3.6.1 實例
我來說說質數指數記數法吧。
將自然數分解質因數，留意質因數的指數。比如說，將 n = 280 像下面這樣分解質因數。
像 
這種表示方法，就稱為質數指數記數法。此外，我們把其中的數字 3, 0, 1, 1, 0, ... 稱為成分。成分列是無窮數列，但最後以 0 無限持續下去，所以實際上是有窮數列。
30 指的是質因數中含有 0 個 3，也就是說不含有 3 這個數。因為 30 等於 1，所以可以理解為乘以了一個 1。
一般情況下，自然數 n 的質數指數記數法可以寫成下面這種形式。
在這裡 np 表示將自然數 n 分解質因數的時候，出現了多少個質數 p。例如，n = 280 時，n2 = 3, n3 = 0, n5 = 1, n7 = 1, n11 = 0, ... 。
因為分解質因數有唯一性，所以這個質數指數記數法和自然數是 一一 對應的關係。也就是說，任何自然數都可以用質數指數記數法來表示。相反地，質數指數記數法中也存在著與其對應的自然數。
那麼，我給尤里你出個題。
◎ ◎ ◎
「那麼，我給尤里你出個題。下面的質數指數記數法表示的是什麼自然數？」米爾嘉在筆記本上寫下了如下數字。
「我認為是……2。」尤里說。
「對，等於 2。」米爾嘉說。
尤里輕輕點了點頭，感覺狀態跟平常不太一樣啊。
「那麼，下一個問題。這個是？」米爾嘉說。
「3 吧。」尤里聲音小到幾乎聽不見。
「沒錯。這就好。」米爾嘉說。
「這你明白嗎？」米爾嘉繼續問道。
「不知道。」尤里馬上回道。
「不行。」米爾嘉眼神一下子變凶了，「你這回答速度就證明了你根本沒想。再有恆心一點，尤里。」
米爾嘉嚴厲的語氣讓尤里僵住了。
「可是，人家就是不知道嘛。」尤里含含糊糊地說。
「尤里能答出來，只是怕說錯而已。」米爾嘉一下子把臉湊到尤里面前，「因為害怕，所以就想『與其說錯，不如乾脆說不知道好了』，對吧？」
「……」尤里無言以對。
「膽小鬼。」
「是 27 ！」尤里半帶哭腔地答道。
「錯了。」米爾嘉立刻說道，「最後不是加法。」
「啊，對啊。是乘法。是 50。」尤里一臉平靜，像沒發生過任何事般答道。
「對。這樣就對了。」
「米爾嘉，人家明白了。質數指數記數法。」
「是嗎？那麼，這個呢？」米爾嘉又問道。
「不知道。」尤里說。
「尤里。」米爾嘉聲音中帶著幾分威嚴。
「0 ？」尤里說。
「不對。你怎麼算的？」
「因為全部都是 0，乘起來就是 0。」尤里說。
「你怎麼算的？」米爾嘉又重複了一遍。
「都說了，全部……啊，這樣啊。
，所以答案是 1。」
「好的。」
「尤里，答得不錯哦。」
米爾嘉露出了笑容，那笑容溫柔得彷彿能包容一切。
3.6.2 節奏加快
米爾嘉喝了一口茶之後，像節拍器打節奏一樣揮動手指，非常有節
奏地問尤里：「質數指數記數法 
中，其中一個成分為 1，剩下的成分都為 0 的數字 n，我們管它叫什麼好呢？」
「質數？」尤里回答。
「好。那麼，所有成分都為偶數的數字，我們叫它什麼？」
「我不知……等等，讓我想想。」
尤里從米爾嘉手裡接過了鉛筆，在筆記本上寫寫畫畫，開始思考。
米爾嘉真是厲害啊……把尤里摸得很透。確實，尤里有時候會不假思索就回答「不知道」。
「我或許弄錯了，難不成是……開平方後是自然數的數？」尤里說。
「打比方說，什麼數呢？」米爾嘉說。
「4 啊，9 啊，16 啊……」
「好的。尤里你理解得很正確。你說的那個叫作平方數。」
「平方數。」尤里重複了一遍。
