Part 1
為了更好地理解量子態在宏觀層面與微觀層面的差別，我們還是回到上一章的比喻，從那兩個可愛質點人生活的簡單平面世界開始談起。我們已經假設了，A生活在x軸上，B生活在y軸上，這樣一來，我們將會發現，兩個質點人對於對方所生活的世界是一無所知的。原因很簡單：因為x軸和y軸互相垂直，x軸在y軸上沒有投影，反之亦然。對於A來說，他完全無法得知B的世界發生了什麼事情，兩人注定了要老死不相往來。這時候，我們說兩個世界是正交（orthogonal）的，不相干的。
但是，x軸和y軸垂直正交是一個非常極端的例子。事實上，如果我們在二維平面裡隨便取兩條直線作為「兩個世界」，則它們很有可能並不互相垂直。那樣的話，B世界仍然在A世界上有一個投影，這就給了A以一窺B世界的機會（雖然是扭曲的）。對於這樣兩個世界來說，態矢量在它們上的投影在很大程度上仍然是彼此關聯，或者說「相干」（coherent）的。B和A在一定程度上仍舊能夠互相「感覺」到對方。
圖10.1 矢量在不同世界上的投影
在平面上取兩條直線，它們有極大的可能性不相垂直。在3維空間中任意取兩個平面作為兩個「世界」，情況也好不到哪裡去。但是，假如我們不考慮低維，而是高維的空間中，我們隨便取兩個切片，其互相正交（垂直）的程度就很可能要比2維中的來得大。因為它比2維有著多得多的維數，亦即自由度，彼此在任一方向上的干涉程度自然大大減小。假設有一個非常高維的空間，比如說1億億維空間，那麼我們在其中隨便畫兩條直線或者平面，它們就幾乎是基本垂直了。如果各位不相信，不妨自己動手證明一下。
這就導致了關鍵的推論：當我們只談論微觀的物體時，牽涉到的粒子數量是極少的，用以模擬它的希爾伯特空間維數相對便也較低。而一旦當我們考慮宏觀層面上的事件，例如用某儀器去測量，或者我們親自去觀察的時候，我們就引入了一個極為複雜的態矢量和一個維數極高的希爾伯特空間。在這樣一個高維空間中，兩個「世界」之間的聯繫被自然地抹平了，它們互相正交，彼此失去了聯繫！
還是用雙縫實驗作為例子。假如我們不考慮環境，單單考慮電子本身的態矢量的話，那麼所涉及的變量是相對較少的，也就是說，單純描述電子行為的「世界」是一個較低維的空間。根據我們前面的討論，MWI認為在雙縫實驗中必定存在著兩個「世界」：左世界和右世界。宇宙態矢量分別在這兩個世界上投影為|通過左縫> 和|通過右縫>兩個量子態。但因為這兩個世界維數較低，所以它們並不是完全正交的，每個世界都還能清晰地「感覺」到另外一個世界的投影。這兩個世界仍然彼此「相干」著！因此電子能夠同時感覺到雙縫而自我干涉。
但請各位密切注意，「左世界」和「右世界」只是單純地描述了電子的行為，並不包括任何別的東西在內！當我們通過儀器而觀測到電子究竟是通過了左還是右之後，對於這一事件的描述就不再是這一簡單態矢量可以勝任的了。事實上，一旦觀測以後，我們就必須談論「我們發現了電子在左」這樣的量子態。它必定存在於一個更大的「世界」中，比方說，可以命名為「我們感知到電子在左」世界，或者簡稱「知左」世界。
「知左」世界描述了電子、儀器和我們本身在內的總體狀況，它涉及到了比單個電子多得多的變量（光我們本身就有n個粒子組成！）。這樣一來，「知左」和「知右」世界的維度，要比「左」，「右」世界高出不知凡幾，在與環境發生複雜的相互糾纏作用以後，我們可以看到，這兩個世界戲劇性地變為基本正交而互不干涉。知左世界在知右世界中沒有了投影，它們無法彼此感覺到對方了！這個魔術般的過程就叫做「離析」或者「退相干」（decoherence），量子疊加態在宏觀層面上的瓦解，正是退相干的直接後果。如此我們便能夠解釋，為什麼在現實世界中我們一旦感知到「電子在左」，就無法同時感受到「電子在右」，因為這是兩個退相干了的世界，它們已經失去聯繫了！
圖10.2 MWI裡的退相干
宏觀與微觀之間的關鍵區別，就在於其牽涉到維度（自由度）的不同。但要提醒大家的是，我們這裡所說的空間、維度，都是指構造量子態矢量所依存的希爾伯特空間，而非真實時空。事實上，所有的「世界」都存在在同一個物理時空中（而不在另一些超現實空間裡），只不過它們量子態的映射因為互相正交而無法彼此感受到對方而已。我們在這裡用的比喻可能過於簡單而牽強，其實完全可以用嚴格的數學來把這一過程表達出來：當複雜系統與環境干涉之後，它的「密度矩陣」就迅速對角化而退化為經典概率。我們的史話在以後講到另一種解釋的時候還會進一步地探討退相干理論，因此在這裡無須深入，大家僅僅走馬觀花地瞭解一下它的概貌就是了。你可能已經覺得很不可思議，不過量子論早就已經不止一次地帶給我們無比的驚訝了，不是嗎？
在多世界奇境中的這趟旅行也許會讓大家困惑不解，但就像愛麗絲在鏡中讀到的那首晦澀的長詩Jabberwocky，它無疑應該給人留下深刻的印象。的確，想像我們自身隨著時間的流逝不停地分裂成多個世界裡的投影，而這些分身以幾何數目增長，以至無窮。這樣一幅奇妙的景象給我們生活其中的宇宙增添了幾分哭笑不得的意味。也許有人會覺得，這樣一個模型，實在看不出有比「意識」更加可愛的地方，埃弗萊特，還有那些擁護多世界的科學家們，究竟看中了它哪一點呢？
不過MWI的好處也是顯而易見的，它最大的豐功偉績就是把「觀測者」這個礙手礙腳的東西從物理中一腳踢開。現在整個宇宙只是嚴格地按照波函數演化，不必再低聲下氣地去求助於「觀測者」，或者「智能生物」的選擇了。物理學家現在也不必再為那個奇跡般的「坍縮」大傷腦筋，無奈地在漂亮的理論框架上貼上醜陋的補丁，用以解釋R過程的機制。我們可憐的薛定諤貓也終於擺脫了那又死又活的煎熬，而改為自得其樂地生活（一死一活）在兩個不同的世界中。
重要的是，大自然又可以自己做主了，它不必在「觀測者」的陰影下戰戰兢兢地苟延殘喘，直到某個擁有「意識」的主人賞了一次「觀測」才得以變成現實，不然就只好在概率波疊加中埋沒一生。在MWI裡，宇宙本身重新成為唯一的主宰，任何觀測者都是它的一部分，隨著它的演化被分裂、投影到各種世界中去，而這過程只取決於環境的引入和不可逆的放大過程，這樣一幅客觀的景象還是符合大部分科學家的傳統口味的，至少不會像哥本哈根派那樣讓人抓狂，以致寢食難安。
MWI的一個副產品是，它重新回歸了經典的決定論：宇宙只有一個波函數，它按照薛定諤方程唯一確定地演化。因為薛定諤方程本身是決定性的，也就是說，給定了某個時刻t的狀態，我們就可以從正反兩個方向推演，得出系統在任意時刻的狀態，這樣一來，宇宙的演化自然也是決定性的，從過去到未來，一切早已注定。在這個意義上說，所謂時間的「流逝」不過是種錯覺而已！在MWI的框架中，上帝又不擲骰子了。他老人家站在一個高高在上的角度，鳥瞰整個宇宙的波函數，一切盡在把握。而電子也不必靠骰子來做出隨機的選擇，決定到底穿過哪一條縫：它同時在兩個世界中各穿過了一條縫而已。只不過，對於我們這些凡夫俗子，芸芸眾生來說，因為我們糾纏在紅塵之中，與生俱來的限制迷亂了我們的眼睛，讓我們只看得見某一個世界的影子。而在這個投影中，現實是隨機的，跳躍的，讓人驚奇的。
