Part 1
本章的主角屬於沃爾納‧海森堡，他於1901年出生於德國巴伐利亞州的維爾茲堡（Wurzburg），其父後來成為了一位有名的研究希臘和拜占庭文獻的教授。小海森堡9歲那年，他們全家搬到了慕尼黑，他的外祖父在那裡的一所名校（叫做Maximilian Gymnasium）當校長，而海森堡也自然進了這所學校學習。雖然屬於「高幹子弟」，但小海森堡顯然不用憑借這種關係來取得成績，他的天才很快就開始讓人吃驚，特別是數學和物理方面的，但是他同時也對宗教、音樂和文學表現出強烈興趣。這種多才多藝預示著他將來不但會成為一位劃時代的物理學家，同時也會在哲學史上留有一席之地。
圖5.1 海森堡
年輕的海森堡喜歡和同伴們四處周遊，並參加各式各樣的組織。1919年，他甚至參與了鎮壓巴伐利亞蘇維埃共和國的軍事行動，當然，那時候他還只是個大男孩，把這當成一件好玩的事情而已。對海森堡來說，更嚴肅的問題是應該為將來選擇一條怎樣的道路，這在他進入慕尼黑大學後就十分現實地擺在眼前。海森堡琢磨著自己數學不錯，於是先試圖投奔林德曼（Ferdinand von Lindemann），一位著名的數論專家門下學習純數學。結果，呵呵，令這位未來的科學巨匠臉上無光的是，他被乾脆利落地拒絕了。無奈之下，海森堡退而求其次，成為了索末菲的弟子，就這樣踏出了通向物理學頂峰的第一步。
不管身在何處，像海森堡這樣才華橫溢的人是不可能被埋沒的，他在物理上很快就顯示了更為驚人的天賦，並很快得到了賞識。1922年，玻爾應邀到哥廷根進行學術訪問，從6月12日到22日，玻爾一連做了7次關於原子理論的演講。這次訪問在哥廷根引起了巨大的轟動，甚至後來被稱為哥廷根的「玻爾節」。全德國各地的科學家都趕到哥廷根去聽玻爾的演講，而海森堡也隨著他的導師索末菲參與了這次盛會。當時才二年級的他竟然向玻爾提出一些學術觀點上的異議，使得玻爾對他刮目相看。事實上，玻爾此行最大的收穫可能就是遇到了海森堡和泡利，兩個天才無限的青年。求賢若渴的玻爾把兩人的名字牢記在心中，到了1924年7月——那時海森堡已是博士，在哥廷根波恩的手下工作——他便寫信給這個德國小伙子，告知他洛克菲勒（Rockefeller）財團資助的國際教育基金會（IEB）已經同意提供為數1000美元的獎金，從而讓他有機會遠赴哥本哈根，與玻爾本人和他的同事們共同工作一年。也是無巧不成書，那時波恩正好要到美國講學，於是同意海森堡到哥本哈根去，只要在明年5月夏季學期開始前回到哥廷根就行了。從後來的情況看，海森堡對哥本哈根的這次訪問無疑對於量子力學的發展有著非常積極的意義。
玻爾在哥本哈根的研究所當時已經具有了世界性的聲名，和哥廷根，慕尼黑一起，成為了量子力學發展史上的「黃金三角」。世界各地的學者紛紛前來訪問學習，1924年的秋天有近10位訪問學者，其中6位是IEB資助的，而這一數字很快就開始激增，使得這幢三層樓的建築不久就開始顯得擁擠，從而不得不展開擴建。海森堡在結束了他的暑假旅行之後，於1924年9月17日抵達哥本哈根，他和另一位來自美國的金（King）博士住在一位剛去世的教授家裡，並由孀居的夫人照顧他們的飲食起居。對於海森堡來說，這地方更像是一所語言學校——他那糟糕的英語和丹麥語水平都在逗留期間有了突飛猛漲的進步。
言歸正傳。我們在前面講到，1924年，1925年之交，物理學正處在一個非常艱難和迷茫的境地中。玻爾那精巧的原子結構已經在內部出現了細小的裂紋，而輻射問題的本質究竟是粒子還是波動，雙方仍然在白熱化地交戰。康普頓的實驗已經使得最持懷疑態度的物理學家都不得不承認，粒子性是無可否認的，但是這就勢必要推翻電磁體系這個已經扎根於物理學近百年的龐然大物。而後者所依賴的地基——麥克斯韋理論看上去又是如此牢不可破，無法動搖。
我們也已經提到，在海森堡來到哥本哈根前不久，玻爾和他的助手克喇默斯還有斯雷特發表了一個稱作BKS的理論以試圖解決波和粒子的兩難。在BKS理論看來，每一個穩定的原子附近，都存在著某些「虛擬的振動」（virtual oscillator），這些神秘的虛擬振動通過對應原理一一與經典振動相對應，從而使得量子化之後仍然保留有經典波動理論的全部優點（實際上，它是想把粒子在不同的層次上進一步考慮成波）。然而這個看似皆大歡喜的理論實在有著難言的苦衷，它為了調解波動和微粒之間的宿怨，甚至不惜拋棄物理學的基石之一：能量守恆和動量守恆定律，認為它們只不過是一種統計下的平均情況。這個代價太大，遭到愛因斯坦強烈反對，在其影響下泡利也很快轉換態度，他不止一次寫信給海森堡抱怨「虛擬的振動」還有「虛擬的物理學」。
BKS的一些思想倒也不是毫無意義。克喇默斯利用虛擬振子的思想研究了色散現象，並得出了積極的結果。海森堡在哥本哈根學習的時候對這方面產生了興趣，並與克喇默斯聯名發表了論文在物理期刊上，這些思路對於後來量子力學的創立無疑也有著重要的作用。但BKS理論終於還是中途夭折，1925年4月的實驗否定了守恆只在統計意義上成立的說法，光量子確實是實實在在的東西，不是什麼虛擬波。BKS的崩潰標誌著物理學陷入徹底的混亂，粒子和波的問題是如此令人迷惑而頭痛，以致玻爾都說這實在是一種「折磨」（torture）。對於曾經信奉BKS的海森堡來說，這當然是一個壞消息，但是就像一盆冷水，也能讓他清醒一下，認真地考慮未來的出路何在。
哥本哈根的日子是緊張而又有意義的，海森堡無疑地感到了一種競爭的氣氛：他在德國少年成名，聽慣了旁人的驚歎和讚賞，現在卻突然發現身邊的每一個人都毫不遜色。特別是玻爾那風度翩翩的助手克喇默斯，人家不但在物理上才華橫溢，更能極為流利地說五種不同的語言，鋼琴和大提琴的水準令人歎為觀止，這不免讓海森堡產生一絲妒意，並以他那好勝的性格加倍努力地追趕。當然，競爭是一回事，哥本哈根的自由精神和學術氣氛在全歐洲都幾乎無與倫比，而這一切又都和尼爾斯‧玻爾這位量子論的「教父」密切相關。毫無疑問在哥本哈根的每一個人都是天才，但他們卻都更好地襯托出玻爾本人的偉大來。這位和藹的丹麥人對於每個人都報以善意的微笑，並引導人們暢所欲言，探討一切類型的問題。人們像眾星拱月一般圍繞在他身邊，個個都為他的學識和人格所折服，海森堡也不例外，而且他更將成為玻爾最親密的學生和朋友之一。玻爾常常邀請海森堡到他家（就在研究所的二樓）去分享家藏的陳年好酒，或者到研究所後面的樹林裡去散步並討論學術問題。玻爾是一個極富哲學氣質的人，他對於許多物理問題的看法都帶有深深的哲學色彩，這令海森堡相當震撼，並在很大程度上影響了他本人的思維方式。從某種角度說，在哥本哈根那「量子氣氛」裡的熏陶以及和玻爾的交流，可能會比海森堡在那段時間裡所做的實際研究更有價值。泡利後來說，他很高興海森堡在哥本哈根「學到了一點哲學」。
