伽利略在提出了相對性原理之後，覺得用一句話來表述這個原理還是顯得不夠簡潔、不夠酷。伽利略想，好歹我也是個數學家，怎麼著也應該用數學的語言來描述我發現的這條偉大原理吧。於是沒過多久，伽利略就提出了幾個數學公式，用來描述相對性原理，後人把這幾條數學公式就叫作伽利略變換式。在我們現代人看來，這個變換式其實是相當簡單的，只需要用到一點點小學數學知識即可。現在我要給大家出一道小學數學的應用題（我相信這道數學題能勾起你很多美好的童年回憶）：
小明和小紅一起來到公交車站，兩人見面以後互相對了手錶確定時間。小紅要坐的車先來，她登上公交車，車開動的時候剛好是7點整，公交車以10米/秒的速度開走了。問：1分鐘以後小紅距離小明多遠？小紅和小明的手錶分別是幾點？
可能你腦袋裡會冒出一大堆問號，懷疑是不是我在出腦筋急轉彎題。小明和小紅的手錶走時完全准嗎？公交車走的是直線嗎？小明在一分鐘內確實沒動嗎？你這個距離是按照公交車頭還是車尾算？小明是一直站著的嗎？真的沒趴下來？
我理解你這種心情，社會上混久了，總覺得簡單的背後藏著什麼陷阱。我現在很誠懇地告訴你，確實沒有任何陷阱，忽略你的那些疑惑，這就是一道小學數學應用題。下面是解法：
1．一分鐘等於60秒。小紅距離小明的距離s＝vt＝10×60＝600（米）。
2．小明和小紅的手錶都是07︰01。
上小學的時候，為瞭解這道題，老師一般喜歡給我們畫一幅這樣的圖來解釋：
【圖2-3】數學題圖示
看到這幅圖，有沒有勾起點童年的回憶？好了，從這道題出發，我們繼續往下深入一步，我把這道小學數學題改寫為一道初中數學題，如下：
小明和小紅各自代表一個坐標系的坐標原點，且初始位置相同，有一隻大懶貓在小明的坐標系中的坐標x處睡大覺，此時小紅以速度v沿著X軸方向做勻速直線運動，t時間以後，設大懶貓在小紅的坐標系中的坐標為x′（注意這個是x一撇），求x′和x之間的關係式以及小明的時間t和小紅的時間t′之間的關係式。
我知道你對上面的題看了不止一遍，讀上去有點拗口，看上去也有那麼一點兒專業了，但這道題實質上和上面那道小學題是完全一樣的，所要運用到的數學知識跟第一道題完全一樣，我們看一下這道題的圖解：
【圖2-4】數學題圖示
畫完上面這個圖解，我必須順便提一下，像這樣一根橫著的X軸加一根豎著的Y軸的坐標系叫作直角坐標系，這是數學家笛卡爾發明的，我們在高中的時候還學到過一種極坐標系，那個只需要一個極點和一根極軸就夠了（任何一個點的坐標是用到極點的距離和與極軸的夾角來表示）。直角坐標系因為特別容易理解，所以用得最廣泛，以至於我們經常省略直角兩個字，直接叫坐標系。我教你一個「裝」的招數，就是下次遇到機會就這樣說：「各位，首先讓我們來構建一個笛卡爾坐標系……」加上笛卡爾三個字，聽眾立馬就會覺得你很厲害。如果你只是平淡無奇地說：「各位，首先讓我們畫個坐標系。」這效果馬上大打折扣。
言歸正傳，就著上面的圖解，我直接寫下答案，我想你一定能理解：
x′＝x-vt
t′＝t
以上這兩個數學表達式我們稱之為伽利略變換式。我知道你此時正在想：x′到x的變換馬馬虎虎還能算個數學公式，不過也真是夠簡單的，但這個t′＝t真是要讓我噴飯了，這算啥意思？就是告訴我們小明的手錶過去了幾分鐘，小紅的手錶也過去了幾分鐘嗎？這也需要伽利略當作一個偉大定理來告訴我們？
你先不用這麼憤憤不平，讓我來解釋一下這兩個數學表達式的偉大意義。坐標x我們可以把它抽像地認為是小明眼中的世界，而坐標x′可以抽像地認為是小紅眼中的世界，有了這個關係式以後，只要知道了小紅的速度和時間，我們就能把小紅眼中的世界轉換為小明眼中的世界。嗯，上面幾句話我承認還是有點費解，所以需要來舉例子。
