在自己家中。
電子鐘顯示時間為 23 點 59 分。23 和 59 都是質數啊。
家人都已經進入夢鄉。我在自己的房間裡做數學題，這是我最幸福的時光。
我的父母對於我挑戰怎樣的數學公式並沒有什麼興趣。當我把數學公式變形成很有趣的形式時，我欣喜若狂地跟他們解釋，他們也只是回應我一句「好厲害啊」。
朋友是很可貴的。米爾嘉和泰朵拉，我們互相出題，互相解題，互相探討，用盡我們的所能挑戰數學問題，共同分享切磋我們的解題方法。我們之間通過數學公式的語言進行交流。——我很享受這樣的時光。初中時，我卻一直是一個人計算。——啊，不對不對，那時，在那個地方，或許泰朵拉也在……
好了，要繼續思考村木老師的問題了，就是那個關於分拆數 Pn 的問題。 至於問題 10-2 中的 P15 小於 1000 是否成立，我可以用生成函數的方法來解解看。
生成函數就是利用 x 的冪次方，將數列的所有項都歸納到一個函數式裡。到目前為止，我和米爾嘉利用生成函數求出了斐波那契數列和卡塔蘭數。這次的 Pn 是否也可以通過生成函數來求出通項公式呢。只要在通項公式 Pn 中找到「關於 n 的有限項代數式」，問題 10-2 就迎刃而解了。
先把到現在為止求出的分拆數 Pn 總結一下。
n0123456789... Pn11235711152230...假設該數列的生成函數為 P(x)，那麼 P(x) 就可以寫成以下形式。這就是生成函數的定義式。
將 P0, P1, ... 的具體數值代入上式。因為 n 次方的係數是 Pn，所以上式就變形為以下形式。
形式上的變量 x 是為了避免數列的各項出現混亂而存在的。將數列作為係數，生成它的就是生成函數。
接下來的步驟就是建立生成函數的「關於 x 的有限項代數式」。
在求斐波那契數列的通項公式 Fn 的時候，我們利用推導公式求出了有限項代數式。通過乘以 x 使 F(x) 的係數移位，真是懷念這種做法啊。
在求卡塔蘭數 Cn 的時候，我們利用生成函數的積來求有限項代數式。我享受到了「劃分」的快樂。
分拆數 Pn 怎麼樣啊？雖說是利用生成函數解題，但也不是像變魔術那樣一瞬間就能把題目解出來的。關於這個數列，我們需要發現一些本質性的東西。
關於分拆數的生成函數，我還要做進一步研究。長夜漫漫。
為了選出來
我在房間裡來回踱著步子思考著。動手算出具體數值是一種非常重要的解題思路，但是只用這種方法的話，最終會承受不起排列組合的大爆發。在出現那個「了不得的數字」之前，為了能解出最後答案，需要一個很大的飛躍，也就是米爾嘉所說的「腦力勞動」。再想想，再想想。
我打開窗子，呼吸了一下夜晚的新鮮空氣，從遠處傳來狗叫聲。——我為什麼這麼喜歡數學呢？數學到底是何物呢？米爾嘉曾經說過這樣的話。
「康托爾曾經說過『數學的本質在於它的自由』。歐拉老師是自由的，他將無窮大和無窮小的概念在自己的研究中運用得如魚得水。圓周率 π 也好，虛數單位 i 也好，還有自然對數的底數 e 也好，都是歐拉老師最先開始使用的文字。歐拉老師為世人在原本無法跨越的河流上搭建了橋樑，就好比在柯尼斯堡上搭建了一座新橋。」
橋……我如果也能在未來的某個時候某個地方搭建一座新橋就好了。
我先來考慮一個有點脫離生成函數的話題。讓我先想想我是不是解出過相同類型的題目。回想一下……
「……不記得了，不好意思。」
「……不是回想，是思考，是思考。」
這是我和泰朵拉之間有過的對話。「回想」起自己曾經說過「思考是很重要的」，我不禁笑了笑。思考是很重要的，回憶也很重要啊。
這是我和泰朵拉在討論二項式定理時的對話。在計算 (x + y)n 的時候，出現了好幾種組合方式，那時泰朵拉驚呆了，於是我告訴她 
和 nCk 是 同一個意思。
求 (x + y) 的 n 次方時，分別從 n 個因式 (x + y) 中選擇 x 和 y，選到的 x 和 y 的乘積就成了一項。在合併同類項後，這種選擇的組合個數就在係數上體現出來了。
比如說，在展開 (x + y)3 的時候，從 3 個因式中分別取 x 和 y，這樣就可以產生下面的 8 項。
如果把它們全部相加，並「合併同類項」的話，就變成了乘積的展開。
係數中的 1, 3, 3, 1 分別和選擇 3 個，2 個，1 個，0 個 x 的情況一致。也就是說，如果係數用 來表示，就形成了以下式子。
回想到這裡，我的腦海中浮現出了泰朵拉那表示佩服的表情，就在這一霎那，原本在房間裡來回踱步的我突然停住了腳步。
嗯？ 不知道怎麼的，我感覺像是碰到了什麼重要的點。
「泰朵拉那表示佩服的表情」——不對，再前面一點。
「不是回想，是思考」——不對，再往後一點。
「這種選擇的組合個數就在係數上體現出來」——對，就是這個。
選擇的組合個數就在係數上體現出來。
運用泰朵拉的分組的方法——從因式中進行選擇——嗯，有希望聯繫起來，一定能和分拆數的生成函數聯繫起來。利用無限和的無限積這個方法就好了。我明白了。
「如果一旦明白什麼，就立刻著手去做。」我的腦海中響起米爾嘉的聲音。
我連忙開始計算。因為是無限積，所以不能找到「關於 x 的有限項代數式」，但是我可以求出乘積形式的生成函數 P(x)。
——深夜，在自己家，我閉上嘴巴，開始學習。
問題 10-3 （我自己假設的問題）
假設分拆數的生成函數為 P(x)，求乘積形式的 P(x)。