝，它是墨丘利的黏合劑。」18
當我開始我的科研生涯時，我把所有慣常的英雄都視為偶像——像牛頓和愛因斯坦那樣的歷史人物，以及像費曼那樣的當代天才。對於一個年輕的科學家來說，進入一個出現過所有那些偉大人物的領域會帶來巨大的壓力。我第一次收到加州理工的任命時就感覺到了這種壓力。19那種感覺就好像是我第一天上高中的前夜，當時我很擔心上體育課，尤其是我要在所有其他男孩子的面前洗澡。因為在理論物理學領域你暴露自己——不是身體，而是智商，其他人真的會看，並且他們也會評頭論足。
很少會有人和別人提起或者分享這種不安全感，但它們卻是普遍存在的。每個科學家都不得不找到自己應對壓力的辦法，如果他們想取得成功的話，有一種結果每個人都會避免，那就是害怕犯錯的傾向。托馬斯·愛迪生有一句建議常被人提起：「想有一個偉大的點子，那就多去想些點子。」確實如此，任何一個革新家在走上金光大道之前都會鑽進更多的死胡同，所以如果擔心走錯方向而停滯不前，你永遠不會到達某個有意思的地方。因此在我的職業舞台上，我非常樂意去瞭解牛頓所有的錯誤觀點以及浪費的光陰。
和我一樣，有些人會因為知道那些聰明無比的人有時也會犯錯誤而感到安慰，對於像我們這樣的人來說，甚至是牛頓那樣的天才也有可能誤入歧途，知道這一點讓人深感寬慰。他或許能弄懂熱量是微小顆粒運動產生的結果，他相信所有物質都是由這種微小顆粒構成的，但當他以為自己患上肺結核時，他卻會喝一種由松節油、玫瑰水、蜂蠟和橄欖油製成的「藥劑」。（這種藥劑同樣還被認為對於胸痛和被瘋狗咬傷有好處。）是的，他發明了微積分，但他也認為在耶路撒冷那座遺失的所羅門王聖殿的平面圖上包含有世界毀滅的數學提示。
為何牛頓會如此偏離航道呢？當人們研究這種狀況時，一個因素從所有其他因素中跳了出來：牛頓的孤立。正如中世紀阿拉伯世界的學術孤立導致偽科學的擴散一樣，同樣的事情似乎也束縛著牛頓，儘管他的孤立是自己選擇的，因為他把他的宗教信仰和煉金術當作秘密隱藏起來，不願意被嘲笑或是在學術辯論中遭受責難。這裡並沒有一個「好牛頓」和一個「壞牛頓」，一個理性和一個非理性的牛頓，牛津大學哲學家W. H.牛頓-史密斯寫道。20相反，牛頓誤入歧途是因為他沒有把自己的觀點付諸討論，並「在公共論壇中」接受挑戰，而這是「科研機構常態」中最重要的活動之一。
由於對批評過敏，牛頓也同樣不願意分享他在瘟疫發生期間完成的關於運動物理學的革命性研究。在他擔任盧卡斯教授的15年時間裡，那些觀點一直沒有對外發表，也一直沒有最終完成。結果，到了1684年，在他41歲的時候，這個像瘋子一般勤奮的前神童僅僅只出產了一堆毫無條理的關於煉金術和宗教的筆記和短文，一個充斥著尚未完成的數學論文的研究課題，以及一個依然混亂和不完整的運動理論。牛頓曾在很多領域都展開過細緻的研究，但並沒有得出合理的結論，這些遺留下來的數學和物理學觀點就像一杯過於飽和的鹽水：內容很多，但卻尚未結晶。
這就是那個時期牛頓的工作狀態。歷史學家韋斯特福爾說：「假如牛頓在1684年就死了，而他的論文保留了下來，我們只能從這些論文中得知有一位天才曾經生活過。21然而，我們並不會把他譽為塑造現代學術的標誌性人物，我們至多會在隻言片語中哀歎他未能獲得最終的圓滿。」
這之所以沒有成為牛頓的命運，不是由於他有意識地決定去完成並發表他的著作。恰恰相反，在1684年，科學的歷史進程被一個幾乎是偶然的碰面改變了，與一位同事的互動為牛頓提供了他急需的觀點和動力。如果沒有那次碰面，科學史以及今天的世界將會大不一樣，並且不會變得更好。
* * *
那是一個炎熱的夏末，牛頓與一位恰巧路過劍橋的同事見了一面，於是，那顆成長為世人前所未見的科學史上最偉大進步的種子開始萌發了。
