7.1.1 米爾嘉
那是高中二年級時的冬天。
放學後，我在圖書室自己最喜歡的座位上坐著，正準備做計算題。這時，米爾嘉走過來問我：「這個問題你看過了嗎？」她把一張紙放在我面前，兩手撐著桌子站在那裡。
「什麼題呀？」我問。
「村木老師佈置的題。」她答道。
問題 7-1
0 + 1 = (0 + 1)
如果有 1 個加號的話，只有 1 種加法組合(C1 = 1)。
如果有 2 個加號的話，有 2 種加法組合(C2 = 2)。
如果有 3 個加號的話，有 5 種加法組合(C5 = 5)。
那麼 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n = ?
也就是說，如果有 n 個加號的話，有幾種加法組合呢(Cn = ?)呢?
「不知怎麼的，我總覺得這個式子太長了，如果能直接點就好了。」我抬起頭說。
「嗯……你是說內容要直接，式子要按照一定的格式來寫，專業術語要先給出定義，用詞不能模稜兩可，要嚴肅，要……對吧？」
「嗯，正是如此。」我說。
「算了，先這樣吧。剛才我已經算出推導公式了。」
「等下，米爾嘉，你是什麼時候拿到這道題的啊？」我問道。
「是中午我去老師辦公室的時候。你現在就在這裡從零開始思考吧，我到那邊去想，再見。」米爾嘉朝我揮揮手，優雅地移到窗邊的座位上。我的目光緊緊地追隨著米爾嘉。透過窗戶，可以看到凋零的梧桐樹，梧桐樹的上面是廣闊的冬季的藍天。雖然是個晴天，但是外面看上去還是很冷。
我是高中二年級的學生，米爾嘉和我同一個年級。我們有時會讓數學老師村木給我們出題。村木老師很奇怪，但他卻很喜歡我們。
米爾嘉擅長數學，我的數學雖然不算差，但是比不上米爾嘉。當我在圖書室裡沉浸在數學公式的展開時，米爾嘉有時候也會來，拿起自動鉛筆，自說自話地在我的筆記本上邊寫邊開始給我講課。雖然聽她講課的時間也不是不快樂……
我喜歡聽米爾嘉熱情地說話，也喜歡遠遠地觀望米爾嘉閉著眼睛思考的樣子，她那金邊眼鏡和她很相配，臉的輪廓線條很清晰……
不，與其想這些還不如先做題。她已經在我對面開始思考了，她剛才說已經算到推導公式了是嗎？我都不記得了。米爾嘉一定很快就能算出來吧。
我來整理一下要解的題目吧。
有 0 + 1, 0 + 1 + 2, 0 + 1 + 2 + 3, ... 這樣的式子，給它們加上括號進行加法組合計算。題目上寫著：如果有 1 個加號的話，只有 1 種加法組合；如果有 2 個加號的話，有 2 種加法組合；如果有 3 個加號的話，就有 5 種加法組合。這是在計算有幾種加括號的方法的問題。我們要求的是 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 這個式子有幾種添加括號的方法。
n 表示什麼呢？ 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 這個式子是從 0 開始計算的，所有加數的個數為 n + 1。我們可以把 n 考慮成 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 這個式子中「加號的個數」。
添加加號時有什麼規律可循嗎？加號兩邊的式子稱為項，兩邊各有一項。也就是說，諸如 (0 + 1) 或者 (0 + (1 + 2)) 這樣的兩項之和的結構（以及其加法組合）是可以的，但是諸如 (0 + 1 + 2) 這樣的三項之和的結構則不在考慮範圍內。
我們先來看具體例子。題目中給了 n 為 1，2，3 時的結果，那我們來看一下 n 為 4 時的情況。讓我想想……哇，想不到組合還真多啊。
竟然一共有 14 種組合啊！也就是說「如果題中有 4 個加號的話，共有 14 種加法組合」。
在寫這些式子的過程中，我也逐漸找到了規律。能找出規律就意味著離求出推導公式不遠了。
接下來，我們將具體的例子進行一般化演變。在剛才的題目中，有 n 個加號時，有 Cn 種添加括號的方式。剛才計算的是加號有 4 個的情況，也就是說 C4 = 14。到現在為止，我們知道 C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14。啊，對了，我們還可以算上加號為 0 個時的情況，即 C0 = 1。 我們可以用表格表示。