然而，雖然MWI也算可以自圓其說，但無論如何，現實中存在著許多個「世界」，這在一般人聽起來也實在太古怪了。哪怕是出於哲學上的雅致理由（特別是奧卡姆剃刀），人們也覺得應當對MWI採取小心的態度：這種為了小小電子動輒把整個宇宙拉下水的做法不大值得欣賞。但在宇宙學家中，MWI卻是很流行和廣受歡迎的觀點，特別是它不要求「觀測者」的特殊地位，而把宇宙的歷史和進化歸結到它本身上去，這使得飽受哥本哈根解釋，還有參與性模型詛咒之苦的宇宙學家們感到異常窩心。大致來說，搞量子引力（比如超弦）和搞宇宙論等專業的物理學家比較青睞MWI，而如果把範圍擴大到一般的「科學家」中去，則認為其怪異不可接受的比例就大大增加。在多世界的支持者中，據說有我們熟悉的費因曼、溫伯格、霍金，還有人把夸克模型的建立者，1969年諾貝爾物理獎得主蓋爾曼也計入其中，不過作為量子論「退相干歷史」（decoherent history）解釋的創建人之一，我們還是把他留到史話相應的章節中去講，雖然這種解釋實際上可以看做MWI的加強版。
對MWI表示直接反對的，著名的有貝爾、斯特恩（Stein）、肯特（Adrian Kent）、彭羅斯等。其中有些人比如彭羅斯也是搞引力的，可以算是非常獨特了。
但對於我們史話的讀者來說，先不管MWI古怪與否，有誰支持或反對也好，當哥本哈根和多宇宙各執一詞的時候，我們局外人又有什麼辦法去分辨誰對誰錯呢？宇宙的秘密只有一個答案不是嗎？真理是唯一的不是嗎？那我們就必須用實踐把那些錯誤的說法排除掉，這也就是科學的精神啊。根據波普爾（Karl Popper）的看法，如果一個理論不能「被證偽」的話，它的科學性也就很值得商榷了。現在，大家請做好心理準備，我們這就來做一個瘋狂的「量子自殺」實驗，來看看MWI和哥本哈根究竟誰才能笑到最後。
飯後閒話：證偽，證實和歸納
怎樣表述一個命題才算是科學的？按照證偽派，它必須有可能被證明是錯誤的。比如「所有的烏鴉都是黑的」，那麼你只要找到一隻不是黑色的烏鴉，就可以證明這個命題的錯誤，因此這個命題沒有問題。
為什麼必須可證偽呢？因為對於科學理論來說，「證實」幾乎是不可能的。比如我們說「宇宙的規律是F=ma」，這裡說的是一種普遍性，而你如何去證實它呢？除非你觀察遍了自古至今，宇宙每一個角落的現象，發現無一例外，你才可以「證實」這一點。即使這樣，你也無法保證在將來，這條規律仍然起著作用。自休謨以來人們已經承認，單靠有限的個例，哪怕再多，也不能構成證實的基礎。事實上，我們對待科學的態度是，只要一個理論能夠被證明為「錯」但還未被證明「錯」，我們就暫時接受它為可靠正確的。不過它必須隨時積極地面對證偽，這也就是為什麼科學總是在自我否定中不斷完善。
但是，按照洛克之類經驗主義者的說法，我們全部知識的基礎都來自於我們的經驗，而科學的建立，也就是在經驗上的一種歸納主義。好比說，我們每天都看到太陽從東邊升起，幾千年來日日如此，那麼我們應該可以「合理地」從中歸納出一條規律：太陽每天都從東方升起。並用它來預測明天太陽依舊要從東方升起。假如墮入休謨的不可知論，那麼我們就根本談不上任何「知識」了，因為反正明天的一切都是不確定的。
按照歸納主義，我們從過去的現象中歸納出一種規律，而當這個現象一再重複，則它每次都又成為對這個規律的再一次「證實」。比如每次太陽又升起來的時候，「太陽每天從東方升起」這個命題的確定性就被再次稍稍證實。我們每看到一隻黑烏鴉，則「烏鴉都是黑的」這個命題的正確性就再次稍稍上升，直到我們遇到一隻不黑的烏鴉為止。
圖10.3 亨普爾諤論
可能有許多人是這樣認為的，但這種經驗主義又會導出非常有趣的結果。我們來做這樣一個推理，大家都知道，一個命題的逆否命題和它本身是等價的。比如「烏鴉都是黑的」，可以改為等價的命題「凡不黑的都不是烏鴉」。現在假如我們遇見一隻白貓，這個現象無疑證實了「凡不黑的都不是烏鴉」（白貓不黑，白貓也不是烏鴉）的說法，所以同樣，它也再次稍稍證實了「烏鴉都是黑的」這個原命題。
總而言之，「遇見一隻白貓」略微增加了「烏鴉都是黑的」的可能性，有趣吧？
這個悖論由著名的德國邏輯實證論者亨普爾（Carl G.Hempel）提出，他年輕時也曾跟著希爾伯特學過數學。如果你接受這個論斷，那麼下次導師叫你去野外考察證明如「昆蟲都是六隻腳」之類的命題，你大可不必出外風吹雨淋。只要坐在家裡觀察大量「沒有六隻腳的都不是昆蟲」的事例（比如桌子、椅子、檯燈、你自己……），你可以和在野外實際觀察昆蟲對這個命題做出同樣多的貢獻！
我們對於認識理論的瞭解實在還是非常膚淺的。
Part 2
令人毛骨悚然和啼笑皆非的「量子自殺」實驗在20世紀80年代末由Hans Moravec，Bruno Marchal等人提出，而又在1998年為宇宙學家泰格馬克（Max Tegmark）在那篇廣為人知的宣傳MWI的論文中所發展和重提。這實際上也是薛定諤貓的一個真人版。大家知道在貓實驗裡，如果原子衰變，貓就被毒死，反之則存活。對此，哥本哈根派的解釋是：在我們沒有觀測它之前，貓是「又死又活」的，而觀測後貓的波函數發生坍縮，貓要麼死要麼活。MWI則聲稱：每次實驗必定同時產生一隻活貓和一隻死貓，只不過它們存在於兩個平行的世界中。
兩者有何實質不同呢？其關鍵就在於，哥本哈根派認為貓始終只有一隻，它開始處在疊加態，坍縮後有50%的可能死，50%的可能活。而多宇宙認為貓並未疊加，而是「分裂」成了兩隻，一死一活，必定有一隻活貓！
現在假如有一位勇於為科學獻身的仁人義士，他自告奮勇地去代替那只倒霉的貓。出於人道主義，為了讓他少受痛苦，我們把毒氣瓶改為一把槍。如果原子衰變（或者利用別的量子機制，比如光子通過了半鍍銀），則槍就「砰」地一響送我們這位朋友上路，反之，槍就只發出「卡」地一聲空響。
現在關鍵問題來了。當一個光子到達半鍍鏡的時候，根據哥本哈根派，你有一半可能聽到「卡」一聲然後安然無恙，另一半就不太美妙，你聽到「砰」一聲然後什麼都不知道了。而根據多宇宙，必定有一個你聽到「卡」，另一個你在另一個世界裡聽到「砰」。但問題是，聽到「砰」的那位隨即就死掉了，什麼感覺都沒有了，這個世界對「你」來說就已經沒有意義了。對你來說，唯一有意義的世界就是你活著的那個世界。
所以，從人擇原理（我們在前面已經討論過人擇原理）的角度上來講，對你唯一有意義的「存在」就是那些你活著的世界。你永遠只會聽到「卡」而繼續活著！因為多宇宙和哥本哈根不同，永遠都會有一個你活在某個世界！
讓我們每隔一秒鐘發射一個光子到半鍍鏡來觸動機關。此時哥本哈根預言，就算你運氣非常之好，你也最多聽到好幾聲「卡」然後最終死掉。但多宇宙的預言是：永遠都會有一個「你」活著，而他的那個世界對「你」來說是唯一有意義的存在。只要你坐在槍口面前，那麼從你本人的角度來看，你永遠只會聽到每隔一秒響一次的「卡」聲，你永遠不死（雖然在別的數目驚人的世界中，你已經屍橫遍野，但那些世界對你沒有意義）！
但只要你從槍口移開，你就又會聽到「砰」聲了，因為這些世界重新對你恢復了意義，你能夠活著見證它們。總而言之，多宇宙的預言是：只要你在槍口前，（對你來說）它就絕對不會發射，一旦你移開，它就又開始隨機地「砰」。
所以，對這位測試者他自己來說，假如他一直聽到「卡」而好端端地活著，他就可以在很大程度上確信，多宇宙解釋是正確的。假如他死掉了，那麼哥本哈根解釋就是正確的。不過這對他來說也已經沒有意義了，人都死掉了。
各位也許對這裡的人擇原理大感困惑。無論如何，槍一直「卡」是一個極小極小的概率不是嗎（如果n次，則概率就是1/2n）？怎麼能說對你而言槍「必定」會這樣行動呢？但問題在於，「對你而言」的前提是，「你」必須存在！
