於是這兩個獨立的世界，
或者說這兩份獨立的孤獨所能互相給予的，
不是比各自孤單、羸弱時更多了嗎？
——《來自大海的禮物》
8.1 重疊的對
8.1.1 泰朵拉的發現
三月來了。從風中可以感覺到春天的氣息。
明天就是畢業典禮了……不過我才高二，其實跟我沒啥關係。今天放學後，我照常去了圖書室。活力少女正坐著研究數學。
“泰朵拉，你來得真早啊。”
“啊！學長！”她把視線從筆記本上移開，抬起頭笑了笑。
“是村木老師的卡片？”我在她身旁坐下。
“啊，是的。”
（重疊的對）
我們把由兩個自然數構成的組合叫作對（pair）。
(a, b) 自然數 a 和自然數 b 的對
如果對於兩個對 (a, b) 和 (c, d) 而言，存在 a + d = b + c，我們就說 (a, b) 重疊於 (c, d)，記作
。
“這問題真不可思議呢。”泰朵拉說道。
“本來就不算是個‘問題’。”我苦笑道。
“這個是……研究課題對吧？自己出題自己解……”
“沒錯。話說回來，a + d = b + c 好像有點什麼含義啊。”
“學長，這次能先聽聽我的分析嗎？”
“當然可以呀。”
“我看到這張卡片的時候，覺得這裡面的每個詞都不難。也就是說 ——
- 兩個自然數
- 構成的組合
- a + d = b + c
這些說法都不難。而且，也沒有出現像 
、
、lim 這樣的符號。可是就算這樣，把這些當成一個整體來看的話，我還是完全——完完全全不明白。這很神奇啊，明明每個詞的意思都理解，但是卻看不明白整句話。”
“是啊。”我點點頭。
“不過，可不能在這兒就氣餒，對吧？我覺得，要想找到‘不明白的初始點’，應該一步一步、踏踏實實地思考。”
“這想法很了不起嘛。”
“我最先做的，就是根據‘示例是理解的試金石’來嘗試舉出具體的例子。我首先舉的是……”
◎ ◎ ◎
我首先舉的是“對”的例子。卡片上寫著“我們把由兩個自然數構成的組合叫作對（pair）”，所以，我就在筆記本上寫了幾個對的例子。比如，假設 (a, b) 中的 a 等於 1 時，b 等於 1, 2, 3, ...，這樣一來，我們就能得到下面這些對。
然後，當 a 等於 2 時，我們就能得到下面這些對。
另外，我還隨便寫了一些對。
寫著寫著，我就想到：“原來如此。因為這些對都是由自然數構成的，所以不會出現 0”。也就是說，沒有 (0, 0), (0, 123), (314, 0) 這樣的對。
我自己都很驚奇，我竟然發現了這一點。學長你經常笑我是“總忘記條件的泰朵拉”。的確，我總是忘記條件。不過，我居然能發現“不會出現 0”這個條件。仔細思考具體例子的話，就能發現條件中的細微之處。我發現了這一點。我發現了‘我發現了這一點’……這就是“元發現”吧。
然後我就想：所有對構成的集合是什麼樣的呢？我們剛剛具體舉了幾個對，這個集合的元素就是這些對，是吧？可是，我雖然像下面這樣把這個集合寫了出來，卻並沒有什麼重大發現。
我最不明白的是卡片上寫的“重疊”這種說法，還有 這種寫法。啊……不能這麼說。這些只是說法跟寫法的問題，其實還好。真心讓我費解的是下面這個式子。這才是我“不明白的初始點”。
這個式子本身的含義是“a + d 跟 b + c 相等”，這我當然明白。可是，So what ？所以呢？
這個式子表示的，是某個對重疊於其他對的條件。這點我明白……可是這個式子到底意味著什麼呢？
式子不難，可這裡好像有一堵透明而堅硬的牆壁，而我“光”地一下撞到了牆上，沒法再往前走了。
◎ ◎ ◎
“……沒法再往前走了。”泰朵拉用雙手作出“咚咚”錘牆狀。
“話說，泰朵拉。”我說道，“你相當厲害啊！雖然你理解起來需要花很長時間，可是一旦理解了，就能把學到的東西完全消化吸收。我覺得，你這種不輕言放棄的勁兒，真的是一股巨大的力量。”
“是、是麼……”泰朵拉紅了臉。
“我也還不明白這張卡片哪裡有趣。不過，我們再用一次‘示例是理解的試金石’看看吧。”我說。
“再用一次……指的是？”
“剛才你想理解的是下面這個吧。
那麼，我們就往 a、b、c、d 裡代入具體的自然數，來看看‘重疊的對是什麼樣的’，怎麼樣？”
“啊！對啊。就是舉幾個具體的重疊的對的例子吧？我明白了。麻煩先給我點時間。”
