【這篇文章大概寫於2004年，當時以Wally的名字貼於「世界軍事論壇」，然後有人告訴我這就是蘭切斯特方程的平方率。也有人說是我早知道這個方程，又故意說是自己獨立推導的，令我有口難辯。今天在看到一篇果殼網的文章，又想起了此文。現在過去這麼多年，我又寫過不少文章，可是從原創技術含量角度，大概沒有一篇能比得上這篇。】
【我認為根據這個理論，以M*Sqrt(p)來計算兵力的話，雙倍於敵軍兵力應該是最有效率的打法。另外，後面關於F-22和J8-II的比方是錯誤的，遠程攻擊不適合平方率，而且如果別人能打到你而你根本打不到別人，那就再多人數也沒用。】
人海戰術是我軍作戰常用打法。經常有人對這個打法持不屑的態度，認為難道就因為中國人多，中國人命就不值錢麼，認為我們應該把主要精力用在提高單兵戰鬥力上面，而不應該總是靠人多取勝勝之不武。其實毛澤東軍事思想一直都是強調以多打少，集中優勢兵力殲滅敵人。即使在全局我軍兵力不如敵軍，我們在局部戰鬥，即使是游擊戰的時候，仍然是強調要以多於敵軍的兵力來作戰，傷其十指不如斷其一指。
我最近幾天因為老闆出去度假，自己在家偷懶玩遊戲打魔獸爭霸，對人海戰術有了一些新的理解。以下本文試圖從數學角度研究人海戰術的優勢所在。我對軍事屬於完全業餘水平，不知道是不是早就有人做過類似的計算，也許我做的這個計算早就是軍事教科書的常識了。我將會用到微分方程，但是如果你不懂微分方程也能理解我的結論。
最初我思考的是這個問題：假定我軍士兵比敵軍士兵能打。如果雙方各出兵100人的話，最後戰鬥結束的時候敵軍全死（即完全喪失戰鬥力），我軍傷亡80人，還剩下20人。現在假定敵軍仍然出兵100人，但我軍採用人海戰術，出兵200人，那麼戰鬥結束的時候我軍情況如何？我軍是不是傷亡80人，最後剩下120人呢？
不是！我軍傷亡人數要少於80人。為什麼呢？假設第一次雙方各出100人的時候，戰鬥進行了一個小時，最後我軍傷亡80人，這就是說，100敵軍用一個小時可以打死打傷我軍80人。但是現在我軍出兵200人，200人打敵軍100人，戰鬥時間根本用不了一個小時，比如說半個小時就結束了戰鬥，那麼敵軍根本來不及使我軍傷亡80人，也許只能使我傷亡40人。也就是說如果這麼算的話，200人打一百人的話，我軍傷亡人數將大大下降。因此即使我軍單兵戰鬥力高於敵軍，使用人海戰術仍然可以起到使我軍減少傷亡的巨大作用。
但是以上這個推理是建立在敵軍殺傷我軍的速度不變的假設之上的，實際情況是隨著敵軍被我軍不斷殺傷，其總的戰鬥力不斷下降，殺傷我軍的速度也在下降，並不是一個線性的關係。為了精確計算雙方傷亡，我建立如下數學模型：
假定開戰的時候我軍投入的人數是 M 人，敵軍 N 人。並假定我軍平均每個士兵在單位時間內可以使敵軍 p 人喪失戰鬥力，敵軍平均每個士兵在單位時間內可以使我軍 q 人喪失戰鬥力。注意要從平均角度和概率角度去思考 p 和 q，這兩個數字並不一定是整數，而且可以小於1。p 和 q 實際上就是雙方的「單兵戰鬥力」，和士兵素質，指揮水平，裝備水平，地形等等都有關係。
假定在 t 時刻，我軍剩下的人數是 m(t) 人，敵軍剩下 n(t) 人，那麼在這個時刻，敵軍被我軍殺傷的人數必定是我軍此時的總人數乘以其我單兵作戰能力，即
dn(t)/dt = – p m(t),
類似地，
dm(t)/dt = – q n(t).
這個微分方程組很容易求解，考慮到初始值 m(0) = M, n(0) = N，方程組的解是
m(t) = ( M – N Sqrt(q/p) ) e^(Sqrt(pq) t) /2 + ( M + N Sqr(q/p) ) e^(-Sqrt(pq) t) /2,
n(t) = ( N – M Sqrt(p/q) ) e^(Sqrt(pq) t) /2 + ( N + M Sqrt(p/q) ) e^(-Sqrt(pq) t) /2.