那時候，有一種思潮在哥本哈根流行開來。這個思想當時不知是誰引發的，但歷史上大約可以回溯到馬赫。這種思潮說，物理學的研究對像應該只是能夠被觀察到被實踐到的事物，物理學只能夠從這些東西出發，而不是建立在觀察不到或者純粹是推論的事物上。這個觀點對海森堡以及不久後也來哥本哈根訪問的泡利都有很大影響，海森堡開始隱隱感覺到，玻爾舊原子模型裡的有些東西似乎不太對頭，似乎它們不都是直接能夠為實驗所探測的。最明顯的例子就是電子的「軌道」以及它繞著軌道運轉的「頻率」。我們馬上來認真地看一看這個問題。
1925年4月27日，海森堡結束哥本哈根的訪問回到哥廷根，並開始重新著手研究氫原子的譜線問題——從中應該能找出量子體系的基本原理吧？海森堡的打算是仍然採取虛振子的方法，雖然BKS倒台了，但這在色散理論中已被證明是卓有成效的。海森堡相信，這個思路應該可以解決玻爾體系所解決不了的一些問題，譬如譜線的強度。但是當他興致勃勃地展開計算後，他的樂觀態度很快就無影無蹤了：事實上，如果把電子輻射按照虛振子的代數方法展開，他所遇到的數學困難幾乎是不可克服的，這使得海森堡不得不放棄了原先的計劃。泡利在同樣的問題上也被難住了，障礙實在太大，幾乎無法前進，這位脾氣急躁的物理學家是如此暴跳如雷，幾乎準備放棄物理學。「物理學出了大問題」，他叫嚷道，「對我來說什麼都太難了，我寧願自己是一個電影喜劇演員，從來也沒聽說過物理是什麼東西！」（插一句，泡利說寧願自己是喜劇演員，這是因為他是卓別林的fans之一）
無奈之下，海森堡決定換一種辦法，暫時不考慮譜線強度，而從電子在原子中的運動出發，先建立起基本的運動模型來。事實證明他這條路走對了，新的量子力學很快就要被建立起來，但那卻是一種人們聞所未聞，之前連想都不敢想的形式——Matrix（矩陣）。
Matrix，這無疑是一個本身便帶有幾分神秘色彩，充滿象徵意味的詞語。不論是從它在數學上的意義，還是電影（包括電影續集）裡的意義來說，它都那樣撲朔迷離，叫人難以把握，望而生畏。事實上直到今天，還有很多人幾乎不敢相信，我們的宇宙就是建立在這些怪物之上。不過不情願也好，不相信也罷，Matrix已經成為我們生活中不可缺少的概念。理科的大學生逃不了線性代數的課，工程師離不開MatLab軟件，漂亮MM也會常常掛念基諾‧裡維斯，有什麼法子呢。
從數學的意義上翻譯，Matrix在中文裡譯作「矩陣」，它本質上是一種二維的表格。比如像下面這個3×3的矩陣，其實就是一種3×3的方塊表格：
讀者可能已經在犯糊塗了，大家都早已習慣了普通的以字母和符號代表的物理公式，這種古怪的表格形式又能表示什麼物理意義呢？更讓人不能理解的是，這種「表格」，難道也能像普通的物理變量一樣，能夠進行運算嗎？你怎麼把兩個表格加起來，或乘起來呢？海森堡準是發瘋了。
但是，我已經提醒過大家，我們即將進入的是一個不可思議的光怪陸離的量子世界。在這個世界裡，一切都看起來是那樣地古怪不合常理，甚至有一些瘋狂的意味。我們日常的經驗在這裡完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和習慣在量子世界裡轟然崩坍，曾經被認為是天經地義的事情必須被無情地拋棄，而代之以一些奇形怪狀的，但卻更接近真理的原則。是的，世界就是這些表格構築的。它們不但能乘能除，而且還有著令人瞠目結舌的運算規則，從而導致一些更為驚世駭俗的結論。而且，這一切都不是臆想，是從事實——而且是唯一能被觀測和檢驗到的事實——推論出來的。海森堡說，現在已經到了物理學該發生改變的時候了。
我們這就出發開始這趟奇幻之旅。
Part 2
物理學，海森堡堅定地想，應當有一個堅固的基礎，它只能夠從一些直接可以被實驗觀察和檢驗的東西出發。一個物理學家應當始終堅持嚴格的經驗主義，而不是想像一些圖像來作為理論的基礎。玻爾理論的毛病，恰恰就出在這上面。
我們再來回顧一下玻爾理論說了些什麼。它說，原子中的電子繞著某些特定的軌道以一定的頻率運行，並時不時地從一個軌道躍遷到另一個軌道上去。每個電子軌道都代表一個特定的能級，因此當這種躍遷發生的時候，電子就按照量子化的方式吸收或者發射能量，其大小等於兩個軌道之間的能量差。
嗯，聽起來不錯，而且這個模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開始問自己。一個電子的「軌道」，它究竟是什麼東西？有任何實驗能夠讓我們看到電子的確繞著某個軌道運轉嗎？有任何實驗可以確實地測出一個軌道的能量，或者它離開原子核的實際距離嗎？誠然，軌道的圖景生動而鮮明，為人們所熟悉，可以類比於行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒有任何法子讓人們真正地看到電子的這麼一個「軌道」，並實際測量一個軌道所代表的「能量」呢？沒有法子，電子的軌道，還有它繞著軌道的運轉頻率，都不是能夠實際觀察到的，那麼人們是怎麼得出這些概念並在此之上建立起原子模型的呢？
我們回想一下前面史話的有關部分，玻爾模型的建立有著氫原子光譜的支持。每一條光譜線都有一種特定的頻率，而由量子公式E1-E2=hv，我們知道這是電子在兩個能級之間躍遷的結果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒有解決我的疑問，沒有實際的觀測可以證明某一個軌道所代表的「能級」是什麼。每一條頻率為ν的光譜線，只代表兩個「能級」之間的「能量差」。我們直接觀察到的，既不是E1，也不是E2，而是E1-E2！換句話說，只有「能級差」或者「軌道差」是可以被直接觀察到的而「能級」和「軌道」卻不是。
