羅傑·彭羅斯生在一個醫學家庭，13母親是醫生，父親是倫敦大學學院1的知名人類遺傳學教授。父母希望四個孩子中至少有一個跟他們一樣從醫。羅傑的哥哥奧利弗（Oliver）是不會學醫的，他很小就想學物理（後來真成了世界有名的統計物理學家——研究大量相互作用的原子的行為）。弟弟約拿坦（Jonathan）也不會，他只想下棋（後來連續6年成為英國的象棋冠軍）。妹妹雪萊（Shirley）還小，在羅傑選擇職業的時候，她還沒有什麼傾向的表現（她長大後終於成了醫生，滿足了父母的心願）。剩下羅傑是父母最大的希望了。
16歲時，羅傑和班上別的同學一樣，被校長找去談話。他現在該決定上大學前下兩年的學習科目。他告訴校長，「我想學數學、化學和生物學。」校長聲明，「不行，那不可能。生物和數學不能聯在一起，你只能選一門。」羅傑更喜歡數學，不太喜歡生物學。「那好，我學數學、化學和物理。」他說。那天晚上羅傑回家後，父母很生氣。他們訓斥羅傑跟夥伴學壞了。要做醫生，生物學是最基本的，他怎麼能放棄呢？
兩年後，該決定上大學學什麼了。羅傑回憶說，「我提出到倫敦大學學院學數學，父親完全不同意。他說，對做不了其他事情的人來說，數學也許是恰當的，但把它作為實際的職業，就不對了。」羅傑一定要學，父親於是請學院的一個數學家來特別考考他。數學家要羅傑用一整天來考試，警告他說，可能只解得了一兩個問題。羅傑只用了幾個小時就答對了全部12道題，父親同意了，羅傑可以學數學。
羅傑原來沒想過要把數學用到物理上來，他只對純數學有興趣，但他經不住誘惑。
誘惑是從1952年開始來的。14那時羅傑是倫敦的大學四年級學生，在廣播裡聽了霍伊爾（Fred Hoyle）的一系列宇宙學講座。講座有趣、動人——也有一點兒難以理解。霍伊爾說的某些東西簡直沒有意義。一天，羅傑坐火車到劍橋去看在那兒學物理的哥哥奧利弗。晚餐時，在金斯伍德餐廳，羅傑發現跟奧利弗一個辦公室的席艾瑪正在研究邦迪-戈爾德-霍伊爾（Bondi-Gold-Hoyle）穩恆態宇宙理論。真是太好了！羅傑想，也許席艾瑪能解決自己的疑惑。「霍伊爾說，照穩恆態理論，宇宙的膨脹將把一些遙遠星系趕出我們的視線；星系將運動到我們看不見的地方。但我不明白這是如何發生的。」羅傑拿出筆來開始在餐巾紙上畫時空圖，「根據這個圖，我想星系會越來越暗，越來越紅，但永遠不會完全消失。我哪兒錯了嗎？」
席艾瑪大吃一驚，他從沒見過一幅圖能有那麼大的威力。彭羅斯是對的，霍伊爾一定錯了。更重要的是，奧利弗的弟弟真了不起。
於是，席艾瑪和羅傑開始研究這種圖，後來在60年代，他還將和他自己的學生（霍金、埃裡斯、卡特爾、裡斯等等，見第7章）繼續研究。他拉著彭羅斯討論了好幾個小時，談一些發生在物理學中激動人心的事情。正在發生的事情，席艾瑪都知道，他自己的熱情和興奮也感染了彭羅斯。很快，彭羅斯就被鉤住了。他要完成他的數學博士，不過對宇宙的追求從此也成為他向前的動力。在未來的10年裡，他一隻腳牢牢地扎根在數學，另一隻腳則踏進了物理學。
羅傑·彭羅斯，約1964年。[Godfrey Argent為英國國家肖像畫廊和倫敦皇家學會攝。Argent提供。]