泰朵拉緊張而專注地看向筆記本。我注視著這樣的泰朵拉。她心裡想的都直接寫在了臉上：瞪大眼睛是在想“啊，我或許明白了”；皺著眉頭是在想“不對不對”；歪著頭咬著嘴唇是在迷茫“要怎麼辦才好呢”；眼神遊移後，抬著眼看我則是在開始想“是不是問問學長比較好”……
我突然想起了泰朵拉之前說過的一句話。
“因為高考很重要。”
高考、高考、高考。我為什麼要參加高考呢？小學跟初中那會兒，我從來沒想過為什麼要參加升學考試。因為初中成績不錯，就升到這所重點高中來了。
數學、數學、數學。我為什麼要學習呢？學習眼前的事物，然後想進一步學習，就去買了書。村木老師也給我介紹了一些書。不過，以後呢？
“學長，我試著寫了幾個例子。”泰朵拉把筆記本拿給我看，“因為卡片上寫的‘對’重疊的條件就是 ，所以只要找到滿足式子 的四個自然數就行了，對吧。比方說，因為 1 + 2 = 1 + 2，所以我們只要設 a = b = 1，c = d = 2，就能得到一組重疊的對。”
“是這樣。”我說。
“此外，根據 1 + 3 = 2 + 2 這個式子，我們還能得到一組。”
“沒錯，看來能得到很多組呢。”
“嗯……對對，我舉了具體例子才注意到，如果‘外項相加’等於‘內項相加’的話，對就會重疊。比如說，a + d 就是把 a 和 d 相加……
和 
你看，這就是把‘外項’相加。然後，b + c 就是……
和 
看，把‘內項’相加了。不過到這裡，我還是覺得 So what……”
“對啊……原來如此。”
“我還發現這跟‘比’很像。比的性質是‘外項之積等於內項之積’，對吧？比如說，因為 2:3 等於 4:6，所以 2 和 6 這兩個外項的乘積就等於 3 和 4 這兩個內項的乘積。
相對地，(2, 3) 跟 (4, 5) 這兩個對重疊時，2 和 5 這兩個外項的和就等於 3 和 4 這兩個內項的和。
也就是說，對的性質是‘外項之和等於內項之和’，對吧？話說，比的性質和對的性質還真像啊！”
“是哦……”
“我還寫了一些其他的重疊的對的例子。”
“……吶，泰朵拉。我也發現了點東西，或許能帶給我們很大的啟發呢，要聽聽看嗎？”我說。
“啊？嗯，當然要聽。”
8.1.2 我的發現
“我看到這個式子，馬上就想到‘移個項吧’。
你看，這樣一來，我們就能得到下面這個式子。
換句話說，就是這麼回事。”
“誒？”泰朵拉大大的眼睛轉了轉，“學長，這就是說，當 a - b 等於 c - d，即差相等時，(a, b) 和 (c, d) 這兩個對才重疊……？”
“是這樣。”
“可、可是……我還是完全不明白。”
“我也是。這張卡片裡的‘對’，指的到底是什麼呢……”
8.1.3 誰都沒發現的事實
這裡是禮堂，現在眾人正在為明天的畢業典禮做準備。
老師和學生們正在擺椅子，以及為講台裝飾花朵。
“還不能回去麼？真沒效率呀。”盈盈說道。
“明天之前應該能準備好吧。”米爾嘉說道。
“當然了，明天就該正式上場了。”
學校委任盈盈和米爾嘉在畢業典禮上彈鋼琴伴奏。
我跟泰朵拉從圖書室回來，順路過來看了看她們兩人的情況，本來想也許大家能一起回去呢。
“你們要彈什麼？”我問道。
“《螢之光》。”盈盈回答道。
“還要彈校歌。”米爾嘉回答道。
也是，傳統曲目嘛。
米爾嘉剛開口說了個“我們”，盈盈就趕緊拿手指戳了戳她，然後兩個人就都沉默了。米爾嘉到底想說什麼呢……
“這次不是拿‘獎狀’而是拿‘證書’，對吧？”泰朵拉說著指向講台上掛著的寫有“畢業證書頒發儀式”的橫幅，“獎狀是‘表揚的文件’，證書是‘證明的文件’。”
“頒發‘證明畢業的文件’的儀式……麼？”我說道。
“畢業生就是定理唄。”米爾嘉半開玩笑地說道。
8.2 家中
8.2.1 自己的數學
我在自己的房間裡，現在是夜晚。
時針已經走過了晚上 11 點，馬上就到半夜了。
我坐在書桌前，學校的作業已經寫完，現在我要開始思考自己的數學。
自己的數學……我回憶起高一的時候。
高一的春天，村木老師建議我“每天研究自己的數學”。那時候我認為，每天研究數學是理所當然的事兒。因為我喜歡數學。但是，高中生活是很忙碌的。有很多課程，每天都要預習、複習，還有考試。當然，還有學校的活動。在這種情況下，必須有一種“每天去研究自己的數學”的意識，才能堅持到底。因此，村木老師給我的意見很寶貴。
8.2.2 表現的壓縮
老師給的那張“重疊的對”的卡片很奇妙：它並不是讓證明一個恆等式，也不是讓解方程式。卡片裡只是用由自然數構成的組合定義了“對”這個概念，並通過 
這個式子定義了“重疊”，僅此而已。
