數學首次被用於測量宇宙
大多數人都沒有學過數學，他們將會覺得這一切不可思議，但是……對於精通數學的人而言……這一證據只會讓他們對此深信不疑。
——阿基米德（Archimedes），
《數沙者》（「The Sand-Reckoner」，約公元前250年）
直至此時，在科學這一嶄新領域中，數學還幾乎沒發揮過什麼作用。古希臘數學沿著獨立有時又不免有些曲折的道路發展，這條路始終沒有與自然研究有過重要的交叉。
信仰上帝的數學家泰勒斯建立了第一個抽像的、關於宇宙的數學法則，並因此廣受讚譽。希臘人並不是唯一懂得幾何的古代人——印度河河谷的數學家們早在他們之前就掌握幾何知識了——但據記載，我們認為泰勒斯之前的思想家都沒能超越具體的幾何觀測（「任何一條直徑都將圓分割成兩等份」），而進一步證明這些觀點是永遠正確的，比如說，上述法則適用於所有圓，而且在宇宙的任何地方都適用。1
泰勒斯之後，幾何——這一研究角和線，以及它們構成的圖形及其面積的學科——就發展成了希臘數學的根基和主幹。算術（數學的一個研究數字的分支）就是從幾何學中衍生出來的。數字是用於衡量面積、長度等幾何學屬性的最重要的工具。然而，衡量結果往往不會單純用數字來表示，而是用比率。
換句話說，測量一個長方形時，我們通常會這樣做：
把長標記為3英吋，寬標記為1.5英吋。但是古希臘的數學家們則會用兩邊長度之比來表示：
2 : 1
因為長與寬之比恰好等於數字2與數字1之比。
希臘人可以用比率進行加、乘以及大家在算術課上學到的所有運算。因此，數學會探討到「有理數」。有理數表示的是任何兩個整數之間的比率關係。[1]
在泰勒斯之後到柏拉圖之前的這段時間裡，在數學方面最為活躍的是畢達哥拉斯學派，構成這一學派的人都是畢達哥拉斯（Pythagoras）的追隨者；畢達哥拉斯是公元前6世紀的希臘神秘主義者，人們對他的身世一無所知。有關他生前的一些細節全部是通過後世的追隨者們才得以流傳下來，其中包括揚布裡柯（Iamblichus）。揚布裡柯生活在畢達哥拉斯之後的800多年，他耗費畢生心血撰寫了一部長達10卷的百科全書式的畢達哥拉斯教義。揚布裡柯說，畢達哥拉斯的父母都是宙斯的後裔，有謠言說，畢達哥拉斯是阿波羅之子，當畢達哥拉斯的父親外出時，阿波羅造訪了他的母親。（關於這一點，揚布裡柯表示「無法」證實，但是「沒人會否認畢達哥拉斯的靈魂是從阿波羅的領地中被送給人類的」。）2
畢達哥拉斯被尊為神靈的喉舌，他的數學法則主要作用並非是充當理解自然世界的工具，而是理解真理本身的一種方法。畢達哥拉斯教導說，數學是通向知識的唯一途徑：不借助數字就不可能對事物有真正的理解。數字擁有神諭的力量——尤其是1、2、3和4，它們組合起來可以創造出現存的所有維度。這四個數字之和「10」則是一個神聖的數字，被稱為「聖十」（tetractys）。3
畢達哥拉斯學派崇尚素食，滴酒不沾。他們相信靈魂轉世；他們進行一項神秘的黑暗儀式；他們的教義稱音符間隔揭示了宇宙深奧的真理（很久之後，這一理論被發展成為中世紀的天體和諧說）。但其奧秘教義與真實的、嚴謹的數學相交織。大多數七年級學生接觸到的第一個幾何學定理——畢達哥拉斯定理——早就為古代數學家所知（古埃及人肯定也知道），但卻是畢達哥拉斯學派首次將這一定理定義為一條普遍定律，一條適用於所有直角三角形的真理。4
這一定理似乎使得畢達哥拉斯學派意識到無理數的存在，顯然，這還是有史以來第一次。
後來許多人在書中都把這一發現歸功於公元前400年之前的畢達哥拉斯學派哲學家希帕索斯（Hippasus）。希帕索斯在研究三角形時發現，c和a之比是無法用一個個位數來表示的。這兩邊是不能通約的，因為它們沒有公約數。換句話說，我們是不可能通過畢達哥拉斯學派的那種方法用數字來表示它們之間的關係的；比如說，我們不可能說a比c等於1/3或1/4。從幾何學中發現了不可通約數，並在隨後不久帶來了算術方面的相應發現：無理數——無法以整數之比來表示的數。
