9.1.1 兩張卡片
「學長，有信件！有信件！」
總是精力旺盛的泰朵拉跑過來，手裡揮舞著卡片大聲嚷道。她的音量也太……
「喂，泰朵拉，這裡可是圖書室！我們可是高中生！這裡需要保持安靜。能不能小點聲吶！」
「噢，真是不好意思。」她對我點了一下頭，然後不好意思地環視了一下四周。
還是和往常一樣的圖書室，還是和往常一樣的放學後，還是和往常一樣慌慌張張的小丫頭，泰朵拉。
雖然圖書室裡只有我們幾個人，但是太吵的話，驚動圖書管理員瑞谷老師就不太好了。
「嗯，這張是學長的。」泰朵拉看了看手中的兩張卡片，拿出一張遞給我，「這張是我的。」說著，把另一張揣在胸前。
「木村老師的卡片，泰朵拉也拿到了嗎？」
「哦，是的。我和木村老師說我正在讓學長教我數學，然後老師就把卡片給了我，說一張是我的，另一張是給學長的。我，泰朵拉，今天就是郵遞員啦。」
泰朵拉的臉上露出了無憂無慮的笑容。
我的卡片上面寫著這樣的式子。
我的卡片
泰朵拉的卡片是這樣子的。
（泰朵拉的卡片）
「學長，我的卡片，就是研究課題吧？」又認真起來的泰朵拉坐在我的旁邊說。
「是的，是研究課題。根據這張卡片自己想問題，自由地思考討論。木村老師時常會給我們出這種問題……」
泰朵拉雙手拿著自己的卡片，認真地看著，在思考式子表示何種意思。
「嗯，但是學長，像 
這種方程式，我無論如何也解不出來。」
「泰朵拉，這不是求 x 之類的問題。也就是說，這並不是方程式。」我一笑。
「這難道不是方程式？」
「是的。這不是方程式，而是恆等式。這卡片上的式子就像恆等式一樣，即對於所有的 x 都成立。我想這是一個求數列 a0, a1, a2, ... 的問題。」
「哦……學長，能不能提示一下我啊？後面的主幹問題我自己來解決，就提示一下最開始的一點點線索好嗎？」
泰朵拉的手伸到了看不見的梯子上，通過這梯子，她一定能升到空中去。
一直到達無限的彼岸。
9.1.2 無限次多項式
「那我們來這樣設定問題吧。」我一邊說，一邊在泰朵拉的卡片上開始寫。
問題 9-1
假設函數 sin x 能展開成如下所示的冪級數。這時，求數列
的通項公式。
「什麼叫冪級數啊？」
「像這張卡片右邊那樣的無限次多項式就是冪級數。多項式——比如說，關於 x 的 2 次多項式你總知道吧。」
「比如這個式子。」她把筆記本攤開。
二次多項式（？）
「是的。但是嚴格來講是錯的。必須要添上 a ≠ 0。不然的話，比如 a = 0,b ≠ 0 時，就不是二次多項式了，就變成了一次多項式了。所以要把條件添上。」
「好。」
她馬上回應，並記在了筆記本上。很乖。
二次多項式 (a ≠ 0)
「學長，這樣說的話，無限次多項式就應該這樣寫嘍。但是，總覺得怪怪的。」
無限次多項式（？）
哦，原來她是這樣想的啊……
「不，那是亂來，泰朵拉。無限次多項式要從係數小的項開始寫。無限次中的『無限』可以用 ... 來表現。比較一下下面的式子就清楚了。」
「啊，原來如此呀。先寫 x 的指數小的那一項呀。不過想想也是應該這個樣子的……但是為什麼不用 a, b, c, ... 而是用 a0, a1, a2, ... 呢？」
「因為係數使用 a, b, c, ... , z 的話，那後面的 x 的次數就只能用從 0 到 25 這些數字了。字母只有 26 個呀。而且，要是變量使用 x 的話，係數上就不能再使用 x 了。另外，像 ak 那樣使用 k 這個變量，也是出於比較容易寫通項的緣故，也就是『通過引入變量進行一般化』。那麼在這裡，我們不使用 
，將問題 9-1 的式子改寫試試看。」
「到這裡就求出了數列 了。」
「不對不對，這還是剛剛的問題 9-1，只是將 具體寫出來了而已。以 sin x 的變化為依據求數列 ，這才是問題所在。也就是要找出 a0, a1, a2, ... 的實際的值。」
「實際的值能明白嗎？ a0, a1, a2, ... 全部？」
「嗯，全部。把三角函數 sin x 畫出來就是這樣的曲線，即正弦波。看了圖像，馬上就能知道 a0 的值了。」我一邊繪圖一邊說道。
「上面圖像中的 a0 到底表示什麼呢？能不能把 a0 具體等於幾說出來呢？」
「啊？我可能不知道哦。」
「你一定知道。你一定能思考出來。加油！再思考一下。」
泰朵拉認真地對比圖像，開始探求 a0 的值。
她的表情非常豐富。開心之時，困惑之時，沉思之時，心情都直接反映在了臉上。光看著她這樣，我的心情也都要隨她一起波動起來。
嗯，大眼睛是她吸引人的地方。會動來動去的瞳孔、誇張的動作也讓人感覺很不錯。而且最重要的是她直來直去的性格……但是，解析那些東西很是無聊的啊。泰朵拉啊泰朵拉。
過了一會兒，她很高興地抬起了頭。
「學長。真簡單，我弄出來了。答案是 0。a0 應該等於 0，對吧？」
「嗯。正確。怎麼得出來的呢？」
「因為通過圖像可以知道，sin 0 的值等於 0。圖像是經過 x = 0，y = 0 這個點的。也就是說，如果 x 是 0 的話，按理來說式子 
也應該等於 0，因為它是等於 sin 0 的。然後，如果把 x = 0 代入式子的話，剩下的就只有 a0，因為 a0 以外的各項都由於 x = 0 的關係消去了，所以只剩下 a0，故 a0 的值為 0 ！」
「確實如此，但是不准大聲嚷嚷噢！」
「啊，不好意思。」
「那麼往下一步進行吧。a0 以外的值，你知道是多少嗎？」
泰朵拉自從知道自己想出的 a0 = 0 是正確答案之後，眼睛睜得更大了，全神貫注地看著式子，開始計算。
嗯。平時手忙腳亂的泰朵拉一到關鍵時候，那種集中注意力的能量還真是令人敬佩。這個也是她吸引人的地方。
泰朵拉開始投入到問題 9-1 的解決之中去了。
我也開始去解決自己卡片上的問題 
。打開筆記本，手握自動鉛筆。首先從抓住具體的狀態開始。
這裡是圖書室。我們是高中生。在安靜的環境中開始學習了。