我不知道要思考些什麼，要怎麼思考。雖說按經驗而論，村木老師的卡片最多是一個讓我們“學習的契機”……
我們已經找到了幾個在由對構成的集合中成立的性質了。例如 (a, a) 這種形式的對都互相重疊，也就是下面這樣。
證明瞬間就能完成。對於任意自然數 m、n，存在 m + n = m + n，因此對 (m, m) 和對 (n,n) 重疊。
然後，把 a + d = b + c 這個式子變形成 a - b = c - d 的話，就可以說“在 ( 左, 右 ) 中，左和右的差相等的對互相重疊”。例如，差是 1 的對互相重疊。
（左 - 右 = 1）
同理，差是 -1 的對也互相重疊。
（左 - 右 = -1）
但是，所以呢？這又怎麼樣呢？我不明白……
我想起了泰朵拉說過的話。
“這就是所謂的‘裝作不知道的遊戲’吧？”
不過，我現在並沒有裝作不知道。當時，泰朵拉剛接觸到皮亞諾公理。事實上我們並沒有去思考後繼數表示的是什麼，而是只跟著公理去往下思考。跟著公理，漸漸看到了自然數的結構。公理是制約條件，制約條件衍生出結構……咦？
咦？
這次的式子 a - b = c - d 也像是一個制約條件啊……對並不是分散的。把 a - b 的差相等的對，也就是重疊的對收集起來，就能構成一個集合。這個制約條件到底會衍生出什麼樣的結構呢？
我注視著筆記本思考著。
由跟 (1, 1) 重疊的對構成的集合可以寫成下面這樣。
接下來，怎麼往下思考才好呢？
“人的心會把具體的例子壓縮。”
米爾嘉總這麼說。
“在構建具體例子的過程中，下意識地找尋規律，發現較短的表示方法”。
簡短的表示方式 —— 原來如此，用集合的內涵定義就能簡短地表示出來了。
嗯，如果以 
和 
為前提條件，就能更簡短地表示出來。
其他集合也可以這樣來表示。例如差是 1 的集合。
或者，差是 -1 的集合。
確實，比起列舉元素，這樣表示更簡短。
再進一步縮短的話……
縮短……誒？
我明白了！
我不由得站了起來。
對……會變成整數麼？
自然數是 1, 2, 3, ...，而整數是 ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...。
對！沒錯！
自然數的對的集合，會構成整數！
“差為 n 的對的集合”能夠跟“整數 n”一一對應。
我感到有種美妙的東西正在我眼前閃爍。
不過，只是有了對應關係，也沒什麼意思。
把對的集合看作整數，這是自然而然的嗎？
整數的話，就必須有點什麼嗎？
什麼才是整數的本質？
許許多多的問號從我的心底湧現。
我做了一次深呼吸。
先做個加法運算試試吧。
對的集合是整數時能馬上實現的，是加法運算。
能定義對的加法運算“
”，而不是自然數的加法運算“+”嗎？
要令 
是什麼樣的對呢？
沒有什麼公式，我也沒有在背誦什麼。
我必須真真正正地靠自己的能力來想出“對的加法運算”。
問題 8-1（對的加法運算）
定義 (a, b) 和 (c, d) 這兩個對的加法運算
8.2.3 加法運算的定義
要怎麼定義對的加法運算，才能形成跟整數的加法運算一樣，也就是同構 1 的結果呢？
1同構（Isomorphism）是在數學對像之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。——譯者注
同構是含義之源。
我按捺不住這份不可思議的興奮之情，彷彿某種東西即將產生了。
雖然自由，卻受著制約。雖然受著制約，卻 —— 自由。
必須看穿隱藏的結構。看穿之後，就能體會到一種無可替代的喜悅。
對的加法運算 —— 首先應該從哪裡開始考慮呢？
……嗯。因為我想同等看待對 (a, b) 跟整數 a - b，所以是不是只要參照整數範疇內的加法運算就可以了呢？
進行 a - b 跟 c - d 的加法運算，形成“左－右”的形式就好了吧。
很好很好，不錯啊！也就是說，左邊變成了 a + c，右邊變成了 b + d。換句話說，我想讓兩個對的和變成下面這種形式。
噢！就是說，把左邊這一堆和右邊那一堆加起來就好了麼？也就是說，使用 (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d) 這個式子來把對的加法運算定義成下面這樣，這個主意如何？感覺靠譜！