新思想常出現在一些奇怪的時刻，出現在人們最意想不到的時候。我想，這是因為新思想來自人的潛意識，在意識不太活躍的時候，潛意識最有力量。一個好的例子是，霍金1970年在正準備睡覺時，發現了黑洞視界的面積必然總是增大的（第12章）。另一個例子就是彭羅斯改變我們對黑洞內部認識的發現。
1964年晚秋的一天，15倫敦伯克貝克學院教授彭羅斯和朋友羅賓遜（Ivor Robinson）正向辦公室走去。在過去的一年裡，類星體發現了，天文學家開始猜測它們的能源來自星體坍縮（第9章）。自那時起，彭羅斯也試圖弄清楚，奇點是否是由真實的隨機形變的坍縮恆星產生的。當他和羅賓遜邊走邊談時，潛意識正在思考令他疑惑的那些問題——他的思想已跟它們搏鬥好久好久了。
彭羅斯回憶說：「過一條馬路時，我和羅賓遜停止了說話。過去以後，又接著談。顯然，在過馬路那會兒，我忽然想到了什麼東西，但後來的談話又把它從腦子裡趕走了！那天晚些時候，羅賓遜走了，我回到辦公室。我記得有過一種奇怪的欣喜，但說不清那是什麼。我開始在腦子裡搜尋那天想過的事情，想找出令我欣喜的那樣東西。排出許許多多不太可能的事情後，我終於發現了過街時產生的思想。」16
這思想很美，和以前在相對論物理學中見過的任何事物都不一樣。在接下來的幾個星期裡，彭羅斯認真清理了他的思想，從不同方向去審視它，完成它的細節，盡可能使它具體，在數學上精確。一切理順後，他為《物理學評論通訊》寫了一篇短文，17描述了星體坍縮中的奇點問題，然後證明了一個數學定理。
彭羅斯的定理大意說，假定一顆恆星——不論什麼樣的恆星——發生了劇烈坍縮，使引力變得足夠強大從而形成一個顯視界，就是說，強大的引力足以將外出的光線拉回來（卡片12.1）。顯視界形成以後，不可能有什麼東西能阻擋引力進一步增強而產生奇點。結果（由於黑洞總有顯視界），每個黑洞在它內部都必然有一個奇點。
這個奇點定理最令人驚訝的地方在於它巨大的普適能力。它不僅適用於具有特殊理想化性質的（如完全球狀的或沒有壓力的）坍縮恆星，也不僅適用於初始隨機形變很小的恆星，而且適用於一切可以想像的坍縮恆星，這樣，它無疑也適用於我們現實宇宙中存在的真實的坍縮恆星。
彭羅斯奇點定理的驚人力量來自他在證明中使用的一種新的數學工具，以前還沒有物理學家在彎曲時空的計算（也就是廣義相對論的計算）中用過，那就是拓撲學。
拓撲學是研究事物間或事物自身的定性聯繫方式的數學分支。舉例說，咖啡杯和炸圈餅「有相同的拓撲」，因為（假如它們都是用泥做的）我們可以光滑而連續地將一個變形為另一個，而不會撕裂它，即不會改變任何聯繫（圖13.5（a））。相反，球與炸圈餅有不同的拓撲，為把球變成餅，我們必須在球上挖一個洞，從而改變了它自己的聯結方式（圖13.5（b））。
拓撲學只關心聯結，不關心形狀、大小和曲率。例如，炸圈餅和咖啡杯的形狀和曲率是大不相同的，但它們有相同的拓撲。2
我們物理學家在彭羅斯奇點定理之前忽略了拓撲學，因為我們固執地認為，時空曲率是廣義相對論的中心概念，而拓撲學不能告訴我們任何有關曲率的事情。（實際上，因為彭羅斯的定理對拓撲學的依賴太強，它沒有為我們帶來關於奇點曲率的東西，就是說，沒有關於奇點的潮汐引力的細節的東西。定理只告訴我們，在黑洞內的某個地方，時空到達了終點，到達那個終點的任何事物都會被破壞。如何破壞是曲率的事；它們必然遭到破壞，時空總會遇到終點——這個事實是拓撲學關心的。）
