想像你是一個正在遙遠太空的宇航員，自由地向著地球赤道落下。儘管你在下落中感覺不出自己的重量，事實上你還是可以感覺某些小小的剩餘的引力效應。這些剩餘效應叫「潮汐引力」。我們先以地球上的某個觀察者的觀點，然後以你自己的觀點來考慮你所感覺的引力。
圖2.3 當你落向地球時，潮汐引力會從頭到腳將你拉長而又從兩肋將你擠扁。
從地球上看（圖2.3（a）），作用在你身上不同部位的引力有微小差別。因為你的腳離地球更近，引力對它們的作用比對頭的作用更強，所以會從頭到腳將你拉長。又因為引力作用總是指向地心，這個方向在你的右側偏左，在你的左側偏右，於是，作用在你右側的引力有點兒向左，而左側的向右，也就是說，引力把你的兩側擠向中央。
從你的觀點看（圖2.3（b）），巨大的向下的引力沒有了，消失了。你覺得自己失重了。然而，消失的那部分引力只是拉你向下的部分，從頭到腳的拉伸和兩肋的擠壓依然存在著，原因是作用在你身體較外的部分與作用在你身體中心的引力之間的差異，是你自由下落也擺脫不掉的。
你在下落過程中所感覺的垂向拉伸和側向擠壓，叫潮汐引力或引潮力，因為，當引力源是月球而讓地球代替你來感覺時，它們會產生海洋潮汐，見卡片2.5。
愛因斯坦在演繹他的等效原理時，沒有考慮潮汐引力，他假定它們不存在。（回想一下他論證的基本內容：當你自由下落時，你「不僅感覺不到自己的重量」，而且「你還會在所有方面都感到，似乎引力完全從你的鄰近消失了」。）愛因斯坦忽略潮汐引力之所以是正當的，是因為他想像你（和你的參照系）很小。例如，假如你像螞蟻那麼小或者更小，那麼你身體的各部分會彼此靠得很近，從而作用在身體外部和中心的引力方向幾乎是一樣的，引起潮汐拉伸和擠壓的引力差異會極端地微弱。反過來講，如果你是5 000公里高的巨人，那麼地球作用在你身體外部和中心的引力在方向和強度上都將產生巨大的差異，當你下落時，你會經受劇烈的潮汐拉伸和擠壓。
根據這樣的推理，愛因斯坦相信，在自由下落的足夠小的參照系（與引力作用變化的範圍相比很小的參照系）中，我們不可能探測到任何潮汐引力的影響，也就是說，在我們的引力宇宙中，自由下落的小參照系與無引力宇宙中的慣性系是等效的，但對大參照系就不是這樣了。而大參照系所感覺的潮汐力對1911年的愛因斯坦來說，似乎是最終認識引力本質的一個關鍵。
卡片2.5 潮汐力產生的海洋潮汐
在地球離月球最近的一邊，月球的引力比作用在地心的更強，所以它比對固體地球更強烈地將海洋拉向月球，而海洋也會湧向月球。在地球離月球最遠的一邊，月球引力較弱，所以它對海洋的吸引不如對固體地球那麼強烈，海洋也會凸出而遠離月球。在地球的左側，指向月心的引力有一向右的小份量，而在右側，它有向左的份量，這些份量將海洋向內擠壓。當地球自轉時，海洋因為這個凸起和擠壓的模式，在每天產生兩個高潮和低潮。
也許，在你喜歡的海濱，潮汐並不完全是這樣活動的，這不是月球引力的失敗，而可能因為如下的兩個效應：（1）海水對潮汐引力的反應有一定滯後，它在海灣、港口、河道、狹灣等沿海岸線的缺口流進流出，需要時間；（2）太陽引力對地球的拉伸和擠壓作用與月球幾乎是一樣強的，但是因為太陽在空中的位置（通常）與月球不同，所以引力作用的方向不同。地球潮汐是太陽和月球的潮汐引力聯合作用的結果。
牛頓引力定律怎樣解釋潮汐力，現在清楚了：它們是作用在不同地方的引力在強度和方向上產生差異的結果。但牛頓的定律卻因為它的引力依賴於距離而必將是錯的，它違反了相對性原理（「這個距離應在誰的參照系中測量呢？」）。愛因斯坦的挑戰是建立一個全新的引力定律，它可以同時滿足相對性原理並以一種簡單而令人信服的新方法來解釋潮汐引力。