讓我們這樣來舉例，假如你是男性，你必定會發現這樣一個「有趣」的事實：你爸爸有兒子、你爺爺有兒子、你曾祖父有兒子……一直上溯到任意n代祖先，不管歷史上冰川嚴寒、洪水猛獸、兵荒馬亂、飢餓貧寒，他們不但都能存活，而且子嗣不斷，始終有兒子，這可是一個非常小的概率（如果你是女性，可以往娘家那條路上推）。但假如你因此感慨說，你的存在是一個百年不遇的「奇跡」，就非常可笑了。很明顯，你能夠感慨的前提條件是你的存在本身！事實上，如果「客觀」地講，一個家族n代都有兒子的概率極小，但對你我來說，卻是「必須」的，概率為100%的！同理，有人感慨宇宙的精巧，其產生的概率是如此低，但按照人擇原理，為了保證「我們存在」這個前提，宇宙必須如此！在量子自殺中，只要你始終存在，那麼對你來說槍就必須100%地不發射！
圖10.4 量子自殺：哥本哈根版與MWI版
但很可惜的是，就算你發現了多宇宙解釋是正確的，這也只是對你自己一個人而言的知識。就我們這些旁觀者而言事實永遠都是一樣的：你在若干次「卡」後被一槍打死。我們能夠做的，也就是圍繞在你的屍體旁邊爭論，到底是按照哥本哈根，你已經永遠地從宇宙中消失了，還是按照MWI，你仍然在某個世界中活得逍遙自在。我們這些「外人」被投影到你活著的那個世界，這個概率極低，幾乎可以不被考慮，但對你「本人」來說，你存在於那個世界卻是100%必須的！而且，因為各個世界之間無法互相干涉，所以你永遠也不能從那個世界來到我們這裡，告訴我們多宇宙論是正確的！
其實，泰格馬克等人根本不必去費心設計什麼「量子自殺」實驗，按照他們的思路，要是多宇宙解釋是正確的，那麼對於某人來說，他無論如何試圖去自殺都不會死！要是他拿刀抹脖子，那麼因為組成刀的是一群符合薛定諤波動方程的粒子，所以總有一個非常非常小，但確實不為0的可能性，這些粒子在那一剎那都發生了量子隧道效應，以某種方式絲毫無損地穿透了該人的脖子，從而保持該人不死！當然這個概率極小極小，但按照MWI，一切可能發生的都實際發生了，所以這個現象總會發生在某個世界！在「客觀」上講，此人在99.99999…99%的世界中都命喪黃泉，但從他的「主觀視角」來說，他卻一直活著！不管換什麼方式都一樣，跳樓也好，臥軌也好，上吊也好，總存在那麼一些世界，讓他還活著。從該人自身的視角來看，他怎麼死都死不掉！
這就是從量子自殺思想實驗推出的怪論，美其名曰「量子永生」（quantumimmortality）。只要從主觀視角來看，不但一個人永遠無法完成自殺，事實上他一旦開始存在，就永遠不會消失！總存在著一些量子效應，使得一個人不會衰老，而按照MWI，這些非常低的概率總是對應於某個實際的世界！如果多宇宙理論是正確的，那麼我們得到的推論是：一旦一個「意識」開始存在，從它自身的角度來看，它就必定永生！（天哪，我們怎麼又扯到了「意識」！）
這是最強版本的人擇原理，也稱為「終極人擇原理」。
可以想像，泰格馬克等多宇宙論的支持者見到自己的提議被演繹成了這麼一個奇談怪論後，是怎樣的一種哭笑不得的心態。這位賓夕法尼亞大學的宇宙學家不得不出來聲明，說「永生」並非MWI的正統推論。他說一個人在「死前」，還經歷了某種非量子化的過程，使得所謂的意識並不能連續過渡保持永存。可惜也不太有人相信他的辯護。
關於這個問題，科學家們和哲學家們無疑都會感到興趣。支持MWI的人也會批評說，大量宇宙樣本中的「人」的死去不能被簡單地忽略，因為對於「意識」我們還是幾乎一無所知的，它是如何「連續存在」的，根本就沒有經過考察。一些偏頗的意見會認為，假如說「意識」必定會在某些宇宙分支中連續地存在，那麼我們應該斷定它不但始終存在，而且永遠「連續」！也就是說，我們不該有「失去意識」的時候（如睡覺或者昏迷）。不過，也許的確存在一些世界，在那裡我們永不睡覺，誰又知道呢？再說，暫時沉睡然後又甦醒，這對於「意識」來說好像不能算作「無意義」的。而更為重要的，也許還是如何定義在多世界中的「你」究竟是個什麼東西的問題，也許現實時空中的你只不過是一個高維態矢量的一個切片而已。總之，這裡面邏輯怪圈層出不窮，而且幾乎沒有什麼可以為實踐所檢驗的東西，都是空對空。我想，波普爾對此不會感到滿意的！
關於自殺實驗本身，我想也不太有人會僅僅為了檢驗哥本哈根和MWI而實際上真的去嘗試！因為不管怎麼樣，實驗的結果也只有你自己一個人知道而已，你無法把它告訴廣大人民群眾。而且要是哥本哈根解釋不幸地是正確的，那你也就嗚乎哀哉了。雖說「朝聞道，夕死可矣」，但一般來說，聞了道，最好還是利用它做些什麼來得更有意義。而且，就算你在槍口前真的不死，你也無法確實地判定，這是因為多世界預言的結果，還是只不過僅僅因為你的運氣非常非常非常好。你最多能說：「我有99.999999...99%的把握宣稱，多世界是正確的。」如此而已。
根據Shikhovtsev最新的傳記，埃弗萊特本人也在某種程度上相信他的「意識」會沿著某些不通向死亡的宇宙分支而一直延續下去（當然他不知道自殺實驗）。但具有悲劇和諷刺意味的是，他一家子都那麼相信平行宇宙，以致他的女兒麗茲（Liz）在自殺前留下的遺書中說，她去往「另一個平行世界」和他相會了（當然，她並非為了檢驗這個理論而自殺）。或許埃弗萊特一家真的在某個世界裡相會也未可知，但至少在我們現在所在的這個世界（以及絕大多數其他世界）裡，我們看到人死不能復生了。所以，至少考慮在絕大多數世界中家人和朋友們的感情，我強烈建議各位讀者不要在科學熱情的驅使下做此嘗試。
我們在多世界理論這條路上走得也夠久了，和前面在哥本哈根派那裡一樣，我們的探索越到後來就越顯得古怪離奇，道路崎嶇不平，雜草叢生，讓我們筋疲力盡，而且最後居然還會又碰到「意識」「永生」之類形而上的東西，真是見鬼！我們還是知難而退，回到原來的分岔路口，再看看還有沒有別的不同選擇。不過我們在離開這條道路前，還有一樣東西值得一提，那就是所謂的「量子計算機」。1977年，埃弗萊特接受惠勒和德威特等人的邀請去德克薩斯大學演講，午飯的時候，德威特特意安排惠勒的一位學生坐在埃弗萊特身邊，後者向他請教了關於希爾伯特空間的問題。這個學生就是大衛‧德義奇（David Deutsch）。
Part 3
電子計算機是人類有史以來最偉大的發明之一。自誕生那天以來，它已經深入到了我們生活的每一個方面，甚至徹底改變了整個世紀的面貌。別的不說，各位正在閱讀的本史話，最初便是在一台筆記本電腦上被輸入和保存為電子信號的，雖然拿一台現代的PC僅僅做文字編輯可謂大材小用，或者拿Ian Stewart的話來說，算是開著勞斯萊斯送牛奶了。
回頭看計算機的發展，人們往往會慨歎科技的發展一日千里，滄海桑田。通常我們把賓夕法尼亞大學1946年的那台ENIAC看成世界上的第一台電子計算機[1]，這是個異常笨重的大傢伙，體積可以裝滿整個房間，塞滿了難看的電子管，輸入輸出都靠打孔的磁帶。如果我們把它拿來和現代輕便精緻的家庭電腦相比，就好像美女與野獸的區別。不過，從本質上來說，計算機自誕生以來卻沒有什麼大變化，阿蘭‧圖靈為它種下了靈魂，馮‧諾伊曼為它雕刻了骨架，別的只是細枝末節罷了！
