至少包含一個聯結詞的命題是復合命題；否則，它是簡單命題。請考慮如下例子：
例11-7 席琳·迪翁是一名歌手，羅素·克洛是一名演員。
這是一個復合命題，它是如下兩個簡單命題的合取：
例11-8 席琳·迪翁是一名歌手。
例11-9 羅素·克洛是一名演員。
合取是5個聯結詞之一。其他4個分別是否定、析取、實質蘊涵和實質等值。對於每個聯結詞，我們引入一個符號，並且給出一條真值規則。其中，真值規則用於確定由特定聯結詞構造而成的復合命題的真值。因為與每個聯結詞相聯繫的真值規則定義了該聯結詞，所以每個聯結詞都是「真值函項聯結詞」。不過，在多數時候，我們將它們簡稱為「聯結詞」，見表11-1。
在討論每個聯結詞之前，請注意，通常只有一個聯結詞管轄一個復合命題，稱之為「主聯結詞」。我們通過識別主聯結詞來確定一個給定的命題屬於哪類復合命題：合取命題、否定命題、析取命題等。顯然，當一個命題包含多個聯結詞時，確定哪個聯結詞是主聯結詞很重要。
否定
否定是一個真值函項聯結詞，它一般被表達為 「並非」（即英文「not」），用波浪形符號「～」表示。否定能夠影響一個命題自身。即便如此，在習慣上我們也把它當作一個「聯結詞」。在日常語言中，否定可以出現在一個陳述的任意部分。當一個否定加在一個簡單命題上的時候，這個命題就成為一個復合命題。請考慮如下例子：
例11-10 羅素·克洛不是一名演員。
例11-10a ～C
在這裡，通過添加一個否定，簡單命題 「羅素·克洛是一名演員」變成了復合命題。在例11-10a中，我們用波浪形表達一個否定，用C代表被它影響的那個簡單命題。
被否定影響的命題自身也可以是復合命題。例如：
例11-11 並非火星和木星都有水。
例11-12 並非瑪麗不在圖書館。
為了表達否定的命題，否定符號通常位於被否定的東西之前。例11-12是「瑪麗不在圖書館」的否定，而「瑪麗不在圖書館」本身也是一個否定。這樣，我們就有了一個雙重否定：對本身是一個否定命題的否定。雙重否定可以用命題公式表示為：
例11-12a ～～L
因為兩個否定互相抵消，所以例11-12a在邏輯上等價於：
例11-12b L
任意包含否定的命題或者命題公式都是復合命題。如下「真值規則」定義了否定。它們也可以用於確定包含否定的命題（或命題公式）的真值。
一個否定命題為真，如果被否定的命題為假。
一個否定命題為假，如果被否定的命題為真。
當一個命題是另一個命題的邏輯否定的時候，這兩個命題不具有相同的真值：當「P」為真時，「～P」為假；當「～P」為真時，「P」為假。例如，上述命題例11-11（即「火星和木星都有水」的否定）為真，而「火星和木星都有水」為假。在如下的例子中，例11-14不是例11-13的否定，因為這兩個命題都為假。
例11-13 所有牙齒矯正醫生都是高個子。
例11-14 沒有牙齒矯正醫生是高個子。
現在，請考慮如下命題：
例11-15 有些牙齒矯正醫生不是高個子。
例11-16 有些牙齒矯正醫生是高個子。
例11-15是例11-13的否定，而例11-16是例11-14的否定。在這裡每一對命題均不可能有相同的真值。不過，邏輯上等價的命題會有相同的真值。例如，如果例11-17為真，那麼例11-18也為真。
例11-17 林肯被暗殺了。
例11-18 並非林肯沒有被暗殺。
例11-18是一種雙重否定，即它是「林肯沒有被暗殺」的否定。
注意，以「……不是真的」、「……是假的」、「……從來沒有發生過」等形式表達的命題通常是一種否定，正如在英語中包含 「in-」、「un-」和「non-」等前綴的命題一樣。例如：
例11-19 我的選舉權是不可剝奪的（inalienable）。
在這裡，「不可剝奪的」（inalienable）意味著「不是可剝奪的」（not alienable）。例11-19在邏輯上等價於：
