7.5.1 米爾嘉的解
第二天放學後，在圖書室，我旁邊坐著米爾嘉。
「雖然我一開始建立了推導公式，」米爾嘉快言快語地說起來，「可算到一半時我改變了方法。」
「啊？你是說你沒有解推導公式嗎？」我問道。
「嗯，我不解推導公式。因為我找到了很微妙的對應關係。」她答道。
我一打開筆記本，米爾嘉就立刻開始寫起來。
「比如說，當 n 為 4 的時候，我們可以以這個式子為例來考慮。
( ( 0 + 1 ) + ( 2 + ( 3 + 4 ) ) )
仔細看這個式子，即使像下面這樣去掉後半個括號，也能恢復原貌。
( ( 0 + 1 + ( 2 + ( 3 + 4
能使後半個括號復原完全是因為『加號連接著前後兩項』這一限定條件。」她說。
「原來如此。在第二項出來的地方插入後半個括號就可以了吧。」我考慮片刻後回答道。我算到 ((A + A) + (A + (A + A))) 這步就放棄了，原來還可以變得更簡便。
米爾嘉微微咧開嘴笑了笑。
「再進一步，其實連寫數字的必要都沒有，寫成這樣就可以了。
( ( + + ( + ( +
這樣也可以恢復原貌。在加號的左側添上數字就可以了，只是最後的 4 會添加在加號的右側。」
「原來如此。」
「也就是說，要求有幾種添加括號的方式，只要求出『前半個括號』和『加號』有幾種排列組合的可能就好了。就拿 n 為 4 的情況來說吧，問題就變成了求 4 個前半個括號和 4 個加號的排列組合的個數。比如說，用 * 來表 示這 8 個符號。
* * * * * * * *
然後，考慮將其中的哪 4 個 * 變成前半個括號。
( ( * * ( * ( *
接著，再將剩下的符號自動轉換成加號。
( ( + + ( + ( +
從這 8 個符號（分別有 4 個括號和加號）中選擇 4 個符號變成前半個括號，可以形成 
這樣的組合情況。當然這是在 n 為 4 的前提下所得出的結論。以一般化的形式說來，從 2n 個符號（分別有 n 個括號和加號）中選擇 n 個符號變成前半個括號，可以形成 
這樣的組合。這樣的組合可以用下圖來表示，這條彎曲的路線的最短路徑的數值和組合的個數是等價的。路線從左下角的 S 開始，一直到達 G 這個終點。用箭頭來表示路線的走向，也就是 ( ( + + ( + ( + 這個符號的排列。」米爾嘉說。
「所以呢，接下來是……」她接著說。
「等一下」，我打斷了還要繼續往下說的米爾嘉。
「米爾嘉，這樣解實在太奇怪了。因為這不是從 8 個符號中任意選擇 4 個。比如說，無論 4 個括號和加號如何排列，下面這種排列方式都是不可以的，不是嗎？
( ( + + + + ( (
畫出 ( ( + + + + ( ( 這樣的路徑一看你就明白了。在這個圖中，凡是經過 
的路徑都不可以計算在內。」
「你還沒說完嗎？」被我中途打斷的米爾嘉氣鼓鼓地說。
◎ ◎ ◎
我確實是還沒說完。在排列括號和加號的過程中，有這樣一個限制條件：加號的個數絕對不可能超過括號的個數。
什麼時候會出現加號的個數超過括號的個數的情況呢？正如你所說的，是通過上圖中的圓圈 的時候。如果不通過圓圈 ，從 S 到 G 的路線數 量和 Cn 是相等的。
如果不考慮這個限制條件，從 S 到 G 的路線的個數就是 。
那麼，如果在從 S 到 G 的過程中穿過一次圓圈 的話，情況會變成什麼樣呢？
假設第一個穿過的圓圈 的地方為 P，從 P 開始前進的方向都將發生反轉。將這幾個圓圈 用虛線連接後，你會發現它們形成一條斜線，可以將這條斜線考慮成一面鏡子。從 P 到 G 的過程中，原本向右水平移動的話就轉變為向上移動，原本向上移動的話就變為向右水平移動。於是，我們得到了點 G' ，而不是點 G。
點 G' 也就是 G 通過鏡子的反射得到的點。也就是說，( ( + + + + ( ( 這個組合形式就變成了 ( ( + + + ( + + 的形式。