圖4.1 畢達哥拉斯定理：a2 + b2 = c2
顯然，這是對畢達哥拉斯神秘主義的巨大打擊。因為該主義的基石便是：所有的自然關係都可以用比率來表示。希帕索斯的發現引起了恐慌，宇宙的怒火因此不幸降臨到了他頭上。「盡人皆知，」一位後世評論家說，「將無理數理論首次公之於眾的人死於海難，這樣，（宇宙）不可言表、難以理解的一面就將永遠不會被揭開。」5
如此強烈地規避現實世界應用的數學傳統在科學領域也許不會發揮什麼作用；畢達哥拉斯數學出現後的頭幾個世紀，不僅將外行人拒之門外，還與緩慢發展的科學新領域相分離。它是宗教而非科學，它幾乎是完全為了思考上帝，而不是為了研究塵世的事情而設計出來的。
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儘管亞里士多德學派和柏拉圖學派的科學著作中都幾乎沒有提到過數學，但是造成這一現象的出發點則完全不同。
亞里士多德只想知道事物本質是什麼，對它們的尺寸並不感興趣。在亞里士多德看來，重量、高度、圓周長、直徑：這一切都是變化的，它們無法體現自然界事物的本質。數學無法幫助他洞察一株植物的植物性（plantness），或者是水的水性（waterness）。他的自然分類法就像他的物理學一樣，利用的是事物的屬性，而非數量；比如說，血液的狀態而非心臟的尺寸，掘洞生物的習性而非洞穴的尺寸。他認為，數學（與這些屬性）是毫不相干的。
但是對柏拉圖而言，數學是極其重要的——前提是它不因與物質世界接觸而腐化。
《理想國》（Republic）第七卷中的「洞穴之喻」（Allegory of the Cave）非常有名，其中，柏拉圖對他的觀點進行了最明確的解釋。他堅稱，存在於造物主心中的那個理想的、未被腐化的完美宇宙與我們居住著的這個可見的、劣質的複製品是不同的。不懂哲學的人只能看見這個複製品。他就像一個被鎖鏈束縛在洞穴裡的囚徒，只能看到面前洞壁上外界真實事物的影子，而看不到真實的世界。囚徒一旦被釋放，並被帶到洞穴之外陽光下的世界，外面的光線會刺痛他的眼睛，令他目眩而看不清任何東西。他情願回到洞穴的樊籠中，寧可去盯著影子，也不願看到現實。
所以，不懂哲學的人一定要被慢慢地帶出「洞穴」，帶到他出生的世界，讓哲學知識的陽光包裹他。他要接受教育，去理解理想的宇宙；這樣，他就會不再滿足於那個複製品了。算術和幾何學就是達成這一轉變的工具。由於算術始於區分一些概念：單數與複數，一與多，一與無限，因此算術就擁有「一種將思維匯聚並轉化為對真實存在進行冥思的力量」。同樣，幾何學也將靈魂引向真理，並創造出了之前從未有過的「哲學精神」。6
但是只有當它們被用於處理抽像概念的時候，算術和幾何學才有這種力量。柏拉圖告誡說，算術的研究一定要「遵循哲學家的精神，而不是遵循商店老闆的精神……算術擁有非常巨大、發人深省的影響，它會驅使靈魂去理解抽像的數字，並拒絕將任何可見的或有形的物體引入討論」。幾何學的應用也一定不能像大多數幾何學家那樣（「他們心中只有應用，且總是狹隘又滑稽地對求面積、擴展運算或應用等滔滔不絕——他們混淆了幾何學的需要和生活的需要。」），幾何學應當被作為一種理解理想世界形式的方法。「通過幾何學所要獲得的知識，」柏拉圖解釋道，「是關於永恆的知識，而不是關於任何正在消亡或轉瞬即逝的事物的知識。」