從1911年中期到1912年中期，愛因斯坦試圖通過假設時間捲曲而空間平直來解釋潮汐引力。這個聽起來很極端的想法是引力時間膨脹的自然產物；天花板附近與地板附近時間流的不同速率可以想像為時間的捲曲。愛因斯坦猜測，也許更複雜的時間捲曲模式能產生從潮汐引力到行星橢圓軌道甚至水星近日點反常移動的所有已知的引力效應。
在追尋這個有趣的想法12個月後，愛因斯坦把它放棄了，當然他有很好的理由。時間是相對的，你的時間是我的時間和空間的混合（假如我們彼此相對運動），於是，如果你的時間是捲曲的而你的空間是平直的，那麼我的時間和空間將都是捲曲的，其他任何人的也一樣。你而且只有你才有平直的空間，所以物理學定律一定會將你的這個與其他參照系根本不同的參照系驅逐出去——因為它違反了相對性原理。
不過，憑愛因斯坦的感覺，時間捲曲「味道不錯」，那麼，也許——他想——每個人的時間都是捲曲的，相應的不可避免的是，每個人的空間也是捲曲的。也許這樣聯合的捲曲可以解釋潮汐引力。
時間和空間兩個都捲曲的想法是很嚇人的。因為宇宙允許有無窮多個不同的參照系，每一個都以不同速度運動，那麼將不得不有無窮多個捲曲的時間和無窮多個捲曲的空間！幸運的是，愛因斯坦認識到，閔可夫斯基已經為簡化這個複雜的狀態提供了有力的工具：「從今往後，空間和時間本身都將注定在黑暗中消失，只有二者的一種結合能保持為一個獨立的實體。」在我們的宇宙中，只有一個惟一的絕對的四維時空，而每個人的時間和空間的捲曲，必然表現為閔可夫斯基單獨的惟一的絕對時空的一種捲曲。
這是愛因斯坦在1912年夏天被迫得到的結論（不過他更喜歡說「曲率」，不說「捲曲」）。4年來，他一直在嘲笑閔可夫斯基的絕對時空，最後，他終於被迫接受了它，並讓它發生捲曲。
時空會彎曲（或捲曲），是什麼意思？為了講清楚，我們先問，二維面的彎曲（或捲曲）意味著什麼？圖2.4畫了一個平面和一個曲面。在平面（一張普通的紙）上畫了兩條絕對直的線，兩條線並列延伸，是平行的。古希臘數學家歐幾里得（他創立了現在稱為「歐幾里得幾何」的學科）曾將兩條初始平行的直線永不相交的要求作為他的一個幾何假設。對平行直線所在的面來說，永不相交是確認面的平直性的鐵證。如果空間是平直的，那麼初始平行的直線永遠不會相交。如果我們找到一對原先平行的直線確實相交了，那麼我們將知道，空間不是平直的。
圖2.4中的曲面是地球的球面。我們在球面上找到厄瓜多爾首都基多，它坐落在赤道上。從基多出發，畫一條指向北方的完全直線，直線將在同一經度上向北延伸，穿過北極。
圖2.4 在像左圖的紙片那樣的平面上，兩條原先平行的直線永不相交。在像右圖的地球球面那樣的曲面上，兩條原先平行的直線通常會相交。
在什麼意義上說它是一條直線呢？有兩種意義。一種意義對航空公司來說是極其重要的：直線是一個大圓，而地球球面上的大圓是兩點間的最短路線，也就是航空公司願意飛行的路線。任意另畫一條聯結基多與北極的路線，一定會比大圓長。
第二種平直性的意義我們在下面討論時空時還會用到：在球面上沿大圓路徑足夠小的區域內，球面的曲率幾乎測不出來。在這個區域，大圓看來是直的，就像我們通常在平坦的紙上所說的直線那樣——這也是專業測量員在用經緯儀或激光束確定地產邊界時所用的直線意義。在測量員的這個意義上，在沿大圓路徑的每個區域內，大圓都是直線。
在彎曲或捲曲面上的任何路徑，如果在這兩種意義（航空上「最短路徑」的意義和測量員的意義）上是直線，數學家就稱它們是測地線。
現在，讓我們在球面上從基多出發向東移動幾厘米，畫一條在赤道上完全與通過基多的那條線平行的新直線（大圓，測地線）。這條直線跟第一條一樣，將經過球的北極。令這兩條原先平行的直線後來在北極點相交的，正是球面的曲率。