在充滿宿命意味的那一年的1月，天文學家埃德蒙德·哈雷——以彗星聞名——參加了倫敦皇家學會的一次會議，與他的兩位同事討論當時的一個熱點問題。皇家學會是一個致力於科學研究的富有影響力的學術社團。幾十年前，使用由丹麥貴族第谷·布拉赫（1546—1601）收集的具有前所未見精確度的行星數據，約翰尼斯·開普勒發現了三條似乎可以用來描述行星軌道的定律。他宣佈說行星的軌道是以太陽為其中一個焦點的橢圓，並且說他識別出了那些軌道遵循的某些定律——例如，行星完成一次軌道運行所需時間的平方和它與太陽之間平均距離的立方成正比。從某種意義上說，他的定律很完美，而且對行星如何在太空中運行有著簡明的描述。但從另一個層面說，它們只是空洞的觀測，純粹的陳述，並沒有為行星為何要沿著這樣的軌道運行提供深刻見解。
哈雷和他的兩位同事懷疑開普勒的定律反映出一些更深層次的真相。特別是，他們推測，假設太陽用一種作用力將每一顆行星拉向自己，而這種作用力會隨著行星距離平方的增加而逐漸減弱，在這種情況下開普勒的定律會不會依然適用？這種數學形式被稱為「平方反比定律」。
一個像太陽的遙遠天體，它從各個方向產生的作用力應該隨著你與這個天體之間距離平方的增加而逐漸減弱，這可以通過幾何學來證明。設想出一個巨大的球體，它大到在它的中心太陽看起來僅僅只是一個點。這個球體表面上所有的點與太陽的距離都相等，因此，只要人們還具備推理能力去相信這一點，他們就會猜到太陽的物理影響——實質上，它的「力場」——應該以相同的強度延伸到球體的表面。
現在再設想出一個球體，比如，兩倍大的。幾何定律告訴我們球體半徑增加一倍它的表面積會增加到原來的4倍，所以現在太陽吸引力的延伸距離是原來的4倍。那麼，在那個更大的球體上任意指定一點，太陽吸引力的強度將會是原來的1/4，這就可以說得通。這就是「平方反比定律」如何發揮作用的：當你走得更遠，作用力會隨著你的距離平方的增加而降低。
哈雷和他的同事懷疑平方反比定律是否支持開普勒的定律，但他們能證明它嗎？他們其中一個——羅伯特·胡克——說他可以。另一位同事名叫克裡斯托夫·雷恩，他在今天以建築家的身份聞名，但他其實也是一位著名的天文學家。他為胡克提供一筆獎金來交換他的證明。但胡克拒絕了。人們都知道他的性格很執拗，但他給出的理由卻很值得懷疑：他說他會推遲披露證明的時間，這樣其他人在無法解決這個問題時就會意識到它的難度。或許胡克確實解決了那個問題。或許他還設計出了一架可以飛往金星的飛船。但不管怎樣，他從沒有提供他的證明。
那次會面7個月之後，哈雷來到了劍橋大學，決定去看望一下孤獨的牛頓教授。和胡克一樣，牛頓說他已經完成了可以證明哈雷推測的工作。也和胡克一樣，他並沒拿出他的證明。他翻找了一些論文，但沒有發現他的證明，於是承諾說他會繼續找，等找到之後會寄給哈雷。幾個月過去了，哈雷什麼也沒收到。人們禁不住想知道哈雷腦子裡在想什麼。他問兩個成熟的成年人是否可以解決一個問題，一個說：「我知道答案但我就是不告訴你！」而另一個卻理直氣壯地說：「我的家庭作業讓狗吃了。」雷恩保留了他的獎金。
牛頓的確找到了他要找的證據，但當他再一次檢查時，發現它有問題。但牛頓並沒有放棄——他重新修改了他的觀點，最終他成功了。那年11月，他給哈雷寄去了一份9頁的論文，證明開普勒的三條定律的確是吸引力的平方反比定律的數學結果。他把這篇短文稱為《論天體在軌道上的運動》（De Motu Corporum in Gyrum）。
哈雷非常激動。他認定牛頓的論述方法是革命性的，他想要皇家學會發表它。但牛頓不同意。「我現在還在研究這個課題，」他說，「在我發表我的論文之前我很想知道它的根源。」22牛頓「很想知道」？因為接下來他所付出的巨大努力產生的或許是人類有史以來最重要的學術發現，所以這幾個詞構成了歷史上最保守的話之一。通過證明在行星軌道問題之下隱藏的是一個普遍的運動和作用力理論，牛頓找到了「它的根源」。這個理論適用於所有物體，包括天上的和地上的。
