牛頓物理學的局限
我們要求進一步拓展對時空連續體的認識。
——阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein），
《狹義相對論與廣義相對論》（Relativity: The Special and General Theory，1916年）
在近兩個世紀的時間裡，宇宙是按照牛頓的理論運轉的。
他的理論主導了所有關於宇宙的探索。真的是針對世界上一切的探索：從太陽系到銀河系，比恆星更遙遠的河外星系，地球以及地球內部和表面上的東西。牛頓的宇宙受到適用於萬物、超越時空的定律的控制。（自然哲學研究第三條規律認為：「在我們可實驗的範圍之內，若某個特性存在於我們所有的實驗客體中，那麼我們就可以推定，這一特性存在於宇宙萬物之中。」）比如，在宇宙的任何角落，引力總是不變的；時間也總是以同樣的速度流逝著。運動是絕對的；但至少在理論上，我們可以以固定不變的空間（「絕對」空間）中固定不變的點作為參照物來測量運動。宇宙是靜止的、無限的，它既沒有擴張，也沒有收縮（宇宙的擴張和收縮都會改變宇宙定律的作用方式），宇宙也將永遠存在。
但從最初開始，就偶有反對之聲。
1721年，恰值牛頓的第三版《數學原理》出版前夕，數學家兼哲學家喬治·貝克萊（George Berkeley）對牛頓的絕對空間觀提出了質疑。貝克萊認為，既然人類只能通過自己的感官來判斷時空的變化，所以一切運動都是相對的——一切運動的衡量都必須以我們自身所處的位置，我們的理解為參照。提出「絕對」空間的存在理論上逾越了科學所能界定的範圍；這一理論事實上進入了哲學的領域。在論文《論運動》（De motu）中，他尖銳地寫道：「自然哲學家要安分守己，好好做自己的實驗，去得出他自己的運動定律、機械原理等結論；如果他要想對別的領域說三道四，他最好參考一下在該領域更高層次科學中被普遍接受的觀點。」
換句話說，牛頓應該專心研究他的數學方程式，至於絕對存在的問題還是留給「更高層次」的哲學科學來探討吧。貝克萊建議他「把運動當作可感知的現象……並且……悅納現有的方法」。1
然而，在實踐中，牛頓的物理學理論取得了勝利——因為它在實際應用中相當成功。
事實上，就連牛頓本人也沒有料想到他的物理學理論在實際應用中會這麼成功。牛頓的引力定律和運動定律使人類得以十分精確地預測出天體的運動。但另一方面，由於太陽系的引力過於複雜加之各天體之間相互作用，不停變動，引力定律自身不可能無限地適用下去；因此，牛頓似乎認為，上帝會不時地「重置」以保持這微妙的平衡狀態。當然，在牛頓看來，最初要讓這樣一個複雜的系統運行起來，一定要有上帝的參與。在17世紀90年代早期，他曾這樣寫道：「雖然引力使得行星圍繞太陽運動，然而，他們圍繞各自軌道所做的橫向運動則必須是借助上帝之手而完成的。」在另一封信中，他又寫道：「所以說，引力使行星運動，但如果沒有神力，行星就不會像如今這樣環繞太陽做圓周運動。」2
《數學原理》首次面世一個世紀之後，法國數學家兼天文學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）試圖通過計算來證明牛頓的物理學理論不僅可以解釋太陽系的一切運動，還可以解釋其永恆的穩定狀態。他最終耗時25年之久，完成了一部長達五卷的著作。
他最終成功了。後來，據說拿破侖皇帝（拉普拉斯曾短期出任拿破侖皇帝的內政部長）曾批判了這部五卷本的《天體力學》（Treatise on Celestial Mechanics），因為其中根本沒有提到上帝。拉普拉斯是這樣回答的：「大人，我並不需要上帝存在這一假設。」3
不管這一段對話是否發生過，拉普拉斯的答案都是正確的。但這並不是無神論的宣言，只不過是事實陳述罷了。太陽系不需要借助上帝的手指來回歸原位。