明白了二維面上的曲率效應，我們就可以轉向四維時空，去看看那裡的曲率。
在理想化的無引力宇宙中，既沒有空間的捲曲，也沒有時間的捲曲，時空沒有曲率。根據愛因斯坦的狹義相對論，在這個宇宙中自由下落的粒子必然沿絕對的直線運動，在任何一個慣性參照系看來，它們都必然保持相同的方向和相同的速度。這是狹義相對論的基本原則。
現在，愛因斯坦的等效原理保證，引力不會改變自由運動的這一基本原則：當在我們真實的引力宇宙中自由運動的粒子進入並穿過一個小慣性（自由下落的）參照系時，它必然沿直線穿過參照系。然而，穿過小參照系的直線運動，顯然類似於測量員在地球表面的一個小區域內所觀測的直線行為；正如這種在地球小區域內的直線意味著直線實際上是地球表面的測地線一樣，粒子在時空小區域內的直線運動也意味著粒子沿時空中的測地線運動。而這一個粒子經歷的事情，對所有粒子也一定是正確的：每個自由運動的粒子（每個不受引力之外的任何力作用的粒子），沿時空測地線運動。
認識到這一點後不久，對愛因斯坦來說，潮汐引力是時空曲率的一個表現，就成為顯然的事實了。
為說明這是為什麼，我們來看下面的（我的，不是愛因斯坦的）思想實驗。你一隻手拿一個小球站在北極的冰層上（圖2.5），同時將兩球拋向空中，使它們沿精確的平行軌道上升，然後觀察它們落回地球。現在，在我們這個思想實驗中，你可以做你願意做的任何事情，只要它不違反物理學定律。你不但想觀察引力作用下的球在地球表面以上的軌跡，還想觀察它在地表下的軌跡。為此，你可以假想球是特殊材料製成的，可以毫不減速地穿過地球的土壤和岩石（小黑洞可能具有這種性質），你還可以假想，你和一個站在地球另一端觀察的朋友，可以通過「X射線圖像」跟蹤球在地球內部的運動。
球落入地球後，會因地球的潮汐引力而擠到一起，就像下落的宇航員兩肋被擠壓一樣（圖2.3）。潮汐引力的強度正好使兩球幾乎精確地落向地心，並在那兒相撞。
圖2.5 兩個沿精確平行路線拋入空中的球，如果能無阻礙地穿過地球，則它們會在地心附近相撞。
現在我們來總結一下這個思想實驗：每個球在時空中沿完全的直線（測地線）運動，兩條直線初始是平行的，後來相交了（球發生碰撞）。原先平行的直線相交了，這是時空曲率的標誌。從愛因斯坦的觀點看，時空曲率導致平行線相交，即導致兩球相掩，就像圖2.4中地球的曲率導致直線相交一樣。從牛頓的觀點符，潮汐引力導致兩球相撞。
這樣，因為在空間和時間本性上存在迥然不同的觀點，愛因斯坦和牛頓對導致平行線相交的原因有完全不同的說法，愛因斯坦說它是時空曲率，牛頓說它是潮汐引力。但只有一個原因在起作用，因此，時空曲率和潮汐引力必然完全是以不同語言表達的同一件事情。
我們人類的頭腦很難想像高於二維的曲面的圖像，於是，幾乎不可能形象地表現四維時空的曲率。不過，從不同的二維時空碎片，我們還是能看出一些事情。圖2.6用兩個時空碎片來解釋時空曲率如何產生引起海洋潮汐的潮汐拉伸和擠壓。
圖2.6 地球附近的兩片二維彎曲時空，曲率由月球產生。曲率在朝著月球的方向產生潮汐拉伸（a），在橫向上產生擠壓（b），拉伸和擠壓以卡片2.5討論的方式產生海洋潮汐。
圖2.6（a）描繪的是地球附近的時空碎片，包括時間和朝月球方向的空間。月球使這塊時空彎曲，曲率以圖中所示的方式將兩條測地線拉開。相應地，我們看到兩個沿測地線旅行的自由運動粒子被拉開了，我們將這個拉開的作用解釋為潮汐引力。拉伸作用的潮汐力（時空曲率）不僅影響自由運動粒子，也影響地球海洋，它像我們在卡片2.5中所看到的那樣，在地球離月球最近和最遠的一端掀起浪潮。浪潮也試圖沿著彎曲時空的測地線運動（圖2.6（a）），從而也試圖飛起來分開，但地球的引力（地球產生的時空曲率，沒畫在圖中）不讓它們飛起來，所以海洋只能在地球上洶湧。