圖13.5 下面的所有問題都是關於點的聯絡性質的，即它們是拓撲學的問題。（a）咖啡杯（左）和炸圈餅（右）能光滑連續地互相變形為對方而不會出現破裂，就是說，不會改變任意兩點聯繫的定性特徵。這樣，它們具有相同的拓撲。（b）為把球（左）變形為餅（右），必須在球上打一個洞。（c）這裡畫的時空有兩個尖銳邊緣（類似於（b）的裂口），一個是時間的起點（我們宇宙大爆炸的開端），另一個是時間的終點（類似於大擠壓）。我們也可以想像一個在所有時間裡存在而且總會繼續存在的宇宙，這樣宇宙的時空沒有邊緣。（d）黑色的空間區域是黑洞的內部；白色區域是黑洞的外部（見卡片12.1）。內部的點不可能向外面的點傳送信號。
如果我們物理學家能在彭羅斯之前看得遠一點，超越時空曲率的思想，我們大概也已經認識到了相對論確實存在一些拓撲學的問題，例如，「時空會走到盡頭嗎（時空有一個存在的邊緣嗎）？」（圖13.5（c）），「時空的哪些區域能互傳信號？哪些不能？」（圖13.5（d））。第一個拓撲學問題是奇點的中心問題；第二個是黑洞形成和存在，從而也是宇宙學（關於宇宙的大尺度結構和演化）的中心問題。
這些拓撲學問題很重要，拓撲學的數學方法對處理這些問題也很有威力，於是，彭羅斯為我們帶來了拓撲學，也就在我們的研究中引發了革命。
從彭羅斯影響深遠的思想出發，在60年代中期和晚期，彭羅斯、霍金、格羅赫（Robert Geroch）、埃裡斯和其他物理學家創立了一套有力的結合拓撲學和幾何學的廣義相對論計算工具，現在我們稱這套工具為整體方法。181970年，霍金和彭羅斯用這種方法在沒有任何理想化假設條件下證明，我們的宇宙在它大爆炸膨脹的開端有一個時空奇點；如果它有一天會再次坍縮，那麼必然還會在大擠壓中產生奇點。19同年，霍金用這個整體方法創造了黑洞絕對視界的概念，證明絕對視界的表面積總是增大的（第12章）。
現在，讓我們轉到1965年，來看一場重要的論戰。卡拉特尼科夫和栗弗席茲在莫斯科證明（他們是這樣想的），在內部隨機變形的擾動下，真實恆星坍縮成黑洞時不可能在黑洞中心產生奇點；而彭羅斯在英國證明，每個黑洞在中心都必然有奇點。
演講廳有250個座位，卡拉特尼科夫站起來講話時，人已經坐不下了。那是在1965年夏的一個大熱天，全世界重要的相對論研究者聚集在倫敦召開第三屆國際廣義相對論和引力論會議。卡拉特尼科夫和栗弗席茲第一次有機會在這樣一個世界範圍的集會中報告他們關於黑洞沒有奇點的證明。
從斯大林死後到戈爾巴喬夫時代的幾十年間的蘇聯，出國申請能否得到批准是很難說的。栗弗席茲雖然是猶太人，但在50年代是相當自由的，然而，現在他上了旅行者黑名單，得等到1976年。20卡拉特尼科夫有兩個不利因素，他是猶太人，而且從來沒有出過國。（第一次申請出國是很難獲准的。）不過，經過努力爭取，加上科學院副院長謝苗諾夫（Nikolai Nikolaievich Semenov）為他給蘇聯共產黨中央委員會打了電話，卡拉特尼科夫總算被批准來倫敦了。21
