第1章
1.物理學家阿爾伯特·邁克爾遜於1894年在致芝加哥大學的Ryerson實驗室的獻辭中引用過開爾文勳爵（見D.Kleppner, Physics Today，1998年11月）。
2.羅德·開爾文，“Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light”，Phil.Mag.Ii 6th series，1（1901）。
3.阿爾伯特·愛因斯坦、內森·羅森和鮑裡斯·波多斯基，Phys.Reu.47，777（1935）。
4.阿瑟·愛丁頓爵士，The Nature of the Physical World（Cambridge, Eng.：Cam-bridge University Press，1928）。
5.就像第6章註釋2中更加詳盡解釋的那樣，這樣的說法有點過頭，因為有些與相對奇怪的粒子（比如K介子和B介子）有關的例子表明，所謂的弱核力並沒有平等的對待過去和未來。然而，從我以及其他思考過該問題的人的角度看來，由於這些粒子並沒有在決定日常物體性質中起關鍵作用，所以它們不可能對解釋時間之箭的謎團有什麼重要作用（雖然，我不得不補充一句，沒有人能肯定）。因此，雖然從技術水平上來說，這樣描述有點過頭，但我可以肯定，假設這些定律平等的對待過去和未來並不會犯什麼大錯——至少在解釋時間之箭的謎團時是這樣。
6.Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way（New York：Anchor，1989）.
第2章
1.伊薩克·牛頓，《自然哲學之數學原理》。Sir Isaac Newton's Mathematical principle of Natural Philosophy and Hissystem of the world，譯者，A.Motte與Florian Cajori（Berke-ley：University of California Press，1934），vol.1，p.10。
2.同上，P.6。
3.同上。
4.同上，P.12。
5.阿爾伯特·愛因斯坦為Max Jammer的著作Concepts of SPace：The Histories of The-ories of Spacein Physics（New York：Dover，1993）寫的序言。
6.A.Rupert Hall, Isaac Newton, Aduenturer in Thought（Cambridge, Eng.：Cam-bridge University Press，1922），p.27.
7.同上。
8.H.G.Alexander編輯，The Leibniz-Clarke Correspondence（Manchester：Manchester University Press，1956）。
9.在那些反對空間可以獨立於居於其間的物質而存在的人中，我以萊布尼茨為代表，但還有許多其他人也盡力維護相同的觀點，其中克裡斯蒂安·惠更斯和伯克萊主教較為知名。
10.參見，比如說，Max Jammer, P.116。
11.V.L.列寧，Materialism and Empiriocriticism：Critical Comments on a Reactionary Philosophy（New York：International Publications，1909）。為Materializm'i Empiriokrititsizm'：Kriticheskia Zametki ob'Odnoi Reaktsionnoi Filosofii（Moscow：Zveno Press，1909）的英文第2版。
第3章
1.對於受過數學訓練的讀者而言，這4個方程是：