事實上，柏拉圖哲學觀認為，只要不摻入任何感覺，理性就可以產生真理；因此，他對任何因觀察得出的算術結論都感到懷疑。這就讓他小心謹慎，比如說，對天文學。天文學家觀測天體過去的運動，進行分析，並通過數學計算出它們未來的位置。但是這樣的計算將觀察——人的感覺——融入數學計算中，因此也就把計算從理想的世界帶到了影子的世界。因此，柏拉圖在肯定天文學計算的價值的同時，也警告天文學家們不要自認為自己的理論真的揭示了宇宙。天文學家的結論可能只是接近真理，但絕對算不上真理。7
數學界驅逐現實世界的言論仍舊在我們心中迴響；儘管應用型數學不再被鄙夷為「開商店（之法）」，但是理論學家仍然對自己的領域「純數學」這一命題自命不凡。8
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不顧柏拉圖的鄙夷，數學家們不斷努力尋找數學和自然科學的交叉點。
其實，柏拉圖對「開商店式的」數學家們的尖刻指責可能是針對一個同代人的，這個人就是畢達哥拉斯學派的數學家阿契塔（Archytas）——他竟敢將數學應用於解決真實世界的真實問題，這使他脫離了神秘主義的行列。3世紀的傳記作家第歐根尼·拉爾修（Diogenes Laertius）稱阿契塔是「將數學原理系統地應用於機械學的第一人」。傳說阿契塔發明了一隻可以飛的木鴿子。在《政治學》（Politics）中亞里士多德不假思索地說，由於小孩子們總是安靜不下來，應該給他們一個阿契塔設計的玩具撥浪鼓，這樣就可以讓他們忙著玩撥浪鼓而「停止破壞家裡的東西」。但是，阿契塔的手稿只留下了隻言片語，且這些對我們瞭解他的科學追求毫無幫助。9
直到3世紀中期，才有一篇科學文章在調查過程中用到了數學的方法——這篇文章存留至今。這篇文章題為「數沙者」（「The Sand-Reckoner」），作者是阿基米德（Archimedes），他是西西里的錫拉庫扎城（Syracuse）的居民。10
阿基米德擁有阿契塔所不具備的優勢：一部歐幾里得（約公元前325—前265年）寫的手冊《幾何原本》（Elements）；這部手冊共有13卷，彙集了幾個世紀以來在畢達哥拉斯學派中傳播的幾何學知識，完全脫離了神秘主義和宗教思想。《幾何原本》開篇是一系列的定義（「一個點就是指一個不含其他部分的……鈍角是大於直角的角……」），然後就是歐幾里得所說的「公設」和「公理」——二者都顯而易見，因而也就不證自明瞭。其中，公設主要應用於幾何學（「所有的直角都是相等的」），而公理則應用於幾何學以及其他學科（「總體要比部分大」）。
但是，歐幾里得這部書的重點在於幾何學證明部分——他給出了一系列問題以及解法，證明了幾何學定律適用於任何場合、任何時間、任何人。再也沒有比歐幾里得的證明更明晰易懂的了。明白他的初始假設，並借助一把尺子和一副圓規，任何人（而不僅僅是具備了基本知識的內行）都可以理解他的體系。
大約700多年後，5世紀的希臘哲學家普洛克拉斯（Proclus）針對歐幾里得的《幾何原本》寫了一篇全面的評論，其中提到了一個關於歐幾里得和埃及國王托勒密一世（Ptolemy I）的家喻戶曉的故事。托勒密是亞歷山大大帝的前將軍，絕對算不上是一位學者。但是他懂得學習的價值，並試圖學習《幾何原本》，卻發現這本書的內容過多，超過了他的接受能力。因此他問歐幾里得是否有更簡單的方式能讓他理解這些原理。「先生，」歐幾里得回答道，「學習幾何學沒有坦途。」
這個故事也許是虛構的，但揭示了幾何學的一個新真理，即（通往幾何學的道路）沒有捷徑，沒有神靈啟示，無須祭祀儀式，也沒有特權。《幾何原本》將幾何學從畢達哥拉斯學派中拯救出來，將其應用於現實世界。11
隨即，阿基米德就開始利用這一新工具思考宇宙了。
阿基米德最為人所銘記的是他做出的一個發現；畢竟，要不是他，可能就不會有這個發現了。據阿基米德時代200多年之後的羅馬傳記作家維特魯威（Vitruvius）記載，國王給了阿基米德一個任務，讓他查清楚不誠實的金匠是否偷了一些鑄造皇冠的黃金，並用廉價的銀子頂替。皇冠看起來是用金子做的，重量也沒有問題。但是它是純金的嗎？