在這個意義上來講，美女與野獸其實是一樣的，外表的色相差異只是一種錯覺而已。我們如今所使用的電腦，不管看上去有多精巧複雜，本質上也沒有脫出當年圖靈和諾伊曼所畫好的框框。把所有的計算機簡化，它們都是這樣一種機器：在一端讀入信息數據流，按照特定的算法（有限的內態）來處理它，並在另一端輸出結果。奔騰4，80286和ENIAC的區別也只不過在於處理的速度和效率而已。假如有足夠的時間和輸出空間，同作為圖靈機，它們所能做到的事情是一樣多的。對於傳統的計算機來說，它處理的通常是二進制碼信息，1個「比特」（bit，binary digit的縮寫）是信息的最小單位：它要麼是0，要麼是1，對應於電路的開或關。假如一台計算機讀入了10個bits的信息，那相當於它讀入了一個10位的2進制數（比方說1010101010），這個數的每一位都是一個確定的0或者1。如果你對計算機稍有認識的話，這些常識似乎是理所當然的。
但是，接下來就讓我們進入神奇的量子世界。一個bit是信息流中的最小單位，這看起來正如一個量子！我們回憶一下走過的路上所見到的那些奇怪景象，量子論最叫人困惑的是什麼呢？是不確定性。我們無法肯定地指出一個電子究竟在哪裡，我們不知道它是通過了左縫還是右縫，我們不知道薛定諤的貓是死了還是活著。根據量子論的基本方程，所有的可能性都是線性疊加在一起的！電子同時通過了左和右兩條縫，薛定諤的貓同時活著和死了。只有當實際觀測它的時候，上帝才隨機地擲一下骰子，告訴我們一個確定的結果，或者他老人家不擲骰子，而是把我們投影到兩個不同的世界中去。
大家不要忘記，我們的電腦也是由微觀的原子組成的，它當然也服從量子定律（事實上所有的機器肯定都是服從量子論的，只不過對於傳統的機器來說，它們的工作原理並不主要建立在量子效應上）。假如我們的信息由一個個電子來傳輸，我們規定，當一個電子是「左旋」的時候，它代表了0，當它是「右旋」的時候，則代表1。現在問題來了，當我們的電子到達時，它是處於量子疊加態的。這豈不是說，它同時代表了0和1？
這就對了，在我們的量子計算機裡，一個bit不僅只有0或者1的可能性，它更可以表示一個0和1的疊加！一個「比特」可以同時記錄0和1，我們把它稱作一個「量子比特」（qubit）。假如我們的量子計算機讀入了一個10qubits的信息，所得到的就不僅僅是一個10位的二進制數了，事實上，因為每個bit都處在0和1的疊加態，我們的計算機所處理的是2^10個10位數的疊加！
換句話說，同樣是讀入10bits的信息，傳統的計算機只能處理一個10位的二進制數，而如果是量子計算機，則可以同時處理2^10個這樣的數！
利用量子演化來進行某種圖靈機式的計算早在20世紀70年代和80年代初便由Bennett，Benioff等人進行了初步的討論。到了1982年，那位極富傳奇色彩的美國物理學家理查德‧費因曼（Richard Feynman）注意到，當我們試圖使用計算機來模擬某些物理過程，例如量子疊加的時候，計算量會隨著模擬對象的增加而指數式地增長，以致使得傳統的模擬很快變得不可能。費因曼並未因此感到氣餒，相反，他敏銳地想到，也許我們的計算機可以使用實際的量子過程來模擬物理現象！如果說模擬一個「疊加」需要很大的計算量的話，為什麼不用疊加本身去模擬它呢？每一個疊加都是一個不同的計算，當所有這些計算都最終完成之後，我們再對它進行某種正運算，把一個最終我們需要的答案投影到輸出中去。費因曼猜想，這在理論上是可行的，而他的確猜對了！
圖10.5 量子計算機
終於到了1985年，我們那位在埃弗萊特的諄諄教導和多宇宙論的熏陶下成長起來的大衛‧德義奇閃亮登場了。他仿照圖靈當年走的老路子，成功地證明了，一台通用的量子計算機是可能的[2]，這樣一來，一切形式的量子計算便也都能夠實現。德義奇的這個證明意義重大，他從理論上奠定了量子計算機的實現基礎，一扇全新的門被打開了。
不過，說了那麼多，一台量子計算機有什麼好處呢？
德義奇證明，量子計算機無法實現超越算法的任務，也就是說，它無法比普通的圖靈機做得更多。但他同時證明，它將具有比傳統的計算機大得多的效率，用術語來講，執行同一任務時它所要求的複雜性（complexity）要低得多。一言以蔽之，量子計算機雖然沒法做得更多，但同樣的任務卻能做得更快更好！理由是顯而易見的，量子計算機執行的是一種並行計算。正如我們前面舉的例子，當一個10bits的信息被處理時，量子計算機實際上操作了2^10個態！
在如今這個信息時代，網上交易和電子商務的浪潮正席捲全球，從政府至平民百姓，都越來越依賴於電腦和網絡系統。與此同時，電子安全的問題也顯得越來越嚴峻，誰都不想黑客們大搖大擺地破解你的密碼，侵入你的系統篡改你的資料，然後把你銀行裡的存款提得精光，這就需要我們對私隱資料執行嚴格的加密保護。目前流行的加密算法不少，很多都是依賴於這樣一個靠山，也即所謂的「大數不可分解性」。大家中學裡都苦練過因式分解，也做過質因數分解的練習，比如把15這個數字分解成它的質因數的乘積，我們就會得到15=5×3這樣一個唯一的答案。
問題是，分解15看起來很簡單，但如果要分解一個很大很大的數，我們所遭遇到的困難就變得幾乎不可克服了。比如，把10949769651859分解成它的質因數的乘積，我們該怎麼做呢？糟糕的是，在解決這種問題上，我們還沒有發現一種有效的算法。一種笨辦法就是用所有已知的質數去一個一個地試，最後我們會發現10949769651859＝4220851×2594209[3]，但這是異常低效的。更遺憾的是，隨著數字的加大，這種方法所費的時間呈現出指數式的增長！每當目標增加一位數，我們就要多費3倍多的時間來分解它，很快我們就會發現，就算計算時間超過宇宙的年齡，我們也無法完成這個任務。當然我們可以改進我們的算法，但目前所知最好的算法（我想應該是GNFS）所需的複雜性也只不過比指數性的增長稍好，仍未達到多項式的要求[4]。
所以，如果我們用一個大數來保護我們的秘密，只有當這個大數被成功分解時才會洩密，我們應當是可以感覺非常安全的。因為從上面的分析可以看出，想使用「暴力」方法，也就是窮舉法來破解這樣的密碼幾乎是不可能的。雖然我們的處理器速度每隔18個月就翻倍，但也遠遠追不上安全性的增長：只要給我們的大數增加一兩位數，就可以保好幾年的平安。目前最流行的一些加上帝擲骰子嗎？密術，比如公鑰的RSA算法正是建築在這個基礎之上。
圖10.6 大數分解的安全性
但量子計算機實現的可能使得所有的這些算法在瞬間人人自危。量子計算機的並行機制使得它可以同時處理多個計算，這使得大數不再成為障礙！1994年，貝爾實驗室的彼得‧肖（Peter Shor）創造了一種利用量子計算機的算法，可以有效地分解大數（複雜性符合多項式）。比如我們要分解一個250位的數字，如果用傳統計算機的話，就算我們利用最有效的算法，把全世界所有的計算機都聯網到一起聯合工作，也要花上幾百萬年的漫長時間。但如果用量子計算機的話，只需幾分鐘！一台量子計算機在分解250位數的時候，同時處理了10500個不同的計算！
更糟的事情接踵而來。在肖發明了他的算法之後，1996年貝爾實驗室的另一位科學家洛弗‧格魯弗（Lov Grover）很快發現了另一種算法，可以有效地搜索未排序的數據庫。如果我們想從一個有n個記錄但未排序的數據庫中找出一個特定的記錄的話，大概只好靠隨機地碰運氣，平均試n/2次才會得到結果，但如果用格魯弗的算法，複雜性則下降到根號n次。這使得另一種著名的非公鑰系統加密算法，DES面臨崩潰。現在幾乎所有的人都開始關注量子計算，更多的量子算法肯定會接連不斷地被創造出來，如果真的能夠造出量子計算機，那麼對於現在所有的加密算法，不管是RSA，DES，或者別的什麼橢圓曲線，都可以看成是末日的來臨。最可怕的是，因為量子並行運算內在的並行機制，即使我們不斷增加密鑰的位數，也只不過給破解者增加很小的代價罷了，這些加密術實際上都破產了[5]！