很好很好。那麼，接著就嘗試一下用對來實現與 1 + 2 對應的計算吧。例如，因為 1 = 3 - 2，所以選 (3, 2) 當作與 1 對應的對；因為 2 = 3 - 1，所以選 (3, 1) 當作與 2 對應的對。然後，根據“對的加法運算”的定義來進行計算。
嗯，很好！因為 6 - 3 = 3，所以說得通！
說得通……不，等一下。這是理所當然的啊！我想說明的跟這個很像，但又不是這個……嗯，腦子亂了，整理一下吧。我現在想要對比思考整數和對，“=”和“
”，還有“+”和“”。感覺這些都能整理成統一的形式，可是……
……對啊，先別管加法運算了，“相等”這個概念都還亂七八糟著呢。我還沒有好好定義 (a, b) 跟 (c, d) 這兩個對相等指的是什麼。合適的定義應該是像下面這樣的。
然後，讓我擔心的事情是下面這些。
在像 這樣定義了對的加法運算後，對於以下 X, Y, Z, 
成立。
- 跟 (a, b) 重疊的任意對 X
- 跟 (c, d) 重疊的任意對 Y
- 跟 (a + c, b + d) 重疊的任意對 Z
因為 成立，所以感覺“對”是“整數”。這樣，就能發現下面這樣的“兩個世界”的對應關係。
這個發現真是讓人心跳不已。
解答 8-1（對的加法運算）
可以用以下式子定義 (a, b) 跟 (c, d) 這兩個對的加法運算。
啊！難不成，跟 (a, a) 重疊的對與整數 0 對應？
喔喔！難不成，把 (a, b) 的左右互換而得到的 (b, a) 是？
好，我要試著更進一步發掘這個對的性質！
8.2.4 教師的存在
現在是凌晨兩點，我站在廚房裡。
往杯子裡倒上水，一口氣喝光。
我之後又定義了對的符號變換、對的減法運算、對的大小關係。
用自然數的對來定義整數。有意思。
構建新的數字的世界也是數學呀。數學，真是一個越學越深奧、越學越廣闊的世界。
我看著杯中殘留的水滴，想到村木老師。老師向我們提出了一個不太難又不太簡單的問題。
“換成你，會怎麼挑戰這道題？”
會對你說上面這種話的人，其存在本身就很珍貴。教師的存在……麼？
好的，看來整數也能做了，那就睡吧。哈哈，說什麼“整數也能做了”，搞得像拼裝塑料模型似的。我邊哧哧地笑著邊做著睡覺的準備。
在關上臥室燈的那一剎那，泰朵拉的話突然在我腦海裡一閃而過。
“比的性質是‘外項之積等於內項之積’……”
然而，還沒來得及研究這句話的含義，我就進入了夢鄉。
8.3 等價關係
8.3.1 畢業典禮
今天是畢業證書頒發儀式 —— 我現在在禮堂。
畢業生接二連三登上講台，領取畢業證書。
明年的現在，我會是怎樣的心情呢……我邊這麼想著，邊打了個哈欠。昨晚完全沒睡夠。
校長致辭、嘉賓寒暄……儀式安靜而嚴肅。現在總算要結束了，負責主持的老師走向麥克風，麥克風輕輕“嗡”了一聲。
——畢業生，退場。
《螢之光》的旋律開始流淌。畢業生依次起立，從在校生中間穿過，走出禮堂。我們這些在校生則用掌聲為他們送別。我正要再打個哈欠 —— 卻突然睜開了眼。
剎那間，畢業生的腳步停下了。
剎那間，在校生的掌聲也停下了。
因為此時響起了一首新的樂曲，它的旋律好似從《螢之光》中流淌出來一般。
這是我們熟悉的旋律。這……
是校歌。
校歌跟《螢之光》同時流淌而出。
大家的目光一下子都集中到鋼琴那邊。
正在那兒彈奏的，是盈盈和米爾嘉。
她們在用重混 2 的手法彈奏《螢之光》跟校歌。
2重混（Remix）是一種音樂技術，應用於歌曲的原來版本，經過重新混音，形成另一種版本。——譯者注
誒？還能把這兩首歌混在一起彈？
和弦 3 要怎麼辦？
3在音樂理論裡，和弦（Chord）是指組合在一起的兩個或更多不同音高的音。——譯者注
不過，兩種旋律都沒遭到破壞，都在優美地流淌著。
在《螢之光》和校歌的相互作用下——
我們心中泛起了無法言說的漣漪，滿是回憶。
我們情不自禁地回憶起在這所學校度過的日子。
迷茫、焦躁、煩惱、閒適、學習、憤怒、喜悅……
內心冷不防地被這些情緒撼動，淚水不由得湧了上來。
畢業生、在校生……當然，其中也包括我。
來到這所高中後，我遇見了米爾嘉，遇見了泰朵拉。然後，我體會到了一起學習 —— 教人、被教，比賽解題 —— 的喜悅。