接下來的18個月，牛頓除了擴充他的論文之外什麼也沒做。這篇論文最終將會變成《數學原理》。他就像一台物理學機器。他一直的習慣就是當他忙於某個課題時，他會省略掉吃飯甚至睡覺的時間。據說他的貓由於老吃他留在盤子裡的食物而變得肥碩起來，他的大學室友報告說他經常在早上看到牛頓還在他頭一天晚上待著的那個地方，依然還在解決同一個問題。但這一次牛頓甚至更加極端。他完全切斷了與所有人的實際接觸。他很少離開他的房間，只是偶爾去一趟學校餐廳，通常只是站著隨便吃一點東西，然後馬上回到他的住處。
牛頓最終關閉了他煉金實驗室的大門，把他的神學研究擱置一邊。他的確還按照要求繼續講課，但講課的內容卻怪異晦澀並且無法聽懂。人們後來才發現其中的原因：牛頓只是在上課時出現在課堂上，朗讀他《數學原理》的草稿。
* * *
在他被投票選舉為三一學院的一名研究員後的許多年裡，牛頓或許並沒有十分努力地推動他在作用力和運動方面的工作向前發展；但在17世紀80年代，他是一個比他在17世紀60年代瘟疫發生期間更偉大的知識分子。他擁有更成熟的數學思想，並且在對煉金術的研究中獲得了更多的科學經驗。一些歷史學家甚至相信正是由於他花費了很多年來研究煉金術，才促成他取得了運動科學的最終突破，引導著他寫出了《數學原理》。
有趣的是，促成牛頓取得突破的其中一個催化劑是羅伯特·胡克5年前寫給他的一封信。胡克在信中提出了一種觀點，他認為軌道運動可以被視作是兩種傾向不同的運動的總和。設想一個天體（例如一顆行星）圍繞著另一個吸引它的天體(例如太陽）做圓周運動。假設這個沿軌道運行的天體有一種以直線繼續運動的傾向——也就是說，飛離它的曲線軌道，直接向前衝出去，就像在下雨天轉彎時打滑的一輛汽車。數學家把這種情況稱為沿切線方向離開（切向運動）。
現在再設想一下，這個天體還有第二種傾向，一種指向這個軌道中心的吸引力。數學家把沿著這個方向的運動稱為徑向運動。胡克說，逕向運動傾向可以補充切向運動傾向，因此，兩者相加，便產生了軌道運動。
人們很容易看到這個觀點在是如何引起牛頓共鳴的。在回憶起那封信後，為了完善伽利略的慣性定律，牛頓在他的雜記簿中假設說所有天體都傾向於沿直線運動，除非受到某種外部原因，或作用力的干擾。對於一個沿軌道運行的天體而言，它的第一傾向——沿直線方向離開軌道——是那個定律的自然結果。牛頓意識到如果在那種情況下再加進一種作用力，一種吸引天體朝向軌道中心的作用力，那麼就可以為徑向運動，也就是胡克的第二個必要因素提供解釋。
但如何以數學形式來表述它呢？特別是，如何才能在平方反比定律的特定數學形式和開普勒發現的軌道的特定數學性質之間建立起聯繫呢？
設想將時間切分成極小的間隔。在每一個間隔中，沿軌道運行的物體可被認為在做小幅切向運動的同時，也在做小幅的徑向運動。這兩種運動交織而成的網將物體拉回到它的軌道，但此時它離圓周的距離要比它開始時的地方遠一些。這種情況多次重複的結果就形成了一個鋸齒狀的環形軌道，如圖所示。
切向運動和徑向運動形成了圓周運動
在這樣一個軌道中，如果時間間隔足夠小的話，人們可以按照希望的那樣把運動路徑設想成無限接近於圓形。在這裡就可以應用到牛頓的微積分：如果時間間隔是無窮小，為了所有實用目的，運動路徑就是一個圓形。
那就是牛頓的新數學支持他創造的對於軌道的描述。一個沿軌道運行的物體沿切線方向運動，又沿徑向方向「降落」，從而形成一個鋸齒狀的運動路徑，他將這些畫面整合在一起——接著他又考慮極限情況，在這種情況下，鋸齒的直線部分小到可以忽略不計。那將有效地抹平運動路徑上的鋸齒，從而得到一個了圓環。
按照這種觀點，天體因為受到一種把它拉向某個中心的作用力的影響而不斷地偏離它的切向路徑，軌道運動指的就是這種天體運動。只有實踐才能說明好不好：通過在他的軌道數學中使用平方反比定律來表述向心力，牛頓成功地證明了開普勒的三條定律，就像哈雷要求的那樣。
牛頓最偉大的成就之一就是他證明了自由落體和軌道運動都是同一種作用力和運動定律的實例，因為它一次性地否定了亞里士多德所說的天空和地球是不同王國的論斷。如果說伽利略的天文觀測揭示了其他行星的特徵和地球沒有什麼兩樣的話，牛頓的工作證明了自然定律也同樣適用於其他行星，而非地球所獨有。