圖2.6（b）是地球附近的另一塊時空碎片，包括時間和沿垂直於月球方向的空間。月球使這塊時空發生彎曲，曲率像圖中那樣將測地線擠壓在一起。相應地，我們看到兩個沿著垂直於月球方向的測地線旅行的自由運動粒子被曲率（月球的潮汐引力）擠在一起，同樣，我們也看到地球海洋在垂直於月球方向的方向上被擠扁了。這種潮汐的擠壓作用導致我們在卡片2.5中所看到的海洋的橫向壓縮。
1912年夏，愛因斯坦發現潮汐引力與時空曲率是同一樣東西時，是布拉格的教授。這是一個驚人的發現——儘管，他還不是那麼肯定，理解也不像我描述的那麼完全，也沒有為引力提出一個完全的解釋。它告訴愛因斯坦，時空曲率決定了自由粒子的運動，掀起了海洋的潮汐，但沒有告訴他曲率是怎麼產生的。愛因斯坦相信，太陽、地球和行星內部的物質以某種方式決定著曲率，但那是什麼方式呢？物質如何使時空捲曲，捲曲的具體情況又是怎樣的呢？尋找捲曲的定律，成了愛因斯坦最關心的事情。
在「發現」時空曲率幾個星期後，愛因斯坦離開布拉格回到蘇黎世，到他的母校ETH當教授。1912年8月，愛因斯坦剛到蘇黎世就去請教老同學格羅斯曼（Marcel Grossmarnn），現在是那兒的數學教授。愛因斯坦向他解釋了潮汐引力是時空曲率的思想，然後問他，有沒有什麼數學家已經建立的數學方程能幫他發現捲曲的定律，也就是描述物質如何令時空彎曲的定律。格羅斯曼沒把握，他的專業在幾何的其他方面。不過，去圖書館瀏覽後，他回來說，有的，確實有需要的方程。這些方程主要是德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）在19世紀60年代、意大利的裡奇（Gregorio Ricci）在80年代以及裡奇的學生勒維-契維塔（Tullio Levi-Civita）在19世紀90年代和20世紀初建立起來的，叫「絕對微分計算」（或者，用1915～1960年間物理學家的語言說，「張量分析」）。不過，格羅斯曼告訴愛因斯坦，微分幾何太亂了，物理學家不應該捲進來。還有別的可以用來揭示捲曲定律的幾何嗎？沒有。
就這樣，在格羅斯曼的大力協助下，愛因斯坦決定掌握複雜的微分幾何，格羅斯曼教愛因斯坦數學，愛因斯坦也教格羅斯曼一些物理學的東西。後來，愛因斯坦引格羅斯曼的話說，「我承認，我畢竟還是通過物理學習得到了一些相當重要的東西。以前，當我坐在椅子上感覺到『前坐者』的餘溫時，總有點兒不舒服，現在這種感覺完全沒有了。因為，在這一點上物理學家已經告訴了我，熱是完全與個人無關的東西。」
學微分幾何對愛因斯坦並不是件容易的事情。這門學科的精神同他那自然的直覺的物理學論證是格格不入的。1912年10月底，他給索末菲（Arnold Sommerfeld，一個德國大物理學家）寫信說，「我自己現在完全被引力問題佔據了，我也相信，在當地的一個數學家朋友[格羅斯曼]的幫助下，我會有能力克服所有的困難。但有一點是肯定的，在我的一生中，還從來沒有這麼艱難地奮鬥過，而且我已經對數學充滿了敬佩，它那精妙的部分至今在我簡單的頭腦中還只能認為是一種奢望！同這個問題比起來，原先的相對性理論[狹義相對論]不過是兒童遊戲。」
面對物質如何令時空彎曲的疑惑，愛因斯坦同格羅斯曼一道，從秋天奮鬥到冬天，但不論多大的努力，都沒能使數學與愛因斯坦的想像相吻合，捲曲的定律在躲著他們。