“一、一、二、三。”“學、學長！”“我找到了一個很好的對應。”“放學時間到了。”“對，說的是呀！”“計算錯誤。”“小數學家？”“證明是一瞬間的事兒。”“怎麼讀啊？”“唔……”“快遞快遞！”“這樣就成了除以 0。”“啊呀呀！”“快樂的旅行。”“我一生都不會忘記。”“我已經記住了，你放心吧。”“學長，大發現大發現！”“除了表示虛數單位以外，還會有什麼呢？”“我不明白。”“如果半徑為零的話也要保持一定距離嗎？”“我會加油的！”“你還沒發現嗎？”“我有問題！”“好了，到此為止我們的工作就結束了。”……
不過，時間會流逝，時間在流逝。數學超越時間留傳下來，而時間拂過眾生不斷流逝。有相遇，也有別離。
我已無法止住眼中洶湧而出的淚水。
就這樣，今年的畢業典禮閉幕了。
但淚水隨音符滲入心底，這首盛大的畢業終曲，也成為了令人難以忘懷的迴響。
8.3.2 對衍生的產物
“誒……原來用對能構成整數呀。”泰朵拉感歎道。
“是啊。”我回答。
畢業典禮這天，我們仍然在圖書室研究數學。
我跟泰朵拉講解了我昨天晚上的成果。而她似乎也被捲入了那首畢業終曲的漩渦之中，眼睛周圍又紅又腫。
“不過，再準確點兒說的話，不是對跟整數對應，而是‘由互相重疊的對構成的集合’跟‘一個整數’對應。”
“喔……”
“把對於 (a, b) 這個對進行的操作看成對於 a - b 這個整數進行的操作……”
隱約的香氣……
我一下子回頭，看向身後。
“你這麼急著回頭，是怎麼了啊？”一如既往的、冷冷的聲音。
站在我身後的是米爾嘉。
8.3.3 從自然數到整數
“我跟盈盈被叫到老師辦公室去了。”米爾嘉說道，“因為我們之前沒打招呼說要重混。”
“咦？你們挨罵了嗎？”泰朵拉問道，“明明彈奏得那麼感人……”
“倒是沒怪我們，老師也在苦笑 —— 話說，這張卡片是？”
我把“重疊的對”的卡片遞給米爾嘉，說了我得出的結論。
“唔……這樣啊。可是，你的解釋有點無聊啊。”
批評開始了！
“不過，把與 (a, b) 重疊的集合跟 a - b 作同等看待這個思路，很好啊。”
米爾嘉輕輕扶了扶眼鏡，搖了搖頭。
“為什麼村木老師要用下面這種定義呢？雖然你一下子就移項了……”
“是有什麼特殊的含義嗎？”泰朵拉說道。
“沒有那麼深奧。要是我們知道整數，用你這種方法也可以。可是，比如，假設我們‘裝作不知道’整數吧。然後，我們用自然數的組合來新定義整數。”
“定義……整數……”泰朵拉下意識地說道。
“要是我們只知道自然數，就會出現 a - b 未經定義的情況。例如，2 - 3 在自然數範圍內就是未定義的。因此，用 a - b 來定義‘重疊’不太好。”
“……原來如此。那如果換成 +，就沒關係了吧？”我也下意識地說道。
“a + d 和 b + c 的話，在自然數範圍內還不足以達成未定義的條件，所以我們可以放心地用下面這個式子來定義‘重疊的對’。”
8.3.4 圖
“還缺一點。你完全沒畫圖呀。”
又被批評了！
“你的弱點是不肯畫圖。”
“圖？可是……”
“你是這麼定義對的和的。”米爾嘉說道。
“要是我，一看到這個，就會想起‘矢量的和’……”
米爾嘉總是把向量叫作矢量。
“向量的和……啊，確實如此。它跟對的和形式完全一樣！”
“學長學姐，我越來越跟不上了……”來自於泰朵拉的投訴。
“因為 a、b 是自然數，所以先在第一象限裡畫出格點 4。”
4數學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數的點稱為格點（Lattice Point）或整點。坐標平面內頂點為格點的三角形稱為格點三角形，類似有格點多邊形的概念。——譯者注
米爾嘉拿起我的自動鉛筆，在筆記本上畫出格點。
第一象限裡的格點
“x 坐標是 a，y 坐標是 b 的格點可以視為矢量 (a, b)，也可以視為對 (a, b)。那麼，就這個格點的所有情況的集合來說，我們應該如何用圖來表示‘重疊’這個概念呢？如果能用圖表示出來，那麼我們也就能明白，村木老師為什麼要用‘重疊’這個詞了。”米爾嘉說道。
“啊，這點我也很在意。”泰朵拉說道。
“我們像下面這樣把重疊的對用線連起來試試。”
把“重疊”的對用線連起來
“誒？！重疊的對是斜著排列的呀！”泰朵拉吃了一驚。
“原來如此……‘重疊’的對在二維平面上真的是斜向‘重疊’的嗎？”我說道，“這一條條斜線對應著重疊的對的集合。也就是說，一條斜線對應一個整數，對吧。”
我說著，在斜線的右上方寫下了整數。
一條斜線對應一個整數
“要寫的話，這麼寫比較好。”
米爾嘉從我的手中搶過自動鉛筆，把斜線向左下方延伸。
