地圖投影就是把地球曲面展示在平面的紙張上。不管你如何絞盡腦汁想把世界「壓平」，你用投影的方法永遠也無法把地球的細節按其正確的相對大小、形狀、距離或方向表示出來。地圖上有些地方總是不能正確反映其實際地理位置，地圖學家的任務就是選出並保留地球上對我們當前的意圖有特殊意義的那些聯繫，盡量減少或者接受那些不可避免但不甚重要的歪曲。
如果直視地球儀，我們只能看見前面而看不到後面。要繪製一張世界地圖，就必須採用一種方法把我們看得見的半球的曲面壓平。然後必須把地圖從看不見的半球的中間剪開，把後面的2個1/4各自貼在可見半球的兩邊。簡單地說，就是必須從地球儀上把地圖一片片地「剝」下來並將其壓平，就像把柑橘皮剝開壓平一樣（圖A.1）。在「剝離」和「展平」的過程中，地圖表面不可避免地會發生斷裂，或者為了使地圖展平導致地球表面拉伸或收縮。
圖 A.1 （a）從全球範圍的地圖上被小心剝離的「小片」產生一整套錐形三角條帶，雖然每一條拉伸或壓縮不多，但總體上未能形成一張很有用的世界地圖。（b）通常認為最好把整個地球表面描繪成一個平面的圓、橢圓或矩形，以避免或盡量減少地圖的中斷。但是，面積連續性的代價只能是真實形狀、距離、方向和（或）面積相當大程度的改變。雖然本圖所示的莫爾韋德１ 投影正確地表示了面積大小，但是扭曲了形狀。
當然，製圖者並不真正對地球表面進行切割、剝離、展平或拉伸作業。他們的任務更多的是把地球儀網格或地理坐標網的緯線和經線網絡畫在或投影到平面上。有多種方法可以做到這一點。在討論地圖投影之前，談及下面這點很重要，即地球儀的球形網格中有兩種圓。一種是大圓 （great circle），即一個平面穿過球體中心時在球面上形成的圓。因此，赤道就是一個大圓，每條經線是大圓的一半。每個大圓都把地球儀切成兩半，將其分成相等的兩個半球。地球表面任意兩點間的最短距離就是大圓上連接這兩點的弧線長度。另一種是小圓 （small circle），是不通過地球中心的平面在地球儀表面形成的圓。除赤道外，所有緯線圈都是小圓。不同的投影以不同方式表示大圓和小圓。
幾何投影法
雖然所有投影均可用數學方法描述，但是其中有些可以被認為是用幾何方法而不是數學公式構建的。在幾何投影中，理論上網格系統是將地球儀轉換為一種幾何圖形，例如圓柱形或圓錐形，隨後學者就能將其剪開和鋪平（或展開）而沒有任何拉伸或撕裂（圖A.2）。我們說圓柱、圓錐和平面是可展曲面 （developable surface）——可以把圓柱和圓錐切開、展平而不變形，而平面本來就是平的。實際上，幾何投影不是把影子描摹下來，而是應用幾何學原理，把線、圓、弧和角畫在紙上。
圖 A.2 幾何投影。常用的3種幾何投影是圓柱投影、圓錐投影和平面投影。你可以這樣想像地圖投影的製作：把一個光源置於透明地球儀裡面，把一張紙如圖中所示的方式與地球儀接觸。地球儀上的網格和大陸輪廓就會被映射到紙上形成一張地圖。
設想一個透明的地球儀，兩側或外面有一個光源。地球儀上的經線和緯線（或海岸線或其他任何特徵）就會被投影到附近的平面上。投影上的地球儀網格就代表一種地圖幾何投影。如圖A.3所示，光源相對於地球儀表面的位置對可展幾何表面上的方格線投影產生相當大的變形影響。光源位於理論上無限遠處就得到正射投影（orthographic projection）。光源位於地球儀中心就產生球心投影（gnomonic projection）。光源置於對跖點——相切點正相對的兩點上，或地球儀與地圖相接觸的點上——就產生球面投影（stereographic projection）。
圖 A.3 光源位置對平面投影的影響。請注意光源移動時緯線間距出現的變化。使用圓柱投影和圓錐投影會形成完全不同的地圖網格。
圓柱投影