▽·E=ρ/ε0，▽·B=0，▽×E+αB/αt=0，▽XB-ε0μ0αE/αt=μ0J，
其中E，B，ρ，J，ε0，μ0分別表示電場強度、磁場強度、電荷密度、電流密度、自由空間的介電常數和自由空間的磁導率。如上所示，麥克斯韋的方程將電磁場的變化率與電荷、電流聯繫起來。不難看出這些方程暗示著電磁波的波速為1/ε0μ＼0，而這實際上就是光速。
2.關於這些實驗在愛因斯坦發展狹義相對論的過程中所起的作用還存在爭議。在愛因斯坦的傳記Subtle Is the Lord：The Science and the Life of Albert Einstein（Oxford：Oxford University Press，1982）pp.115-119中，亞伯拉罕·派薩認為，從愛因斯坦後幾十年的陳述中可以看出他承認邁克爾遜莫雷實驗的結果。Albrecht Fölsing在Albert Einstein：A Biography（New York：Viking，1997）pp.217-220中也寫道，愛因斯坦承認邁克爾遜莫雷實驗的結果以及早期尋找以太證據時所做實驗的無效結果，比如阿曼德·菲佐的工作。但Fölsing和許多科學史家們都認為這些實驗在愛因斯坦思想的形成中起了次要的作用。愛因斯坦首先是受數學的對稱性、簡易性和神秘的物理直覺引導的。
3.如果我們想要看到任何事物，光就不得不到達我們的眼睛；同理，如果我們要看到光，光本身也要先到達我們的眼睛。因此，當我說巴特看到飛馳的光時，這只是一種簡略的說法。我們可以想像巴特有一隊助手，都以和巴特相同的速度運動著，並且分佈於他和光束所走路徑的不同位置。他們不斷給巴特更新信息：光走了多遠以及光到達他們的時間。於是，基於這些信息，巴特就可以計算光比他快多少。
4.愛因斯坦對於時間和空間的見解源於狹義相對論，有許多基本的數學推導。如果你感興趣的話，可以看一下《宇宙的琴弦》的第2章（在該章的註釋中有很多數學細節）。埃德溫·泰勒和約翰·阿奇博爾德寫有一本更加專業但卻非常清楚的報告Spacetime Physics：Introduction to Special Relatiuity（New York, W.H.Freeman & Co.，1992）。
5.以光速運行時，時間將停止是一個非常有趣的概念，但不要對這做過多解釋。狹義相對論表明沒有物體可以達到光速：一個物體運動得越快，我們就越難使它的速度增大。由於小於光速，我們將不得不給物體一個無限大的推力使其運動得更快，但這是我們所不能做到的。這樣看來，“永恆的”（不受時間影響的）光子的說法僅限於無質量的物體（光子就是一個例子），因此“永恆之物”不過是一些可以達到標準的粒子而已。如果我們想要知道狹義相對論是如何影響我們的時間感受的，不妨想像一下當我們以光速運動時宇宙發生了什麼變化，這是一個非常有趣且有益的遊戲，最終我們的焦點將集中在物體比如我們將會發生哪些變化上。
6.見亞伯拉罕·派薩的Subtle Is the Lord pp.113-114。
7.為了使描述更加精確，我們將水面處於凹形的情形定義為水在旋轉，反之則水沒在旋轉。從馬赫式的角度來看，在一個空的宇宙裡沒有旋轉的概念，因此水面總是平的（或者，為了避免出現沒有重力作用於水的問題，我們說連接兩塊石頭的繩子的張力總是鬆弛的）。這裡的陳述即為，通過對比，狹義相對論中有旋轉的概念，即便在真空的宇宙中也是如此，因此水面可以是凹的（連接兩塊石頭的繩子的張力是緊繃的）。從這種意義上來說，狹義相對論背離了馬赫的觀點。
8.Albrecht Fölsing, Albert Einstein（New York：Viking Press，1977），pp.208-210.