然而，即使在1684年，牛頓對於重力和運動的見解也不像那個蘋果落地的故事所表現的那樣是一次醍醐灌頂般的頓悟。23相反，重力普遍存在這個重要觀點似乎是牛頓在修訂《數學原理》早期草稿時才逐步發展形成的。
之前，科學家懷疑行星是否會施加一種重力作用力，他們相信行星的重力只影響它們的衛星，而不會對其他行星產生影響，就好像每顆行星都是一個獨立的世界，擁有自己的定律。確實也是這樣，牛頓自己剛開始研究時也只是懷疑物體落向地球的原因是否只可以用來解釋地球對月球的牽引力，而不能解釋太陽對其他行星的牽引力。
這是一種證明，對牛頓創造力的證明，對他跳出常規模式來思考問題的能力的證明，他終於開始質疑那種傳統的思考方式了。他給一位英國天文學家寫信，希望得到1680—1684年間關於彗星的數據，以及當木星和土星相互靠近時它們的軌道速度。在使用這些精確數據進行了一些使人筋疲力盡的運算並對比結果之後，他開始相信同樣的重力定律到處都可以適用——不單在地球上，也在所有天體之間。他修訂了《數學原理》的內容來反映這種情況。
牛頓定律的力量並不單單只體現在它們革命性的概念內容上。利用這些定律，他也可以做出空前精確的預測，並把它們和實驗結果進行對比。比如，使用月球距離和地球半徑的數據，並把月球軌道因受到太陽牽引力的影響而發生的變形、地球自轉時產生的向心力，以及地球的形狀並非一個完美的球體等這樣的細節考慮在內，牛頓推斷說，在巴黎的緯度，一個物體從靜止狀態掉落，它在第一秒降落的距離是4.58米。24從來都是一絲不苟的牛頓通報說這個數據同實驗結果相比要精確1/3 000。25並且，他還不辭勞苦地用不同的材料來重複這個實驗——金子、銀子、鉛塊、玻璃、沙子、鹽、水、木頭以及麥子。他斷定，每一個單一的物體，無論它們的成分如何，也無論它們是在地球上還是在天上，都會吸引其他物體，並且這種吸引力永遠遵循同樣的定律。
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當牛頓最終「找出根源」時，《論天體在軌道上的運動》已經從9頁變成了3卷——《數學原理》，或者它的全稱，《自然哲學的數學原理》。
在《數學原理》中，牛頓不再只研究天體在軌道上的運動，他詳細描繪了作用力與運動的普遍理論。它的核心是三種物理量之間的相互關係：作用力、動量（他將其稱為運動總量），以及質量。
我們已經看到牛頓是如何努力發展他的定律的。現在讓我們來看一看他的三條定律是什麼意思。在第一條定律中他把伽利略的慣性定律進行了改進，並增添了作用力是運動狀態發生改變的原因這樣一個重要概念。
第一定律：一切物體總保持靜止狀態或勻速直線運動狀態，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態。
和伽利略一樣，牛頓把物體以恆定速度沿著直線方向運動的狀態視為物體的自然狀態。因為在今天我們已經習慣按照牛頓式的表述來思考問題，我們很難去想像這個概念有多違背常理。但我們在世界上看到的大多數運動並不是按照牛頓描述的那種方式進行的：物體在降落時速度會加快，或者當它們遇到空氣阻力時速度會放慢，當它們落向地球時它們的軌跡是彎曲的。牛頓堅稱所有這些從某種意義上說都是異常運動，是重力或者摩擦力等這些看不見的作用力導致的結果。他說，如果單獨留下一個物體，它會做勻速運動；如果它的運動路徑是曲線的或者它的速度發生了變化，那是因為它受到了某種作用力的影響。
單獨的物體會保持它們的運動狀態，這個事實給了我們探索宇宙空間的能力。比如，一輛陸地上的法拉利跑車可以在不到4秒的時間裡從零加速至每小時60英里（96.56千米），但它必須非常努力才能維持住那個速度，因為它會受到空氣阻力和摩擦力的影響。一架外太空裡的飛行器在約10萬英里（16.09萬千米）的距離中只會碰到一個游離的分子，所以你大可不必擔心摩擦力或者阻力。這就意味著一旦你發動了一架航空器，它將繼續以恆定速度沿著直線向前運動，而不會像法拉利跑車那樣慢下來。並且如果你一直開著引擎，它將會持續加速，不會因為摩擦力而損失任何能量。假如你的宇宙飛船只有法拉利跑車那樣的加速度，如果你保持這個速度開上一年，而不是一秒鐘，你的速度可以超過光速的一半。