愛因斯坦確信，捲曲的定律應該服從推廣（擴大）形式的相對性原理：對每一個參照系——不僅是慣性（自由下落的）系，還包括非慣性系，它都應該是一樣的。捲曲的定律不應為了自己的形式而依賴於任何特殊的參照系或者什麼特殊類型的參照系。1痛苦的是，微分幾何的方程似乎不允許有這樣的定律。在暮冬時候，愛因斯坦和格羅斯曼最終放棄了尋找，發表了他們所能發現的最好的捲曲定律——為了某種確定性而依賴於一類特殊參照系的定律。
永遠樂觀的愛因斯坦努力使自己相信，簡單說，就是相信這不是什麼災難。1913年初，他在給朋友物理學家埃倫費斯特（Paul Ehrenfest）的信中說，「還有什麼能比從[能量和動量守恆的數學方程]得到的必然限制更美妙的呢？」但進一步考慮後，他認為這是一個災難。1913年8月，他寫信給洛倫茲說，「我對這個理論[『捲曲的定律』]的可靠性的信心還在動搖……[因為不能遵從一般的相對性原理，]這個理論背離了它自己的出發點，一切都懸而未決。」
當愛因斯坦和格羅斯曼在跟時空曲率鬥爭時，遍佈歐洲大陸的其他物理學家擔起了統一引力定律和狹義相對論的挑戰。但是，他們——芬蘭赫爾辛基的諾德斯特勒姆（Gunnar Nordstrφm），德國格賴夫斯瓦爾德的米（Gustar Mie），意大利米蘭的亞伯拉罕（Max Abraham）——沒有一個人採納了愛因斯坦的時空曲率觀點，而是像電磁那樣將引力當成一種活動在閔可夫斯基的平直的狹義相對論時空中的力場。他們採用這種方法也並不奇怪：愛因斯坦和格羅斯曼所用的數學嚇人地複雜，而且得到的捲曲定律違反了作者自己的原則。
在不同觀點的擁有者之間，發生了激烈的論戰。亞伯拉罕寫道：「像本作者一樣曾不得不反覆告誡要警惕[相對性原理]的誘惑的人，將滿意地歡迎這樣的事實：它的創始者現在已經令自己相信它是不可能維持下去的。」愛因斯坦在答覆中寫道：「照我的意見，這種情況並不說明相對性原理失敗了……沒有一點兒根據懷疑它的有效性。」私下裡，他把亞伯拉罕的引力理論描述成「一匹缺了三條腿的高貴馬兒」。在1913年和1914年間寫給朋友們的信中，愛因斯坦談了這場爭論，「我喜歡這個，至少事情有了必要的生氣，我欣賞這種爭論，費加羅式的：他想跳舞，我願為他伴奏。2」「我很高興，同行們都投身到這個[格羅斯曼和我發展起來的]理論中來了，儘管他們現在的目的是要抹煞它……從表面看，諾德斯特勒姆的理論……似乎合理得多，但它也是建立在[平直的閔可夫斯基時空]的，我感到，人們對[平直時空]的信仰，差不多像某種迷信了。」
1914年4月，愛因斯坦離開蘇黎世，到柏林做一名不用講課的教授。他終於可以如願地盡情工作了，甚至在柏林的大物理學家普朗克和能斯特（Walther Nernst）的影響裡，他還是這麼做。儘管在1914年爆發了第一次世界大戰，愛因斯坦在柏林仍然繼續追尋著一個能讓人接受的關於物質如何使時空發生彎曲的描述，一個不依賴於任何特殊類型的參照系的描述——一個改進的關於捲曲的定律。
從柏林坐3個小時火車就來到閔可夫斯基曾經工作過的哥廷根大學村，歷史上最偉大的數學家之一，大衛·希爾伯特（David Hilbert）就在那裡。在1914和1915年間，他對物理學產生了強烈的興趣。愛因斯坦發表的思想令他著迷。於是，1915年6月底，他邀請愛因斯坦來訪問。愛因斯坦去了約一個星期，為希爾伯特和他的同事們作了6次兩個小時的演講。訪問過了幾天以後，愛因斯坦給朋友寫信說，「看到[關於我工作的]每件事情在哥廷根都能得到最徹底的理解，我真太高興了。希爾伯特也令我著迷。」