9.數學功底不錯的讀者將會發現，如果我們通過選擇單位，使光速取每單位時間走單位距離的形式（如每年1光年，每秒1光秒，其中1光年約6萬億英里，1光秒約186000英里），那麼光將以45度的光線穿越時空（因為這樣的對角線滿足單位時間內走單位空間，兩個時間單位內走兩個空間單位，等等）。因為沒有物體能夠超越光速，所以任何物體在某一時間段走過空間不可能比光更多，因此該物體穿越時空的路徑一定與圖的中心線（該線起於麵包皮，穿越了麵包的中心，最後止於麵包皮）呈一定角度，並且該角度要小於45度。而且，愛因斯坦指出，以速度u運動的觀測者的時間片——該觀測者處於某一時刻時的全部空間——都符合一個方程為簡易起見，假設只有一個空間維度t運動=γ[t靜止-（υ/c2）x靜止]，其中，γ=（1-υ2/c2）-1/2，c表示光速。當單位c=1時，u＜1，因此對於運動的觀測者的時間片而言——t運動取定值的位置——（t靜止-υx靜止）=定值。這樣的時間片與靜止的時間片（t靜止=定值的位置）之間存在一定角度，因為u＜1，所以它們之間的角度小於45度。
10.對於數學功底不錯的讀者而言，閔科夫斯基時空的最短路徑——兩點之間最短的時空長度——是不依賴於任何坐標或參考系的幾何實體。它們是內在的、絕對的、幾何的時空性質。明確地說，用閔科夫斯基的度規標準來看，（類時）最短路徑是直線（該線與時間軸的角度小於45度，因為不可能出現比光速更快的速度）。
11.重要的是所有的觀測者，不管他們的運動狀態如何，都將在這一點上達成一致。我們的描述中已間接說明了這一點，但它更值得我們直接說明。如果一件事情是另一件事情的原因（我扔了一塊石頭結果砸碎了窗戶的玻璃），則所有人都會同意原因發生在結果之前（所有人都認為我先扔石頭，然後窗戶的玻璃碎了）。對於數學功底不錯的讀者而言，用數學的示意圖描述將不難看出這一點。如果事件A是事件B的原因，那麼從A到B的線條與每個時間片（事件A發生時觀測者所看到的時間片）相交的角度將大於45度（空間軸與AB線之間的角度——軸位於給定的時間片——大於45度）。舉個例子來說，如果A和B發生在空間的同一位置（橡皮筋綁著我的手指[A]結果我的手指變白[B]），那麼連接AB的線條將與時間片呈90度的角度。如果A、B發生在空間的不同位置，從A到B發生的任何事情所造成的影響（我扔的石頭從射擊點到達窗戶）都將比光速慢，這就意味著角度將不同於90度（無速度時的角度），也不會小於45度——也就是說，與時間片（空間軸）的角度將大於45度（本章的註釋9中曾說明因光速的限制，這類運動軌跡最多呈45度）。現在我們再來看看註釋9，處於運動狀態的觀測者的時間片與靜止的觀測者的時間片呈一定角度，但這個角度總是小於45度（因為兩個觀測者之間的運動的速度總是小於光速）。因為因果相關事件的角度總大於45度，觀測者（他的速度肯定小於光速）的時間片，不可能先遇到結果再碰到原因。對所有的觀測者而言，先因後果。
12.如果電磁感應比光速還快，上一條註釋中所說的先因後果的觀點將受到挑戰。
13.伊薩克·牛頓，Sir Isaac Newton's Mathematical principles of Natural Philosophy and His System of the world，翻譯A.Motte與Florian Cajori（Berkeley：University of Cali-fornia Press，1962），vol.1，p.634。
14.因為在地球表面不同位置所受到的引力不同，所以一個雙臂伸展開的、處於自由落體運動的觀測者也可以探測到剩餘的引力的影響。也就是說，如果觀測者下落時釋放了兩個棒球——一個從伸展開的右胳膊扔出，另一個從左胳膊扔出——每個都朝地心的位置下落。這樣，從觀測者的角度來看，他將豎直下落到地心，而他右手釋放的球將豎直向下運動並稍微向左邊一點，左手釋放的球將豎直下落並稍微向右邊一點。經過仔細的測量，觀測者將發現這兩個球之間的距離慢慢減小了；它們彼此向對方移動了一點兒。之所以是這樣關鍵就在於，棒球從空間中兩個略為不同的位置釋放，所以它們自由下落到地心的路徑也略有不同。因此，對愛因斯坦觀點更準確的描述應為：一個物體的空間體積越小，它通過自由下落消除引力就越徹底。雖然這是理論中非常重要的一點，但在我們的討論中完全可以放心的將其忽略。