面對擁擠的倫敦演講廳，卡拉特尼科夫拿著麥克風，一邊講，一邊在佔了一面牆的15米寬的黑板上寫滿了方程。他的方法不是拓撲學的，而是物理學家在分析時空曲率時用了幾十年的標準的滿是方程的方法。卡拉特尼科夫從數學上說明隨機擾動一定會隨恆星坍縮而增大。他說，這意味著，如果坍縮會形成奇點，那麼奇點的時空曲率必然遭受了徹底的隨機形變。接著他講述了他和栗弗席茲怎樣在廣義相對論定律所允許的各種類型的奇點中尋找那種經過了徹底的隨機曲率形變的奇點。他從數學上例舉了一個個奇點類型，幾乎令人厭煩地為這些奇點編了目。其中，沒有一個是經過了完全隨機變形的。於是他得到結論——也結束了他40分鐘的講話——隨機擾動下的坍縮恆星不可能產生奇點。擾動一定能將恆星從毀滅中救出來。
掌聲響過，惠勒最有才能的學生米斯納站起來，奮力提出反駁。他很激動，又精力旺盛，用連珠炮似的英語講述了彭羅斯幾個月前證明的定理。如果彭羅斯的定理是對的，那麼卡拉特尼科夫和栗弗席茲就一定錯了。
這位蘇聯代表愣了，激動了。米斯納的英語說得太快，他沒跟上。又由於彭羅斯的定理靠的是相對論專家們都很陌生的拓撲學論證，所以蘇聯人認為那是可疑的。相反，卡拉特尼科夫-栗弗席茲分析的基礎很牢固，他們斷言，彭羅斯可能錯了。22
接下來的幾年裡，東西方的相對論專家徹底考察了彭羅斯和卡拉特尼科夫-栗弗席茲的分析，乍看起來，兩家都可疑，都有可怕的潛在裂痕。不過，隨著專家們逐步掌握和發展彭羅斯的拓撲學技術，他們相信彭羅斯是對的。
1971年6月，在莫斯科卡拉特尼科夫家裡的晚餐聚會。左起順時針方向：索恩、惠勒、栗弗席茲、卡拉特尼科夫、卡拉特尼科夫的夫人Valentina Nikolaievna ，別林斯基和卡拉特尼科夫的女兒Eleanora。[C·W·米斯納提供。]
1969年9月，我在莫斯科澤爾多維奇研究小組訪問，栗弗席茲給我拿來一份他和卡拉特尼科夫剛寫好的手稿。「基普，請為我把這份稿子帶到美國，交給《物理學評論通訊》。」23他解釋說，在蘇聯寫的稿子，不論什麼內容，都自動劃為機密，等解密以後才能拿出來，而那得等三個月。照蘇聯可笑的體制，我們這些外國訪問者可以在莫斯科閱讀這些手稿，但不經審查不得將稿子帶出國。這篇稿子太可貴了，需要盡快發表，不能讓那種荒唐的審查給耽誤了。栗弗席茲告訴我，他們在文章裡認輸了，為錯誤而遺憾：彭羅斯是對的，他們錯了。1961年，他們沒能在愛因斯坦場方程的解中找到任何帶有完全隨機形變的奇點；但現在，受彭羅斯定理激發，他們和研究生別林斯基（Vladimir Belinsky）設法找到了一個。他們認為，這個新奇點可能終結隨機形變恆星的坍縮，也可能最終在大擠壓的終點毀滅我們的宇宙。實際上，我在1993年想，他們可能是對的。在本章臨近結束的時候，我還會來談1993年的觀點和他們新的RKL（「Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz」）奇點的性質。
我自己有過體會，對一個理論物理學家來說，承認發表的結果犯存重大錯誤，不僅僅是難堪的事情，那差不多是自我毀滅了。1966年，我的白矮星脈動計算錯了，兩年後，我的錯誤計算害得天文學家們把新發現的脈衝星當成白矮星。錯誤發現以後，因為意義重大，所以在英國的《自然》雜誌的編者按裡特別指出來。那真是一粒難嚥的藥丸。
像這樣的錯誤，在美國和歐洲能損害一個物理學家，在蘇聯就嚴重得多了。在蘇聯，科學家在這一群體中的社會地位是特別重要的，它關係著能否出國，關係著科學院的院士選舉，這些又可能帶來特權，如比別人高近一倍的工資，專用小轎車等。在這樣的一些誘惑下，蘇聯科學家比西方的科學家更容易隱瞞和逃避錯誤。所以我才被栗弗席茲的請求所感動。他不願意真理的傳播受到阻礙，他的手稿也寫得很坦誠：承認錯了，並宣佈未來的一版《經典場論》（朗道-栗弗席茲的廣義相對論教程）將修正黑洞不產生奇點的結果。