影子斜著落下的位置是對應的整數
“啊……這樣呀。往 x 軸上射影的話，影子就會剛好落在對應的整數上……誒？等一下。如果對的和也是向量的和，那麼我們隨意畫個向量的和的圖形，然後觀察向量的和的射影，就會發現它正是向量在 x 軸上的和？”我問道。
“當然。把格點上某個位置矢量的和斜向射影的話，就會得到整數的和。例如，把 
射影的話，影子就會剛好落在 (-1) + 3 = 2 的位置。”
向量的和
射影后，就變成了整數的和
“……”我說不出話來。
整數的和 —— 區區的加法運算。
然而卻能被看作是二維向量的和的“影子”！
雖然我還不知道這個發現在數學上有著什麼樣的意義，但是我感到很多事物是相連的，是緊密地聯繫在一起的。此時的我因為太過感動而說不出話來。而且，我們只花了少許工夫 —— 舉出具體例子、思考式子、用圖思考，這一切就呈現在了我的眼前。
“我們從‘重疊的對’繼續往下思考，看看等價關係吧。”米爾嘉說道。
8.3.5 等價關係
看看等價關係吧。
我們把由所有對構成的集合稱作 
。
然後，在集合 中，重疊關係“”已被如下定義。
“”這種關係有自反律、對稱律、傳遞律的性質。
自反律可以用以下式子來表示。
該式子表示的是，即使以自身為對象，“”這種關係也能成立。
由於這就像是反射在鏡子裡似的，所以我們把它叫作自反律。
對稱律可以用以下式子來表示。
該式子表示的是，即使把左邊和右邊互換，“”這種關係也成立。
傳遞律可以用以下式子來表示。
該式子表示的是，如果由 A 可以到 B，由 B 可以到 C，則可以跳過中間的 B 直接由 A 到 C。
自反律、對稱律、傳遞律合起來叫作等價律。此外，滿足等價律的關係叫作等價關係。“”這種關係也屬於一種等價關係。
◎ ◎ ◎
“這三個性質不都是理所當然的嗎？”泰朵拉問道，“比方說，這三個性質在等於‘=’裡也成立呀。”
“‘等於’是等價關係，這沒錯。”米爾嘉點頭，“因為原本等價關係就是把等號創造出的關係一般化而得來的。等價關係體現的是‘在某種含義上相同’。”
米爾嘉往上推了一下眼鏡，繼續說道：
“我來舉個不是等價關係的例子。例如數的大小關係‘<’。對於這個關係，傳遞律成立，而自反律和對稱律不成立。”
“啊，是這樣呢。”泰朵拉說道。
“帶等號的大小關係‘≤’則是自反律和傳遞律成立，對稱律不成立。”
“a ≤ a 成立……嗎？”
“成立。因為‘a ≤ a’是‘a < a 或 a = a’呀。”
“喔……也是啊。”
“那麼，泰朵拉我問你，對不等於‘≠’這個關係來說，這三個性質中的哪一個會成立呢？”
“這個……因為它是等於的反義詞，所以這三個性質都不成立？”
“回答錯誤。”米爾嘉說道，“不能憑主觀印象來回答。必須逐一確認才行哦，泰朵拉。”
“啊……對稱律成立呀。”泰朵拉說道。
“等一下。”我插了句嘴，“對於‘≠’這種情況，不是‘傳遞律不成立’，而是‘傳遞律不一定成立’吧？因為……”
“這裡是我沒說明白。”米爾嘉說道，“我在解釋自反律、對稱律、傳遞律之前，應該事先聲明‘對於所有元素來說’這個前提的。也就是說，只要對於一個元素來說不成立，那就是不成立。”
“米爾嘉學姐……”泰朵拉小心翼翼地舉起手，“這三個性質我基本明白了。可是，剛剛學姐說的‘把等號一般化’這個地方我還不太懂。因為討論數字的時候，或是討論集合的時候，我們都會用到等號，這本來就很一般化了吧……”
“等價關係指的是剛剛說的滿足等價律的關係。換句話說，滿足等價律的三個性質的關係都可以看作是等價關係。從等號具備的特殊性質中提取出三條，尋找具備這些性質的其他關係，例如‘對重疊’這種關係。因為‘對重疊’這種關係是等價關係，所以能適用於等價關係的性質全都能適用於‘對重疊’這種關係。”
“等一下，麻煩等一下，我有 Déjà vu5。好像以前我們也討論過類似的 ……”
5法語單詞，意思是“既視感”，也可譯為“幻覺記憶”，指人在清醒的狀態下第一次見到某場景，卻感到似曾相識，是一種常見於大多數人的生理現象。——譯者注
“群論。”米爾嘉說道。
“沒錯！把滿足群的公理的運算都同等看待成群……”
“把等於這種關係拆個七零八碎，從裡面提取出三個特殊的性質，然後構建一種具有這些性質的其他關係 —— 這裡出現了分析跟綜合的思路。明白麼？”
“分析跟綜合？”