「他心裡想著這件案子，剛好他要洗澡了，」維特魯威寫道，「他進了澡盆，發現他的身體浸入水中越深，就有越多的水從澡盆裡流出來。這為他破解手頭這件案子指明了道路，他跳出澡盆，一路裸奔到家，大聲叫喊著他找到了要找的東西；他一邊跑，一邊反覆用希臘語喊著『Eureka，eureka』〔我找到（它）了〕。」他剛剛意識到，因為銀比金要輕，因此，一頂由純金做成的皇冠要比一頂相同重量的摻銀的金皇冠要小一點。所以，如果將摻假的（因此也就更大的）皇冠浸入一罐液體中，溢出的液體一定會比純金的、略小一點的皇冠所排出的液體要多。計算未摻假的皇冠應該溢出多少水，並與實際皇冠的溢水量對比，這樣阿基米德就能夠測量出皇冠中的含銀量了。Manifestum furtum redemptoris（人贓俱獲）：失竊的金子被追回了。12
維特魯威的記述並不可信，這一點是出了名的，不止一位實驗者指出，通過測量溢水量之間如此細微的差距來準確預測出皇冠的成分幾乎是不可能的。但毫無疑問的是，阿基米德掌握了故事背後的科學。在《論浮體》（On Floating Bodies）一書中，他闡明了浮力定律（「阿基米德定律」），簡單地說就是：「部分或完全浸入液體中的物體受到向上的浮力，浮力的大小等於物體所排開的液體的重量。」13
阿基米德寫了幾篇文章來擴展歐幾里得幾何學。此外，他還因一系列發明而為人稱讚，其中包括阿基米德螺旋泵（一種將水從低處提升到高處的水泵）、船舶振動篩（一種機械爪，可將發動襲擊的船隻從水中托舉起來）、天象儀，此外還有各種各樣的槓桿。以上發明大多都無從證明是阿基米德的；阿基米德可能只是改進了它們，因為從他自己寫的書中看不出是他發明了這些東西。
從書中我們看到的是一位懂得如何將自己的知識應用於解決科學問題的數學家。在他的文章《數沙者》中，阿基米德最終將幾何學用於對自然世界的研究。
《數沙者》的引言相當直截了當：要用多少粒沙子才能填滿整個宇宙？儘管這看上去不過是一個思維實驗，但別忘了希臘人習慣於用比率來計算。阿基米德的問題不僅僅是「宇宙有多大」，而是，「用我們已有的數學工具來測量宇宙是否可行」，比率就是他說的這個工具；他求索的，是要發現兩個尺寸相差巨大的自然物體之間是否存在一個有意義的關係：一粒沙和整個物質世界。
為了達到文中所說的目的，阿基米德決定採用一種尚有爭議的宇宙模型——這一模型認為太陽位於宇宙的中心。在古代，人們普遍認為，宇宙由相互交織的天體組成，各天體相當緊湊，而地球就在各個天體的中心。但是阿基米德認為這個小小的宇宙不會給他帶來多大的挑戰。
他要計算出另一套數據，它們適用於另一個宇宙模型，這個宇宙模型是由他的同代人薩摩斯島的阿里斯塔克（Aristarchus of Samos）提出的。「你知道，」《數沙者》開篇寫道，「『宇宙』是大多數天文學家給以地球為中心的天體起的名字……但是薩摩斯島的阿里斯塔克寫了一本書，書中包括（這個）假設……即恆星和太陽是固定不動的，地球圍著太陽做圓周運動，太陽位於軌道的中心。」14
據阿里斯塔克所說，恆星與宇宙中心的距離相當於1億個地球直徑那麼遠——這比地心模型中的距離要遠太多太多。為了讓宇宙更大，阿基米德規定「地球直徑」（未知量）應該是100萬個視距的距離。
100萬個視距距離就接近於10萬英里，這就太大了；地球的直徑實際上只有約7900英里，且不同位置測量的直徑也有差別。儘管如此，阿基米德關於宇宙尺寸的計算卻得到了一個小得滑稽的結果。他推算宇宙的直徑約為10萬億英里，我們現在知道10萬億英里還不到2光年；1光年大約是6萬億英里，而僅僅銀河星系的直徑就大約有12萬光年。15