事實上，在拉普拉斯另一本較少涉及數學、更暢銷的《宇宙體系論》（System of the World）一書中，他還指出，上帝的手指從一開始就是多餘的。牛頓的引力定律認為，太陽和各行星本是由一團旋轉的、由氣體顆粒構成的雲團相聚而成的，它們互相吸引，聚在一起成為我們如今所見到的形態。哲學家伊曼努爾·康德（Immanuel Kant）在這不久前提出過相似的理論。這是一個非常偉大的理論，難以證明，但是與拉普拉斯一致，對牛頓定律提供了支持：它們完全可以解釋整個宇宙。此外，其他的原理或解釋都是多餘的了。4
至少，只有當你遠離太陽系，到達宇宙的更神秘的更深處時，牛頓的理論才會失去效用。
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但是，儘管第三定律已經存在，牛頓卻從未真正將他精心設計的機制延伸應用於宇宙更遠的角落。對他來說，「宇宙」就只是已知部分的宇宙：恆星、行星以及其他可以觀測的、追蹤的、繪製成圖的天體。他假定宇宙是無限的；因為在有限的宇宙中，一切都會最終被引力拖向中心；用他的話說：「這一空間之外的物質由於引力的作用，會朝著內部的物質移動，最終落入整個空間的中心，就在這裡形成了一個巨大的球狀物質團。」但在一個無限的宇宙中，物質顆粒會受到來自各方的均等的作用力，最終形成一種平衡，稱之為「穩態」（stasis）。5
萬有引力學說認為所有的天體團（恆星、行星、星系）都應在無限的宇宙中近乎平均地分佈，但人類借助日益先進的望遠鏡觀測到的天體團是不規則分佈的：有的聚成大塊兒，有的稀疏分散，有的形成星系團。
而且這些天體團也並非靜止的。拉普拉斯去世50年後，英國天文學家威廉·哈金森（William Huggins）斷言：相對於地球的位置，恆星在不停地運動。奧地利物理學家、基督徒克裡斯汀·多普勒（Christian Doppler）此前不久曾表示：當發聲物體或接收聲波的物體的位置發生變動時，聲波的頻率就會變化。隨後不久，法國研究人員阿曼德·菲佐（Armand Fizeau）又將「多普勒效應」延伸應用於光的波長。哈金森測量了恆星光的變化（「光譜線……的移動」），通過這些數據證明天狼星（以及眾多其他恆星）正離我們越來越遠，其他一些恆星則正向我們靠近。「總的來說，」他寫道，「光譜上顯示正逐漸遠離地球的恆星……都分佈在武仙座（Hercules）正對的那片天空上，而武仙座附近的恆星……則顯示正在接近地球。」6
這一運動是難以用牛頓的理論體系來進行解釋的。
哈金森通過測量，得到了出人意料的數據；與此同時，數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss）正在向一切測量的基礎——歐幾里得幾何——提出挑戰。（歐幾里得幾何假定宇宙萬物都只有三個維度：長、寬、高——分別表示為x、y、z三個軸。）[1]由於我們就生活在一個三維世界中，所以憑直覺，人們都贊同歐幾里得幾何定律。但是高斯認為，無限宇宙的運行規律複雜得很，絕不會僅僅局限於那些三維論者所能理解的簡單規律。他曾致信同事海因裡希·舒馬赫（Heinrich Schumacher），信中寫道：「能力有限的人類怎可聲稱自己可以借助普通的觀測方法認識無限的世界。」7
高斯研究的是二維幾何和曲面幾何。（球體的曲度可以通過曲面上的某個單一的點計算得出，這意味著，這個單一的點周圍不需要三維空間圍繞就能發生彎曲——這無疑是與歐幾里得定律唱反調。）但是，高斯無法提出一整套理論公之於眾，來支撐自己的觀點，取代歐幾里得幾何定律。他曾寫信給一位朋友，信中說：「也許只有在來世，我們才能對空間的本質有個更深入的瞭解，目前我們還做不到。」8