例11-19a 我的選舉權不是可剝奪的。
同樣，因為「未婚」（unmarried）意味著「沒有結婚」（not married），所以例11-20與例11-20a在邏輯上也是等價的：
例11-20 康多莉扎·賴斯是未婚的。
例11-20a 並非康多莉扎·賴斯是結了婚的。
但是，例11-21不是一個否定：
例11-21 未婚夫婦也有獲獎資格。
在這裡，「未婚的」（unmarried）並不是用來否定整個命題的。它只影響「結婚的」（married）這個詞。
最後要注意，儘管在英語中像「miss」、「violate」、「fail」等詞語都有否定的意思，但它們不被用來表達否定。
合取
合取是一個真值函項聯結詞，可以用自然語言表達為「並且」，用符號表示為「·」。相應復合命題稱為「合取命題」。合取通常放在兩個命題之間，這兩個命題都被稱為「合取支」。合取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個復合命題。接下來，我們來考察一些由簡單命題經過合取而構成的復合命題。
例11-22 珠穆朗瑪峰（Everest）在中國西藏，勃朗峰（Blanc）在法國。
例11-23 火星（Mars）和木星（Jupiter）都有水。
它們可以用符號表達為：
例11-22a E · B
例11-23a M · J
回憶前面的例11-11：
例11-11 並非火星和木星都有水。
表達該命題的公式是例11-11a，它用圓括號表明M和J都在否定的轄域內。
例11-11a ～（M · J）
關於圓括號和其他標點符號的使用，我們將在後面做更多闡述。現在，讓我們考慮為什麼合取是一個真值函項聯結詞。這是因為，對於一個合取命題，只要給定其合取支的真值，依據如下規則，就可以確定該合取命題的真值。
一個合取命題為真，當且僅當它的合取支都為真；否則，一個合取命題為假。
例11-22為真，因為它的兩個合取支事實上都為真。但是，如果一個合取支為真而另一個為假，或者兩個都為假，那麼相應的合取命題就為假。對於例11-23，因為我們知道它的兩個合取支都為假，所以該命題為假。同樣，下列命題也為假：
例11-24 珠穆朗瑪峰在中國西藏，但勃朗峰不在法國。
例11-25 珠穆朗瑪峰不在中國西藏，勃朗峰不在法國。
因為勃朗峰在法國，所以例11-24的第二個合取支為假，這使得該合取命題為假。因此，在一個合取命題中，「假」類似於傳染病，只要存在於一處，整個復合體就會被破壞。在例11-25中，兩個合取支都為假，因為它們都是一個真命題的否定。上述兩個命題可以用符號表示為：
例11-24a E ·～B
例11-25a ～E ·～B
另外，需要注意的是，像例11-23一樣，在日常語言中許多合取命題都是採用縮寫的形式。例如：
例11-26 羅特韋爾犬和多伯曼犬都是兇猛的狗。
上述命題在邏輯上等價於：
例11-27 羅特韋爾犬是兇猛的狗，並且多伯曼犬也是兇猛的狗。
然而，例11-28不是一個由兩個簡單命題組成的合取命題的簡寫，而是另一個簡單命題，用於描述兩種狗之間的一種特定的關係。
例11-28 羅特韋爾犬和多伯曼犬正在互相發出吠聲。
此外，還需注意的是，作為一個真值函項聯結詞，合取滿足交換律，即合取支的次序不影響相應復合命題的真值。假設例11-26為真，那麼依據相關事實，「多伯曼犬是兇猛的狗，並且羅特韋爾犬也是兇猛的狗」為真，例11-27也為真。然而，對於這一點，我們也得小心，因為有時次序需要被考慮。不過，在這種情況下合取就不是一個真值聯結詞了，例如：
例11-29 他脫了鞋，上了床鋪。
當例11-29和例11-30均為真時，所對應的事實並不完全相同：
例11-30 他上了床鋪，脫下鞋。