回柏林幾個月後，愛因斯坦-格羅斯曼捲曲定律令他比以前更痛苦。它不但違反了他的引力定律應在所有參照系相同的理想，而且，經過艱難計算後，他還發現，得到的水星軌道近日點的異常移動值是錯的。他原希望這個理論能夠解釋這個近日點移動，從而勝利解決移動與牛頓定律的偏差，這個成果至少能帶來一點實驗證據，證明他的引力定律是對的，而牛頓的是錯的。然而，他在愛因斯坦-格羅斯曼捲曲定律基礎上的計算卻只得到了觀察到的近日點移動的一半。
愛因斯坦徹底檢查了他和格羅斯曼過去的計算，發現幾個關鍵性的錯誤。整個10月，他都在滿懷激情地工作。11月4日，他在柏林的普魯士科學院週末全體會議上提交了關於他的錯誤和修正的捲曲定律的報告——定律對一類特殊的參照系仍存在一定依賴性，不過不像以前那麼強。
愛因斯坦還是不滿意，他又同11月4日的定律鬥爭了一個星期，發現了錯誤，向11月11日的科學院大會又提出一個捲曲定律的建議。但是，定律還是依賴於特殊參照系，仍然違背他的相對性原理。
就讓它違背下去吧。接下來的一個星期裡，愛因斯坦計算了他的新定律的可以通過望遠鏡觀測的結果。他發現定律預言，經過太陽邊緣的星光應被引力偏轉1.7弧秒的角度（4年以後在一次日食中進行的精確測量將證實這個預言）。而對愛因斯坦最重要的是，新定律給出了正確的水星近日點移動！他欣喜若狂，興奮得3天做不了事情。在11月18日的科學院大會上，他報告了這個勝利。
但是，他的定律違背相對性原理，這仍令他煩惱。於是，他在下個星期又檢查了計算，發現了另外的錯誤——最關鍵的一個。終於，一切都明白了，整個數學體系現在都擺脫了對特殊參照系的任何依賴：在任意一個參照系中定律都有相同的形式（見下面的卡片2.6），因此服從相對性原理。愛因斯坦1914年的理想完全實現了！新的公式對水星近日點進動和光的引力偏折給出相同的預言，而且把他1907年的引力時間膨脹的預言也包括進來了。11月25日，愛因斯坦向普魯士科學院報告了他這些結果和他的廣義相對論的最終確定形式。7
3天後，愛因斯坦給朋友索末菲寫信說：「在過去的一個月裡，我度過了一生中最興奮、最艱苦但也最成功的時光。」接著，在[1916年]1月給埃倫費斯特的信中，他說：「你能想像我有多快樂，[我的新的捲曲定律遵從相對性原理，]它還預言了正確的水星近日點的運動。我狂喜了幾天。」後來，他談了這個時期的感受：「在黑暗中找尋我們感覺得到卻表達不出的真理的年月裡，那強烈的慾望和動搖的信心以及成功前的焦慮，只有親身經歷過的人才能體會。」
值得注意的是，愛因斯坦並不是第一個發現捲曲定律的正確形式（服從相對性原理的形式）的人，第一個發現者應該是希爾伯特。1915年秋，當愛因斯坦還在向正確定律努力，數學錯誤接連不斷時，希爾伯特也在考慮他從愛因斯坦夏季來哥廷根訪問時學來的東西。他在波羅的海的陸根島度假時，突然產生一個關鍵的想法，幾個星期後，他得到了正確的定律——他沒有走愛因斯坦那條艱難的試錯路線，而是走一條優美而簡捷的數學道路。1915年11月20日，希爾伯特向哥廷根的皇家科學院報告了他的推導和最後的定律，正好比愛因斯坦在柏林向普魯士科學院報告相同定律早5天。
不過，最後的捲曲定律很快被稱為愛因斯坦場方程（卡片2.6），而沒有用希爾伯特的名字來命名，這是很自然的，也符合希爾伯特自己對事情的看法。希爾伯特獨立並幾乎與愛因斯坦同時完成了這個發現的最後幾個數學步驟，但愛因斯坦發現了這些步驟之前的幾乎一切東西：認識了潮汐引力與時空捲曲必須是同一件事情，設想捲曲定律必然服從相對性原理，它們是這個定律（愛因斯坦場方程）的90%。事實上，如果沒有愛因斯坦，引力的廣義相對論定律可能會晚發現幾十年。
卡片2.6 愛因斯坦場方程：愛因斯坦的時空捲曲定律8