當然，這裡也會出現幾個實際問題，比如你必須攜帶的燃料的重量以及相對論的影響，這個我們之後會談到。同樣，如果你想去某顆恆星，你需要瞄準目標：星系太分散了，如果你只是隨意地將你的飛船指向某一點，在它遇到另一個太陽系之前，它經過的平均距離將比宇宙大爆炸之後光經過的距離還要遠。
牛頓並沒有設想過人類訪問其他行星，但是，他斷言作用力會引起加速，在他的第二定律中他將作用力的總量、質量以及加速度之間的關係進行了量化（在現代表述中，「運動的變化」指的是動量的變化，比如，它等於質量乘以加速度）：
第二定律：運動總量的變化與施加的動力成正比，並沿該力的作用方向發生變化。
設想你推一輛裡面坐著一個小孩的手推車。這條定律說，在忽略掉摩擦力的情況下，如果你在一秒鐘內施加的推力可以讓一輛裡面坐著小孩的75磅重的手推車以每小時5英里的速度移動，那麼如果這輛車裡坐的是一個150磅重的年輕人，你就不得不花兩倍的力氣，或者兩倍的時間，才能使它獲得同樣的速度。好消息是（同樣忽略摩擦力）你可以用一萬倍的力氣來讓一架的750 000磅重的大型噴氣式飛機以每小時5英里的速度移動（這很難做到），或者花費1萬倍的時間（這僅僅需要耐心）。所以如果你可以在1萬秒內（這只需要不到2小時47分鐘）保持你的力度不變的話，你就可以讓一架坐滿乘客的大型噴氣式飛機像手推車那樣移動。
今天我們把牛頓的第二定律寫成F=ma——作用力等於質量乘以加速度——但直到牛頓去世之後很久，差不多在他提出它之後的100年，他的第二定律才以數學等式的形式出現。
在他的第三定律中，牛頓說宇宙中的運動總量不會發生改變。它可以在物體之間轉移，但不會增加或者減少。今天的運動總量就是宇宙剛剛形成時的運動總量，只要宇宙繼續存在，它就一直保持不變。
需要特別注意的是，在牛頓的計算中，一個方向上的運動量在加入一個相等的反方向運動量後產生的整體運動量等於零。因此，一個物體從靜止狀態變成運動狀態並不違反牛頓第三定律，只要它的運動被反方向上的另一個物體的運動變化抵消掉，牛頓這樣來表達它：
第三定律：任何作用力都會有一個相等的反作用力。
這個聽起來很天真的句子告訴我們如果向前射出一粒子彈，槍就會往後退。如果一個溜冰的人用她的冰鞋向後蹬冰面，她就會向前移動。如果你打噴嚏，向前噴出你口中的氣體，你的頭就會往後飛（期刊《脊椎》裡的一篇文章告訴我們，由於地球重力的緣故，頭部的平均加速度是噴出氣體的3倍）。26如果一架宇宙飛船從它後面的火箭助推器裡噴出熱氣，飛船將向前加速，它的動量與它向宇宙真空中噴出的熱氣的動量大小相等，但方向相反。
牛頓在《數學原理》中闡明的定律並不只是抽像的概念。他提供的證據讓人們相信這樣一個事實，那就是他闡述的為數不多的幾個數學原理就可以用來解釋無數真實世界裡的現象。在這些應用中：他展示了重力如何影響我們看到的月球的不規律運動；他解釋了大海潮汐的漲落；他計算出了聲音在空氣中的傳播速度；他證明了歲差是地球赤道地區受到月球重力影響的結果。
《數學原理》的封面
這些都是驚人的成就，世人也的確受到了震動。但從某種意義上說，更讓人印象深刻的是牛頓明白他的定律在實際應用方面存在某些限制。比如，他知道儘管他的運動定律總體說來非常接近我們所看到的發生在我們周圍的現象，但它們僅僅適用於一個在任何絕對意義上都沒有空氣阻力和摩擦力的理想世界。
和伽利略一樣，牛頓的天才很大一部分體現在他可以辨別出存在於我們實際環境中的無數紛繁蕪雜的因素，並且能夠剝開這些表象去揭示最基本的簡明定律。
以自由落體為例：根據牛頓定律的規定，降落的物體速度會加快——但這只是最初的情況。接著，除非這個物體掉進了真空，否則它在降落時穿過的介質最終會阻止加速過程。這是因為物體越快穿過介質，它受到的阻力也就越大——因為它在每一秒碰到了更多的介質分子，也同樣因為碰撞的程度更劇烈。最終，當降落的物體速度加快時，重力和介質阻力會彼此平衡，物體就不會再繼續加速。