在這些非真值函項合取命題中，事件的次序（即合取支的次序）的確有影響。我們再觀察如下兩個例子：
例11-31 他看見她並且說「你好」。
例11-32 他說「你好」並且看見她。
最後，除了「並且」（and）之外，自然語言中還有很多表達合取的詞，包括「但是」（but）、「然而」（however、nevertheless、yet）、「也」（also）、「另外」（moreover）、「而」（while）、「即使」（even though）和「儘管」（although）等。
析取
析取也是一個滿足交換律的聯結詞，可以用自然語言表達為「或者」，用符號表示為「ˇ」。相應的復合命題稱為「析取命題」。在表達一個析取命題的時候，聯結詞通常放在兩個命題之間，這兩個命題都稱為「析取支」。析取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個復合命題。下面是兩個析取命題（分別用自然語言和符號表示）：
例11-33 羅馬在意大利（Italy），或者羅馬在芬蘭（Finland）。
例11-33a I ˇ F
例11-34 羅馬不在意大利，或者巴黎不在法國（France）。
例11-34a ～I ˇ～F
例11-33和例11-34都是析取命題，因此都是復合命題。析取是一個真值聯結詞，因為對於一個析取命題，只要給定其析取支的真值，依據如下規則，就可以確定該析取命題的真值。
一個析取命題為假，當且僅當它的析取支都為假；否則，一個析取命題為真。
依據上述規則，一個析取命題為真，該命題中至少有一個析取支為真。由此可知，例11-33為真，而例11-34為假。例11-35也是假的，因為它的兩個析取支（均為復合命題）都為假。
例11-35 或者雪地（snow）防滑輪胎在熱帶是有用的並且空調（air conditioners）在冰島是流行的，或者企鵝（Penguins）並非在寒冷中茁壯成長。
例11-35a （S · A） ˇ ～P
顯然，合取命題（S · A）為假，因為它的兩個合取支都為假；同時，～P為假，因為它是P的否定，而P為真。因為例11-35的兩個析取支都為假，依據析取的真值規則，可知例11-35為假。
除了「或者」（or）之外，析取還可以由其他自然語言來表示，如「要麼……要麼……」和「除非」等。有時，析取被嵌入到否定中（例如「既不……也不……」）。這時，否定是主聯結詞。對於上述這些情況，請看如下例子：
例11-36 她是該課程的主講教師，除非課程表錯了。
例11-36a 要麼她是該課程的主講教師，要麼課程表錯了。
例11-37是例11-37a的縮略表達：
例11-37 中央情報局和聯邦調查局都不容忍恐怖分子。
例11-37a 既非中央情報局容忍恐怖分子，也非聯邦調查局容忍恐怖分子。
因為「既不……也不……」通常用於表達一個析取的否定，所以例11-37在邏輯上等價於：
例11-38 並非「要麼中央情報局容忍恐怖分子，要麼聯邦調查局容忍恐怖分子」。
因此，例11- 37和例11-38都可以被符號化為一個析取的否定：
例11-38a ～（C ˇ F）
注意，這裡的主聯結詞是否定，不是析取。另外，例11-37和例11-38在邏輯上等值於例11-39。
例11-39 中央情報局不容忍恐怖分子，聯邦調查局也不容忍恐怖分子。
例11-39a ～C···～F
最後，一個真值函項析取是相容的，當兩個析取支可能都為真；或者是不相容的，當只有其中之一可能為真。本書著重討論相容析取，其真值規則已在前面給出。
實質條件
實質條件式是一種復合命題，又稱為「實質蘊涵式」或「條件式」。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為「如果……那麼……」，或用符號表示為「∩」。例如：
