泰朵拉一邊說著「不好意思」，一邊將椅子移到我身邊，看我在練習本上寫東西。這時，我聞到一股甜甜的香味。這是和米爾嘉不同的香味。——這不是理所當然的嗎？我心想。
「那現在就開始嘍。對了，我們先假設 r 為實數。這時，我們將 r 平方後得到數字 r2。你能說出關於 r2 的一些特徵嗎？你想想看。」我說。
聽了我的問話後，泰朵拉想了幾秒鐘說：「r2 是 r 平方後所得的，肯定比 0 大吧？——是這樣吧？」
「嗯，是這樣。但是，不應該說『r2 大於 0』，而應該說『r2 大於等於 0』。『大於 0』或『比 0 大』這種說法不包括 0。」
「哦，對哦。如果 r 為 0 的話，r2 也變成 0 了。對，應該說『大於等於 0』。」泰朵拉贊同地點了點頭。
「也就是說，無論 r 為何值，以下不等式都能成立。是這樣吧？」她問我。
「嗯？哦，是啊。如果 r 是實數的話，那麼 r2 大於等於 0。實數 r 有三種情況：正數、零、負數。無論 r 是其中哪一種，將 r 平方後，所得的數字都大於等於 0。所以 r2 ≥ 0 這個不等式成立。這是當我們被告知『r 為實數』這一條件時所應該注意的一個重要性質。不等式符號為等號時，r 為 0。」
「嗯……可這看起來是理所當然的呀。」她說。
「對，這是理所當然的哦。」
「啊，好的。」她說。
「實數 r 無論取何值，不等式 r2 ≥ 0 都成立。在一個不等式中，如果不論用任何實數代入該不等式，它都是成立的，那麼這樣的不等式叫作絕對不等式。」我說。
「絕對不等式……」她重複著我的話。
「從『無論代入哪個數字都成立』這點來看，絕對不等式和恆等式非常相似。唯一的區別就是絕對不等式是不等式，而恆等式是等式。」
「原來如此。」她說。
「那麼，我們再由此繼續深入下去。假設 a 和 b 為實數，這時 
也成立。能懂嗎？」我問。
「讓我想想……噢，對。a - b 是實數，因為它是實數，所以平方後的數大於等於 0。——啊，您能等一下嗎？剛才寫不等式 r2 ≥ 0 時用了字母 r 吧。為什麼這道題中用字母 a 和 b 呢？我總會在這種問題上陷入冥思苦想。每當這時，老師就往下講了。」她說。
「嗯，好啊。剛才我寫的 r 是實數 real number 的首字母。但無所謂，用 x 也可以，用 w 也可以。一般常數多會用字母 a，b，c 表示，參數多用字母 x，y，z 表示。總之用什麼字母都可以。雖說如此，如果把 n 設為實數的話，還是很令人吃驚的。因為 n 一般都用來表示整數和自然數。——嗯，這樣解釋能理解嗎？」我問。
「嗯，能。不好意思，我再插一句，我一直對字母的使用一知半解……但是，對於 這個不等式我是理解了。」
泰朵拉微微一笑，目光閃爍，彷彿在期盼著我繼續講下去。她真是個表情豐富的女孩。哦，她還是個喜歡打破砂鍋問到底的女孩。
「那麼接下來再說哪方面的內容呢？」我試探著問她，泰朵拉的眼球滴溜溜地轉著。
「您說的哪方面是指什麼方面呢？」她問。
「什麼方面都可以啊。既然已經搞懂了 這個不等式，那接下來應該考慮數學公式。關於數學公式，你先說說看，什麼都可以。或者你自己寫下來？」我說著，把自動鉛筆遞給她。
「好。那麼，我先將它展開看看。」她說。
「這樣可以了嗎？」她問道。
「嗯，不錯。那麼你想想看，通過這兩個式子你能發現什麼？」我問。
「嗯……」她回答不出。
「不是什麼特別重大的發現也可以啊。比如說，關於實數 a 和 b，我們可以這麼說。
因為 
大於等於 0，所以展開後也應該大於等於 0，對吧，泰朵拉。」