“分析 —— Analyze，也就 是‘拆分’。綜合 —— Synthesize，也就是‘合成’。經過拆分、合成，理解就會變得深入且有趣。”
“靠等價關係能辦到些什麼呢？”我問道。
“就是你之前幹過的事兒。”
“誒？我幹了什麼來著？”
“去‘除’集合了呀。”
8.3.6 商集
“去‘除’集合？”
“對。用等價關係去除集合。我們來回憶一下你都幹了些什麼吧。由所有對構成的集合 裡包括無數的對，你用等價關係‘’把‘由重疊的對構成的集合’跟‘整數’互相對應了起來。把由所有對構成的集合想像成第一象限裡的格點，把由重疊的對構成的集合想像成斜線就好。根據‘格點的集合’構成‘斜線的集合’，就相當於進行除法運算。”
“……”
“集合除以等價關係，就能得到一個新的集合。我們把這個新的集合叫作商集。由所有對構成的集合除以‘’，就能得到一個以‘由重疊的對構成的集合’為元素的商集。我們如下表示這個商集。
這個符號很奇怪。總之呢，這個符號就是‘集合 / 等價關係’的一種直截了當的表示方法。”
“那個……麻煩稍等一下。關於這個商集 ，我完全沒有具體的概念啊……畫在圖裡是斜線，那麼從數學角度來說又是個什麼樣的東西呢？”
“看來光用說的，還是講不明白啊。”米爾嘉說道，“那麼，我用外延表示法寫一下 吧。”
“原來如此……構建了一個集合的集合呀。”
“用集合除以等價關係，從而構建商集 —— 這種手法很常見。”
“是……是麼？”
“舉個例子，有理數。有理數集可以看作是一個‘元素是成對的分子和分母的集合’除以‘比相等’這個等價關係而得到的集合。”
“啊！”我驚道，“這就是泰朵拉之前說的那個吧。”
“誒？我嗎？”泰朵拉用手指著自己，一臉困惑。
“你想想，你不是說過嗎？對的性質 —— 外項之和等於內項之和，跟比的性質 —— 外項之積等於內項之積很像。”
“喔……”看來她還沒反應過來。
“作為商集的有理數肯定會是這種形式啊！”我往筆記本上寫道，“那麼，假設把分子、分母的對寫成 ( 分子, 分母 )……”
“泰朵拉你注意到了有理數啊。”米爾嘉說道。
“沒……只是覺得對跟有理數的形式很相似。”
“在數學領域裡，若‘形式’相似，則‘本質’也相似這種情況很多見。”米爾嘉說道。
“用比相等這個等價關係當除數的想法很有意思呀。”我說。
“如果用比相等這個等價關係當除數……”米爾嘉說道，“這個商集的元素就會變成由比相等的對構成的集合。分數的約分計算遵循‘比不變’的原則。也就是說，約分這種計算能讓元素不跳出由比相等的對構成的集合。”
“啊……這麼說來確實是這樣。”泰朵拉說道。
“此外，我們有時會從商集的各個元素 —— 聚集了相同元素的集合 —— 裡面選出一個元素，這個元素叫作代表元素。”
“代表元素……”泰朵拉重複道。
“英語叫作 Representative。”米爾嘉說道。
“Represent 6這個集合的元素？”泰朵拉問道。
6意為代表。——譯者注
“對。如果我們想把‘’定義為商集的各個元素之和，就必須先聲明答案不取決於如何選擇代表元素。也就是說，‘’必須是 Well-Defined 7的。”
7意為定義明確。——譯者注
“啊……對對，昨天晚上我就一直在想這個。”我說道。
“除了有理數，商集還有很多種。例如整數集除以‘除以 3 而得到餘數相等’這個等價關係後得到的商集合 
。”
“把‘’這個符號裡的‘
’視為表 示‘無視 3 的倍數差異’的等價關係的符號即可。”米爾嘉說道，“除此之外，我們還能想出很多關於商集的例子。例如，由我們學校裡所有學生構成的集合除以‘同年級’這種等價關係，就能得到以‘由同年級的學生構成的集合’為元素的商集。這個商集有三個元素，分別是‘全體高一學生的集合’‘全體高二學生的集合’‘全體高三學生的集合’。”
“學長！米爾嘉學姐！我有個重大發現！”
泰朵拉嚷道。
“你發現什麼了？”我問道。泰朵拉說的“發現”一般都跟數學上的重大發現相關，因此不可小覷。
“難不成……難不成村木老師想跟我們玩個文字遊戲，不是‘Peano 算術’而是‘Pair No 算術’8？”
8“Pair No 算術”的說法與日語有關，其中的 No 即日語單詞「」的羅馬字拼寫，意思是“的”。因此“Pair No 算術”意即“對的算術”。此處是一種諧音，即音同詞不同的文字遊戲。——譯者注
四下沉默無聲。
“如果，是這樣的話……”我吞吞吐吐。
“希望並非如此啊。”米爾嘉冷冷地說道。