現在，我們必須從頭審視一下傳統的模型，看看問題究竟出在何處。在經典力學中，一個週期性的振動可以用數學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅裡葉級數展開（Fourier series），它在工程上有著極為重要的應用。無論怎樣奇形怪狀的函數，只要它的頻率為ν，我們便可以把它寫成一系列的頻率為nν的正弦波的疊加。這就好比用天平稱重量，只要我們有一套尺寸非常齊備的砝碼，我們就可以用它們稱出任意重量來，精確度達到無限。好比說，假設我們的工具箱裡有n種砝碼，每種對應的重量單位是10n克，那麼顯然有：
123.456……克 ＝
1個100克+2個10克+3個1克+4個0.1克+5個0.01克+6個0.001克……的砝碼
我們的傅裡葉展開是一個意思，只不過把那n個重量為10n克的標準砝碼理解為頻率為nν的標準正弦波而已。這樣一來，任何振動也都可以表示為若干個強度為Fn，頻率為nν的「砝碼」的疊加[1]：
圖5.2 傅裡葉級數展開
回到玻爾模型中來。一個電子的運動方程是怎樣的呢？它應該是所謂的「能級」和時間的函數，在一個特定的能級X上，電子以頻率vx作週期運動，這使得我們剛學到的傅裡葉分析有了用武之地，可以將其展開為無限個頻率為nvx的簡諧振動的疊加。玻爾的理論正是用這種經典手法來處理的：簡單而言，一個能級對應於一個特定的頻率ν。
但是，海森堡現在開始對此表示懷疑。一個絕對的「能級」或者「頻率」，有誰曾經觀察到過這些物理量嗎？沒有，我們唯一可以觀察的只有電子在能級之間躍遷時的「能級差」。如果說一種物理量無論如何也觀察不到，那麼我們憑什麼把它高高供奉，當作理論的基礎呢？玻爾的原子大廈就是建築在這種流沙之上，所以終於搖搖欲墜。要拯救物理學，現在只有徹底拋棄那些幻想和猜臆，重新一步一個腳印地去尋找一塊堅實的地基才行。
一種不可言的神秘的氛圍正在四周不斷升溫蔓延，讓我們虔心地祈禱，看看將會發生些什麼怪事。如果單獨的能級X無法觀測，只有「能級差」可以，那麼頻率必然要表示為兩個能級X和Y的函數。我們用傅立葉級數展開的，不再是nvx，而必須寫成nvx,y。可是，等等,nvx,y是個什麼東西呢？它竟然有兩個坐標，這是一張二維的表格！突然之間，Matrix這個怪物在我們的宇宙裡妖詭地鋪展開來，像一張無邊無際的網，把整個時間和空間都網羅在其中。
各位可能有點不知所措。為了進一步讓大家明白問題所在，我們還是來打個簡單的比方：如今大城市的巴士大多都是無人售票的統一收費，上車就付2塊錢。不過七八十年代出生的人都應該記得，小時候那陣，車費是按照乘坐距離的長短來計價的（所以需要售票員）。不管你從哪個站上車，坐得越遠車票就相對越貴。比如說在上海，我從徐家匯上車，那麼坐到淮海路可能只要3分錢，而到人民廣場大概就要5分，到外灘就要7分，如果一直坐到虹口體育場，也許就得花上1毛錢。那真是一段令人懷念的golden old days（黃金時代）。
圖5.3 巴士車費
言歸正傳，讓我們假設有一班巴士從A站出發，經過BCD三站到達E這個終點站。這個車的收費沿用了我們懷舊時代的老傳統，不是上車一律給2塊錢，而是根據起點和終點來單獨計費。我們不妨訂一個收費標準：A站和B站之間是1塊錢，B站和C站靠得比較近，0.5元。C站和D站之間還是1塊錢，而D站和E站離得遠，2塊錢。這樣一來車費就容易計算了，比如我從B站上車到E站，那麼我就應該給0.5+1+2=3.5元作為車費。反過來，如果我從D站上車到A站，那麼道理是一樣的：1+0.5+1=2.5元。
現在玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關於車費的說明貼在車子裡讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那麼乘客們就能夠一目瞭然了。於是他就假設，A站的坐標是0，從而推出：B站的坐標是1，C站的坐標是1.5，D站的坐標是2.5，而E站的坐標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的坐標減掉終點站的坐標的絕對值，我們的「坐標」，實際上可以看成一種「車費能級」，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格裡：
這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的「車費能級」，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變量來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。
現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的「絕對坐標」是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到「C站的坐標是1.5」，或者「D站的坐標是2.5」這個結論。作為我——乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是「從C站到達D站要花1塊錢」，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不是不可觀察的所謂「坐標」，或者「能級」。
那麼，怎樣才能僅僅從這些可以觀察的事實上去建立我們的車費規則呢？海森堡說：
傳統的那個一維表格已經不適用了，我們需要一種新類型的表格，像下面這樣的：
這裡面，橫坐標是起點站，縱坐標是終點站。現在這張表格裡的每一個數字都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。
海森堡的表格和玻爾的不同，它沒有做任何假設和推論，不包含任何不可觀察的數據。但作為代價，它採納了一種二維的龐大結構，每個數據都要用橫坐標和縱坐標兩個變量來表示。正如我們不能用vx，而必須用nvx來表示電子頻率一樣。更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變量，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。在玻爾和索末菲的舊原子模型裡，用傅裡葉級數展開的電子運動方程，也必須用矩陣重新加工，把不可觀察的泥沙剔除出去，注入混凝土的堅實基礎——可實際檢驗的物理量。
