在電車車站前那家店名叫「豆子」的咖啡店，我們邊喝咖啡，邊把數學公式展開。
比如說，有一個這樣的公式。
「是的。嗯……這是關於 x 和 y 的恆等式。」
嗯，這個式子表示將 x + y 平方後所變成的形式。以下為 x + y 的三次方的形式。
雖然算到這裡就可以了，但我們還是試著將這個指數進行一般化看看。也就是說，不是光算平方、三次方之類的數學公式，而是計算「n 次方的數學公式」，也就是求 (x + y)n 的展開式。
問題 7-2
設 n 為正整數，將以下式子展開。
首先，在進行一般化之前，先整理一下自己所掌握的具體知識吧。我們先列出一些具體例子，觀察一下其結果。這麼做還可以確認自己是否真正理解了題目的意思。「舉例是理解的試金石」嘛。將 n 為 1, 2, 3, 4 的情 況分別代入 (x + y)n 進行計算，得到下面的式子。
然後，進入到一般化的步驟。現在我們要求的是以下式子。
我們知道 xn 和 yn 這兩項一定會出現。接著只要在 xn 與 yn 之間省略號的地方填上恰當的項就可以了。
「我背不出來，不好意思啊。」泰朵拉說。
啊？不是，不是靠背的哦。不是讓你回想背過的公式，而是讓你思考。思考怎麼推導出公式。
我們來這樣思考。
「這個我可以理解。(x + y)n 就是將 (x + y) 連續相乘 n 次後所得的式子。」泰朵拉說。
是的。另外順便說一句，將 n 個 (x + y) 相乘的時候，因為是一個個 (x + y) 的式子，問題也就變為選擇 x 或 y 中的某一個分別進行乘法計算了。比如說，運算三次方的時候，分別從三個並排的 (x + y) 之中選擇 x 或 y 中的某一個進行乘法計算。為了考慮到所有可能的選擇方式，我們將選中的 x 和 y 用圓圈圈出來。
這樣就羅列出了所有乘法組合的可能性。把這些項都加起來。
即
這就是所要求的式子。(x + y)(x + y)(x + y) 這個「先相加再相乘」的式子變成了 這個「先相乘再相加」的式子。這就是公式的展開。反過來將「先相乘再相加」的式子變成「先相加再相乘」的式子就是因式分解了。
「嗯，我明白了。xxx, xxy, xyx, ... , yyy 這幾項在排列上好像也有一定的規律啊。」她說。
嗯，確實是，泰朵拉真是一針見血啊。
她害羞地嘿嘿笑著，吐了吐舌頭。
那麼，我們再往下計算吧。從 n 個 (x + y) 中選擇 x 或者 y 中的一個。如果「全都選擇 x 進行相乘」的話，有幾種組合的可能性呢？
「嗯，因為全都選擇 x，所以只有一種組合的可能性吧。」她答道。
是啊。如果「選 擇 n - 1 個 x，一個 y 進行相乘」的話，會有幾種組合的可能性呢？
「嗯，我們可以從最右邊的一個式子中選擇 y，剩下的其他式子都選擇 x；我們也可以從右數第二個式子中選擇 y，剩下的其他式子都選擇 x……以此類推都可以，一共有 n 種組合的可能性。」她說。
對的，完全正確！接著，我們進行一般化。如果「選擇 n - k 個 x，k 個 y 進行相乘」的話，會有幾種組合的可能性呢？
「讓我想想哦。嗯，n 是指 n 個 (x + y) 相乘吧， k 是指什麼呢？」她問道。
問得好！ k 是為了進行一般化計算而引入的變量，表示選擇的 y 的個數。k 是整數，滿足 0 ≤ k ≤ n 這個條件。剛才我就問了當 k = 0（全部選擇 x 進行相乘）時的情況和 k = 1（選擇 n - 1 個 x，一個 y 進行相乘）時的情況。
「哈哈。那麼這就是從 n 個東西中選擇 k 個時所有情況的個數吧。因為選擇的順序是已經規定好的，所以就要進行組合，是這樣吧？」她說。