我把手稿藏在我個人的論文中間帶回美國，把它發表了。24蘇聯的當權者們從未發覺。
為什麼把拓撲學方法帶進相對論研究的是一個英國物理學家（彭羅斯），而不是美國、法國或蘇聯的哪個物理學家？為什麼整個60年代中拓撲學方法在英國相對論物理學家中間如火如荼，而在美國、法國、蘇聯和其他地方卻舉步維艱呢？
我想，原因在於英國理論物理學家在大學所受的教育。他們在大學時主要學數學，然後在應用數學系或應用數學和理論物理學系做博士研究。在美國卻不同，大物理學家們在大學時一般都以學物理為主，然後在物理系做博上研究。這樣，年輕的英國理論物理學家會很熟悉那些還沒在物理學中應用過的艱深的數學分支，似對像關於分子、原子和原子核行為的那些「大膽的」課題，他們也可能缺乏良好的基礎。反過來，年輕的美國物理學家在數學上不比他們的物理學教授知道頁多，但在分子、原子和原子核的特殊問題上，他們是游刃有餘的。
二戰以來，美國在很大程度上成了理論物理學的主角，但我們也向全世界的物理學同行們暴露出令人慚愧的數學水平。我們多數還在用50年前的數學；沒有能力和現代數學家交流。由於沒受過多少數學訓練，我們美國人很難在彭羅斯引進拓撲學方法時學會運用它們。
法國物理學家所受的數學教育甚至比英國還好。然而，在六七十年代，法國的相對論專家們被數學的嚴格（也就是完美）所糾纏，不太重視物理直覺，所以他們沒能為坍縮恆星和黑洞的認識做多少事情。對嚴格數學的追求拖住了他們向前的腳步，儘管他們很熟悉拓撲學，但也無法同英國人競爭。他們甚至沒有一點兒這方面的嘗試，精力都被吸引到別的地方去了。
從30年代到60年代，朗道在很大程度上代表著蘇聯的理論物理學，他也是蘇聯抵制拓撲學的主要根源：30年代，他把理論物理學從西歐帶回蘇聯（第5章）。他的一個傳播工具是他創立的一套理論物理學考試，叫「理論須知」，想進他的研究小組的人都得通過這個考試。任何人，不論原來學什麼，都可以來參加考試，但很少有人通過。在「理論須知」實行的29年（1933～1962）裡，只有43人過了，他們的很大一部分後來都有重大的物理學發現。25
栗弗席茲（左）和朗道（右），1954年在莫斯科紹瑟街2號物理問題研究所的朗道家裡。[栗弗席茲夫人Zillaida Ivanorna提供。]
「理論須知」中的數學問題來自所有朗道認為對理論物理學重要的數學分支，覆蓋了微積分、復變函數、微分方程定性理論、群論和微分幾何，都是物理學家一生所需要的。其中沒有拓撲學，不是朗道反對它，而是忽略了它，認為它沒有關係，用不著它——他的觀點也就幾乎成了40年代到60年代大多數理論物理學家信奉的真理：拓撲學與理論物理毫不相干。
這種觀點，通過朗道和栗弗席茲寫的一套《理論物理學教程》傳給了全世界的理論物理學家。那是20世紀在世界範圍內最有影響的物理學教科書，不過也跟朗道的理論須知考試一樣，忽略了拓撲學3。