但是難題來了，我們現在有一個變量p，代表電子的動量；還有一個變量q，代表電子的位置。本來，這是兩個經典變量，我們應該把它們相乘，大家都沒有對此表示任何疑問。可現在，海森堡把它們改成了矩陣的表格形式，這就給我們的運算帶來了麻煩。p和q變成了兩個「表格」！請問，你如何把兩個「表格」乘起來呢？
或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？
為了容易理解，我想讓大家做一道小學生水平的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數字，而是兩張表格：I和Ⅱ。它們的內容見下：
I：
Ⅱ：
那麼，各位同學，I×Ⅱ等於幾？這道題就當是今天的回家作業，現在我們暫時下課。
飯後閒話：男孩物理學
1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。儘管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自已，甚至說「我連一秒種的物理都不願想了」。這種政治和為人處世上的天真在後來的歲月裡也一再地顯露出來。
量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時候，31歲（還應該考慮到他並非科班出身）。而1925年，當量子力學在海森堡的手裡得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古茲密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為「男孩物理學」，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做「波恩幼兒園」。
不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。「男孩物理學」這個帶有傳奇色彩的名詞，也將成為科學史上一段永遠惹人遐想的佳話吧!
Part 3
好了各位同學，我們又見面了。上次我們佈置了一道練習題，不知大家有沒有按時完成呢？不管怎樣都好，現在我們一起來把它的答案求出來。
出於寓教於樂的目的，我們還是承接上一節，用比喻的方式來解答這個問題。大家還記得，每張表格代表了一種海森堡式的車費表，那麼現在我們的I和Ⅱ就分別成了兩條路線的旅遊巴士，在兩個城市之間來往，只不過收費有所不同而已。我們把它們稱為巴士I號線和巴士Ⅱ號線。為了再形象化一點，我們假設這兩個城市是隔著羅湖橋比鄰的深圳和香港。
這樣的話，我們的表格就有了具體的現實意義。如前面已經說明的那樣，表的橫坐標是出發站，縱坐標是終點站。所以對於巴士I號線來說，在深圳市內遊玩需要1塊車費，從深圳出發到香港則要7塊錢。反過來，從香港出發回深圳要8塊錢，而在香港市內觀光則需3塊[2]。Ⅱ號表格裡的數字與此類似。
好吧，到目前為止一切都不錯，可是，這到底有什麼意思呢？I×Ⅱ到底是多少呢？這種運算代表什麼意義呢？和我們的巴士旅遊線又有什麼關係呢？暫且不急，讓我們一步一步地來解決這個問題。
首先要把握大方向。I是一個2×2的表格，Ⅱ也是一個2×2的表格。那麼，我們有理由去猜測，它們的乘積應該也是一個2×2的表格。
位於左上角的a是多少呢？是不是簡單地把I號表左上角的1乘以Ⅱ號表左上角的2，1×2＝2就行了呢？我們要時時牢記車費表的現實意義：左上角代表了從深圳出發，還在深圳下車的總車費。1×2的確符合要求：先乘I號線在深圳遊玩一陣，隨後原地下車再搭Ⅱ號線再次市內游！總的路線是：深圳→深圳→深圳。起點和終點都在深圳，坐標在左上角，沒錯！
但是，我們忽略了另一條路線！左上角的a要求從深圳出發，最後在深圳下車，卻沒有規定整個過程全都在深圳市內！實際上，很容易想像另一條路線：深圳→香港→深圳，它依然符合起點和終點都在深圳的要求。這樣一來，我們必須先搭I號線去香港（收費7元），在香港轉搭Ⅱ號線回深圳（收費6元），它們的乘積是7×6＝42！
a最終的數值，應該是所有可能路線的疊加（深圳→？→深圳）。在本例中，只有上述兩條路線，沒有第三種可能了。所以a＝1×2＋7×6＝44。
很奇妙，是不是？我們再來看右上角的b。深圳出髮香港下車，同樣也有兩種可能的路線：深圳→深圳→香港，或者深圳→香港→香港。要麼先乘I號線深圳市內游再搭Ⅱ號線到香港（1×5），要麼先乘I號線到香港然後轉II號線香港市內游（7×4）。所以綜合來說，b＝1×5＋7×4＝33。
圖5.4 車費表的乘法
大家可以先別偷看答案，自己試著求c和d。最後應該是這樣的：c＝8×2＋3×6＝34，d＝8×5＋3×4＝52。所以：
很抱歉，我們處在一個非常奇幻的世界裡，雖然只是小學水平的數字運算，可能已經讓有些人痛苦不堪。不過大家必須承認，我們的確學到了一些新的事物，如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍Ⅱ×I：
我知道大家都在唉聲歎氣，不過我還是堅持，複習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先搭乘Ⅱ號線，然後轉I號線了。我們可以先搭Ⅱ號線在深圳市內轉搭I號線再次市內游（深圳→深圳→深圳），對應的是2×1。另外，還有一條路線：深圳→香港→深圳，所以是先搭Ⅱ號線去香港，在那裡轉搭I號線回深圳，所以是5×8＝40。所以總的來說，a＝2×1＋5×8＝42。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算裡，a＝42，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝44。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有抄筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝1×2＋7×6＝44。看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表深圳上車深圳下車。所以兩種可能的情況是：深圳→深圳→深圳，Ⅱ號線市內游收2塊，I號線1塊，所以2×1＝2。另外還有深圳→香港→深圳的路線。Ⅱ號線由深圳去香港5塊，I號線由香港回深圳8塊，所以5×8＝40。加在一起：2＋40＝42！
嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝2＋42＝44。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，難道是海森堡錯了？他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×Ⅱ ≠ Ⅱ×I。
我們不妨把結果整個算出來：
哇，真的非常不同，每個數字都不一樣，I×Ⅱ ≠ Ⅱ×I！唉，這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的數據出發，而不是靠想像和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×Ⅱ ≠ Ⅱ×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裡面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉Ⅱ號線，這和先搭乘Ⅱ號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？
好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。
他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，海森堡被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式裡去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想像是靠不住的。
雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礡的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想像的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。
海森堡後來在寫給荷蘭學者范德沃登（Van der Waerden）的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試著用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，this is the moment（是時候了），他已經作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。
飯後閒話：矩陣
我們已經看到，海森堡發明了這種奇特的表格，I×Ⅱ ≠ Ⅱ×I，連他自己都沒把握確定這是個什麼怪物。當他結束養病，回到哥廷根後，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什麼新鮮東西，正是線性代數里學到的「矩陣」！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經由一位劍橋的數學家Arthur Cayley（阿瑟·凱萊）所發明，不過當時不叫「矩陣」而叫做「行列式」（determinant，這個字後來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關係很緊密）。發明矩陣最初的目的，是簡捷地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地「重新發明」了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學基礎上發展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。
數學在某種意義上來說總是領先的。Cayley創立矩陣的時候，自然想不到它後來會在量子論的發展中起到關鍵作用。同樣，黎曼創立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。
喬治.蓋莫夫寫過一本極受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One,Two,Three…Infinity），這本書如此風靡全球，以致最近還出了一個新的中文版。蓋莫夫在書裡說，目前數學只有一個大分支還沒有派上用場（除了做做智力體操之外），那就是數論。不過蓋莫夫說這話時卻沒有想到，隨著計算機革命的到來，古老的數論已經以驚人的速度在現代社會中找到了它的位置，開始大顯身手。基於大素數原理的加密、解密和數字簽名算法（如著名的公鑰算法RSA）已經成為電子安全不可缺少的部分。我們每天上網和進行電子交易的時候，全靠它們的保護才使得黑客無法順利地竊聽你的隱私信息。我們在史話後面談到量子計算機的時候還會回到這個話題中來。
到今天為止，數論領域裡已經有許多著名的難題被解開，比如四色問題，費馬大定理。也有比如哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是也會在將來給某個物理或者化學理論開道，打造出一片全新的天地來。
Part 4