15.要想更詳細、更通俗地瞭解一下廣義相對論對空間和時間的蜷曲的解釋，可以看看《宇宙的琴弦》的第3章。
16.對於有過數學訓練的讀者而言，愛因斯坦的方程為Gμυ=（8πG/c4）Tμυ，其中等式左邊是用愛因斯坦張量表示的時空曲率，右邊是用能量動量張量表示的宇宙中物質和能量的分佈。
17.查爾斯·邁斯納、基普·索恩和約翰·阿奇博爾德·惠勒合著的Grauitation（San Francisco：W.H.Freeman and Co.，1973），pp.544-545。
18.在1954年，愛因斯坦給同事的信中寫道：“實際上，人們應當不要再談馬赫原理了（在亞伯拉罕·派薩的《上帝是微妙的》中被引用，p.288）。”
19.就像前文中提到的，連續幾代人把該想法歸功於馬赫，儘管他在自己的著作中並沒有以這種方式明確地表達出來。
20.這兒需滿足的一個條件是：那些在宇宙起源時距離我們很遠，以至於它們的光——或引力作用——沒有足夠的時間到達我們的物體，對我們感受到的引力不會產生影響。
21.專業的讀者可能會意識到這種說法，從學術的語言來看，有點說過頭了，因為對於廣義相對論而言存在非平凡的（也就是說，非閔科夫斯基空間）真空。我在這裡利用了一個簡單的事實做了簡化，即沒有引力存在的情況下，狹義相對論可被看做廣義相對論的一種特殊情況。
22.為了平衡，我們來看一下不同意這一結論的物理學家和哲學家的說法。即使愛因斯坦放棄了馬赫原理，在最近30年間馬赫原理仍自有其存在價值。現在關於馬赫原理有各種各樣版本的詮釋，比如，一些物理學家認為廣義相對論實際上從根本上包含了馬赫觀點；只是時空並不具有它本可以具有的某些特殊形狀——例如像真空宇宙的無限大平直時空。或許，他們提出，其他一些並不現實的時空——其中滿是恆星和星系之類——實際上滿足馬赫原理。其他人則重塑了馬赫原理的體系。在他們的體系中，問題不再是物體（比如說被繩子繫著的兩塊石頭或裝滿水的桶）在真空宇宙是怎樣的，而是各種不同的時間片——各種不同的三維空間幾何——究竟是怎樣通過時間與其他時空片聯繫起來的。對有關這些想法的現代思考極具參考價值的是Mach's Prin-ciple：From Newton's Bucket to Quantum Grauity（《馬赫原理：從牛頓的桶到量子引力》）Julian Barbour與Herbert Pfister編輯（Berlin：Birkh?user，1995），該書收集了與此問題有關的一些論文。有趣的是該書包含了一項民意測驗：40名物理學家和哲學家對馬赫原理的看法。大多數人（90%多）認為廣義相對論並不完全符合馬赫原理。另一本以明顯的超馬赫式觀點對此問題進行討論，並在一定程度上適合於普通讀者閱讀的，這本優秀且極其有趣的書是Julian Barbour的The End of Time：The Next Reuolution in Phys-ics（Oxford：Oxford University Press，1999）。
23.喜愛數學的讀者在知道愛因斯坦認為空間不能獨立於它的度規（描述時空距離關係的數學工具）而存在的觀點後會感到很受啟發，如果有人移走了每一樣東西——包括度規——時空將不再是某種實體。當提到“時空”的時候，我指的都是一個擁有可解愛因斯坦方程的度規的流形，因此我們所得出的結論，用數學語言說就是，度規時空才是某種實體。
24.Max Jammer, Concepts of space, p.Xvii.