n01234... Cn112 514...C5 一定會變得還要大吧。那麼接下來一步就是「求出關於 Cn 的推導公式」，這才是真正要思考的問題。最終目標為「將 Cn 用含有 n 的有限項代數式來表示」。
那麼，這就來求推導公式吧。我正準備計算時，有一個女孩從圖書室門口快步走了進來。
是泰朵拉。
7.1.2 泰朵拉
「啊！學長您在啊。」泰朵拉走到了我的身邊，很緊張地問我，「學長您已經開始學習了嗎？我是不是來晚了？」
泰朵拉是高中一年級的學生，是我的學妹。她像小松鼠小狗小貓那樣跟我很親近，有時候會來問我數學題。她問的不只是她不明白的數學題，有時候還會向我傾訴一些她內心的煩惱。
「嗯，你急嗎？」我問。
「不急不急，沒關係，您忙您忙。我問題很少。」泰朵拉邊朝我擺手邊往後退了幾步說，「打擾您了真不好意思，那我還是等您回去的時候再問您吧……今天放學之前您都在圖書室吧？」
「是啊。我想我會計算到管理員催我回家。一起回家嗎？」我問。
我朝窗邊瞄了一眼，米爾嘉端坐在桌邊，好像一直在盯著紙看。因為她背對著我，我看不到她的表情如何。她一動不動地坐著。
「好的，一定一定。那麼我先走了。」泰朵拉腳跟靠攏，朝我小心翼翼地敬了個禮，然後向右轉，她的動作很誇張，就這樣徑直走出了圖書室，她在走出圖書室的那一刻朝米爾嘉的方向瞟了一眼。
7.1.3 推導公式
好了，還是回到計算有幾種添加括號的方式的推導公式上來吧。
從 0 加到 4，一共有 5 個數字。在這 5 個數字之間共有 4 個加號。仔細一想，因為現在要求的是有幾種添加括號的方式，所以實際上是哪幾個數字相加與題目沒什麼關係。
也就是說，我們將 ((0 + 1) + (2 + (3 + 4))) 這個式子用 ((A + A) + (A + (A + A))) 來代替也可以。
要求出表示各項間關係的推導公式，我們有必要清楚「添加括號」背後的結構，並找出其背後結構的規律性。這個式子有 4 個加號，我們把它整理成加號為 3 個以下時的情況看看。
我們用下面這種方法來理解。
嗯，好像能看出些什麼了。我們來關注最後一個加號，這裡所說的「最後一個加號」不是位置上最靠後的加號，而是最後一次進行加法運算的加號。以上式為例，左數第二個加號就是最後一個加號，將這個加號的位置按照從左到右的順序挪動的話，就形成了排他性的網狀分類。也就是說可以進行分類。當加號有 4 個時，可以歸類為 4 種形式。我們把最後一個加號都用圓圈標記出來，如下所示。
（A+A+A+A）這個式子的括號還沒有添加完，因為它包含了 3 項以上的和。但是，這樣的式子還可以整理成加號個數更少的情況。嗯，這樣一來就能求出推導公式了。
有 4 個加號時，也就是說 (A + A + A + A + A) 這個形式，可以進行以下分類。
分別與（A 模式）相對的（A + A + A + A 模式）分別與（A + A 模式）相對的（A + A + A 模式）分別與（A + A + A 模式）相對的（A + A 模式）分別與（A + A + A + A 模式）相對的（A 模式）
如果假設有 n 個加號時，有 Cn 種添加括號的方式的話，這裡我們應該能求出關於 Cn 的推導公式。
「分別與……相對的」這個說法相當於「各種情況的乘積」。比如 n 為 4 的時候，我們用式子來表示 C4。C4 是以下 4 項的和。
總而言之，C4 可以寫成以下形式。
據此可以寫出一般形式。
這真是個漂亮的式子啊！然後再用 
來表示，就更容易看清這個式子的結構了。
由此我們便可得出表示各項間關係的推導公式。
趁熱打鐵，這就來代入驗算一下。
1, 1, 2, 5, 14，這幾個數字都和例題中計算的個數吻合。
米爾嘉還說推導公式很快就能做出來呢！做到這步真是花了我不少時間。
「放學時間到了。」圖書管理員瑞谷老師來催我了。瑞谷老師一直穿著緊身裙，戴著一副看上去像太陽鏡那樣的深色鏡片的眼鏡。平時她待在圖書室裡屋的管理員辦公室，一到放學時間，她就會悄然無聲地走到圖書室中央，然後催大家回家。瑞谷老師就像個準時的鬧鐘。
啊。這麼說來，米爾嘉去哪裡了？
我環視了一周，米爾嘉已經不在圖書室了。
Cn 的推導公式