嗯，是的，就是組合。選擇 k 個 y，n - k 個 x 時，可以用以下式子來表示這個組合。
這個數字就是 
的係數。
「學長，我有問題。」泰朵拉把右手舉得高高的，「
是什麼呀？組合是指 nCk 吧。如果是這樣的話，我是明白的。」
啊， 和 nCk 完全一樣。我經常看到數學書中把組合寫成 的形式。對了，矩陣和矢量也用和 相似的形式來表示，雖然它們和組合毫無關係。
「嗯，我明白了。我還有一個問題，我記得組合的公式是
這個式子和學長所寫的式子有所出入啊。」
沒有，將 (n - k)! 的部分進行約分後你就會發現，其實這兩個式子是一樣的。比如你考慮一下從５個東西中選出３個時的組合情況……
你看，是一樣的吧。
在表示組合時使用下降階乘冪的話，式子會變得更簡單。下降階乘冪是指將含有 
的式子改寫成沿著 n 階階梯逐步下降的乘積形式，也就是可以變成這樣的形式。
可以將普通的階乘 n! 寫成下面這樣的下降階乘冪形式。
運用了下降階乘冪後， 就可以寫得更漂亮些了。
從 n 個東西中選出 k 個時組合的個數
「嗯……」泰朵拉好像不太明白。
啊，對不起。我岔開話題了，言歸正傳。我們剛才快求到 (x + y)n 的展開式了吧。為了更容易看出其中的規律，我們將式子寫得具體一些，可能會有點冗長。
我們關注一下各項中變形的部分，如果用 
來表示，就可以得到以下式子，這個式子稱為二項式定理。
解答 7-2 (x + y)n 的展開式（二項式定理）
最初我看到這個展開式，怎麼都背不下來。但是，當我親手把這個公式推導出來後，我發現要背出這個公式也並不困難。如果平時練習自己推導公式的話，在不知不覺中就會記住這些公式，一旦有緊急情況，就沒有推導的必要，可以直接寫出公式了。我覺得這種說法雖然是一種反論，但還是非常有意思的。
「學長……有 這個符號後，我突然覺得變難了。」
如果你覺得這麼寫讓你感到不安，可以將用 來表示的項一一列舉出來。這個方法很重要，一直寫到自己習慣為止。
「嗯，話雖如此，『組合』竟然是在這種情況下出現的啊。在學習概率的時候，選擇白球和紅球的組合問題，我記得我算了很多乘法運算呢，好像是進行了約分的練習。但是，像這樣進行公式展開，然後算出組合數的方法我還從不知道。」泰朵拉說。
好了，接下來就是驗算了。我們先思考具體例子，然後進行了一般化計算。一般化後一定需要驗算。如果不驗算的話不可以哦。這裡我們就用 n = 1, 2, 3, 4 代入驗算吧。
泰朵拉把數字代入式子一一確認後頻頻點頭，說：「我看到公式中出現了那麼多字母，一開始想『哇，這麼麻煩啊』，但一想到這就是一般化後的結果，不知道怎麼的就覺得還能接受。增加那麼多字母也是沒有辦法的。」
嗯，比起準備無數個具體的公式，我們只要準備一個引入 n 這個變量的公式就好了。這就是一般化的公式。各項也引入了 k 這個變量來表示一般化的公式。
「是啊，但是……n - k 啦 k 啦這樣的變量亂七八糟的，背起來好像很困難。」她說。
不要把 n - k 和 k 分開來考慮，而是要把它們想成是「它們的和為 n」。然後，這個和的平衡點由 0 到 n 進行變化。開始的時候 x 的指數為 n，指數最大，這時 y 的指數為 0，指數最小。x 的指數每次減少 1，y 的指數就每次增加 1。到最後，x 的指數變為了 0，指數最小，y 的指數變為了 n，指數最大。我是這樣考慮的。k 就是現在平衡點的位置。
「哈哈，這個平衡點就這樣從 x 開始一點一點地朝 y 的方向移動吧？」她問。
正是如此。指數全部加起來為 n 次方，然後分別分攤到 x 和 y 的指數上，就像把圍巾分成兩半。
「學……學長！我們回到原來的話題吧。」泰朵拉提醒道。