這麼一想，通過圓圈 的所有情況的個數和從 S 到 G' 的線路的個數一一對應。從縱橫共有 2n 根短線中選擇 n + 1 根橫線路徑，進行路線組合，也就是 
。
這麼說來，以下式子就成立了。
Cn =（從 S 到 G 的路徑數）-（從 S 到 G' 的路徑數）
接下來就是計算了。快算快算，將下降階乘冪快速運轉起來吧。
通分後第二項有點難以理解呢。但思考一下下降階乘冪的意義就會自然明白，在這裡我來做一下補充說明。
分子是這樣變形的。將 (n) 這個「小尾巴」提取出來並展開。
接著，分母可以這樣變形。這次將 (n + 1) 這個「頭部」提取出來並展開。
所以，我們再來計算一下 Cn 的數值，從通分之後的步驟開始。
因此，給有 n 個加號的式子添加括號的方式的個數就是這樣的。
好了，這下就完成了一部分工作。那麼，我來驗算看看。
◎ ◎ ◎
看到米爾嘉如此簡便的解法，我一邊暗自佩服一邊開始計算。
「哇，太厲害了！確實答案是 1, 2, 5, 14 啊！」我驚歎道。
米爾嘉聽了我的話，滿臉笑容。
解答 7-1
「那我下次聽你說！」我說。
7.5.2 研究生成函數
雖然我掉入了米爾嘉的圈套，但她那完美的解答真是令我非常吃驚。我考慮通過生成函數來解題固然沒有錯，但我只是算到很複雜的有限項代數式那步，好像就無法再往下計算了。我甚至懷疑自己是不是挑戰了與自己實力不相符的題目。我求出生成函數那一刻的喜悅頓時被吹得煙消雲散了。
真是遺憾啊！我心中有點不服氣。
米爾嘉的臉上卻露出為難的表情。「哎呀，算了，先說說看吧。算出了推導公式後，接下來該怎麼做呢？」她催問我。
我將自己想試著運用生成函數的解法，建立生成函數的乘積關係，然後算出「先相乘後相加」這個形式，最後努力建立一元二次方程式，並終於計算出了生成函數的有限項代數式……一股腦兒地告訴了米爾嘉。能夠到生成函數的王國漫步固然很好，但是我卻不能再從生成函數的王國返回到數列的王國了。
我真的非常遺憾，感到很不服氣。
「喂，你算出的到底是什麼式子啊？」米爾嘉問我。
我沉默了。
「嗯？到底是什麼式子呀？」她打量著我的臉。
沒辦法，我只能在筆記本上寫出式子。
「嗯，難點好像有兩個吧。一個是正負號的部分，另一個是 
的部分。」她說。
「這些我當然知道啦。我就是被這兩點卡住，算不下去了。」我著急地說。
對於我發急的聲音米爾嘉並不理會，很平靜地接著說：「首先，我們從正負號開始思考。」
米爾嘉看了一會兒數學公式，閉上眼，低下頭。然後，她舉起右手食指，朝著天空比劃著圈圈。她劃著 0，劃著 0，劃著無窮大，突然她睜開了眼睛，說：「我們回到定義看看吧。生成函數 C(x) 的定義是這樣的吧。」
「這麼說來，當 x 為 0 的時候，包含 x 的項都被抵消了，所以生成函數就變成了 C(0) = C0，於是，我們再回到你計算出的有限項代數式。」
「這時的 C(0) 會變成怎樣呢？」她問道。
「不可以哦。如果分母為 0 的話，除以 0 後，C(0) 就變成無窮大了。」我答道。我已經漸漸平靜下來了。我對米爾嘉發急有什麼用呢，聽她的話又有什麼用呢。
「沒有，可不是這樣的。」米爾嘉緩緩地搖搖頭，「一個數是變成了無窮大，而另一個數則不是。C(x) 的兩個帶有正負號的數字中，我們把那個帶正號的數字稱為 C+(x)，把那個帶負號的數字稱為 C-(x)，這樣就可以變形為以下形式。」
「為了不使它們除以 0，我們將分母移項後去掉看看。」
「當 x 為 0 時，上面兩個式子的左邊都為 0，但一個式子的右邊 
為 2，而另一個式子的右邊 
是 0。這說明了什麼
呢？」她問道。
「至少說明 C+(x) 不正確吧。」
「嗯。雖然不能說不用再深入對生成函數進行研究了，但至少可以說我們沒必要再對 C+(x) 刨根問底了。為了求得最後的公式，我們把目標鎖定在生成函數 C-(x) 上。接下來的目標，你認為是什麼呢？」她問道。
「對 該怎麼處理呢？」我問道。
看著我重新調整了心態，米爾嘉嫣然一笑。
生成函數 C(x) 的有限項代數式