那個最高速度也就是我們今天所說的自由沉降速度。自由沉降速度和為了達到這一速度所需的降落時間由這個物體的形狀、重量，以及它降落時穿過的介質的性質決定。因此，當一個物體在真空中降落時，它的速度每秒可增加每小時22英里（35.41千米）；從天空中掉落的雨滴，當它的速度達到每小時15英里（24.14千米）後就會停止加速；對於乒乓球，它的速度是每小時20英里（32.19千米）；高爾夫球是每小時90英里（144.84千米）；而一顆保齡球的速度可以達到每小時350英里（563.27千米）。
如果你張開四肢，你的極限速度大約是每小時125英里（201.17千米），或者如果你將自己蜷縮成一個緊密的球形，你的速度可以達到每小時200英里（321.87千米）。如果你從一個非常高的緯度跳下來，並且那裡的空氣稀薄的話，你降落的速度會比每小時761英里（1224.71千米）的音速還要快。一位奧地利的冒險家在2012年就那樣做過——他從一個位於128 000英尺（39.01千米）高空的熱氣球上跳下來，速度達到了每小時843.6英里（1357.64千米。美國人阿蘭·歐斯塔塞在2014年從一個更高的緯度跳下來，但並沒有達到這麼高的速度）。儘管牛頓由於對空氣的性質並不十分瞭解而沒能推導出這樣的極限速度，但他在《數學原理》的第二卷裡確實以理論方式展示了我在上文中描繪的自由落體。
在牛頓出生前不久，哲學家和科學家弗朗西斯·培根寫道：「對於自然的研究……（取得了）極少的成功。」27與之形成鮮明對比的是，在牛頓逝世幾十年後，既是物理學家又是神父的羅傑·博斯科維克寫道：「如果知道了作用力定律，以及在任意指定瞬間各個點的位置、速度和方向」，就有可能「預測出必定遵從它們的所有現象」。28能夠解釋這些不同時代論調發生改變的原因是牛頓強大的頭腦，是他為他那個時代的主要科學謎題提供了如此精確和深奧的答案，在100年的時間裡，其他人只能在他沒有觸碰過的研究課題裡才有可能取得新的進步。
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1686年5月19日，皇家學會同意發表《數學原理》，只要哈雷願意支付印刷費用。哈雷別無選擇，只得同意。學會並不是出版商。它曾在1685年冒險涉足那個行業，但被燒燬了，這期間只出版了一本名為《魚類歷史》的書，儘管名字聽起來讓人激動，但卻沒有賣出多少本。學會現在財力匱乏，甚至不能繼續為哈雷提供他作為職員應得的每年50英鎊的工資，他們只好用《魚類歷史》代替工資。於是哈雷接受了學會的條件。《數學原理》在第二年問世。
通過支付出版費用，哈雷自己實際上就變成了牛頓的出版人。他同時也是《數學原理》的非正式編輯和市場推廣人。他把《數學原理》送給當時所有最傑出的哲學家和科學家，這本書風靡倫敦。很快，關於它的言論就傳遍了整個歐洲的咖啡館和學術圈。很明顯牛頓寫出了一本注定要改變人類思想的書——科學史上最具影響力的著作。
沒有人做好準備來接受這本具有如此廣度和深度的著作。三家歐洲大陸主要的意見期刊在評論裡稱讚它，其中一家說它提供了「人類能夠想像出的最完美的力學」。29甚至偉大的啟蒙哲學家約翰·洛克也「準備鑽研這本書」，儘管他並不是數學家。因為所有人都意識到牛頓最終成功地推翻了古老的亞里士多德定性物理學帝國，也意識到他的著作將成為科學研究應該如何開展的模板。
如果對於《數學原理》還有什麼負面反應的話，它主要來自那些抱怨說它包含的某些中心觀點並非牛頓獨有的人。德國哲學家和數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨也曾獨立發明出微積分，只是時間比牛頓稍晚了一些，他辯稱牛頓試圖獨佔功勞。他的確是這麼做的：渾身是刺的牛頓相信在任何特定時代，地球上只能有一個神聖知識的解密人，在他的時代，他就是這個人。30同時，羅伯特·胡克將《數學原理》稱為「世界形成以來自然界最重要的發現」——接著他憤恨地宣稱牛頓從他那裡偷走了平方反比定律的重要觀點。他的話有一定的道理，因為《數學原理》的基本觀點似乎就是胡克的，儘管是牛頓得出了它的數學證明。