假如把一張紙卷貼在透明地球儀上，令其與赤道圈相切（相接），那麼該切線叫作「標準線」（standard line，如果它是一個緯度圈，就叫標準緯線），在這條線上地圖沒有變形。這張紙的高度不等於地球儀的高度，紙張遠遠延伸到兩極以外。至於球心投影，是將光源置於地球儀中心，讓光線投影到圓柱形紙筒上。結果就得到許多 圓柱投影 （cylindrical projection），所有這一切都是從包圍著地球儀的圓柱上用幾何方法或數學方法得到的。
請注意剛才投影所得的網格與真實地球儀網格的不同之處。經緯線網格如同地球儀上那樣以直角相交，投影出的經緯線分別是南北向和東西向的直線。但是經線並不像地球儀上那樣在兩極交會。相反，經緯線都是等距離、相互平行或相互垂直的線條。由於各地經線之間都是等距的，因此所有緯線長度也都相等。雖然切線（赤道）上比例不失真，但是離赤道越遠，失真越大。兩極地區向南北東西四方伸展，面積被極度誇大。圓柱投影的光源位於地球儀中心、圓柱與赤道相切，這種投影永遠無法表示兩極本身。
源自數學方法的墨卡托投影 （Mercator pr-ojection）是在圓柱與赤道相切的啟發下得到的。這是一種最常用（和誤用）的圓柱投影。墨卡托投影是1569年格拉爾杜斯·墨卡托（Gerardus Mercator）發明的，用以繪製航海圖，那時歐洲正處於世界探險的高峰期。它是航海家使用的標準投影，因為這種投影具有一種特別有用的特性：地圖上任意畫出的直線就是恆定的羅盤方位。只要沿著這條被稱為恆向線 （rhumb line）的方向走，船隻或飛機羅盤的讀數就永遠是航線和地理北極所構成的夾角（圖A.4）。其他投影都不具備圖上直線既是恆向線又指示真實方向的性質。
圖 A.4 墨卡托投影的失真。把一個完美的五角星畫在地球儀上，圖中所示就是被轉移到墨卡托地圖上五角星各點的經緯度。五角星失真的樣子反映了陸地面積的投影變形。隨緯度增高，面積擴大到除非有不同緯度比例尺的圖例，否則墨卡托地圖根本不應刊印。墨卡托投影最重要的性質是地圖上任何直線都是不變的羅盤方位，或稱恆向線，這在所有投影法中是唯一的。雖然恆向線通常並非兩個地點之間的最短距離，但是航海家會在起點和目的地之間畫一系列直線來逼近大圓弧航線。
墨卡托投影雖然是極佳的導航設備，但是也常常作為多用途世界地圖誤用於書本上或掛在牆上——因為其上遠離赤道地區陸地面積給人以極其誇大的印象。請注意圖A.4中格陵蘭好像比墨西哥大許多倍，事實上它只略微大一點。而阿拉斯加和巴西大小好像差不多，但事實上，巴西面積是阿拉斯加的5倍以上。
許多圓柱投影既不是等積的也不是正形的，例如圖A.5所示的米勒圓柱投影（Miller cylindrical projection），此類投影常用作世界地圖的底圖。米勒投影上經線和緯線之間的間距不像墨卡托投影那樣向兩極迅速增大，因此高緯度地區面積失真較小。儘管米勒圓柱投影沒有保持住地球的特性，但仍被用於地圖集和掛圖上。
圖 A.5 用數學方法產生的米勒圓柱投影。
圓錐投影
在三種可展開的幾何形式——圓柱、圓錐和平面——中，圓錐最接近真實的半球形狀。因此，圓錐投影 （conic projection）常用於描述半球或更小的地區。
此類投影中很實用而且最可視化的是單圓錐投影（simple conic projection）。試設想把一個圓錐置於地球儀一半處，與30°緯線相切，如圖A.6（a）所示。只有這條標準緯線 （standard parallel）上的距離是真實的。當然，圓錐展開時標準緯線就變成一段圓弧，其他所有緯線也變成同心的圓弧。如使用中心光源，離極地越近，緯線間距越大，因而失真也越大。