7.5.3 圍巾
這時，我突然發現泰朵拉站在圖書室門口，正望著我和米爾嘉。她兩手拎著一隻小紙袋，一動不動地站在那裡。她是什麼時候站在那裡的呀？
我朝泰朵拉輕輕地舉了下手，示意我看到她了。她卻和往常不同，緩緩地走向我們，一點都沒有加快腳步，一臉嚴肅的樣子。
「學長，昨天真是謝謝您了。」泰朵拉輕輕向我道謝，低下頭，手指向那個紙袋子。裡面整整齊齊地疊放著昨天我借給她的那條圍巾。
「啊，沒關係，不用客氣。你沒感冒吧？」我問道。
「嗯，我沒關係。多虧您昨天借給我圍巾，又和我一起喝了熱飲。」泰朵拉邊說邊朝米爾嘉瞟了瞟。我也隨著泰朵拉的目光朝米爾嘉看了看。米爾嘉握著自動鉛筆的手停了下來，隨後她抬起頭，朝小紙袋瞥了一眼，之後便把目光停留在泰朵拉身上。兩個女孩就這樣沉默著，互相對視著。
誰都不說話。
就這樣沉默了幾秒鐘。
泰朵拉「呼」地吐了口氣，又重新將目光轉向我，說：「今天真是打擾了。你以後可要再教我數學哦。」泰朵拉朝我點了下頭，然後就走開了，當她走到圖書室門口時又回頭朝我微微致意。
這時，米爾嘉已經把頭轉向了草稿紙，開始寫起了數學公式。
「你想到什麼了嗎？」我問她。當然，是關於 的。
米爾嘉頭也沒抬，邊寫算式邊回答我。
「信。」她說。
「什麼？」我不明白。
米爾嘉沒有停筆，回答我說：「裡面有封信。」
我打開包看了看，把手伸進去摸索，圍巾下似乎藏著什麼。拿出來一看，是張很高級的白色賀卡。為什麼米爾嘉會注意到裡面有張賀卡呢？賀卡上寫著短短的一行字，是泰朵拉的字跡。
謝謝您借給我圍巾。圍巾很溫暖。
泰朵拉
PS：下次我們還去那家叫「豆子」的咖啡店吧。
7.5.4 最後的要塞
我們又回到了原來的問題。
我們已經求得了如下生成函數 C(x) 的有限項代數式。
生成函數 C(x) 的有限項代數式
接下來的問題就是 會變成什麼形式。
「我跟不上你解題的速度，米爾嘉。求得了 C(x) 的有限項代數式後，接下來該怎麼辦呢？在求斐波那契數列的通項公式時，我們是怎麼做的？」我問道。
「可以利用 C(x) 的有限項代數式來計算出 xn 的係數。也就是說，需要展開冪級數。」米爾嘉說。
「但是 真是麻煩啊。該怎麼處理它呢？」我低聲嘀咕著。
「所以只能將冪級數展開了吧。比如說，將係數的數列稱為 >
，可以進行這樣的展開。」米爾嘉邊說邊寫出式子。
「生成函數 C(x) 是這樣的。
所以，為了去除分母，我們將分母移項。
因為 
,
，替換後可得到下式。
將等式左邊的 2x 放入 
這個符號裡，右邊將 k = 0 這一項寫出來。
將等式左邊調整為從 k = 1 開始。
把帶有 符號的項都歸納到左邊。
因為這個等式是無窮級數，所以為了改變和的先後次序，必須把條件說明清楚。但現在利用這個等式只是為了有所發現，所以我們就直接往下算吧。
以上等式是關於 x 的恆等式，比較兩邊的係數，可以得到 Kn 和 Cn 的關係式。
整理這些式子後可以得到下式。
也就是說，如果求出了 Kn 的話，我們也就自然而然地求得了 Cn。最後的要塞就是 的展開了。」
7.5.5 攻陷
米爾嘉迫不及待地說：「那麼，我就來攻陷最後的要塞吧。現在，假設 
，可得
這時 
成了所求的目標。從哪裡開始下手為好呢？」
「從一看就能明白的地方下手吧。」我說。
「嗯，那 K0 該怎麼處理才能讓人一看就懂呢？」米爾嘉問。
「那就試試 x = 0 嘍。」我立刻回答道，「如果這樣的話，
中常數項之外的項就都被抵消了」。也就是說，K(0) = K0。」
「是啊，那接著該怎麼辦呢？」米爾嘉問我。
「你是問該拿 x 怎麼辦嗎？」我反問道。
「不是。我們得快點使用函數解析的基本方法哦。」米爾嘉似乎有些急不可待。
「那是什麼？」我問。
「是微分啊。用 x 求導 K(x)，然後數列轉換，就能求出常數項 K1。
所以可得
你知道為什麼這個 1 要這麼明確地寫出來吧？這是為了抓住求導後指數下降這個模式。走到這一步接下來可就輕鬆了。再接著求導 K'(x)。