2001年，IBM的一個小組演示了肖的算法，他們利用7個量子比特把15分解成了3和5的乘積。當然，這只是非常初步的進展，我們還不知道，是否真的可以造出有實際價值的量子計算機。量子態的糾纏非常容易退相干，這使得我們面臨著技術上的嚴重困難。雖然2002年，斯坦弗和日本的科學家聲稱，一台硅量子計算機是可以利用現在的技術實現的；2003年，馬裡蘭大學的科學家們成功地實現了相距0.7毫米的兩個量子比特的互相糾纏，一切都在向好的方向發展，但也許量子計算機真正的運用還要過好幾十年才會實現。這個項目是目前最為熱門的話題之一，讓我們且拭目以待。
就算強大的量子計算機真的問世了，電子安全的前景也並非一片暗淡。俗話說得好，上帝在這裡關上了門，但又在別處開了一扇窗。量子論不但給我們提供了威力無比的計算破解能力，也讓我們看到了另一種可能性：一種永無可能破解的加密方法。這是如今另一個炙手可熱的話題：量子加密術（quantum cryptography）。限於篇幅，我們無法在這裡對這種技術進行過多的探討，不過這種加密術之所以能夠實現，是因為神奇的量子可以突破愛因斯坦的上帝所安排下的束縛——那個宿命般神秘的不等式。而這，則是我們馬上要去討論的內容。
但是，在本節的最後，我們還是回到多宇宙解釋上來。我們如何去解釋量子計算機那神奇的計算能力呢？德義奇聲稱，唯一的可能是它利用了多個宇宙，把計算放在多個平行宇宙中同時進行，最後匯總那個結果。拿肖的算法來說，我們已經提到，當它分解一個250位數的時候，同時進行著10500個計算。在他的著作中，德義奇憤憤不平地請求那些不相信MWI的人解釋這個事實：如果不是把計算同時放到10500個宇宙中進行的話，它哪來的資源可以進行如此驚人的運算？他特別指出，整個宇宙也只不過包含大約1080個粒子而已。但是，雖然把計算放在多個平行宇宙中進行是一種可能的說法，MWI也並不是唯一的解釋。基本上，量子計算機所依賴的只是量子論的基本方程，而不是某個解釋。它的模型是從數學上建築起來的，和你如何去解釋它無干。你可以把它想像成10500個宇宙中的每一台計算機在進行著計算，但也完全可以按照哥本哈根解釋，想像成未觀測（輸出結果）前，在這個宇宙中存在著10500台疊加的計算機在同時幹活！至於這是如何實現的，我們是沒有權利去討論的，正如我們不知道電子如何同時穿過了雙縫，貓如何同時又死又活一樣。這聽起來不可思議，但在許多人看來，比起瞬間突然分裂出了10500個宇宙，其古怪程度也半斤八兩。正如柯文尼在《時間之箭》中說的那樣，即使這樣一種計算機造出來，也未必能證明多世界一定就比其他解釋優越。關鍵是，我們還沒有得到實實在在可以去判斷的證據，也許我們還是應該去看看還有沒有別的道路，它們都通向哪些更為奇特的方向。
Part 4
我們終於可以從多世界這條道路上抽身而退，再好好反思一下量子論的意義。前面我們留下的那塊「意識怪獸」的牌子還歷歷在目，而在多宇宙這裡我們的境遇也不見得好多少，也許可以用德威特的原話，立一塊「精神分裂」的牌子來警醒世人注意。在哥本哈根那裡，我們時刻擔心的是如何才能使波函數坍縮，而在多宇宙那裡，問題變成了「我」在宇宙中究竟算是個什麼東西。假如我們每時每刻都不停地被投影到無數的世界，那麼究竟哪一個才算是真正的「我」呢？或者，「我」這個概念乾脆就應該定義成那個不知在多少維空間中存在的態矢量，而實實在在地可以感覺可以思考的那個「我」只不過是虛幻的投影而已？如果說「我」只不過是某時某刻的一個存在，隨著每一次量子過程而分裂成無數個新的不同的「我」，那麼難道我們的精神祇不過是一種瞬時的概念，它完全不具有連續性？生活在一個無時無刻不在分裂的宇宙中，無時無刻都有無窮個新的「我」的分身被製造出來，天知道我們為什麼還會覺得時間是平滑而且連續的，天知道為什麼我們的「自我意識」的連續性沒有遭到割裂。
不管是哥本哈根還是MWI，其實都在努力地試圖解決量子論中一個最令人困惑的方面：疊加性。薛定諤方程是難以撼動的，而這卻逼使我們承認量子態必須處在疊加中。毫無疑問，量子論在現實中是異常成功的，它能夠完美地解釋和說明觀測到的現象。可是要承認疊加，不管是哥本哈根式的疊加還是多宇宙式的疊加，這和我們對於現實世界的常識始終有著巨大的衝突。我們還是不由地懷念那流金的古典時代，那時候「現實世界」仍然保留著高貴的客觀性血統，它簡單明確，符合常識，一個電子始終有著確定的位置和動量，不以我們的意志或者觀測行為而轉移，也不會莫名其妙地分裂，而只是一絲不苟地在一個優美的宇宙規則的統治下按照嚴格的因果律而運行。哦，這樣的場景溫馨而暖人心扉，簡直就是物理學家們夢中的桃花源，難道我們真的無法再現這樣的理想，回到那個令人懷念的時代了嗎？
且慢，這裡就有一條道路，打著一個大廣告牌：回到經典。它甚至把愛因斯坦拉出來作為它的代言人：這條道路通向愛因斯坦的夢想。天哪，愛因斯坦的夢想，不就是那個古典客觀，簡潔明確，一切都由嚴格的因果性來主宰的世界嗎？那裡面既沒有擲骰子的上帝，也沒有多如牛毛的宇宙拷貝，這是多麼教人心動的情景。我們還猶豫什麼呢，趕快去看看吧！
時空倒轉，我們先要回到1927年，回到布魯塞爾的第五屆索爾維會議，再回味一下那場決定了量子論興起的大辯論。我們在史話的第八章已經描寫了這次名留青史的會議的一些情景，我們還記得法國的那位貴族德布羅意在會上講述了他的「導波」理論，但遭到了泡利的質疑。在1927年，玻爾的互補原理還剛剛出台，粒子和波動還正打得不亦樂乎，德布羅意的「導波」正是試圖解決這一矛盾的一個嘗試。我們都還記得，德布羅意發現，每當一個粒子前進時，都伴隨著一個波，這深刻地揭示了波粒二象性的難題。但德布羅意並不相信玻爾的互補原理，亦即電子同時又是粒子又是波的解釋。德布羅意想像，電子始終是一個實實在在的粒子，但它的確受到時時伴隨著它的那個波的影響，這個波就像盲人的導航犬，為它探測周圍的道路的情況，指引它如何運動，也就是我們為什麼把它稱作「導波」的原因。德布羅意的理論裡沒有波恩統計解釋的地位，它完全是確定和實在論的。量子效應表面上的隨機性其實是由一些我們不可知的變量所造成的，換句話說，量子論是一個不完全的理論，它沒有考慮到一些不可見的變量，所以才顯得不可預測。假如把那些額外的變量考慮進去，整個系統是確定和可預測的，符合嚴格因果關係的。
打個比方，好比我們在賭場扔骰子賭錢，雖然我們睜大眼睛看明白四週一切，確定沒人作弊，但的確可能還有一個暗中的武林高手，憑借一些獨門手法比如說吹氣來影響骰子的結果。雖然我們水平不行，發現不了這個武林高手的存在，覺得骰子是完全隨機的，但事實上不是！它是完全人為的，如果把這個隱藏的高手也考慮進去，它是有嚴格因果關係的！儘管單單從我們看到的來講，也沒有什麼互相矛盾，但一幅「完整」的圖像應該包含那個隱藏著的人，這個人是一個「隱變量」！這樣的理論便稱為「隱變量理論」（Hidden Variable Theory）。