其中的「Sqrt」表示開根號。
其實如果考慮到士氣等等的因素，p 和 q 同樣應該是是時間的函數，但為簡單起見本文假定 p 和 q 都是常數。根據這個結果，我有如下兩個定理：
定理一：我軍戰鬥取勝的條件是 M Sqrt(p) > N Sqrt(q).
這個定理非常容易證明，只要讓 n(t) = 0 有 t > 0 的實數解就知道。這個結論說明，如果你的單兵作戰能力低，你就必須多帶點人，當然這個道理不用微分方程也能看出來。注意這裡比較有意思的一點是我們在決定帶多少人夠用的時候不是看 m*p，而是計算 m*Sqrt(p)，這一點如果不用微分方程你就看不出來了。
定理二：假定我軍與敵軍的單兵作戰能力一樣，即 p = q 的情況下，如果 m > n，那麼到戰鬥結束，敵軍一個不剩的情況下，我軍還剩下 Sqrt(M^2 – N^2) 人，我軍總共傷亡 M – Sqrt(M^2 – N^2) 人。
這個也非常容易證明，只要讓 p = q, n(t) = 0，就可以計算得到那時的 m (t) = Sqrt(M^2 – N^2)。
這個定理說明了以多打少的優勢所在！
很容易證明只要 m > n, 則 Sqrt(M^2 – N^2) 必定大於 m – n，這就是說即使雙方的單兵作戰能力相等，我軍最後剩下的人數也絕對比雙方開始的人數之差要多，也就是說這不是敵人一個換我們一個。只要我們人多，就算雙方士兵素質相等，敵人一個也換不了我們一個。這個道理本文一開始的時候已經論證過了。其實我軍參戰的人數越多，我軍犧牲的人數就越少。比如說雙方戰鬥力一樣，如果各出100人，最後結果必定是兩敗俱傷，雙方一個不剩。但是如果我軍多帶20人，我軍120人打敵軍100，則根據上面的計算，敵軍全死的情況下我軍還剩 Sqrt(120^2-100^2) = 66 人！你多帶20個人，可以少死66個人。實際上在完全理想的情況下，我軍即使只比敵軍多帶一個人，最後戰鬥結束也是我軍獲勝，並且倖存14人！
假定敵軍100人，兩軍單兵作戰能力相等的情況下，x 軸是我軍出兵人數，從100到500之間變化，y 軸是最後我軍傷亡人數。
其結果如下：
我軍出兵人數：100，110，150，200，300，400，500
我軍傷亡人數：100， 64， 38， 27， 17， 12， 10
可以看出，如果我軍也是100人，則全軍覆沒，但是我軍只要人數稍微多一點，傷亡就會大大下降。同時我們也可以看出來並不是人越多就越好，如果帶200人就已經可以做到傷亡很小了，這時候帶300人所起到的作用根200人相比並不時特別顯著。雙倍於敵軍人數應該是一個比較理想的數字。
其實從定理一我們還可以看出另一個結論。最終決定戰爭勝負的因素有兩個方面：一個是人數，一個是單兵作戰能力，也就是士兵素質，武器裝備等等。現在的人一般比較迷信武器裝備，認為提高 p 值最重要。但是我們看到，最後決定戰爭勝負的是M*Sqrt(p)。如果你把參戰人數提高到原來的兩倍，你的總戰鬥力就提高到兩倍。但是如果你不提高人數，而是選擇提高武器裝備，提高士兵素質，那麼為了達到同樣的效果你必須把單兵作戰能力提高到原來的四倍！
美軍的選擇是提高 p 值，毛澤東的選擇是提高 M 值。到底是把 M 值乘以2容易，還是把p 值乘以 4 容易，對不同的國家，不同的經濟條件，有不同的結論。問題在於用同樣多的錢，如何提高M*Sqrt(p)。另外根據定理二我畫的圖，並不是說兵力越多就越好，一般來說單兵戰力相同的情況下，兩倍於敵人的兵力是最理想的。根據這個理論，我們可以思考一下我國需要多少常備軍隊合適。
這個數學理論有很多應用。比如說美軍 F-22 好是好，但是價格狂貴，他的作戰能力是不是一架就能打過 10 架 J8-II? 我軍在武器配備方面應該好好參考這個理論。