泰朵拉本來在看公式，聽了我的話她突然抬起頭，眨了眨眼，笑了，一副很開心的樣子。
「嗯，是啊。但是，接下來該怎麼辦呢？」她問。
「嗯，接下來就要試著進行公式變形了。比如說，將 -2ab 這項移項到右邊看看。移項後 -2ab 的符號改變，變成 2ab。」我說。
「嗯，我明白了。」她說。
「然後再兩邊同時除以 2，就變成這樣的形式。」
「嗯。」她表示理解。
「那從這個式子中又能看出什麼呢？」我問。
「能看出什麼呀？」她不太明白。
「你仔細看左邊，
可以看作是 a2 與 b2 的平均值，對吧？」
「啊！原來如此。因為這是 a2 和 b2 相加後除以 2 所得的數。」她恍然大悟。
「嗯，這個式子的左邊含有 a2 和 b2，於是我想試著將右邊也寫成含有 a2 和 b2 的形式看看。」我說。
「啊？為什麼這樣啊？」她感到不可思議。
「沒有，不是說這種情況下就應該這麼做，我只是碰巧想到而已。」我說。
「原來這樣啊。」她說。
「接下來的一步可能會有一點跳躍，你可得仔細看嘍。為了將右邊的 ab 也變成含有 a2 和 b2 的形式，我們進行如下變形。你看下面這個等式能夠恆成立嗎？」我問道。
「讓我想想。先將 ab 平方後再開方對吧。先平方後開方……又變回原來的數字了。嗯，我想這個式子是恆成立的吧。」她回答說。
「不對哦。先平方再開方，能夠變回原來的數字的只有大於等於 0 的數字。ab 也有可能是負數，如果不加上一個條件，以上式子就不成立了。」我說。
「啊，我中計了。還要加上個條件呀。」她叫道。
「是啊，比如說，假設 a = 2，b = -2，你一想就會明白。左邊 ab = 2·(-2) = -4，而右邊
，左右不相等，對吧？」
「哦，確實是這樣……」泰朵拉一行一行地確認了我寫的算式後，點了點頭。
「那麼，接下來我們加上一個條件吧，假設 ab 大於等於 0。」我說。
當 ab ≥ 0 時
「然後，我們剛才所說的不等式 
可以改寫成這樣的形式。」
當 ab ≥ 0 時
「嗯。」泰朵拉雖然應了聲，但是她表情嚴肅，陷入了沉思。
「不，學長，我總覺得有點奇怪。這個 ab ≥ 0 的條件為什麼是必不可少的呢？我不能接受。ab < 0 的時候，難道不等式就不成立了嗎？那好，我現在就來舉例證明。如果 a 為 2，b 為 -2 的話，左邊和右邊分別變成以下形式。」
「所以左邊 ≥ 右邊這個不等式可是成立的哦，學長。」泰朵拉得意地說。
「泰朵拉，你觀察得很仔細啊。確實，即使不加 ab ≥ 0 這個條件也可以。那該怎麼辦呢？」我問。
泰朵拉又想了想，最終還是搖搖頭說：「我也不知道。」
「如果不想加上 ab ≥ 0 這個條件的話，只要證明在 ab < 0 時不等式也能成立就可以了。」
「當 ab < 0 時，a 和 b 兩個數中必定一個為正，一個為負。假設 a > 0，b < 0，c 是 b 的相反數，c = -b。因為 b 小於 0，所以 c 大於 0。因為無論實數取何值，不等式 都成立。所以，以下式子也就成立。」
「我們來分別討論一下這個式子的左邊和右邊。」
「因此，以下不等式成立。」
當 a > 0 且 b < 0 時
「到此為止，我們討論的是『a 為正數，b 為負數』的情況，同樣地，『a 為負數，b 為正數』的情況也能用此方法推導。所以，對於任意實數 a 和 b，以下不等式成立。」
當 a 和 b 為任意實數時