但是，實際的尺寸也無關緊要了。重要的是一個更大的問題：「用數學的語言來描述一個比我們過去所測量過的任何物體都大的實體是否可能？」
對於這個問題，阿基米德可以給出一個響亮的答覆：「可以。」
儘管要表達出來真的有點兒複雜。希臘數字無法數出這麼多沙粒。希臘書寫體系中最大的數字就是「萬」（myriad），即10 000，希臘語寫作「M」。「萬」也可以與其他數字相組合，比如說，既然ε（epsilon，希臘語的第五個字母）代表5，Με組合在一起就代表了5×10 000，即50 000。
用這一體系可以表示的最大數字就是「萬萬」了，或者說是萬乘以它自身：1億（100 000 000）。阿基米德需要更多的數字。因此當他最多到了100 000 000時，他又設計出將「萬萬」作為一個位運算，寫作βΜ （β，即beta，代表2）。這就意味著他現在可以寫出「億」的倍數；比如說5億（500 000 000）就是βΜε。16
這可真算不上是世界上最簡練的數字系統（舉個例子來說吧，785 609 574 104必須寫作
）[2]，但是這一系統可以讓阿基米德計算出要用1051顆沙粒才能填滿阿里斯塔克的日心宇宙。這是科學家首次迫使數學服務於科學的目的，而不是科學服務於數學。阿基米德沒有試圖去將宇宙塑造成完美的、抽像的或者按照數學知識理想化的模型，他重塑了數學語言，使其與宇宙現實相吻合。
此外，他還傳達了另一條非常清晰的信息。幾個世紀以來，沙子代表了不可數的事物；「多如沙粒」、「多如繁星」，這樣的語言等於是說：「這些都超過了我們的計數能力。」選擇沙子來度量這個被恆星填滿的天空，阿基米德借此做出了一個新的斷言：宇宙中沒有人類不可數或不可理解的事物。
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阿基米德
（約公元前287—前212年）
《數沙者》
讀者可以找到19世紀托馬斯·希思（Thomas Heath）經典譯作的免費電子書。
Archimedes, The Works of Archimedes, trans.T.L.Heath, Cambridge University Press (e-book, 1897).
阿基米德，《阿基米德文集》，譯者T.L.希思，劍橋大學出版社（電子書，1897年）。
多佛出版社（Dover）的紙質版本不僅包括了《數沙者》，也包括希思的序言以及阿基米德其他8篇較短的文章，比如《論球和圓柱》（「On the Sphere and Cylinder」）和《圓的度量》（「Measurement of a Circle」）。
Archimedes, The Works of Archimedes on Mathematics, trans.Thomas L.Heath, Dover Publications (paperback, 2013, ISBN 978-0486420844).
阿基米德，《阿基米德的數學文集》，譯者托馬斯·L.希思，多佛出版社（平裝，2013年，ISBN 978-0486420844）。
希思的譯本將阿基米德的希臘數字系統轉化為英國讀者可以讀懂的指數。有些地方也在括號中保留了希臘數字的表達法。
[1] 比如說，分數4 / 9，因為它是4與9之比（或者說，4除以9）；71，因為它是71與1之比（或者說，71除以1）；負11，因為它是負11與1之比（或者說，負11除以1）。也可以這樣看：一個可用比率來表示的數字總是可用a / b這樣的分數形式來表示，只要a和b都是整數，且b不為零。
[2] 感謝羅素·科特雷爾（Russell Cottrell）的在線「希臘數字轉換器」幫助我將阿拉伯數字轉化為希臘數字。