「順便問一句，1 是平方數吧？」
「是。」
「即使用質數指數記數法表示 1，其所有的成分也是偶數？」
「因為 
，所以……對，確實是偶數！」
3.6.3 乘法運算
米爾嘉繼續流暢地講著。
「那麼，接下來我們試著用質數指數記數法做一下乘法。用質數指數記數法來表現兩個自然數 a 和 b，結果如下。」
「此時，兩個自然數 a 和 b 的乘法運算表示如下。」
「這是指數冪運算法則中的一種。很有意思。乘法運算本應比加法運算更複雜，可在這裡直接將成分相加就完事了。為什麼呢？我們來列一下常用的位值制記數法。」
「能用簡單的加法運算實現複雜的乘法運算，是因為質數指數記數法是在完成分解質因數這一麻煩的計算後進行的。質數指數記數法能明確數字的結構。」
米爾嘉看著尤里纏滿繃帶的腳說道。
「質數指數記數法，是能看到數字骨架結構的 X 光射線。」
3.6.4 最大公約數
「這次是最大公約數。」米爾嘉說，「用質數指數記數法可否表示兩個自然數 a, b 的最大公約數呢？尤里，你想想看。」
「好的，我想想。」尤里開始思考……然後，她突然抬起頭說，「米爾嘉，不寫數學公式可以嗎？用人家知道的數學公式寫不出來……」
「把你想表達的東西說出來看看。」
「我想寫『兩個數字中較小的那個』……」
「較小的那個？是比另一個數字小還是小於等於另一個數字？」
「嗯……啊！小於等於另一個數字！」
「如果有想寫的東西，新定義一個函數就好。比如說，定義一個函數 min(x, y)。」
min(x, y) =（x 和 y 中小於等於另一個數字的數）
「定義？」
「就是確定必要的函數。」
「我自己也可以定義嗎？」尤里問。
「當然。不定義就沒法用了吧？」米爾嘉說，「這樣定義也可以。」
「最大公約數已經可以用 min(x, y) 表示了。」尤里說。
「這樣就行了，尤里。」米爾嘉點頭。
「是這樣啊，自己定義就好了啊……」尤里說。
這時，米爾嘉忽然壓低了嗓音。
「那麼，跟矢量一起，向著無限維空間出發吧。」
米爾嘉總把向量叫作矢量。
3.6.5 向著無限維空間出發
向著無限維空間出發吧。
將質數指數記數法的 
看成無限維空間的矢量。因為是無限維空間，所以有無數個坐標軸。各坐標軸與質數對應，n2, n3, n5, n7, ... 為各個坐標的成分。
某個自然數對應此無限維空間裡的一點。
把某個自然數分解質因數，就意味著找尋這個點在坐標軸上的投影。
那麼，兩個自然數「互質」，在幾何上對應著什麼呢？
如果兩個數「互質」，那麼它們的最大公約數等於 1。用質數指數記數法來表示 1 就是 
。求最大公約數，就是求質數指數記數法中每個成分各自的 min(ap, bp)。所以「a 和 b 互質」意味著「關於所有質數 p，都存在 min(ap, bp) = 0。」
a 和 b「
互質」 
關於所有質數 p，都存在 min(ap, bp) = 0
換句話說，就是關於所有質數 p，ap 或 bp 中肯定有一方等於 0。這個也可以說成，兩個矢量不會投影在同一坐標軸上。
總之，這就說明兩個矢量「垂直」。基於這個結論，也有數學家把 a 和 b 「互質」直接寫成 a ⊥ b。因為 ⊥ 形象地表示了垂直的情況。
a 和 b「互質」 a ⊥ b
「互質」是數論的表現形式，「垂直」則是幾何的表現形式。
幾何給了我們豐富多彩的表現形式。
◎ ◎ ◎
「幾何給了我們豐富多彩的表現形式。」米爾嘉總結道。
尤里徹底心服口服，緘口不語。不，我也一樣，已經不知道說什麼好。