我像往常一樣在空無一人的圖書室裡玩弄著數學公式的變形。
這時，米爾嘉進來了，毫不猶豫地坐在了我身邊，我又聞到她身上一股淡淡的橘子香。她看看我的筆記本問：「你在做微分？」
「嗯，算是吧。」我答道。
米爾嘉托著腮幫子，什麼話都不說，就一直盯著我看。我反而被盯得不好意思，緊張得覺得題目都變難了。
「怎麼了？」米爾嘉問我。
我說：「沒什麼……只是在想你在看什麼呢？」
她回答說：「我在看你計算啊。」
看歸看，可我覺得不太自在……
米爾嘉肯定不是光看看就善罷甘休的。她和其他人不同。如果你寫的式子被手遮住的話，她會突然把臉湊近你，看你筆記本上到底寫了什麼。
啊，對了。我想起了和泰朵拉的約定——「我會自己跟米爾嘉解釋清楚的」。
「對了，米爾嘉，我想跟你說件事……」我開始說話。
「你等一下。」米爾嘉把我的話打斷了。她抬起頭閉上眼，嘴裡嘀咕著什麼，兩片漂亮的嘴唇不停地上下動著。她好像開始思考一些有趣的事情。我不能打斷她。
幾秒鐘後，她睜開眼睛，說「所謂微分也就是變化量吧」。她邊說邊在我筆記本上寫了起來。
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所謂微分也就是變化量吧。
比如說，在直線上用 x 來表示現在的位置。然後在離開 x 一點距離的位置標上 x + h。h 不是很大，也就是說「就在旁邊」。
接下來，我們來考慮一下關於 f 的函數。與 x 相對應的函數 f 的值為 f(x)。然後，與 x + h 相對應的函數 f 的值為 f(x + h)。下面我們來關注一下函數 f 的變化。
為了讓對比明顯，我們把 0 這個原本不必寫出來的數字也明確地表示出來吧。現在的位置就是 x+0，那麼 f 的值就是 f(x + 0)。當變成 x + h 時，f 的值就變成了 f(x + h)。
從 x + 0 移動到 x + h 時，我們可以像下面這樣求得 x 的變化量。
「變化後的位置」-「變化前的位置」
也就是 (x + h) - (x + 0)，得出答案為 h。用同樣的方法，從 x + 0 移動到 x + h 時我們也可以求得 f 的變化量。通過 f(x + h) - f(x + 0) 就可算出答案。
x 的變化量 (x + h) - (x + 0) 越大，f 的變化量可能也越大，所以我們來求一下兩者之比看看。求得的比也就相當於上圖中斜虛線的斜率。
因為我想知道關於位置 x 的變化量，所以我會盡量縮小 h 的距離。將 h 縮小再縮小，可以把 h 考慮成趨向於 0 的極限。
也就是說，這是關於函數 f 的微分。從圖上來看，這個微分就相當於下圖中過點 (x, f(x)) 的切線的斜率。切線的斜率如果急速增大的話，f (x) 的值也就急速增加。也就是說，那個點上的變化量很大。
我們用 df 來表示與函數 f 相對應的「微分」。也就是說，我們將微分運算符號 d 定義為以下形式。
微分運算符號 d 的定義
定義成以下這個形式也可以。因為這兩個式子是一樣的。無論怎麼樣，微分的運算符號 d 都會變為由函數產生的，用來構成函數的高階函數。
對了，到此為止我所說的都是關於連續函數的問題。x 可以進行連續不斷的變化。接下來，我要將話題轉移到離散函數的世界。在離散函數的世界，我們只能取到像整數那樣的一些分散的數值。在連續函數的世界裡，x 只變化了 h 這一距離，也就是移到「很近很近的地方」，我們思考了這時 f 的變化量。然後，我們思考了 h 趨向於 0 的極限情況，定義了微分。那麼你認為將微分帶到離散函數的世界會發生什麼呢？
問題 6-1
將與連續函數世界中的微分符號 d 相對應的運算定義為離散函數世界中的符號。