圖 A.6 （a）一條標準緯線的單圓錐投影。大多數圓錐投影經過調整，因而其中央子午線上緯線間距相等。（b）多圓錐投影。製圖時從一系列圓錐中把許多條帶東西端連接起來，每個圓錐均與不同緯線相切。這種投影與單圓錐投影不同之處在於各緯線不是同心圓弧，經線也不是直線而是曲線。雖然既非等積亦非正形，但這種投影長於展示形狀。注意圖上的星形是近於完美的五角星，不像圖A.4所示的星形那樣。
可以通過下述方法減少失真的程度：縮短中央子午線的長度，把經線上緯線的間距取成等長，並把90°緯線（南北極）畫成弧形而不是一個點。一般使用的圓錐投影大多採用這種數學調整法。如使用一條以上的標準緯線的方法，就叫作「多圓錐投影」（polyconic projection，圖A.6〔b〕）。
圓錐投影應用很廣，因為其能把失真調整到最低限度，而且要麼是等積的，要麼是正形的。然而，它不能表示地球的全貌，這是其本性使然。事實上，這種投影最常用於而且通常也局限於製作中緯度地區東西距離較長南北距離較短的地圖。許多官方地圖系列使用圓錐投影。例如美國地質調查局編繪的《美國地圖集》（ National Atlas of the United States of America ）就選用阿伯斯等積圓錐投影（Albers equal-area conic projection）。這是一種等積投影，即使像美國這樣大的面積也基本不失真，見圖A.7。
圖 A.7 用於美國許多官方地圖的阿伯斯等積圓錐投影有兩條標準緯線。所有緯線都是同心圓弧，經線為直線，經線和緯線以直角相交。這種投影最適於東西距離略長於南北距離的地區。
平面投影
平面 （或方位）投影 （planar projection / azimuthal projection）是通過把一個平面正切於地球儀上某一點來構建的。雖然該平面可以接觸製圖師想要的任何一點，但是在選擇極點的情況下，即把平面中心放在北極或南極，最容易做到可視化（圖A.8〔a〕）。
等距投影 （equidistant projection）能夠以任何地點為中心，因此十分有用，有助於校正從一點到其他任意地點的距離。因此，常用以表示從某個地點飛往其他地點的航線。如果平面置於極點以外的其他地點，則經線和緯線會變得奇形怪狀，如圖A.8（b）所示。
圖 A.8 （a）平面等距投影。經線為直線，緯線是經線上等距的圓。由於這種投影從中心到其他任何地點的距離都是準確的，因此其實用性強。如果把網格延伸以表示南半球，則南極就被描繪成一個圓而不是一個點。（b）以伊利諾伊州厄巴納為中心的平面等距投影。以英里表示的比例尺僅適用於從厄巴納開始或通過該地點的航線的距離。地圖邊緣代表厄巴納相對地點的數值被無限地拉長了。（〔b 〕Copyright 1977, Brooks and Roberts; with permission ）
由於這種投影特別適合表示極地大陸的排布，因此地圖集中常使用平面投影地圖。依靠特別的投影方法，就能夠描繪真實的形狀、面積，或兩者的折中。此外，有一種平面投影廣泛應用於導航和無線通訊。圖A.9所示的球心平面投影（gnomonic planar projection）是唯一能以直線表示所有大圓（或部分大圓）的投影。由於大圓是兩個地點之間的最短距離，因此航海家只須把兩點之間連一直線就可以找到最短航線。
圖 A.9 球心投影是唯一將所有大圓呈現為直線的投影。恆向線為曲線。從這種意義上說，它和墨卡托投影正相反，後者恆向線為直線而大圓為曲線（圖A.4）。注意一個地區的形狀和面積隨其離中心點的距離增加而失真加大。這種地圖不是等角、等積或等距的。
數學投影
上述所有幾何投影均可看作是由把地球儀網格投射到圓柱、圓錐或平面上形成的。但是，許多投影卻不能按簡單的幾何形狀分類。這些投影由數學公式產生，並且通常是用一種視覺上可接受的方式來展示全球或其中一部分。橢圓形投影是最常見的，但是，為某些特殊目的，還設計出心形、梯形、星形、蝴蝶形和其他形狀——有時很奇異——的投影。