8.4 餐廳
8.4.1 兩個人的晚飯
“媽，晚飯吃啥？”
現在是晚上。等了許久都沒有開飯，於是我跑到餐桌前問道。
“今天你爸說不回來吃飯，我沒什麼心情做……”我媽說道，“這樣吧，我們也偶爾出去吃一頓吧。嗯……吃意大利餐。”
我媽帶著我，開了 30 分鐘車，來到了一家位於郊外的餐廳。菜餚的香氣迎面撲來。“Buona Sera9！”招呼聲很洪亮。開朗熱情的意大利人包圍了我們。我媽點了海鮮意大利面和沙拉，我點了披薩。
9意大利語，“晚上好”的意思。——譯者注
“糟了，咱們開車來的，喝不了紅酒呀！”
“禁止酒後開車。”我說。我媽聽到後一臉不情願。
8.4.2 一對翅膀
在等待上菜的這段時間裡，我四下看了看店內。既有情侶一起的，也有全家人一起的。吉他的伴奏聲非常大，但並不讓人感到難受。店裡的夥計圍在對面的桌子邊，唱著生日快樂歌。
“呀，披薩好像烤好了。”
我使勁嗅著香味兒說道。
“說起來，你從小鼻子就好使……可惜聞不到自己身上的味兒。你在幼兒園尿褲子那次……”
“別說啦，媽！”
“不過，現在你馬上就上高三了……時間過得真快呢。”
我媽把手支在桌子上，托著下巴看向遠方。
馬上就上高三了……我突然感到一陣害怕。
熱鬧的吉他聲、小孩的笑聲突然都消失了。
我是為了什麼而學習呢？
雖然有人常說“年輕人身上潛藏著無限的可能”，但時間是一維的。
要把哪種可能性射影到自己的時間上呢？我們必須作出選擇。
“我說，媽。”
“什麼事？”我媽抬起頭問我。她正在研究甜品菜單。
“我……在幹什麼呢？”
“跟漂亮的老媽吃飯。”
“總感覺……有一種要從懸崖上摔下來的心情，明明什麼都還沒準備好……可是還有一個月就上高三了，還差一年就高考了。日子過一天，我就離懸崖近一點 —— 地面在慢慢消失。我該怎麼走呢？”
“往天空飛？”我媽說道，“如果沒有地面，往天空飛就好啦。”
“誒？”
“‘啪嗒啪嗒’揮動兩隻翅膀的話，就能飛起來。你可能不信，但是你能飛。左邊和右邊，有這麼一對翅膀就足夠啦。懸崖不就是為了飛翔而存在的麼。你在害怕什麼呢？”
“學校的成績再怎麼好，也不行啊！我……”
“跟成績什麼的沒關係。你是我生的。你開始走路那會兒，我還記得很清楚。你摔倒過好幾千次，還記得嗎？”
“怎麼可能記得啊！”
“在你會走之前，摔倒了多少次啊……可是你現在先邁右腳後邁左腳，邁完左腳邁右腳，很自然地在走著啊。明白嗎？你不要緊的。因為沒準備好所以擔心？說什麼呢，人生就是要勇敢衝撞嘗試呀！”
我媽用拿在手裡的菜單隔著桌子敲了一下我的頭。
“盡全力去拼吧！不要緊，你肯定能走穩，肯定能飛起來。”
“……”
我媽這一席話支離破碎，從邏輯上來講含義也不明確。但不可思議的是，我的心居然恢復了平靜。因為是媽媽說的話麼？
“人的一生，會遇到各種各樣的事。你三歲那年冬天，有天夜裡下了大雪，你發著高燒，咳得很厲害，差點死掉了。下著大暴雪，車都開不動，你爸也還沒回家。你媽我啊，就背著你一直走到了鄰鎮的醫院……到醫院的時候我已經跟雪人沒兩樣了，還問人家‘這裡是八甲田山 10嗎’。”
10日本青森縣中部火山群的總稱，以高聳險峻、嚴寒冰冷著稱。——譯者注
這故事我已經聽過好多回了。連“這裡是八甲田山嗎”這句話都一模一樣。我平常總是說“夠啦，別再講啦”……可是今天聽起來，卻似乎有一點不一樣。
菜上來了。
“來，我們吃吧！”
我往披薩上澆上摻了辣椒的橄欖油，咬了一口。
好吃極了。
8.4.3 無力考試
飯菜快吃完了，我媽再次拿起甜品菜單。
“這個看起來很好吃！ Torta Cioccolata 好像是巧克力撻，Crema Catalana 應該是法式焦糖布丁吧。甜品菜單上得配照片才行啊，只有文字說明，哪知道是什麼樣的呀。”
“是啊。”
“你需要無力考試啊。”我媽眼都沒抬，繼續看著菜單說道。
“無力考試？”什麼意思啊？
“跟實力考試相反的無力考試。你幹嘛要一個人繃得死緊？你得加把勁好好放鬆才行。大家都非常喜歡你。”
“大家？”
“沒想到你小時候那麼認生，現在倒還挺搶手的呢。這幫女生也挺有眼光的。對了，下次帶著她們一起去兜風吧？嗯，一定很歡樂。”
“拉倒吧，拜託你不要自作主張啊。”我說道。
“老媽我來開車，副駕駛給米爾嘉坐。泰朵拉跟盈盈，還有尤里也會想來吧。嗯嗯，你看，坐五個人剛好不是嗎？”
“那我坐哪兒啊？！”
數學，是一門給不同東西賦予相同名字的藝術。
——龐加萊