從赫爾格蘭回來後，海森堡找到波恩，請求允許他離開哥廷根一陣，去劍橋講課。同時，他也把自己的論文給了波恩過目，問他有沒有發表的價值。波恩顯然被海森堡的想法給迷住了，正如他後來回憶的那樣：「我對此著了迷……海森堡的思想給我留下了深刻的印象，對於我們一直追求的那個體系來說，這是一次偉大的突破。」 於是當海森堡到英國講學的時候，波恩就把他的這篇論文寄給了《物理學雜誌》（Zeitschrift fur Physik）,並於1924年7月29日發表。這無疑標誌著新生的量子力學在公眾面前的首次亮相。
但海森堡古怪的表格乘法無疑也讓波恩困擾，他在7月15日寫給愛因斯坦的信中說：「海森堡新的工作看起來有點神秘莫測，不過無疑是很深刻的，而且是正確的。」但是，有一天，波恩突然靈光一閃：他終於想起來這是什麼了。海森堡的表格，正是他從前在佈雷斯勞大學讀書時所學過的那個「矩陣」！
但是對於當時全歐洲的物理學家來說，矩陣幾乎是一個完全陌生的名字。甚至連海森堡自己，也不見得對它的性質有著完全的瞭解。波恩決定為海森堡的理論打一個堅實的數學基礎，7月19日，在去往一個學術會議的火車上，他遇到了泡利，並表達了希望與之合作的想法。可是泡利對此持有強烈的懷疑態度，他以他標誌性的尖刻語氣對波恩說：「是的，我就知道你喜歡那種冗長和複雜的形式主義，但你那一文不值的數學只會損害海森堡的物理思想。」
一個毛頭小伙居然對自己以前的導師說出這樣的話，在許多人看來一定是狂妄和不可一世的。不過話又說回來，不狂妄自大的泡利，還能是那個名留青史的偉大的泡利嗎？
波恩的涵養倒也是相當之好，大概沒人比他更瞭解泡利的性格了。無端端地碰了一鼻子灰後，他只好搖頭苦笑，自認倒霉，轉向自己的另外一位年輕助教：帕斯卡‧約爾當（Pascual Jordan）。約爾當和泡利相比幾乎是兩個極端：他害羞而內向，公開說話都缺少勇氣，基本上泡利所有的性格指數乘以-1就是約爾當的寫照了。但在學術上，約爾當也是毫不含糊，他和波恩兩人欣然合作，很快寫出了著名的論文《論量子力學》（Zur Quantenmechanik），發表在《物理學雜誌》上。在這篇論文中，兩人用了很大的篇幅來闡明矩陣運算的基本規則，並把經典力學的哈密頓變換統統改造成為矩陣的形式。傳統的動量p和位置q這兩個物理變量，現在成為了兩個含有無限數據的龐大表格，而且，正如我們已經看到的那樣，它們並不遵守傳統的乘法交換率，p×q ≠ q×p。
波恩和約爾當甚至把p×q和q×p之間的差值也算了出來，結果是這樣的：
h是我們已經熟悉的普朗克常數，i是虛數的單位，代表-1的平方根，而I叫做單位矩陣，相當於矩陣運算中的1。波恩和約爾當奠定了一種新的力學——矩陣力學的基礎。在這種新力學體系的魔法下，普朗克常數和量子化從我們的基本力學方程中自然而然地跳了出來，成為自然界的內在稟性。如果認真地對這種力學形式做一下探討，人們會驚奇地發現，牛頓體系裡的種種結論，比如能量守恆，從新理論中也可以得到。這就是說，新力學其實是牛頓理論的一個擴展，老的經典力學其實被「包含」在我們的新力學中，成為一種特殊情況下的表現形式。
這種新的力學很快就得到進一步完善。從劍橋返回哥廷根後，海森堡本人也加入了這個偉大的開創性工作中。11月26日，《論量子力學Ⅱ》在《物理學雜誌》上發表，作者是波恩、海森堡和約爾當。這篇論文把原來只討論一個自由度的體系擴展到任意個自由度，從而徹底建立了新力學的主體。現在，他們可以自豪地宣稱，長期以來人們所苦苦追尋的那個目標終於達到了，多年以來如此困擾著物理學家的原子光譜問題，現在終於可以在新力學內部完美地解決。《論量子力學Ⅱ》這篇文章，被海森堡本人親切地稱呼為「三人論文」（Dreimannerarbeit），也終於注定要在物理史上流芳百世。
圖5.5 波恩
新體系顯然在理論上獲得了巨大的成功。泡利很快就改變了他的態度，在寫給克羅尼格（Ralph Laer Kronig）的信裡，他說：「海森堡的力學讓我有了新的熱情和希望。」隨後他很快就給出了極其有說服力的證明，展示新理論的結果和氫原子的光譜符合得非常完美，從量子規則中，巴爾末公式可以被自然而然地推導出來。非常好笑的是，雖然他不久前還對波恩咆哮說「冗長和複雜的形式主義」，但他自己的證明無疑動用了最最複雜的數學。
不過，對於當時其他的物理學家來說，海森堡的新體系無疑是一個怪物。矩陣這種冷冰冰的東西實在太不講情面，不給人以任何想像的空間。人們一再追問，這裡面的物理意義是什麼？矩陣究竟是個什麼東西？海森堡卻始終護定他那讓人沮喪的立場：所謂「意義」是不存在的，如果有的話，那數學就是一切「意義」所在。物理學是什麼？就是從實驗觀測量出發，並以龐大複雜的數學關係將它們聯繫起來的一門科學，如果說有什麼「圖像」能夠讓人們容易理解和記憶的話，那也是靠不住的。但是，不管怎麼樣，畢竟矩陣力學對於大部分人來說都太陌生太遙遠了，而隱藏在它背後的深刻含義，當時還遠遠沒有被發掘出來。特別是，p×q ≠ q×p，這究竟代表了什麼，令人頭痛不已。
半年後，當薛定諤以人們所喜聞樂見的傳統方式發佈他的波動方程後，幾乎全世界的物理學家都鬆了一口氣：他們終於解脫了，不必再費勁地學習海森堡那異常複雜和繁難的矩陣力學。當然，人人都必須承認，矩陣力學本身的偉大含義是不容懷疑的。
但是，如果說在1925年，歐洲大部分物理學家都還對海森堡、波恩和約爾當的力學一知半解的話，那我們也不得不說，其中有一個非常顯著的例外，他就是保羅‧狄拉克。在量子力學大發展的年代，哥本哈根、哥廷根以及慕尼黑三地搶盡了風頭，狄拉克的崛起總算也為老牌的劍橋挽回了一點顏面。
保羅‧埃德裡安‧莫裡斯‧狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）於1902年8月8日出生於英國布里斯托爾港。他的父親是瑞士人，當時是一位法語教師，狄拉克是家裡的第二個孩子。許多大物理學家的童年教育都是多姿多彩的：普朗克富有音樂天才，玻爾熱愛足球運動，愛因斯坦的小提琴和海森堡的鋼琴有口皆碑，薛定諤古典文學素養極佳……但狄拉克的童年顯然要悲慘許多。他父親是一位非常嚴肅而刻板的人，給保羅制定了眾多的嚴格規矩，比如他規定保羅只能和他講法語（他認為這樣才能學好這種語言），於是當保羅無法表達自己的時候，只好選擇沉默。在狄拉克的童年裡，音樂、文學、體育、藝術顯然都和他無緣，社交活動也幾乎沒有。這一切把狄拉克塑造成了一個沉默寡言，喜好孤獨，淡泊名利，在許多人眼裡顯得geeky（古怪）的人，對於異性的敬而遠之更使人們把他和那位古怪的卡文迪許相提並論。在狄拉克獲諾貝爾獎之後，英國的報紙把他描述成「一位害怕所有女性的天才」。