現在你想像一下：小紅在一艘勻速直線運動的船艙裡做各種各樣的力學實驗，測量各種實驗數據來推導各種力學定理。力學實驗要測量什麼？你仔細一想，會發現，所有的力學實驗對於物理學家來說只需要測量兩樣東西，一個是坐標（比如小球的起點坐標和終點坐標），一個是用一個盡可能精確的鐘錶測量時間（當然通常還要測量一個質量，不過那個一般都是一次性測量或者取一個標準質量的物體）。所有的力學實驗無非就是測量各種各樣的坐標和時間的數據，然後從這些雜亂的數據中尋找普遍規律，從而總結出力學定律。
現在小紅是一個在船艙中做實驗的物理學家，小明是一個站在岸上的物理學家，對於同一個實驗，小紅以自己為參照系可以很方便地測量出來一堆數據，但是你想想如果小明也想測量小紅所做的那些力學實驗的數據，他該怎麼辦？小明既沒有千里眼，也沒有千里手，船每時每刻都在離他而去，小明對此只能望洋興歎。
伽利略突然出現了，他看著愁眉苦臉的小明，微笑著說：「不用發愁，山人自有妙計。」
小明問：「什麼妙計？」
伽利略：「你只需要知道船的速度即可，剩下的事情就都好辦。」
小明：「船的速度不難知道，測出來以後接下來怎麼辦呢？」
伽利略：「你只要讓小紅把她測量到的所有實驗數據下船以後給你，然後用我強大的伽利略變換式，你就能把她測得的所有坐標數據和時間數據變換成以你為參考系的數據。」
小明：「原來如此，伽利略你真了不起！」
於是，小明按照伽利略的辦法如願得到了所有他想要的實驗數據。然後，小明和小紅分別用自己手頭的數據開始研究力學定律，研究完畢，兩人把他們各自總結出來的規律一比較，竟然完全一致。
你看，有了伽利略變換式，我們就能證明對於同一個力學實驗，不管是站在小明的角度觀測，還是站在小紅的角度觀測，所得到的規律是相同的。這說的不就是伽利略相對性原理嗎？看來伽利略還真是有點不簡單。
大家應該還記得我們在上中學的時候學過一個關於自由落體的定律：
。這個定律告訴我們的是，只要知道物體下落的時間，就能算出物體下落的高度。
我本來想以這個為例子來說明雖然通過伽利略變換後實驗數據的絕對值變了，但是最後用數學的方法倒騰來倒騰去，等式兩邊同時加加減減，居然所有的差異都神奇地抵消了，最後總結出來的公式，不論是在小明的參考系中還是在小紅的參考系中都是完全等價的。但是考慮到很多人對數學公式的天生懼怕，我擔心嚇跑了各位耐心的讀者，那就悲劇了！因此，我還是不賣弄數學風騷了。
伽利略變換式的偉大意義就在於，他用數學的方法證明了伽利略相對性原理。
說到這裡，我相信各位讀者已經完全理解了伽利略相對性原理和伽利略變換，一點兒都不難。正因為簡單好懂，符合我們日常生活中觀察到的所有現象給我們造成的印象，因此，伽利略大俠的這一原理，一變換就像是倚天劍、屠龍刀，統治了物理學江湖長達二百多年之久。在二百餘年的時間裡，無人不臣服，無人敢挑戰，就好像此刻的你不也認為這是天經地義的嗎？難道這真有可以挑戰的地方嗎？是的，二百多年後一個叫洛倫茲（Lorentz，1853-1928）的俠士拿著一把銹跡斑斑的大刀，向伽利略變換發出了挑戰，並且竟然一刀就將伽利略變換這把屠龍刀斬為兩截。隨後，又有一個26歲的年輕人，無門無派，不知道從何方冒出來，攜一把木劍向伽利略相對性原理這把倚天劍發出了挑戰，這一戰可謂刀光劍影，霹靂驚雷。這個年輕人，姓愛因斯坦，名阿爾伯特，那真是五百年一遇的一位奇男子。當然，這些是後話，且聽我慢慢道來。
1642年1月8日凌晨4點，在故鄉意大利，78歲的伽利略走到了人生的盡頭，他不斷地重複著一句話：「追求科學需要特殊的勇氣。」聲音越來越輕，終於，伽利略吐出了最後一口氣，合上眼睛，一位科學巨星隕落了。冬去春來，斗轉星移，整整一年後，在英格蘭的林肯郡有一名男嬰呱呱墜地，一位新的科學巨星誕生了，力學的接力棒從伽利略手上交到了這名男嬰的手上，這名男嬰叫作艾薩克·牛頓。