但高斯並沒有放棄，他把這個艱難的任務交給了他的學生——勤勤懇懇卻英年早逝的波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。黎曼接過這個挑戰，並全身心投入進去；由於工作過度，他的精神一度陷入崩潰。但他還是堅持了下來，於1854年把自己的研究成果展示給了哥廷根大學（University of Gottingen）的教授們。
黎曼提出還存在第四個維度。第四維度只可以通過代數方法來描述，無法直觀化；它只能通過隱喻的手法來解釋，理論物理學家加來道雄（Michio Kaku）就給出了一個相當好的解釋：
黎曼想像，在一張紙上生存著一種二維生物。但是，他的關鍵性突破在於把這些書蟲放在了一張褶皺的紙上。那麼，在這些書蟲的眼中，世界是怎樣的呢？黎曼認為，它們依舊會認為，它們的世界是平的。因為它們的身體也隨紙張褶皺，所以它們永遠也不會發現它們所在的世界是扭曲的。但是，黎曼說道，一旦這些書蟲試著在這張褶皺紙上四處移動，他們就會意識到有一種神秘的、不可見的「力量」正阻礙它們，讓它們無法直線運動。每次經過紙張的折痕處，它們就會被迫向左或向右運動。9
黎曼隨後以我們所在的三維世界代替那張二維的紙，想像三維世界在四維空間中被折出了褶皺。我們可能很難發現我們所在的宇宙是扭曲的。但是，我們能即刻意識到，每當我們試著走直線時，事情總不會那麼順利。我們的步態如醉酒者搖搖晃晃，好像是被一種不可見的力量左右拖拽一樣。
第四維度的存在意味著，不管是歐幾里得幾何定律，還是牛頓的物理學理論，都沒能真實反映宇宙的模樣。第四維度的存在意味著引力、磁場和電並非神秘的、不可見的、作用於物體的「力量」。相反，它們是幾何的效應，是由於第四維度的扭曲而造成的。
這為我們觀察世界提供了一個驚人的新方法：這一方法迅速吸引了一位數學家的注意，因為計算這些「力量」如何起作用所用的方法要比牛頓物理學理論所提到的計算方法要簡單得多。然而，要計算出這些數據是一項龐大的工程。黎曼1866年就死於結核病，享年39歲。直到去世之前，他還在努力計算著。
七年後，英國數學家威廉·克利福德（William Clifford）將黎曼為哥廷根大學教師所做的令人振聾發聵的演講稿譯成了英文。這是該演講稿首次被譯成英文並發表在《自然》雜誌上。克利福德認為，我們也可以用第四維度的扭曲來簡單地解釋運動。克利福德寫道：「我們所說的物質運動這一現象中所發生的，其實就是空間曲度的變化。」10
從數學角度對該理論進行的研究遙遙領先於其實際應用：物理學家和天文學家後來才將該理論應用於現實世界，或用於解釋實際的現象。但是到了1900年，越來越多的物理學家都認為牛頓的宇宙觀正在走下坡路，剩下來要弄清楚的是，是何定律支配著這個嶄新的、非歐幾里得的宇宙？
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1900年，阿爾伯特·愛因斯坦剛剛獲得其第一個學術學位〔他畢業於蘇黎世工業學院（Polytechnical Institute of Zurich）〕。跟大多數畢業生一樣，他面臨著巨大的就業壓力。
他曾希望能在學術界找一份工作，從事一些高等研究。但是沒能找到任何職位。後來有個朋友主動幫他在位於伯爾尼（Bern）的瑞士專利局拿到了一次面試機會，他接受了。1902年，他成了這裡的三級技術專家——一名需要接受培訓的專利權審查員。11
這份工作非常適合愛因斯坦，既符合他的秉性（這份工作給人一個安靜、獨處的環境，這給他足夠的思考時間），他所接收的教育也適合這份工作（他的工作是評估專利，其中包括電磁——愛因斯坦非常感興趣的一個領域）。1905年，他努力尋覓升職成為二級技術專家的機會，並圍繞電、磁以及相關的時間、空間和運動等問題撰寫了五篇論文。其中有一篇論文專門研究液體中微粒的運動，其他的則研究原子的運動、光的構成等。在其中一篇論文中，他提出了質能轉換公式：