所以，當 x 為 0 時，可求得下式。
接下來，反覆重複此操作，進行 n 次 K(x) 的求導運算。假設 K(x) 經過 n 次求導運算後用 K( n)(x) 來表示。
再寫下去就太冗長了，我們就用下降階乘冪來表示吧。
所以當 x 為 0 時，就變成如下形式。
也就是說，可以用 K(n)(0) 的形式來表示 Kn，也就是泰勒展開式。
到這裡我們的工作就告一段落了。」
米爾嘉歇了口氣。
我說：「嗯，但是接下來好像就無法進展了，感覺像走到死胡同裡來了。」
「為什麼這麼說呢？現在我們用冪級數的形式求得了 K(x)。接下來我們用普通的函數形式來表示 K(x) 看看吧。」米爾嘉說。
「用普通的函數形式來求？」我疑惑不解。
「就是用求函數解析式的基本方法來做，又要用到微分哦。」米爾嘉邊說邊朝我眨了下眼睛。這可能是她第一次這麼調皮地朝我眨眼睛吧。
「回想一下 K(x) 的定義……
平方根也就是 
次方，所以可以變形為這樣。
我們應該邊注意觀察出現的式子類型，邊反覆進行微分運算。
將 x = 0 代入後，我們可以求得最後的式子是這樣的。
我們再回頭看剛才我們用冪級數求得的式子，也就是你說算到那步走到死胡同裡的式子，我們把其中的 n 用 n + 1 來替換。
通過這兩個式子可得到下式。
這樣，我們可以求得 
，並不是走到死胡同裡了哦。你還記得 Kn 和 Cn 的關係嗎？
接下來就是用手運算的體力勞動了。
這個式子的分母 
可以變形為 
的形式。
因此，我們可以求得 Cn。
好了，這下我們算是完成了一部分運算，求得了同一個公式。我們終於從生成函數的王國回到數列的王國啦。」
於是，米爾嘉露出了笑容，說：「歡迎你回來。」
7.5.6 半徑是 0 的圓
「我回來了！——噢，與其說這個倒不如說一聲謝謝。」我說。
「真是非常有意思哦，是次快樂的旅行吧。」她立刻豎起食指。
我看著米爾嘉，想著她這個人真是……雖然有些粗魯，但人還是很溫柔的，外表看上去很沉著冷靜，內心其實很火熱。我對米爾嘉其實還是……
米爾嘉瞇了下眼睛，站起身來，說：「為表紀念，我好想跳舞哦。」
我也站起身。
（這到底是怎麼回事？）
米爾嘉突然朝我伸出左手，我伸出右手，小心翼翼地牽起米爾嘉雪白的手指，就像是害怕驚動小鳥一樣。
（真暖和。）
我們的手就這樣牽著，緩步移向書架前的寬闊場地。
米爾嘉繞著我劃圈，慢慢地移動著舞步。
一步。
又一步。
放學後的圖書室。除了我們之外沒有其他人。
圖書室裡只聽得到她那輕輕的腳步聲。
「米爾嘉，你和我一直保持著相同的距離，就是在圓周上吧，算是單位圓吧。」我說。
真是的，我到底在說些什麼呀。
米爾嘉「嗯」了一聲，停下舞步，答道：「單位圓的前提可是我們的手臂長之和為 1 哦。」說著，她閉上了眼睛。
我突然想起來了。
……即使不能在米爾嘉身邊「很近很近的地方」，但至少要在她「旁邊」吧……
我正想著這些話的時候，米爾嘉睜開了眼睛。
「半徑如果為零的話也……」她邊說邊用力拉我到身邊，她力氣大得讓我吃驚。
「如果半徑為零的話也要保持一定距離嗎？」說著，米爾嘉把臉斜靠近我，我們倆的眼鏡就要碰到了。
我什麼話都說不出，米爾嘉也是，什麼都沒有說。
半徑即使為零，圓仍舊是圓。但這是一個特殊的圓點。
然後我就……我們就……就這樣沉默著，漸漸地靠近臉……
「放學時間到了。」圖書室傳來了瑞谷老師的聲音。
我們倆的距離一下子又從零拉開了，一直拉到兩人手臂長之和為止。
我的筆記
我和米爾嘉推導出通項公式的數列 
為 
，這個數列被稱為卡塔蘭數列。另外，我考慮的「先相乘後相加的形式」被稱為卷積。
將數列和生成函數相對應後，就可以將「卷積後的數列」與「和原生成函數相乘後得到的函數」一一對應起來。也就是說，數列 
和 
的卷積形式可以表示為 
，也就形成了以下的對應關係。
半夜，我獨自在自己的房中興奮地思考著這些對應關係。「數列王國」中的「卷積」就是「生成函數王國」中的「乘積」。
這真是美妙的對應啊！