奇怪的是，早在彭羅斯定理之前，列寧格勒的兩個蘇聯數學家亞歷山大洛夫（Aleksander Danilovich Aleksandrov）和皮苗諾夫（Revol't Ivanovich Pimenov），就在相對論研究中應用拓撲技術了。261950～1959年，亞歷山大洛夫用拓撲學探求時空的「因果結構」，也就是研究能相互通訊和不能相互通訊的時空區域之間的關係，27這就是後來在黑洞理論中大獲豐收的那種拓撲分析方法。他建立了一個優美而有力的拓撲學框架，50年代中期，他的年輕同事皮苗諾夫又接著把它向前推進。28
但他們的研究沒有結果。在與亞歷山大洛夫和皮苗諾夫往來的物理學家中，幾乎沒有引力方面的專家。本來，這樣的專家會知道哪些計算有用，哪些沒有用，他們會告訴亞歷山大洛夫和皮苗諾夫，大爆炸奇點和恆星的引力坍縮正需要用他們的方法去探索。但是，在列寧格勒聽不到這樣的忠告；他們需要的物理學家遠在東南600公里的莫斯科，而那些人從沒想過拓撲學和拓撲學家。亞歷山大洛夫-皮苗諾夫拓撲結構，剛開花就凋落了。
花的命運是和兩個主人的命運聯繫在一起的。亞歷山大洛夫成為列寧格勒大學校長，沒有更多的時間做進一步研究；皮苗諾夫因為建立「反蘇組織」在1957年被捕，坐了6年牢，出來7年後又被捕了，流放5年，去了列寧格勒以東1200公里外的科密共和國。
我沒見過亞歷山大洛夫和皮苗諾夫，但我1971年（皮苗諾夫第二次被捕後一年）訪問列寧格勒時，皮苗諾夫的故事還在物理學家中流傳。據說，皮苗諾夫認為蘇聯政府道德敗壞，像美國許多年輕人在越南戰爭時期的思想一樣，他覺得與政府合作就是同流合污。保持自己道德純潔的惟一辦法是非暴力對抗。在美國，非暴力對抗意味著拒絕登記當兵；皮苗諾夫的非暴力對抗則是「薩密茲達」（Samizdat），也就是「地下出版」禁止的手稿。有人說，皮苗諾夫常從朋友那兒收到禁止在蘇聯出版的一些稿子，他用複寫紙抄幾份，然後把它們寄給別的朋友，他們也如法炮製，繼續擴散。皮苗諾夫被捕了，被判有罪，流放到科密，在那兒做伐木工人和伐木機廠的電機技師。後來，科密科學院發現了他，讓他做數學部主任。
終於又能做數學了，皮苗諾夫繼續研究他的時空拓撲學。那個時候，拓撲學作為物理學家的引力研究工具已經生根了，而他卻孤獨地遠離他祖國的前沿物理學家。他沒有產生影響；假如換個環境，他是應該能夠產生影響的。
與亞歷山大洛夫和皮苗諾夫相比，彭羅斯要幸運多了。他一隻腳牢牢扎根在數學，另一隻腳牢牢扎根在物理，這是他成功的重要原因。
[1] 1828年，倫敦大學建立時，也叫倫敦大學學院；1898年，大學學院成為倫敦大學眾多學院的一個。——譯者
[2] 拓撲或拓撲學（topology）是音譯名詞；英語詞源來自希臘語的topos，意思是「位置」，的確反映了這個學科的特徵。——譯者
[3] 朗道的「理論須知」（後來叫「朗道位壘」）包括，數學：解常微分方程（任選一題），用初等函數表示不定積分（任選一題）；物理：理論力學，熱力學和統計物理，場論（狹義和廣義相對論），非相對論量子力學，相對論量子力學、場論、基本粒子，連續介質電動力學，連續介質力學（流體力學、彈性力學）。必須的數學都包括在物理學題目中。通過了這個「位壘」的人也有永遠離開物理學的，可見那是多麼痛苦的考試。由朗道設計，主要由栗弗席茲執筆的那套教程計劃八卷（現在我們看到的有10卷），即須知的那些物理內容，幾乎都有中譯本（但多數都是根據早期版本翻譯的）。——譯者