第4章
1.更確切地說，這看起來像是個可以追溯到亞里士多德的古老概念。
2.就像本書後面將要討論的，在許多領域中（像大爆炸和黑洞）還存在著大量未解之謎，這些謎題至少可以部分的歸結為：體積過小密度過高，從而造成愛因斯坦的優雅理論無法適用。因此，這裡的描述適用於大部分情況，但已知定律無法應用的極端情況除外。
3.本文的最早讀者中有一位擅長伏都魔咒，他告訴我，有些東西可以根據施魔咒者的意念——也就是靈魂——從一個地方被傳送到另一個地方。因此，我這個充滿幻想的非定域性例子——決定於你是否會伏都魔咒——可能是錯的。不管怎麼說，你搞清楚其中的思想就行了。
4.為了避免混亂，我再強調一下我剛才說的，“宇宙並非定域性的”，或者“我們在此地做的事情會與彼地的事情發生聯繫”，我並不是指能用瞬間的意念控制遠在千里之外的事物。換句話說，我指的是相隔很遠的地點（這兩個地點距離非常遠以至於都沒有足夠的時間讓光從一個地點到達另一個地點）發生的事情之間的聯繫——通常以測量結果之間的聯繫的形式表示。因此，我指的是物理學家們所說的非定域關聯。乍看之下，這樣的關聯可能不會使你特別驚奇。如果有人送給你一隻盒子，裡面有一隻手套，而配套的另一隻手套送給了你遠在千里之外的朋友，你們其中任何一人打開各自的盒子看到的手套將與另一人的存在關聯：如果你看到的是左手戴的那隻，你朋友將看到右手那只；如果你看到右手那隻，你朋友將看到左手那隻。顯然，這種關聯並沒有什麼神秘之處。但是，就像我們逐漸要討論的，量子世界中這種明顯的關聯就是一種與眾不同的性質了。這就好像你有一副“量子手套”，一隻左手的，一隻右手的，當觀察或者相互作用時，它們就會表現出明顯的偏手性。詭異之處在於，雖然觀察時每隻手套都會隨機選擇偏手性，但即使它們被相隔很遠，這兩隻手套也會一前一後地選擇相應的偏手性：如果一隻選擇左邊，另一隻就會選擇右邊，反之亦然。
5.量子力學預言的微觀世界與實驗觀測完全符合。就憑這一點，它就得到了大家的普遍認同。然而，本章中將要討論的量子力學的具體特點，完全不同於常識，而且由於理論的數學公式不同（關於理論如何填補微觀現象和宏觀測量結果之間的空白的不同公式），人們就如何詮釋理論（然而，理論可以從數學上解釋各種各樣的令人迷惑的數據）的各種特點並沒有達成共識，包括非定域問題。在本章中，我持一種特殊的觀點，我覺得它是建立在現代流行理論的理解和實驗結果的基礎上的最令人信服的觀點。但在這兒我得強調一下並不是所有的人都同意這個觀點，在後面的註釋中詳盡的解釋完該觀點之後，我將簡要地介紹一下別人的觀點並介紹更多相關的參考資料。我也得強調一下，在稍後的討論中，實驗將與愛因斯坦的信念（他認為實驗數據只能用粒子具有明確但隱藏起來的性質來解釋，而該性質沒有任何非定域糾纏）相矛盾。不管怎樣，這個觀點的失敗只能排除一種定域宇宙。它不能排除粒子有明確但隱藏起來的性質的可能性。
6.對於數學功底不錯的讀者而言，我們來看看這種描述可能導致的誤解。對於多粒子系統而言，概率波（用標準術語的話，就是波函數）與剛才所講的內容有本質上一樣的詮釋，但概率波被定義為粒子在位形空間的函數（對一個單獨的粒子而言，位形空間與真實空間同構，但如果是N粒子系統，則它就變成3N維的了）。這對於我們思考波函數是一個真實的物理實體還是僅僅是一個數學工具非常重要，因為如果站在前者的立場，我們就需要認同位形空間的實在性——第2章、第3章主題的有趣變異。在相對論量子場論中，場可以在通常的四維時空中定義，但也有一些用得比較少的體系，使用了推廣的波函數——定義在更為抽像的空間“場空間”上的所謂波泛函。
7.我在這兒提到的實驗是光電效應實驗，在該實驗中，光照在各種金屬上使金屬表面發出電子。實驗學家們發現，光的強度越高，發射出去的電子就越多。而且，實驗還表明每個發射出去的電子的能量是由光的顏色——頻率——決定的。愛因斯坦認為，如果光是由粒子組成的話，這很容易理解，因為光強越大就意味著光束中光的粒子（光子）越多——而且光子越多，撞擊金屬表面的機會就越多，從而使得金屬發出的電子也越多。進一步來看，光的頻率會決定每個光子能量，因此每個發射出去的光子的能量將精確的與數據相符。光子的粒子性最終在1923年被亞瑟·康普頓通過電子和光子的彈性散射實驗證實。