也有一些人指責牛頓宣揚超自然現象或者「神秘力量」，因為他的重力作用力在遠處也能發揮作用，承認巨大的天體通過宇宙真空去影響遠處的物體，而它們並沒有明顯的傳導其影響力的途徑。後者也讓愛因斯坦迷惑不解——特別是牛頓的重力是即時傳導的事實。牛頓理論在這個方面違反了愛因斯坦的狹義相對論，這個理論認為沒有什麼東西可以比光的傳播速度更快。愛因斯坦用實際行動證明了自己的懷疑，並創造出了他的重力理論——廣義相對論——它解決了這個問題並取代了牛頓的重力理論。牛頓同時代的那些人儘管批評重力在遠處發揮作用這種觀點，但又無法提出替代選項，只得承認牛頓成就的科學力量。
牛頓對於批評的反應和17世紀70年代早期他的光學著作遭受敵意時他做出的回應大不一樣。31那時，因為受到胡克和其他人的威脅，牛頓從世人眼前消失並切斷了他與外界的大部分聯繫。現在，他的研究得出了結論，他也充分理解了自己成就的重要意義，他開始全面介入爭鬥。他以響亮和猛烈的回應反擊那些批評家，以關於功勞的爭論為例，這些反擊一直持續到胡克和萊布尼茨去世——甚至在他們死後還在繼續。對於神秘主義的指控，牛頓以一個免責聲明來回應說：「這些原理在我看來，並不具備神秘特質……而是自然界的普遍定律……它們的真理以各種形式呈現在我們眼前，儘管它們的原因目前尚未被發現。」32《數學原理》改變了牛頓的生活，不僅只是因為它被公認為學術史上一個重要的里程碑，也是因為它將他推到了公眾的眼前，名望原來很適合他。他變得更愛交際了，並在接下來的20年裡放下了大部分對於神學的激進努力。他對於煉金術的研究也有所節制，儘管並沒有完全中斷。
改變開始於1687年3月，那時牛頓剛剛完成他的偉大著作。現在的他比之前更為大膽，他參與了劍橋大學與國王詹姆斯二世之間的政治鬥爭。國王當時正試圖讓英國人改信羅馬天主教，他想迫使劍橋大學給一個沒有按照慣例參加考試和向英國教會宣誓的本篤會修道士頒發學位。劍橋取得了勝利，對於牛頓來說這是一個轉折點。參與這次爭鬥使他在劍橋成為一個重要的政治人物，當劍橋大學理事會在1689年開會時，他們甚至投票選舉牛頓作為他們在議會的代表。
根據傳聞，牛頓並不怎麼在乎他在議會裡度過的年份，只有在抱怨穿堂風太涼時才開口講話。但他的確開始愛上了倫敦，並沉浸在許多他認識的重要知識分子和金融家的羨慕之中。1696年，已經在劍橋生活了35年的牛頓放棄了大學生活，搬家了。
在那次轉變中，牛頓從一個具有極高聲望的職位轉到了倫敦一個相對次要的官僚職位：鑄幣廠的管理員。他一直遭受倫敦蚊蟲的叮咬，而且那時已經50多歲的他感到自己的智力開始衰退。並且，他對他的大學工資感到越來越不滿意。或許它曾經看起來很豐厚，但作為鑄幣廠管理員，他的工資有一個大幅的上漲，達到了400英鎊。他或許也意識到，作為英國重要的知識分子，通過恰當的政治手腕他可以在職位有空缺時謀求到鑄幣廠總管這樣的更高職位，他在1700年這樣做了。他在新職位上的平均工資是1 650英鎊，大概是一個典型的手藝人工資的75倍——這個水平的薪資讓他之前在劍橋大學的工資看起來的確微不足道。結果，他在接下來的27年裡一直按照倫敦上層社會圈子的方式生活，他很享受這種生活。
牛頓也升到了一個曾經發表過他傑作的組織的最高層：在1703年，胡克去世後，他被選舉為皇家學會的主席。然而，年齡和成功並沒有使他變得平和。他以鐵腕手段管理皇家學會，如果會員在會議中顯露出任何「輕率或者粗魯」的跡象，他甚至會將他們驅逐出去。33他也變得更加不願意和人分享任何他的發現的功勞，並利用職位賦予他的權力通過各種手段報復和懲罰他人以維護自己的地位。