不過，德布羅意理論生不逢時，正遇上偉大的互補原理出台的那一刻，加上它本身的不成熟，於是遭到了眾多的批評，而最終判處它死刑的是1932年的馮諾伊曼。我們也許還記得，馮諾伊曼在那一年為量子論打下了嚴密的數學基礎，他證明了量子體系的一些奇特性質，比如「無限復歸」。然而在這些之外，他還順便證明了一件事，那就是：任何隱變量理論都不可能對測量行為給出確定的預測。換句話說，隱變量理論試圖把隨機性從量子論中趕走的努力是不可能實現的，任何隱變量理論——不管它是什麼樣的——注定都要失敗。
馮諾依曼那華麗的天才傾倒每一個人，沒有人對這位20世紀最偉大的數學家之一產生懷疑。隱變量理論那無助的努力似乎已經逃脫不了悲慘的下場，而愛因斯坦對於嚴格的因果性的信念似乎也注定要化為泡影。德布羅意接受這一現實，他在內心深處不像玻爾那樣頑強而充滿鬥志，而是以一種貴族式的風度放棄了他的觀點，皈依到哥本哈根門下。整個三四十年代，哥本哈根解釋一統江湖，量子的不確定性精神深植在物理學的血液之中，眾多的電子和光子化身為波函數神秘地在宇宙中瀰漫，眾星拱月般地烘托出那位偉大的智者——尼爾斯‧玻爾的魔力來。馮諾依曼的判詞似乎已經注定了隱變量理論的命運，它絕望地在天牢裡等候秋後處決，做夢也沒有想到還會有一次鹹魚翻身的機會。
1969年諾貝爾物理獎得主蓋爾曼後來調侃地說：「玻爾給整整一代的物理學家洗了腦，使他們相信，事情已經最終解決了。」
約翰‧貝爾則氣憤憤地說：「德布羅意在1927年就提出了他的理論。當時，以我現在看來是丟臉的一種方式，被物理學界一笑置之，因為他的論據沒有被駁倒，只是被簡單地踐踏了。」
誰能想到，就連像馮諾伊曼這樣的天才，也有陰溝裡翻船的時候。他的證明不成立！馮諾伊曼關於隱變量理論無法對觀測給出唯一確定的解的證明建立在5個前提假設上，在這5個假設中，前4個都是沒有什麼問題的，關鍵就在第5個那裡。我們都知道，在量子力學裡，對一個確定的系統進行觀測，我們是無法得到一個確定的結果的，它按照隨機性輸出，每次的結果可能都不一樣。但是我們可以按照公式計算出它的期望（平均）值。假如對於一個確定的態矢量ψ我們進行觀測X，那麼我們可以把它坍縮後的期望值寫成＜X,ψ＞。正如我們一再強調的那樣，量子論是線性的，它可以疊加。如果我們進行了兩次觀測X，Y，它們的期望值也是線性的，即應該有關係：
＜X+Y,ψ＞=＜X，ψ＞+＜Y,ψ＞
但是在隱變量理論中，我們認為系統光由態矢量ψ來描述是不完全的，它還具有不可見的隱藏函數，或者隱藏的態矢量H。把H考慮進去後，每次觀測的結果就不再隨機，而是唯一確定的。現在，馮諾伊曼假設：對於確定的系統來說，即使包含了隱變量H之後，它們也是可以疊加的。即有：
＜X+Y,ψ，H＞=＜X,ψ,H＞+＜Y,ψ,H＞
這一步大大的有問題。對於前一個式子來說，我們討論的是平均情況。也就是說，假如真的有隱變量H的話，那麼我們單單考慮ψ時，它其實包含了所有的H的可能分佈，得到的是關於H的平均值。但把具體的H考慮進去後，我們所說的就不是平均情況了！相反，考慮了H後，按照隱變量理論的精神，就無所謂期望值，而是每次都得到唯一的確定的結果。關鍵是，平均值可以相加，並不代表一個個單獨的情況都能夠相加！
我們這樣打比方：假設我們扔骰子，骰子可以擲出1-6點，那麼我們每扔一個骰子，平均得到的點數是3.5。這是一個平均數，能夠按線性疊加，也就是說，假如我們同時扔兩粒骰子，得到的平均點數可以看成是兩次扔一粒骰子所得到的平均數的和，也就是3.5+3.5=7點。再通俗一點，假設ABC三個人同時扔骰子，A一次扔兩粒，B和C都一次扔一粒，那麼從長遠的平均情況來看，A得到的平均點數等於B和C之和。
但馮諾伊曼的假設就變味了。他其實是假定，任何一次我們同時扔兩粒骰子，它必定等於兩個人各扔一粒骰子的點數之和！也就是說只要三個人同時扔骰子，不管是哪一次，A得到的點數必定等於B加C。這可大大未必，當A擲出12點的時候，B和C很可能各只擲出1點。雖然從平均情況來看A的確等於B加C，但這並非意味著每回合都必須如此！
圖10.7 馮諾伊的錯誤
馮諾伊曼的證明建立在這樣一個不牢靠的基礎上，自然最終轟然崩潰。首先挑戰他的人是大衛‧玻姆（David Bohm），當代最著名的量子力學專家之一。玻姆出生於賓夕法尼亞，他曾在愛因斯坦和奧本海默的手下學習和工作（事實上，他是奧本海默在伯克利所收的最後一個博士生）。愛因斯坦的理想也深深打動著玻姆，使他決意去追尋一個回到嚴格的因果律，恢復宇宙原有秩序的理論。1952年，玻姆復活了德布羅意的導波，成功地創立了一個完整的隱變量體系。全世界的物理學家都吃驚得說不出話來：馮諾伊曼不是已經把這種可能性徹底排除掉了嗎？現在居然有人舉出了一個反例！
奇怪的是，發現馮諾伊曼的錯誤並不需要太高的數學技巧和洞察能力，但它硬是在30年的時間裡沒有引起值得一提的注意。David Mermin挪揄道，真不知道它自發表以來是否有過任何專家或者學生真正研究過它。貝爾在訪談裡毫不客氣地說：「你可以這樣引用我的話：馮諾伊曼的證明不僅是錯誤的，更是愚蠢的！」
看來我們在前進的路上仍然需要保持十二分的小心。
飯後閒話：第五公設
馮諾伊曼栽在了他的第五個假設上，這似乎是冥冥中的天道循環，2000年前，偉大的歐幾里德也曾經在他的第五個公設上小小地絆過一下。
無論怎樣形容《幾何原本》的偉大也不會顯得過分誇張。它所奠定的公理化思想和演繹體系，直接孕育了現代科學，給它提供了最強大的力量。《幾何原本》把幾何學的所有命題推理都建築在一開頭給出的5個公理和5個公設上，用這些最基本的磚石建築起了一幢高不可攀的大廈。
對於歐氏所給出的那5個公理和前4個公設（適用於幾何學的他稱為公設），人們都可以接受。但對於第五個公設，人們覺得有一些不太滿意。這個假設原來的形式比較冗長，人們常把它改成一個等價的表述方式：「過已知直線外的一個特定的點，能夠且只能夠做一條直線與已知直線平行」。長期以來，人們對這個公設的正確性是不懷疑的，但覺得它似乎太複雜了，也許不應該把它當做一個公理，而能夠從別的公理中把它推導出來。但2000年過去了，竟然沒有一個數學家做到這一點（許多時候有人聲稱他證明了，但他們的證明都是錯的）！
歐幾里德本人顯然也對這個公設感到不安：相比其他4個公設，第五公設簡直複雜到家了[6]。在《幾何原本》中，他小心翼翼地盡量避免使用這一公設，直到沒有辦法的時候才不得不用它，比如要證明「任意三角形的內角和為180度」的時候。
長期的失敗使得人們不由地想，難道第五公設是不可證明的？如果我們用反證法，假設它不成立，那麼假如我們導出矛盾，自然就可以反過來證明第五公設本身的正確性。但如果假設第五公設不成立，結果卻導致不出矛盾呢？
俄國數學家羅巴切夫斯基（N.Lobatchevsky）正是這樣做的。他假設第五公設不成立，也就是說，過直線外一點，可以做一條以上的直線與已知直線平行，並以此為基礎進行推演。結果他得到了一系列稀奇古怪的結果，可是它們卻是一個自成體系的系統，它們沒有矛盾，在邏輯上是自洽的！一種不同於歐幾里得的幾何——非歐幾何誕生了！
從不同於第五公設的其他假設出發，我們可以得到和歐幾里德原來的版本稍有不同的一些定理。比如「三角形內角和等於180度」是從第五公設推出來的，假如過一點可以做一條以上的平行線，那麼三角形的內角和便小於180度了。反之，要是過一點無法做已知直線的平行線，結果就是三角形的內角和大於180度。對於後者來說容易想像的就是球面，任何看上去平行的直線最終必定交會。比方說在地球的赤道上所有的經線似乎都互相平行，但它們最終都在兩極點相交。如果你在地球表面畫一個三角形，它的內角和會超出180度，當然，你得畫得足夠大才測量得到。傳說高斯曾經把三座山峰當做三角形的三個頂點來測量它們的內角和，但似乎沒有發現什麼。不過他要是在星系間做這樣的測量，其結果就會很明顯了：星系的質量造成了空間的可觀彎曲。