8.索爾維國際物理討論會，《第5屆索爾維國際物理討論會會議論文集》（Rapport et discussions du 5ème Conseil）（Paris，1928），pp.253ff。
9.Irene Born, trans.，《博恩和愛因斯坦書信集》（New York：Walker，1971），p.223。
10.亨利·斯坦普，Nuouo Cimento 40B（1977），191-204。
11.戴維·玻姆是20世紀量子力學領域最富有創造性的科學家之一。他於1917年出生於賓夕法尼亞州，曾是伯克利羅伯特·奧本海默的學生。在普林斯頓大學教書時，他曾被眾議院非美活動調查委員會傳喚，但他拒絕在聽證會上作證。後來他離開美國，先後在巴西的聖保羅大學（S?o Paulo），以色列的理工大學（Technion），倫敦大學的伯克貝克（Birkbeck）學院任教授。1992年他在倫敦逝世。
12.當然，如果你等的時間足夠長，你對一個粒子做的事情，從原理上講，會影響另一個粒子：一個粒子可以發出某種信號警告另一個粒子它正被測量，而且該信號也會影響接收粒子。然而，由於沒有信號會比光的速度更快，所以這種影響不會即刻發生。現在討論的關鍵點在於，我們測量粒子繞某一給定的軸自旋時，會發現其他粒子也繞該軸自旋。因此，粒子之間的任何一種“標準”通信——光速或亞光速通信——都不能說明問題。
13.在本節和下一節中，我對貝爾發現的歸納，受到David Mermin的美妙文章的啟發：“Quantum Mysteries for Anyone，”Journal of Philosophy 78，（1981），pp.397-408；“Can You Help Your Team Tonight by Watching on TV？”收錄在Philosophical Consequences of Quantum Theory：Reflections on Bell's Theorem, James T.Cushing與Ernan McMullin編輯。（University of Notre Dame Press，1989）；“Spooky Action at a Distance：Mysteries of the Quantum Theory”發表於The Great Ideas Today（Encyclopaedia Britannica, Inc.，1988），全部收錄在N.David Mermin的Boojums All The Way Through（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1990）。如果有人對有關這些想法的技術問題感興趣，那麼最好從貝爾本人的論文開始，它們大部分都收錄在J.S.貝爾，《量子力學可以言說的和不可以言說的》（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1997）。
14.雖然定域性假設對愛因斯坦、波多斯基和羅森的論證是非常重要的，但研究者們努力尋找的卻是其論證中其他一些元素的錯誤，以力圖避免得出宇宙允許非定域性存在的結論。比如說，有些人偶爾會聲稱所有數據需要的是我們放棄所謂的實在主義——物體擁有的被測到的那些性質與測量過程無關。在這裡，這樣的看法錯過了重點。如果EPR的論證得到了實驗的證實，那麼量子力學的長程關聯性也沒有什麼神秘之處；它們不會比傳統的長程關聯性（比如你在這邊發現左手手套就一定能夠在那邊發現右手手套）更令人驚奇。但這種推理受到了貝爾埃斯拜科特實驗結果的駁斥。現在，即使我們為了回應EPR的駁斥而放棄實在主義——就像我們在標準量子力學中所做的——這也不會對削弱空間上相隔很遠的隨機過程之間的長程相關性的奇異性有多大幫助；當我們放棄了現實主義，手套就如註釋4中所說的那樣，成為“量子手套”。放棄現實主義無論如何也不會使觀察到的非定域關聯看起來不那麼詭異。事實上，正是受EPR、貝爾和埃斯拜科特結果的啟發，我們試圖才保持實在主義——舉個例子來說，正如在本章後面部分將要討論到的玻姆理論中的情形——我們需要用來與數據保持一致的非定域性看起來更加嚴重，它與非定域的相互作用有關，而不僅僅是非定域關聯。許多物理學家反對這樣的選項，因此放棄了現實主義。