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1726年3月23日，皇家學會在它的日誌中記錄道：「因艾薩克·牛頓爵士逝世，主席職位空缺，今天沒有會議。」34牛頓在幾天前去世，享年84歲。
青年時期和中年時期的艾薩克·牛頓
人們預料到牛頓將不久於人世已經有一段時間了，因為他遭受著一種慢性病和嚴重肺炎的折磨。他同時也患有許多其他只會在煉金術士身上出現的疾病，幾個世紀之後通過對他頭髮的分析，人們發現他體內的鉛、砷和銻含量是正常水平的4倍，汞含量則是正常水平的15倍。35然而，牛頓的臨終診斷顯示他死於膀胱結石。那種疼痛是極其難以忍受的。
牛頓的命運與伽利略的命運形成了鮮明的對比。許多年來，考慮到牛頓主義科學的成功，教會對於科學新觀點的反對已經不再那麼強烈，意大利的天主教天文學家還獲得了講授甚至進一步發展哥白尼學說的權力——只要他們像堪薩斯的教師們被授權宣講進化論那樣不斷地重複聲明「它只是一個理論而已」。36與此同時，在英國，科學對於促進工業發展和改善人們生活條件的潛力變得越發明朗起來。科學已經逐步形成一種實驗和計算的連貫文化，並發展成為一個享有巨大聲望的事業，至少在上層社會是這樣。並且，在牛頓的晚年，歐洲進入了一個以反對權威為文化主題的時期，不管它反對的是像亞里士多德和托勒密這樣的古代權威的觀點，還是宗教和君主政體這樣的權威。
沒有什麼能比伽利略和牛頓的葬禮儀式更好地反映出他們受到的不同待遇了。伽利略只被允許舉辦一個安靜的、私人的葬禮，他的遺體被安放在他要求被埋葬的教堂的一個不起眼的角落裡，而牛頓的遺體則被安放進了威斯敏斯特大教堂，在他被埋葬在那裡之後，人們為他樹立起一座巨大的紀念碑，一個帶有基座的石棺內安放著他的遺體。在石棺上刻有幾個小男孩手執儀器的浮雕，那象徵著牛頓最偉大的發現，在他的墓碑上鐫刻著：37
這裡長眠著艾薩克·牛頓爵士，他憑借近乎神聖的思考力，以及他獨有的數學原理，探索了行星的軌道和形狀、彗星的路徑、大海的潮汐、光線的差異以及由此產生的顏色的性質，這一點別的學者之前從未設想過。他用勤奮、睿智以及忠誠詮釋了自然、歷史和《聖經》，他以他的哲學思想維護了全能和仁慈的上帝的威嚴，並通過他的舉止傳達了《福音書》的簡樸。人類應該為他們中間曾經存過這樣一個偉大的裝飾物而感到欣喜！他生於1642年12月25日，歿於1726年3月20日。
牛頓和伽利略的生命加起來跨越了160多年，他們一起見證了——在許多方面佔據了——被稱為科學革命的大部分內容。
在漫長的職業生涯中，牛頓使用他的運動定律和他發現的作用力定律——他描述重力的定律——讓我們瞭解到了關於我們的行星和太陽系的很多情況。但他的雄心遠遠超越了那些知識。他相信作用力是自然界所有變化的終極原因，從化學反應到鏡子上反射的光皆是如此。並且，他確信在未來的某個時間，當我們逐漸開始瞭解在構成物質的微小「粒子」之間極短距離內發揮作用的吸引力或排斥力時——他對於古老的原子概念的理解——他的運動定律將足以解釋人們在宇宙中觀察到的一切。
時至今日，牛頓的先見之明已經顯露無遺。他關於理解原子間的作用力將會意味著什麼的遠見完全切中要點。但那個理解還要再過250年才會出現。當它出現時，我們將發現原子所遵循的定律與他構建的物理學框架並不相符。相反，它們將為我們揭露一個超越我們感官體驗的新世界，一個人類只能通過想像力才能看到的新現實，這個現實的建築結構是如此奇異，以至於牛頓的著名定律將不得不完全被一組全新的定律所取代。對於牛頓來說，這組新定律甚至會比亞里士多德的物理學理論更加奇怪。
[1] 1夸脫約等於1升。——編者注
[2] 準確地說，是微分學。這一過程還有相反的情況：積分學。「微積分」這個表述在單獨使用時通常包含了這兩種情況。
[3] 從技術角度上來說，由於人口增長和股票市場價格的總量是分散和不連貫的，微積分對此並不適用，但這些系統一般來說接近於連續過程。