愛因斯坦的時空捲曲定律，即愛因斯坦場方程指出，「物質和壓力使時空捲曲。」更具體地說：
在時空任一位置任選一個參照系，通過研究在這個選定的參照系的三個方向（東-西、南-北和上-下）上曲率（即潮汐引力）將自由運動的粒子推近或拉開的方式來尋找時空的曲率。粒子沿時空的測地線運動（圖2.6），它們被推近或拉開的速率正比於它們之間的方向上的曲率大小。如果它們像在圖（a）和（b）中那樣被推近，我們就說曲率是正的；如果它們像在圖（c）中那樣被拉開，曲率就是負的。
將東-西（圖（a））、南-北（圖（b））和上-下（圖（c））三個方向上的曲率加起來，愛因斯坦場方程指出，這三個曲率大小的和正比於粒子附近的質量密度（乘以光速的平方化為能量密度，見卡片5.2）加上粒子附近物質壓力的3倍。
即使你和我可能處在時空的同一位置（如，1996年7月14日中午飛在法國巴黎上空），如果我們彼此相對運動，你的空間將不同於我的，同樣，你測量的質量密度（如我們周圍空氣的質量）也將不同於我測量的密度，我們測量的物質壓力（如空氣壓力）也將不同。同樣，你測量的三個時空曲率之和也將不同於我測量的和。然而，你和我都一定會發現，我們測量的曲率之和正比於我們測量的質量密度加上我們測量的壓力的3倍。在這個意義上，愛因斯坦場方程在每個參照系中都是一樣的；它服從愛因斯坦的相對性原理。
在大多數情況下（如整個太陽系），物質的壓力與它的質量密度乘以光速平方柏比很小，因而壓力對時空曲率的貢獻是不重要的；時空捲曲幾乎只歸因於質量。只有在中子星內部深處（第3章）和其他特別的地方，壓力對捲曲的貢獻才有意義。
通過愛因斯坦場方程的數學計算，愛因斯坦和其他物理學家不但解釋了光線被太陽的偏折和行星在軌道上的運動（包括奇怪的水星近日點的移動），而且還預言了黑洞（第3章）、引力波（第10章）、時空奇點（第13章）的存在，也許還有蟲洞和時間機器（第14章）的存在。本書其餘部分就用來討論愛因斯坦這些天才的遺物。
當我瀏覽愛因斯坦發表的科學論文時（很遺憾，我只能看1965年的俄文本選集，因為我不懂德文，而他的大多數論文到1993年才開始譯成英文！）9，我驚訝地發現他的研究風格在1912年發生了巨大的改變。1912年前，他的文章以優美的文筆、深刻的直覺和簡單的數學而令人賞心悅目，其中許多論證跟我們在90年代講相對論時所用的是一樣的，沒人想去改進它們。相反，1912年以後，愛因斯坦的論文裡出現了大量複雜的數學——儘管通常結合著他對物理學定律的洞察。這種數學與物理學洞察的結合，在1912～1915年間所有在引力領域工作的物理學家中，只有愛因斯坦才有，它最終將他引向了引力定律的完全形式。
但是，愛因斯坦的數學工具用得有點兒笨拙，像希爾伯特後來說的，「哥廷根街上的每個小孩兒都比愛因斯坦更理解四維幾何。不過，儘管如此，愛因斯坦還是做成了這件事[建立引力的廣義相對論定律]，而數學家沒有。」他之所以做成了，是因為這件事僅有數學是不夠的；還需要他那獨特的物理學洞察。
實際上，希爾伯特說得過分了。愛因斯坦是一個很不錯的數學家，儘管，他在數學技巧上不像在物理學洞察中那樣算得上是一個大師。結果，我們現在很少用愛因斯坦1912年以後提出的形式來討論他當時的論證，我們已經學會了更好的形式。而且，隨著1915年過後，物理學定律的數學味道越來越濃，愛因斯坦當年那個巨人的身影也越來越淡，火炬已經傳給了別人。
[1] 愛因斯坦用一個新名詞「廣義協變性」來稱這種性質，儘管它不過是他的相對性原理的自然推廣。
[2] 這裡，愛因斯坦引用了歌劇《費加羅的婚禮》（Lorenzo Da Ponte編劇，莫扎特曲，見第二幕）裡的台詞。——譯者