15.見穆雷·蓋爾曼，The Quark and the Jaguar（夸克與美洲豹）（New York：Freeman，1994），以及Huw Price的Time's Arrow and Archimedes' Point（Oxford：Oxford University Press，1996）。
16.狹義相對論不允許任何曾比光速慢的物體超越光速限制。但如果某物總是比光跑得更快，它也不會被狹義相對論嚴格排除在外。這種假設的粒子被稱作超光速粒子。大多數物理學家認為超光速粒子不存在，但有一些人則認為存在這種可能性。根據狹義相對論的方程，這種比光速還快的粒子具有一些特殊性質，所以目前，沒有人發現它們有何種特殊用途——即使只是在理論假設上也沒什麼用。在現代研究中，人們普遍認為有超光速粒子的理論並不可靠。
17.數學功底不錯的讀者應該記著，本質上講，狹義相對論要求物理定律具有洛倫茲不變性，也就是說，物理定律要在閔可夫斯基時空中的SO（3，1）坐標變換下具有不變性。那麼，如果量子力學可以完全用洛倫茲不變性方式表達的話，我們就可以說它與狹義相對論相符。現在，相對論性的量子力學與相對論性的量子場論正在朝這個目標努力，但關於它們是否可以在洛倫茲不變的框架內解決量子力學的測量問題，人們還沒有達成一致意見。舉個例子來說，在相對論性場論中，可直接以洛倫茲不變的方式來計算各種實驗結果的概率幅和概率。但標準做法描述了在量子概率範圍內的或這或那的特定結果出現的方式——也就是說，在測量過程中發生的事情。這對量子糾纏而言是一個特別重要的問題，因為該現象會受實驗者行為——測量糾纏態粒子特性的行為——的影響。有關更深入的討論，請參考Tim Maudlin, Quantum Non-locality and Relatiuity（Oxford：Blackwell，2002）。
18.對於數學功底不錯的讀者，下面就是所做預言與這些實驗相符的量子力學計算。假設探測器測量到的自旋所繞的軸分別是垂直、繞垂直軸順時針旋轉120度以及繞垂直軸逆時針轉120度（就好比有表盤上的中午12點、4點和8點；有兩個表盤，每個對應一個探測器、相對放置），為了便於討論，想像一下，有兩個電子，以所謂的單態形式背靠背的朝著探測器飛去。這種總自旋為零的態保證了如果一個電子處於自旋繞某軸向上的態的話，另一個電子將處於自旋向下的態，反之亦然。（還記得嗎？在正文中為了方便，我曾將電子之間的關聯描述為如果一個電子自旋向上，另一個電子自旋將也向上，如果一個自旋向下，另一個也向下；事實上，關聯是指自旋處於相反的方向。為了與正文呼應，你可以將兩個探測器想像為刻度相反，因此一個自旋向上，另一個則自旋向下。）基礎量子力學的標準結果表明，如果兩個探測器所測得的電子自旋所繞的軸之間的角度為θ，那麼他們測量到相反自旋值的概率為cos2（θ/2）。因此，如果校準探測器的軸（θ=0），它們一定會測得相反的自旋值（類似於我們在正文中所講的，當為探測器設定相同的方向時，測得的值總是相同的），如果把軸的方向調成+120°或-120°，則兩個探測器測得相反自旋的概率為cos2（+120°或-120°）=1/4。現在，如果探測器的軸的方向是隨機選擇的，那麼有1/3的概率指向相同的方向，2/3的概率指向相反的方向。因此，整體來看，發現相反的自旋的概率為（1/3）（1）+（2/3）（1/4）=1/2，和實驗數據一致。