泰朵拉一直盯著寫在練習本上的數學公式，思考了許久後，終於抬起頭說：「嗯，我懂了，能夠接受這個答案了。——啊，對了，我還要問一個問題，『任意』到底是什麼意思呀？」
「『任意』一詞是指『不管怎樣的』『無論……都……』的意思。它在英語中就和 any 這個詞的意思一樣。有時候也會用『就所有的……而言」這一說法，在英語中稱為『for all…』。」我答道。
「啊，我明白了。『任意實數』的意思就是『無論是什麼實數都……』吧？」她問。
我又繼續說：「好了，這下我們就可以將不等式左右兩邊用 a2 和 b2 來 表示了。我們把 a2 稱為 x，把 b2 稱為 y。」
「x 和 y 這兩個數是平方後所得的數，所以它們都一定大於等於 0。也就是說 x ≥ 0，y ≥ 0。如此一來，剛才的不等式就可以這樣表示，簡單了很多。你覺不覺得這個式子有點眼熟呢？」我問。
當 x ≥ 0 且 y ≥ 0 時
「這個我知道，叫什麼基本不等式吧。」她說。
「嗯，沒錯。不等式的左邊是『兩個數相加後再除以 2』，也就叫作算術平均數。不等式的右邊是『兩個數相乘後再開根號』，也就叫作幾何平均數。基本不等式就是指算術平均數不小於幾何平均數這樣一種關係。」
「嗯，這是從 r2 ≥ 0 這個條件推導出的公式吧。」泰朵拉感慨萬千地說。
「如果你把它稱為『公式』，就很容易認為只要將它死記硬背就可以了，你還會認為自己不能對其進行變形。但是，如果經常進行一些公式變形的練習的話，你對於數學公式那種崇拜瞻仰之情就會逐漸減淡，就會覺得這玩意兒簡直是小菜一碟。
「啊，原來這樣啊……數學公式是可以自己創造的呀。」她說。
「與其說是自己創造的，倒不如說是自己將公式推導出來的。今後你注意觀察一下，公式推導可以以例題形式出現，也可以以練習題的形式出現。」我說。
「這樣啊……今後我一定注意觀察。我每次見到數學公式，就總想著必須盡快把它背下來。」
「如果一開始就想把數學公式按照死記硬背的方式記的話，反而無法真正掌握。最關鍵的是在自己動手推導的基礎上加以理解。在還沒有理解的情況下就要背下來，一般不太可能。」我說。
「這樣啊……」她將信將疑。
「對了，順便問問你，基本不等式中，不等式在什麼情況下取等號你知道嗎？也就是說，要使
這個等式成立，x 和 y 的關係是什麼呢？」我問道。
「啊…… 是不是『x 和 y 同時為 0』啊？」她答道。
「不對。——也不是說你完全不對，是沒有答全。」我說。
「啊？難道不對嗎？ x 和 y 同時為 0 的時候，左右兩邊都為 0，等式成立的呀。」她辯解道。
「你的說法是沒有錯。但是你說 x 和 y 一定要同時為 0，我看沒這個必要吧。x = y 就可以了啊。」
「嗯？這樣啊？如果我把 x = 3 且 y = 3 代入，左邊 
，右邊 
。啊！還真是左右相等啊。」
「嗯，像這樣代入具體數值進行驗證的方法是非常重要的。舉例是理解的試金石。」我誇她道。
「那好，我再用其他數字代入驗證一下。當 x = -2 且 y = -2 的時候會如何呢？左邊 
，右邊 
。咦，怎麼左右兩邊不相同？」
「喂，泰朵拉，你忘記 x ≥ 0 且 y ≥ 0 這個條件啦。」
「啊呀！對哦對哦，我真是稀里糊塗，把這個條件給忘了。我東想西想，最後卻把條件忘記了。」泰朵拉撓著頭，吐了吐舌頭。
「泰朵拉，這次公式的變形是從
這個不等式開始的，我們回想一下就會發現，這個不等式取等號時，就是 a = b 的時候（也就是 x = y 的時候），這樣一來你就會覺得很好理解。」
基本不等式
x ≥ 0 且 y ≥ 0。當 x = y 時取等號。