例11-40 如果瑪麗亞是執業律師，那麼她已經通過了律師資格考試。
一個條件式由兩部分構成：放在「如果」後面的是它的前件，而放在「那麼」後面的是它的後件。
實質條件是一個真值函項聯結詞，因為對於由它所產生的復合命題，只要給定其前件和後件的真值，依據如下規則，就可以確定該復合命題的真值。
一個實質條件式為假，當且僅當它的前件為真並且後件為假；否則，它為真。
因此，任意具有真後件的條件式為真，而任意具有假前件的條件式為真。
實質條件式中的兩個命題既可以是簡單命題，也可以是復合命題。它們代表一個假說關係，其中前件和後件都不是被獨立地斷定的。例11-40斷定瑪麗亞是執業律師嗎？不是。斷定她已經通過了律師資格考試了嗎？也不是。相反，在任意條件式「如果P那麼Q」中，P和Q代表這樣一種假說關係，使得P為真蘊含著Q也為真。為了質疑一個條件式，我們必須表明其前件為真並且後件為假。
注意，有時用於引出一個條件句後件的「那麼」可以被省略。另外，除「如果……那麼……」之外，自然語言的其他表述也可以用於引入條件句的前件或後件。這些表述可以出現在一個語句的後件之前、前件之前，或者它們二者之前。在下面的例子中，由雙下劃線標記的是前件，由單下劃線標記的是後件：
瑪麗亞已經通過了律師資格考試，只要她是執業律師。
假定瑪麗亞是執業律師，則她已經通過了律師資格考試。
在假設瑪麗亞是執業律師的情況下，她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，只有當她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，蘊含著她已經通過了律師資格考試。
現在我們把上述條件式用符號語言來表達。用「M·」代表「瑪麗亞是執業律師」，「E·」代表「她已經通過了律師資格考試」。如下公式表達了任何以「M·」為前件、以「E·」為後件的命題。它把「M·」放在最前面，然後是馬蹄形符號，最後面是「E·」：
例11-40a M ∩ E
在形式化的過程中，我們遵循的規則是：
為了用符號語言來表達一個條件式，我們必須先列出它的前件，後列出它的後件，無論在自然語言句子中這兩部分以何種順序出現。
依據如下術語，我們把下面的自然語言條件句翻譯為用符號語言表示的條件式：
N = 美國是一個超級大國。
I = 中國是一個超級大國。
C = 中國在其他國家有代理機構。
O = 美國在其他國家有代理機構。
例11-41 如果中國是一個超級大國，那麼中國和美國在其他國家都有代理機構。
例11-41a I ∩ （C · O）
例11-42 並非「如果美國在其他國家有代理機構，那麼它是一個超級大國」。
例11-42a ～ （O ∩ N）
例11-43 中國在其他國家有代理機構，只要美國和中國都是超級大國。
例11-43a （N · I） ∩ C
例11-44 如果美國在其他國家沒有代理機構，那麼它就不是一個超級大國。
例11-44a ～O ∩ ～N
例11-45 中國在其他國家有代理機構，蘊含著：或者它是一個超級大國，或者美國不是一個超級大國。
例11-45a C ∩ （I ˇ ～N）
例11-46 如果「或者美國在其他國家有代理機構，或者中國在其他國家有代理機構」，那麼美國和中國都不是超級大國。
例11-46a （O ˇ C） ∩ ～ （N ˇ I）
例11-47 如果美國不是一個超級大國，那麼它「或者在其他國家有代理機構，或者在其他國家沒有代理機構」。
例11-47a ～N ∩ （O ˇ ～O）
注意，「P除非Q」也可以被表達為「如果並非P那麼Q」。因此，「美國是聯合國的一個成員，除非美國拒斥聯合國憲章」，等價於「如果美國不是聯合國的一個成員，那麼美國拒斥聯合國憲章」。