E = mc2
公式中「c」指的是光速。
愛因斯坦認為他在1905年6月30日完成的那篇論文或許具有特殊的意義。儘管從論文標題〔《關於運動物體的電動力學研究》（「On the Electrodynamics of Moving Bodies」）〕中，很難發現有什麼革命性的觀點，並且這篇論文只不過是「對時空理論的小修小補」（愛因斯坦致信朋友時如此寫道），但這篇論文則是愛因斯坦對他後來所提出的狹義相對論的初步探索。
這篇論文旨在調和兩種截然不同的定律的衝突。其一是自伽利略時期就盡人皆知的相對性原理。相對性原理是啟蒙思想的基石，是經典的培根式假設。相對性原理規定，一個物理學原理在所有的相關參照系中的作用方式必須是相同的。後來，他修改了論文，使之能為普通大眾讀懂，他用了火車的例子：有一輛火車正沿著鐵軌勻速行駛，鐵軌旁邊是路基。火車的位置相對於路基而言在不停地變動（「轉化」），但它沒有同時發生轉動，這就叫作「一致轉化」。如果此時，天上飛過一隻烏鴉，烏鴉飛行的路線相對於路基而言同樣也是一條直線，也是勻速——這是另一種一致轉化。
站在路基上的觀察者看到的烏鴉是勻速飛行的，而站在移動的火車中的第二位觀察者看到的烏鴉的飛行速度卻與第一個觀察者看到的不同。
如果設路基為「坐標系K」，設火車為「坐標系K′」，可以推斷：
如果，以K為參照，K′是一個勻速移動卻沒有轉動的坐標系，那麼自然現象與K的相對關係遵循的法則與自然現象相對於K′之間的完全一致。12
圖25.1 愛因斯坦的火車
換句話說，對於兩位觀察者來說，儘管他們看到的烏鴉似乎是以不同速度飛行，但實際上，烏鴉仍舊是在朝一個方向勻速飛行。
非常簡單，但是，另一條物理學原理從根本上與相對論原理相矛盾。「沒有比這更簡單的物理學原理了，」愛因斯坦寫道，「即……光在真空中……以c = 300 000千米/秒的速度直線傳播。」19世紀80年代初，物理學家阿爾伯特·邁克爾遜（Albert Michelson）和化學家愛德華·莫雷（Edward Morley）發現光在真空（空氣、水以及其他的透明介質都會降低光的傳播速度）中勻速傳播，自那之後，這一規律就被反覆地驗證。「讓我們假設，」愛因斯坦提出，「這一簡單的定律……是完全可以相信的。」那麼，問題是什麼？13
想像一下，鐵軌的正上方是真空的，一道閃電出現在鐵軌正上方，閃電的方向與烏鴉飛行的方向一致。相對論原理認為，站在路基上的觀察者與火車上的觀察者所看到的閃電的速度是不同的——這就意味著光速不是恆定的。
這怎麼辦呢？似乎在相對論原理與光的勻速傳播之間必須捨棄一個；並且，如愛因斯坦所指出的，大多數的物理學家都會捨棄相對論原理（「儘管沒有任何實證數據可以駁倒這一條原理」）。但實際上，二者可以兼得——只要我們願意調整自己的時空觀。14
兩位觀察者對光速的衡量都是以秒為單位的。愛因斯坦認為，變化著的不是每秒內光的運行速度——而是秒本身。人們往往假設在宇宙任何一個角落，時間都是恆定的，但實際上，時間根本就不是恆定的。隨著觀察者的移動速度加快，時間本身也會延長或縮短。因此，儘管兩位觀察者都是在測量光的秒速，但是對於移動中的觀察者來說，一秒的時間更長。時間就是第四維度，就是這裡所增加的非歐幾里得因素；時間將歐幾里得的三維空間轉化為四維「時空」。
狹義相對論原理並沒有考慮到引力（所以用「狹義」或「限制性」來形容）。但在隨後10年中，愛因斯坦致力於引力的研究，試圖將引力作用納入相對論。