有一個關於狄拉克的八卦是這樣說的：1929年，海森堡和狄拉克從美國去日本講課。在船上海森堡不停地和女孩跳舞，而狄拉克則一直坐在旁邊看。過了很長時間，狄拉克終於忍不住問海森堡：「你幹嘛要跳舞呢？」海森堡說女孩子都不錯，幹嘛不跳呢？狄拉克想了半天，小心翼翼地問：「可是，海森堡，你在跳舞之前怎麼就能預先知道她們都不錯呢？」
另一個流傳很廣的笑話：有一次狄拉克在某大學演講，講完後一個觀眾站起來說：「狄拉克教授，我不明白你那個公式是如何推導出來的。」狄拉克看著他久久地不說話，主持人不得不提醒他，還沒有回答問題。「回答什麼問題？」狄拉克奇怪地說，「他剛剛說的是一個陳述句，不是一個疑問句。」
好了，八卦到此為止，我們言歸正傳。1921年，狄拉克從布里斯托爾大學電機工程系畢業，卻恰逢經濟大蕭條，結果沒法找到工作。事實上，很難說他是否會成為一個出色的工程師，狄拉克顯然長於理論而拙於實驗。不過幸運的是，布里斯托爾大學數學系又給了他一個免費進修數學的機會，兩年後，狄拉克轉到劍橋，開始了人生的新篇章。
我們在上面說到，1925年夏天，當海森堡在赫爾格蘭島作出了他的突破後，他獲得波恩的批准來到劍橋講學。當時海森堡對自己的發現心中還沒有底，所以沒有在公開場合提到自己這方面的工作，不過7月28日，他參加了所謂「卡皮察俱樂部」的一次活動。卡皮察（P.L.Kapitsa）是一位年輕的蘇聯學生，當時在劍橋跟隨盧瑟福工作。他感到英國的學術活動太刻板，便自己組織了一個俱樂部，在晚上聚會，報告和討論有關物理學的最新進展。我們在前面討論盧瑟福的時候提到過卡皮察的名字，他後來也獲得了諾貝爾獎。
狄拉克也是卡皮察俱樂部的成員之一，他當時不在劍橋，所以沒有參加這個聚會。不過他的導師福勒（William Alfred Fowler）參加了，而且大概在和海森堡的課後討論中，得知他已經發明了一種全新的理論來解釋原子光譜問題。後來海森堡把他的證明寄給了福勒，而福勒給了狄拉克一個復本。這一開始沒有引起狄拉克的重視，不過大概一個禮拜後，他重新審視海森堡的論文，這下他把握住了其中的精髓：別的都是細枝末節，只有一件事是重要的，那就是我們那奇怪的矩陣乘法規則：p×q ≠ q×p。
圖5.6 狄拉克
飯後閒話：約爾當
恩斯特.帕斯庫爾.約爾當（Ernst Pascual Jordan）出生於漢諾威。在我們的史話裡已經提到，他是物理史上兩篇重要的論文《論量子力學》I和Ⅱ的作者之一，可以說也是量子力學的主要創立者。但是，他的名聲顯然及不上波恩和海森堡。
這裡面的原因顯然也是多方面的，1925年，約爾當才22歲，無論從資格還是名聲來說，都遠遠及不上元老級的波恩和少年成名的海森堡。當時和他一起做出貢獻的那些人，後來都變得如此著名：波恩、海森堡、泡利，他們耀眼的光輝，把約爾當完全給蓋住了。
從約爾當本人來說，他是一個害羞和內向的人，說話有口吃的毛病，總是結結巴巴的，所以他很少授課或發表演講。更嚴重的是，約爾當在第二次世界大戰期間站到了希特勒的一邊，成為一個納粹的同情者，被指責曾經告密。這大大損害了他的聲名。
約爾當是一個作出了許多偉大成就的科學家。除了創立了基本的矩陣力學形式，為量子論打下基礎之外，他同樣在量子場論，電子自旋，量子電動力學中作出了巨大的貢獻。他是最先證明海森堡和薛定諤體系同等性的人之一，他發明了約爾當代數，後來又廣泛涉足生物學、心理學和運動學。他曾被提名為諾貝爾獎得主，卻沒有成功。約爾當後來顯然也對自己的成就被低估有些惱火，1964年，他聲稱《論量子力學》一文其實幾乎都是他一個人的貢獻——波恩那時候病了。這引起了廣泛的爭議，不過許多人顯然同意，約爾當的貢獻應當得到更多的承認。
Part 5
p×q ≠ q×p。如果說狄拉克比別人天才在什麼地方，那就是他可以一眼就看出這才是海森堡體系的精髓。那個時候，波恩和約爾當還在苦苦地鑽研討厭的矩陣，為了建立起新的物理大廈而努力地搬運著這種龐大而又沉重的表格式方磚，而他們的文章尚未發表。但狄拉克是不想做這種苦力的，他輕易地透過海森堡的表格，把握住了這種代數的實質。不遵守交換率，這讓我想起了什麼？狄拉克的腦海裡閃過一個名詞，他以前在上某一門動力學課的時候，似乎聽說過一種運算，同樣不符合乘法交換率。但他還不是十分確定，他甚至連那種運算的定義都給忘了。那天是星期天，所有的圖書館都關門了，這讓狄拉克急得像熱鍋上的螞蟻。第二天一早，圖書館剛剛開門，他就衝了進去，果然，那正是他所要的東西：它的名字叫做「泊松括號」。
我們還在第一章討論光和菲涅爾的時候，就談到過泊松，還有著名的泊松光斑。泊松括號也是這位法國科學家的傑出貢獻，不過我們在這裡沒有必要深入它的數學意義。總之，狄拉克發現，我們不必花九牛二虎之力去搬弄一個晦澀的矩陣，以此來顯示和經典體系的決裂。我們完全可以從經典的泊松括號出發，建立一種新的代數。這種代數同樣不符合乘法交換率，狄拉克把它稱作「q數」（q表示「奇異」或者「量子」）。我們的動量、位置、能量、時間等概念，現在都要改造成這種q數。而原來那些舊體系裡的符合交換率的變量，狄拉克把它們稱作「c數」（c代表「普通」或者「可交換的」）。
「看。」狄拉克說，「海森堡的最後方程當然是對的，但我們不用他那種大驚小怪，牽強附會的方式，也能夠得出同樣的結果。用我的方式，同樣能得出xy-yx的差值，只不過把那個讓人看了生厭的矩陣換成我們的經典泊松括號[x,y]罷了。然後把它用於經典力學的哈密頓函數，我們可以順理成章地導出能量守恆條件和玻爾的頻率條件。重要的是，這清楚地表明了，我們的新力學和經典力學是一脈相承的，是舊體系的一個擴展。c數和q數，可以以清楚的方式建立起聯繫來。」
狄拉克把論文寄給海森堡，海森堡熱情地讚揚了他的成就，不過帶給狄拉克一個糟糕的消息：他的結果已經在德國由波恩和約爾當作出了，是通過矩陣的方式得到的。想來狄拉克一定為此感到很鬱悶，因為顯然他的法子更簡潔明晰。隨後狄拉克又出色地證明了新力學和氫分子實驗數據的吻合，他又一次鬱悶了——泡利比他快了一點點，五天而已。哥廷根的這幫傢伙，海森堡、波恩、約爾當、泡利，他們是大軍團聯合作戰，而狄拉克在劍橋則是孤軍奮鬥，因為在英國懂得量子力學的人簡直屈指可數。但是，雖然狄拉克慢了那麼一點，但每一次他的理論都顯得更為簡潔、優美、深刻。而且，上天很快就會給他新的機會，讓他的名字在歷史上取得不遜於海森堡、波恩等人的地位。