羅巴切夫斯基假設過一點可以做一條以上的直線與已知直線平行，另一位數學家黎曼則假設無法做這樣的平行線，創立了黎曼非歐幾何。他把情況推廣到n維，徹底奠定了非歐幾何的基礎。更重要的是，他的體系被運用到物理中去，並最終孕育了20世紀最傑出的科學巨構——廣義相對論。
圖10.8 非歐幾何
Part 5
玻姆的隱變量理論是德布羅意導波的一個增強版，只不過他把所謂的「導波」換成了「量子勢」（quantum potential）的概念。在他的描述中，電子或者光子始終是一個實實在在的粒子，不論我們是否觀察它，它都具有確定的位置和動量。但是，一個電子除了具有通常的一些性質，比如電磁勢之外，還具有所謂的「量子勢」。這其實就是一種類似波動的東西，它按照薛定諤方程發展，在電子的周圍擴散開去。不過，量子勢所產生的效應和它的強度無關，而只和它的形狀有關，這使它可以一直延伸到宇宙的盡頭，而不發生衰減。
在玻姆理論裡，我們必須把電子想像成這樣一種東西：它本質上是一個經典的粒子，但以它為中心發散出一種勢場，這種勢瀰漫在整個宇宙中，使它每時每刻都對周圍的環境瞭如指掌。當一個電子向一個雙縫進發時，它的量子勢會在它到達之前便感應到雙縫的存在，從而指導它按照標準的干涉模式行動。如果我們試圖關閉一條狹縫，無處不在的量子勢便會感應到這一變化，從而引導電子改變它的行為模式。特別地，如果你試圖去測量一個電子的具體位置的話，你的測量儀器將首先與它的量子勢發生作用，這將使電子本身發生微妙的變化。這種變化是不可預測的，因為主宰它們的是一些「隱變量」，你無法直接探測到它們。
玻姆用的數學手法十分高超，他的體系的確基本做到了傳統的量子力學所能做到的一切！但是，讓我們感到不舒服的是，這樣一個隱變量理論始終似乎顯得有些多餘。量子力學從世紀初一路走來，諸位物理大師為它打造了金光閃閃的基本數學形式。它是如此漂亮而簡潔，在實際中又是如此管用，以至於我們覺得除非絕對必要，似乎沒有理由給它強迫加上笨重而醜陋的附加假設。玻姆的隱函數理論複雜煩瑣又難以服眾，他假設一個電子具有確定的軌跡，卻又規定因為隱變量的擾動關係，我們絕對觀察不到這樣的軌跡！這無疑違反了奧卡姆剃刀原則：存在卻絕對觀測不到，這和不存在又有何分別呢？難道，我們為了這個世界的實在性，就非要放棄物理原理的優美、明晰和簡潔嗎？這連愛因斯坦本人都會反對，他對科學美有著比任何人都要深的嚮往和眷戀。事實上，愛因斯坦，甚至德布羅意生前都沒有對玻姆的理論表示過積極的認同。
更不可原諒的是，玻姆在不惜一切代價地恢復了世界的實在性和決定性之後，卻放棄了另一樣同等重要的東西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段時間裡，所有的因果關係都必須維持在一個特定的區域內，而不能超越時空來瞬間地作用和傳播。簡單來說，就是指不能有超距作用的因果關係，任何信息都必須以光速這個上限而發送，這也就是相對論的精神！但是在玻姆那裡，他的量子勢可以瞬間把它的觸角伸到宇宙的盡頭，一旦在某地發生什麼，其信息立刻便傳達到每一個電子耳邊。如果玻姆的理論成立的話，超光速的通信在宇宙中簡直就是無處不在，愛因斯坦不會容忍這一切的！
儘管如此，玻姆的確打破了因為馮諾伊曼的錯誤而造成的堅冰，至少給隱變量從荊棘中艱難地開闢出了一條道路。不管怎樣，隱變量理論在原則上畢竟是可能的，那麼，我們是不是至少還保有一線希望，可以發展出一個完美的隱變量理論，使得我們在將來的某一天得以同時擁有一個確定、實在，而又擁有定域性的溫暖世界呢？這樣一個世界，不就是愛因斯坦的終極夢想嗎？
1928年7月28日，距離量子論最精彩的華章——不確定性原理的譜寫已經過去一年有餘。在這一天，約翰‧斯圖爾特‧貝爾（John Stewart Bell）出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特。貝爾在孩提時代就表現出了過人的聰明才智，他在11歲時向母親立志，要成為一名科學家。16歲時貝爾因為尚不夠年齡入讀大學，先到貝爾法斯特女王大學的實驗室當了一年的實習工，然而他的才華已經深深感染了那裡的教授和員工。一年後他順理成章地進入女王大學攻讀物理，雖然主修的是實驗物理，但他同時也對理論物理表現出非凡的興趣。特別是方興未艾的量子論，它展現出的深刻的哲學內涵令貝爾相當沉迷。
貝爾在大學的時候，量子論大廈主體部分的建設已經塵埃落定，基本的理論框架已經由海森堡和薛定諤所打造完畢，而玻爾已經為它作出了哲學上最意味深長的詮釋。20世紀物理史上最激動人心的那些年代已經逝去，沒能參與其中當然是一件遺憾的事，但也許正是因為這樣，人們得以稍稍冷靜下來，不至於為了那偉大的事業而過於熱血沸騰，身不由己地便拜倒在尼爾斯‧玻爾那幾乎不可抗拒的個人魔力之下。貝爾不無吃驚地發現，自己並不同意老師和教科書上對於量子論的「正統解釋」。海森堡的不確定性原理——它聽上去是如此具有主觀的味道，實在不討人喜歡。貝爾想要的是一個確定的，客觀的物理理論，他把自己描述為一個愛因斯坦的忠實追隨者。
畢業以後，貝爾先是進入英國原子能研究所（AERE）工作，後來轉去了歐洲粒子物理中心（CERN）。他的主要工作集中在加速器和粒子物理領域方面，但他仍然保持著對量子物理的濃厚興趣，在業餘時間裡密切關注著它的發展。1952年玻姆理論問世，這使貝爾感到相當興奮。他為隱變量理論的想法所著迷，認為它恢復了實在論和決定論，無疑邁出了通向那個終極夢想的第一步。這個終極夢想，也就是我們一直提到的，使世界重新回到客觀獨立，優雅確定，嚴格遵守因果關係的軌道上來。貝爾覺得，隱變量理論正是愛因斯坦所要求的東西，可以完成對量子力學的完備化。然而這或許是貝爾的一相情願，因為極為諷刺的是，甚至愛因斯坦本人都不認同玻姆！
不管怎麼樣，貝爾準備仔細地考察一下，對於德布羅意和玻姆的想法是否能夠有實際的反駁，也就是說，是否真如他們所宣稱的那樣，對於所有的量子現象我們都可以拋棄不確定性，而改用某種實在論來描述。1963年，貝爾在日內瓦遇到了約克教授，兩人對此進行了深入的討論，貝爾逐漸形成了他的想法。假如我們的宇宙真的是如愛因斯坦所夢想的那樣，它應當具有怎樣的性質呢？要探討這一點，我們必須重拾起愛因斯坦昔日與玻爾論戰時所提到的一個思想實驗——EPR佯謬。
要是你已經忘記了EPR是個什麼東西，可以先複習一下我們史話的8-4。我們所描述的實際上是經玻姆簡化過的EPR版本，不過它們在本質上是一樣的。現在讓我們重做EPR實驗：一個母粒子分裂成向相反方向飛開去的兩個小粒子A和B，它們理論上具有相反的自旋，但在沒有觀察之前，照量子派的講法，它們的自旋是處在不確定的疊加態中的，而愛因斯坦則堅持，從分離的那一刻起，A和B的狀態就都是確定了的。
我們用一個矢量來表示自旋方向，現在甲乙兩人站在遙遠的天際兩端等候著A和B的分別到來（比方說，甲在人馬座的方向，乙在雙子座的方向）。在某個按照宇宙標準時間所約好了的關鍵時刻，兩人同時對A和B的自旋在同一個方向上作出測量。那麼，正如我們已經討論過的，因為要保持總體上的守恆，這兩個自旋必定相反，不論在哪個方向上都是如此。假如甲在某方向上測量到A的自旋為正（＋），那麼同時乙在這個方向上得到的B自旋的測量結果必定為負（﹣），因為它們的總和是0！