地理學家約翰·保爾·古德（John Paul Goode）為統計製圖開發的古德等積投影（Goode\'s Homolosine）就屬於此類投影。如圖A.10所示，這種投影通常以不連片的方式表現，實際上是讓兩種不同投影（正弦曲線投影和莫爾韋德等積投影）相配合使失真最小，而且讓不連片的地圖以多條標準經線為中心，使陸地和海洋表面扭曲減少到最低限度。這種能很好表現形狀的等積投影得到了廣泛應用，尤其是在《古德世界地圖集》（Goode\'s World Atlas ）中。
圖 A.10 古德等積投影是兩種不同投影的結合。它把北緯40°和南緯40°左右的正弦投影和等積投影結合起來。為了改善大陸的形狀，每個大陸都置於一瓣當中，接近其中央經線的位置。這種投影還能把各大陸隔斷，以完整展示海洋的面積。（Copyright by the Committee on Geographic Studies, University of Chicago. Used by permission ）
理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buck-minster Fuller）是一位建築師和設計師，著名的網格球頂（geodesic dome）的發明者，製作了富勒戴馬克松投影（Fuller dymaxion proj-ection）２ （圖A.11）。這種投影由20個等邊三角形組成，每個三角形都能沿不同的邊連接，藉以表現令人感興趣的陸地之間的關係。該投影把大陸大小和形狀的變形降至最低限度。
圖 A.11 戴馬克松投影。這些等邊三角形能夠折疊成一個近似於地球的球體。
資料來源：Buckminster Fuller Institute and Dymaxion Map Design, Santa Barbara, CA. The word Dymaxion and the Fuller Projection Dymaxion Map design are trademarks of the Buckminster Fuller Institute, Santa Barbara, California, c 1938, 1967 & 1992. All rights reserved.
古德投影和富勒投影表明，投影能夠通過巧妙的處理或調整，達到想要達到的目的。由於大多數投影都是基於數學方法可靠地描述真實的地球網格，因此這種處理的可能性幾乎是無限的。把地球儀網格複製到平面地圖上，要保持地圖的特性，展示各地區的大小和形狀，以及橢圓形地圖設計，這些方面都影響著地圖學家的選擇。
有些非常有效的投影，都不是起源於歐幾里得幾何學，而是以非傳統方式進行空間轉化。距離可能以非線性方式（按時間、費用、人數，甚至感覺）量度，而表示相對空間關係的地圖就可能根據這些數據構建。圖A.12就是這種轉換的例子。
圖 A.12 以鄉村音樂歌詞表述的美國地圖。在本地圖的轉換中，如果鄉村音樂歌詞中最經常提及的那些州面積也最大，那麼美國看起來可能就是圖上所顯示的樣子。
章節摘要
把地球儀轉換成平面地圖而不發生變形是不可能的。地圖學家業已設計出幾百種可能的幾何投影和數學投影，以盡可能展示他們想要著重表現的世界的面貌和聯繫。有些投影高度專門化，局限於某個有限的目的，其他投影則得到更廣泛的接受並應用於多種用途。
１ Mollweide, or homolographic, projection。舊譯毛爾威特等積投影。——譯注
２ dymaxion是由發明人理查德·巴克敏斯特·富勒根據dynamic, maximum和ion三個詞組合而成的新詞，詞典給出的中譯為「最大限度利用能源的, 以最少結構提供最大強度的」。現在國內音譯為「戴馬克松」。——譯注