到1916年，他斷言波恩哈德·黎曼是正確的：引力是一種結果，而非一種力。質量或能量（質能轉化公式可以表示出二者的關係）導致時空（理論依據是1905年的狹義相對論）彎曲；沿著曲面自由移動的物體看似在下落，實則只是在沿著時空表面「直線」移動。（假想黎曼的書蟲並不是在一張褶皺的紙上，而是在一個橡皮球的表面；書蟲無法感知其所在宇宙的曲度，它順著球面爬行以為自己是在直線爬行，但是，置身其外的觀察者看到書蟲是在向下移動的。）
可以用太陽——質量最大的物體——所帶來的效應來檢驗該理論。相對論可以解釋一個現存的問題：水星的近日點，即水星軌道上離太陽最近的那個點，在此前的數世紀中一直在移動，或「進動」了；但是移動的距離太大，因此無法用其他星球的引力來解釋它。愛因斯坦的新理論可以對它做出解釋。
但還有另一個試驗，該試驗可以預測一個現象。如果愛因斯坦是正確的，那麼，恆星的光就會被「拉」向太陽；星光會因為太陽的質量而發生明顯的彎曲，這一點應該能夠觀測得到。
只有在日全食發生的時候，才能檢驗這個理論。1916年，《廣義相對論》（The General Theory of Relativity）一書出版；但是直到1919年，英國天文學家亞瑟·埃丁頓（Arthur Eddington）在一次日全食中進行了數據的測量，愛因斯坦的預言才得到了證實。埃丁頓的計算結果表明，星光經過太陽的時候會改變方向，改變的角度與愛因斯坦預測的一模一樣。
廣義相對論告訴我們培根式的觀察有其局限性；我們所見到的不一定是真的；常識會讓我們誤入歧途；雖然我們不能無視感官，但要知道，感官也會欺騙我們。「科學不單單是一些定律的集合，」20年後，愛因斯坦寫道，「它是人類智慧的創造，源於人類無邊無際的想像。物理學理論試圖勾勒出一幅現實的圖景，並建立其自身與廣大的、可感知的世界之間的聯繫。因此我們應該思考的是我們的理論是否已經形成了這種聯繫以及如何形成這種聯繫。」15
埃丁頓的數據將愛因斯坦的智慧的「創造」，即廣義相對論，與世界聯繫了起來。黎曼的幾何學理論也已被應用於描述實際的感官感知；物理學趕超了抽像的數學，並改變了我們對現實的認識。
阿爾伯特·愛因斯坦
《廣義相對論》
（1916年）
除了方程式，愛因斯坦論文的其他部分清晰、簡明，甚至是缺乏專業數學知識的人也能讀懂。以下版本有幾種不同的形式可供選擇，但其中羅伯特·W.羅森（Robert W.Lawson）1920年的英譯本的資源最多；大多數版本中都包含了愛因斯坦對狹義相對論所做的發現的總結。建議讀者能把兩個版本都讀一讀，因為廣義相對論是建立在狹義相對論基礎之上的。
Albert Einstein, Relativity: The Special and the General Theory, trans.Robert W.Lawson, with introduction by Roger Penrose, commentary by Robert Geroch, and historical essay by David C.Cassidy, Pi Press (hardcover, paperback, and e-book, 2005, ISBN 978-0131862616).
阿爾伯特·愛因斯坦，《狹義相對論與廣義相對論》，譯者羅伯特·W.羅森，包含羅傑·彭羅斯的導言、羅伯特·傑拉奇的評注以及戴維·C.卡西迪的史論，Pi Press（精裝，平裝，電子書，2005年，ISBN 978- 0131862616）。
[1] 高斯提出的挑戰所涉及的數學知識遠遠超出了本書的討論範圍，沒有專業知識的讀者可以在伊萊·馬奧爾（Eli Maor）的《無限之外——無限宇宙文化史》（To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite，普林斯頓大學出版社，1991年）一書中找到可資借鑒的解釋（該書包括許多數字和插圖）。