充分條件和必要條件。在任意實質條件式中，前件是後件的充分條件，而後件是前件的必要條件。因此，「如果P那麼Q」的另外一種方式是：P對Q是充分的，而Q對P是必要的。某個命題P為真的一個必要條件是指事情的某種狀態：若沒有它，則P不可能為真；但若僅僅依靠它自身，則並不足以使P為真。在例11-40中，「瑪麗亞已經通過了律師資格考試」是「她是一名執業律師」的必要條件（如果她沒有通過律師資格考試，那麼她不可能是一名執業律師，儘管僅僅通過律師資格考試並不能保證她是一名執業律師）。某個命題Q為真的一個充分條件是指事情的某種狀態：僅僅依靠它自身就足以使Q為真，但它並不是使Q為真的唯一途徑。在例11-40中，「瑪麗亞是一名執業律師」是「她已經通過了律師資格考試」的充分條件（意思是前者保證了後者）。
在一個實質條件式中：
後件是前件為真的必要（但不是充分）條件。
前件是後件為真的充分（但不是必要）條件。
實質雙條件
一個實質雙條件式是一種復合命題，又稱「實質等值式」，或簡稱「雙條件式」。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為「當且僅當」，或用符號表示為「≡」。雙條件也可以用自然語言表示為其他形式，如：「恰好在……情況下」（just in case）、「等值於」（is equivalent to）、「當並且只有當……的時候」（when and only when）等，或者縮寫作「iff」。一個雙條件式的兩個部分既可以是簡單命題，也可以是復合命題。下面是一個由簡單命題構成的雙條件式，分別用自然語言和符號來表示：
例11-48 班克斯特博士是這所學院的校長，當且僅當她是該學院的首席執行官。
例11-48a B ≡ O
對於由雙條件式所產生的復合命題，它的真值取決於組成部分的真值，相應的真值規則如下：
一個實質雙條件式為真，當它的組成部分有相同的真值時成立，即它們要麼都為真、要麼都為假；否則，一個雙條件式為假。
給定上述規則，為了使得一個雙條件命題為真，組成它的命題必須具有相同的真值，即要麼兩者都為真、要麼兩者都為假。當一個雙條件式的構成部分具有不同的真值時，該雙條件式為假。例11-49～例11-51均為假，因為它們中的任何一個都描述了兩個具有不同真值的命題。
例11-49 喜馬拉雅山是一座山脈，當且僅當羅馬教皇是英國聖公會的領袖。
例11-50 倫敦在英格蘭，當且僅當波士頓在波斯尼亞。
例11-51 鸚鵡是哺乳動物，當且僅當貓是哺乳動物。
相反，以下雙條件式都為真，因為在各種情況下其組成部分都有相同的真值：
例11-52 林肯是被刺殺的，當且僅當肯尼迪是被刺殺的。
例11-53 北京是法國首都，當且僅當比爾·蓋茨是貧窮的。
例11-54 「櫟樹是樹木」與「老虎是貓科動物」在邏輯上是等值的。
在任意雙條件式中，每個組成部分既是另一部分的必要條件，也是它的充分條件。因此，在例11-48中，「班克斯特是該學院的首席執行官」既是「她是這所學院的校長」的必要條件，也是它的一個充分條件。「她是這所學院的校長」既是「她是該學院的首席執行官」的必要條件，也是它的充分條件。因此，一個雙條件式可以被理解為兩個條件式的合取。這樣，我們可以把例11-52表達為這兩種情況中的任意一種：
例11-52a L ≡ K
例11-52b （L ∩ K） · （K ∩ L）
例11-52b是兩個條件式的合取，其前件與後件互相蘊含。這就是為什麼我們把實質等值關係叫作「雙條件式」的原因。顯然，該聯結詞滿足交換律。
專欄11-1 小結：復合命題
受一個真值函項聯結詞影響的任何命題都是復合命題；否則，它是一個簡單命題。
一個復合命題的真值由如下兩個因素確定：
（1）它的組成部分的真值；
（2）與該命題中各個聯結詞相關的真值規則。
否定是唯一一個能夠影響單一命題的聯結詞。