現在，在舊的經典體系的廢墟上，矗立起了一種新的力學，由海森堡為它奠基，波恩、約爾當用矩陣那實心的磚塊為它建造了堅固的主體，而狄拉克的優美的q數為它做了最好的裝飾。唯一缺少的就是一個成功的廣告和落成典禮，把那些還在舊廢墟上唉聲歎氣的人們都吸引到新大廈裡來定居。這個慶典在海森堡取得突破後3個月便召開了，它的主題叫做「電子自旋」。
我們還記得那讓人頭痛的「反常塞曼效應」，這種複雜現象要求引進1/2的量子數。為此，泡利在1925年初提出了他那著名的「不相容原理」的假設，我們前面已經討論過，這個規定是說，在原子大廈裡，每一間房間都有一個4位數的門牌號碼，而每間房只能入住一個電子。所以任何兩個電子也不能共享同一組號碼。
這個「4位數的號碼」，其每一位都代表了電子的一個量子數。當時人們已經知道電子有3個量子數，這第四個是什麼，便成了眾說紛紜的謎題。不相容原理提出後不久，當時在哥本哈根訪問的克羅尼格（Ralph Kronig）想到了一種可能：就是把這第四個自由度看成電子繞著自己的軸旋轉。他找到海森堡和泡利，提出了這一思路，結果遭到兩個德國年輕人的一致反對。因為這樣就又回到了一種圖像化的電子概念那裡，把電子想像成一個實實在在的小球，而違背了我們從觀察和數學出發的本意了。如果電子真是這樣一個帶電小球的話，在麥克斯韋體系裡是不穩定的，再說也違反相對論——它的表面旋轉速度要高於光速。
到了1925年秋天，自旋的假設又在荷蘭萊登大學的兩個學生，烏侖貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古茲密特（Somul Abraham Goudsmit）那裡死灰復燃了。當然，兩人不知道克羅尼格曾經有過這樣的意見，他們是在研究光譜的時候獨立產生這一想法的。兩人找到導師埃侖費斯特（Paul Ehrenfest）徵求意見。埃侖費斯特也不是很確定，他建議兩人先寫一個小文章發表。於是兩人當真寫了一個短文交給埃侖費斯特，然後又去求教於老資格的洛侖茲。洛侖茲幫他們算了算，結果在這個模型裡電子錶面的速度達到了光速的10倍。兩人大吃一驚，風急火燎地趕回大學要求撤銷那篇短文，結果還是晚了，埃侖費斯特早就給Nature雜誌寄了出去。據說，兩人當時懊惱得都快哭了，埃侖費斯特只好安慰他們說：「你們還年輕，做點蠢事也沒關係。」
圖5.7 烏侖貝克，克喇默斯和古茲密特
還好，事情並沒有想像的那麼糟糕。玻爾首先對此表示贊同，海森堡用新的理論去算了算結果後，也轉變了反對的態度。到了1926年，海森堡已經在說：「如果沒有古茲密特，我們真不知該如何處理塞曼效應。」一些技術上的問題也很快被解決了，比如有一個係數2，一直和理論所牴觸，結果在玻爾研究所訪問的美國物理學家托馬斯發現原來人們都犯了一個計算錯誤，而自旋模型是正確的。很快海森堡和約爾當用矩陣力學處理了自旋，結果大獲全勝，不久就沒有人懷疑自旋的正確性了。
哦，不過有一個例外，就是泡利，他一直對自旋深惡痛絕。在他看來，原本電子已經在數學當中被表達得很充分了——現在可好，什麼形狀、軌道、大小、旋轉……種種經驗性的概念又幽靈般地回來了。原子系統比任何時候都像個太陽系，本來只有公轉，現在連自轉都有了。他始終按照自己的路子走，決不向任何力學模型低頭。事實上，在某種意義上泡利是對的，電子的自旋並不能想像成傳統行星的那種自轉，它具有1/2的量子數，也就是說，它要轉兩圈才露出同一個面孔，這裡面的意義只能由數學來把握。後來泡利真的從特定的矩陣出發，推出了這一性質，而一切又被偉大的狄拉克於1928年統統包含於他那相對論化了的量子體系中，成為電子內稟的自然屬性。
不過，無論如何，1926年海森堡和約爾當的成功不僅是電子自旋模型的勝利，更是新生的矩陣力學的勝利。不久海森堡又天才般地指出了解決有著兩個電子的原子——氦原子的道路，使得新體系的威力再次超越了玻爾的舊系統，把它的疆域擴大到以前未知的領域中。已經在迷霧和荊棘中彷徨了好幾年的物理學家們這次終於可以揚眉吐氣，把長久鬱積的壞心情一掃而光，好好地呼吸一下那新鮮的空氣。
但是人們還沒有來得及歇一歇腳，欣賞一下周圍的風景，為目前的成就自豪一下，我們的快艇便又要前進了。物理學正處在激流之中，它飛流直下，一瀉千里，帶給人暈眩的速度和刺激。自牛頓起250年來，科學從沒有在哪個時期可以像如今這般翻天覆地，健步如飛。量子的力量現在已經完全甦醒了，在接下來的3年間，它將改變物理學的一切，在人類的智慧中刻下最深的烙印，並影響整個20世紀的面貌。
當烏侖貝克和古茲密特提出自旋的時候，玻爾正在去往荷蘭萊登（Leiden）的路上。當他的火車到達漢堡的時候，他發現泡利和斯特恩站在站台上，只是想問問他關於自旋的看法，玻爾不大相信，稱這「很有趣」（這就是玻爾表達不信的方法）。到達萊登以後，他又碰到了愛因斯坦和埃侖費斯特，愛因斯坦詳細地分析了這個理論，於是玻爾改變了看法。在回去的路上，玻爾先經過哥廷根，海森堡和約爾當站在站台上。同樣的問題：怎麼看待自旋？最後，當玻爾的火車抵達柏林，泡利又站在了站台上——他從漢堡一路趕到柏林，想聽聽玻爾一路上有了什麼看法的變化。
人們後來回憶起那個年代，簡直像是在講述一個童話。物理學家們一個個都被洪流衝擊得站不住腳：節奏快得幾乎不給人喘息的機會，爆炸性的概念一再地被提出，每一個都足以改變整個科學的面貌。但是，每一個人都感到深深的驕傲和自豪，在理論物理的黃金年代，能夠扮演歷史舞台上的那一個角色。人們常說，時勢造英雄，在量子物理的大發展時代，英雄們的確留下了最最偉大的業績，永遠讓後人心神嚮往。
回到我們的史話中來。現在，花開兩朵，各表一支。我們去看看量子論是如何沿著另一條完全不同的思路，取得同樣偉大的突破的。
【註釋】
[1]為了簡便起見，我們用的是指數形式
，包含正弦波 cos（x）+isin（x）。如果你是大學理科生，應該能夠理解，不然只好罰你回去溫習大一的功課。對於數學沒興趣的讀者而言，則大可不必理會其中的細節。
[2]數字只是為了簡便而用來舉例。事實上當然沒這麼便宜，換成美金差不多。