圖10.9 EPR的測量
換句話說，A和B——不論它們相隔多麼遙遠——看起來似乎總是如同約好了那樣，當A是＋的時候B必定是-，它們的合作率是100%！在統計學上，拿稍微正式一點的術語來說，（A＋，B-）的相關性（correlation）是100%，也就是1。我們需要熟悉一下相關性這個概念，它是表示合作程度的一個變量，假如A和B每次都合作，比如A是＋時B總是-，那麼相關性就達到最大值1。反過來，假如B每次都不和A合作，每當A是＋是B偏偏也非要是＋，那麼（A＋，B-）的相關率就達到最小值-1。當然這時候從另一個角度看，（A＋，B＋）的相關就是1了。要是B不和A合作也不有意對抗，它的取值和A毫無關係，顯得完全隨機，那麼B就和A並不相關，相關性是0。
在EPR裡，不管兩個粒子的狀態在觀測前究竟確不確定，最後的結果是肯定的：在同一個方向上要麼是（A＋，B-），要麼是（A-，B＋），相關性是1。但是，這是在同一方向上，假設在不同方向上呢？假設甲沿著x軸方向測量A的自旋，乙沿著y軸方向測量B，其結果的相關率會是如何呢？冥冥中一絲第六感告訴我們，決定命運的時刻就要到來了。
實際上我們生活在一個3維空間，可以在三個方向上進行觀測，我們把這3個方向假設為x，y，z。它們並不一定需要互相垂直，任意地取便是。每個粒子的自旋在一個特定的方向無非是正負兩種可能，那麼在3個方向上無非總共是23＝8種可能，如下所示：
對於A來說有8種可能，那麼對於A和B總體來說呢？顯然也是8種可能，因為我們一旦觀測了A，B也就確定了。如果A是（＋，＋，-），那麼因為要守恆保持整體為0，B一定是（-，-，＋）。現在讓我們假設量子論是錯誤的，A和B的觀測結果在分離時便一早注定，我們無法預測，只不過是不清楚其中的隱變量究竟是多少。不過沒關係，我們假設這個隱變量是H，它可以取值1-8，分別對應於一種觀測的可能性。再讓我們假設，對應於每一種可能性，其出現的概率分別是N1，N2……一直到N8。現在我們就有了一個可能的觀測結果的總表：
上面的每一行都表示一種可能出現的結果。比如第一行就表示甲觀察到A在x，y，z三個方向上的自旋都為＋，而乙觀察到B在3個方向上的自旋相應地均為-，這種結果出現的可能性是N1。因為觀測結果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，這個各位都可以理解吧？
現在讓我們來做一做相關性的練習（請各位讀者拿出一些勇氣，我保證其中只用到小學數學的水平。不過假如你實在頭暈，直接跳到本章末尾也問題不大）。我們暫時只察看x方向，在這個方向上，（Ax＋，Bx-）的相關性是多少呢？我們需要這樣做：當一個記錄符合兩種情況之一：當在x方向上A為＋而B同時為-，或者A不為＋而B也同時不為-，如果這樣，它便符合我們的要求，標誌著對（Ax＋，Bx-）的合作態度，於是我們就加上相應的概率。相反，如果在x上A為＋而B也同時為＋，或者A為-而B也為-，這是對（Ax＋，Bx-）組合的一種破壞和牴觸，我們必須減去相應的概率。
從上表可以看出，前4種可能都是Ax為＋而Bx同時為-，後4種可能都是Ax不為＋而Bx也不為-，所以8行都符合我們的條件，全是正號。我們的結果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以（Ax＋，Bx-）的相關為100%。這毫不奇怪，因為我們的表本來就是以此為前提編出來的。如果我們要計算（Ax＋，Bx＋）的相關，那麼8行就全不符合條件，全是負號，我們的結果是Pxx＝-N1-N2-…-N8＝-1。
接下來我們要邁出關鍵的一步，取兩個不同的方向軸！A在x方向上為＋，而B在y方向上也為＋，這兩個觀測結果的相關性是多少呢？現在是兩個不同的方向，不過計算原則是一樣的：要是一個記錄符合Ax為＋以及By為＋，或者Ax不為＋以及By也不為＋時，我們就加上相應的概率，反之就減去。讓我們仔細地考察上表，最後得到的結果應該是這樣的，用Pxy來表示：
Pxy＝-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8
嗯，蠻容易的嘛，我們再來算算Pxz，也就是Ax為＋同時Bz為＋的相關：
Pxz＝-N1＋N2-N3＋N4＋N5-N6＋N7-N8
再來，這次是Pzy，也就是Az為＋且By也為＋：
Pzy＝-N1＋N2＋N3-N4-N5＋N6＋N1-N8
好了，差不多了，現在我們把玩一下我們的計算結果，把Pxz減去Pzy再取絕對值：
|Pxz-Pzy|＝|-2N3＋2N4＋2N5-2N6|＝2 |-N3＋N4＋N5-N6|
這裡需要各位努力一下，超越小學數學的水平，回憶一下初中的知識。關於絕對值，我們有關係式|x-y| ≤|x|+|y|，所以套用到上面的式子裡，我們有：
|Pxz-Pzy|＝2 |N4＋N5-N3-N6| ≤ 2（|N4＋N5|＋|N3＋N6|）
因為所有的概率都不為負數，所以2（|N3＋N4|＋|N5＋N6|）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最後，我們還記得N1＋N2＋…＋N8＝1，所以我們可以從上式中湊一個1出來：
2（N8＋N4＋N5＋N6）＝1＋(-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8)
看看我們前面的計算，後面括號裡的一大串不正是Pxy嗎？所以我們得到最終的結果：
恭喜你，你已經證明了這個宇宙中最為神秘和深刻的定理之一。現在放在你眼前的，就是名垂千古的「貝爾不等式」（Bell's inequality）。它被人稱為「科學中最深刻的發現」，它即將對我們這個宇宙的終極命運作出最後的判決[7]。
【註釋】
[1]當然，隨著各人對「計算機」這個概念的定義不同，人們也經常提到德國人Konrad Zuse在1941年建造的Z3，伊阿華州立大學在第二次世界大戰時建造的ABC（Atanasoff-Berry Computer），或者圖靈小組為了破解德國密碼而建造的Collosus。
[2]「通用機」（universal machine）的概念是相當費腦筋的事情，雖然其中的數學並不複雜。有興趣的讀者可以參閱一些介紹圖靈工作的文章（比如彭羅斯的《皇帝新腦》）。
[3]數字取自Deutsch 1997。
[4]所謂多項式的複雜性，指的是當處理數字的位數n增大時，算法所費時間按照多項式的形式，也就是Σnk的速度增長。多項式增長對於一種破解算法來說是可以接受的。
[5]唯一的辦法就是把密鑰長度設置得比最大的量子計算機能處理的量子比特位數還要長，這至少在可見的將來還是容易做到的。
[6]其他4個公設是：1.可以在任意兩點間畫一直線。2.可以延長一線段做一直線。3.圓心和半徑決定一個圓。4.所有的直角都相等。
[7]我們的證明當然是簡化了的，隱變量不一定是離散的，而可以定義為區間λ上的一個連續函數。即使如此，只要稍懂一點積分知識也不難推出貝爾不等式來，各位有興趣的可以動手一試。