你可能覺得有點奇怪：在定域性假設的前提下，自旋關聯的概率（大於50%）竟會大於我們用標準量子力學（恰好50%）算出的自旋關聯；你可能會想，量子力學的長程糾纏應該產生更多的關聯。事實上，確實如此。這裡應當這樣想：全部測量中有50%的關聯性時，對於左右探測器的軸選定相同方向的測量來說，量子力學將帶來100%的關聯性。在愛因斯坦、波多斯基和羅森的定域性宇宙中，對於選定相同的軸方向的測量來說，要想有100%的符合，就需要全部測量中有大於55%的關聯性。粗略地講，在定域宇宙中，全部測量中50%的關聯性將使得在選擇相同軸的前提下出現小於100%的關聯性——也就是說比我們在非定域宇宙中發現的關聯性要小。
19.你可能會想，從一開始起，波函數的瞬間塌縮就與光速設定的速度上限相矛盾，因而必會與狹義相對論相矛盾。如果概率波像水波那樣，你的結論將不容置疑。概率波的值在一個很大的範圍內突然衰減為零，簡直比太平洋的海面瞬間寧靜、海水停止流動還要讓人驚奇。但是，量子力學的支持者們提出，概率波不同於水波。雖然概率波描述物質，但它本身並不是物質。這些支持者們繼續說，光速限制只適用於物質性對象，而其運動都可以直接看到、感覺到、探測到。如果仙女座星系中電子的概率波衰減為零，仙女座星系的物理學家們將100%的探測不到電子。仙女座星系的任何觀測都不能表明概率波的突變與一些成功的探測行為——比如說在紐約發現電子——有關。只要電子本身沒有以大於光速的速度從一個地方運動到另一個地方，就不會與狹義相對論相矛盾。正如你所看到的，唯一發生的事情是在紐約——而不是在別的什麼地方——探測到電子。我們甚至都不需要討論它的速度。因此，當概率波的瞬間塌縮是一種令人困惑不解的迷惑而且有問題的理論（在第7章中有更全面的討論），但這並不意味著它與狹義相對論矛盾。
20.關於這些觀點的討論，可以參考Tim Maudlin, Quantum Nonlocality and Relatiuity。
第5章
1.對於數學功底不錯的讀者而言，從方程t運動=γ[t靜止-（u/c2）x靜止]（在第3章的註釋9中曾討論過）中我們發現丘巴卡在某一給定時刻的現在目錄中將包含地球上的觀測者聲稱是（u/c2）x地球之前發生的事情，其中x地球表示丘巴卡距離地球的距離。以上的描述是假設丘巴卡遠離地球而去。如果是朝向地球的運動，u的方向相反，因此向地球移動的觀測者將聲稱這樣的事件發生在（u/c2）x地球之後。令u=10英里/小時，x地球=1010光年，我們發現（u/c2）x地球大約為150年。
2.這個數字——和後文中描述丘巴卡朝向地球的運動時用到的一個類似的數字——在本書出版時都是有效的。但隨著地球上時間的流逝，它們會變得沒那麼精確。
3.數學功底不錯的讀者應該注意到，從不同角度切割時空條的比喻正是狹義相對論課程上教授過的時空圖概念。在時空圖中，從被認為是靜止的觀測者的角度看，某一特定時刻的所有三維空間都可以用一條水平線來表示（或者，在更準確的圖示中，用一個水平面來表示），而時間可以用垂直軸來表示（在我們的敘述中，每個“麵包片”——平面——代表的是某一時刻的所有空間，而橫穿麵包的軸則是時間軸）。時空圖為講清你和丘巴卡的現在片提供了一種有力的工具。
圖中的細實線為相對於地球（為了使問題簡化，我們假定地球既沒有旋轉也沒有加速，這些因素對我們要討論的問題並不重要，只能帶來沒有必要的複雜性）靜止的觀測者的等時線（現在片），細虛線為相對於地球以約9.3英里/小時的速度運動的觀測者的等時線。當丘巴卡相對於地球靜止時，細實線就代表了他的現在片（而你在整個故事中都安靜地待在地球上，這些細實線總代表著你的現在片），粗實線代表的是包含了待在地球上的21世紀的你（左邊的黑點）和他（右邊的黑點）的現在片，你們倆都老老實實地坐在那裡讀書。當丘巴卡遠離地球而去時，虛線就代表了他的現在片，粗虛線代表的是包含了丘巴卡（正站起來開始走）和約翰·維爾克斯·布思（左下的黑點）的現在片。注意，接下來的一條虛線時間片將包含丘巴卡走動（假設他仍然在四處逛）和21世紀的你靜坐著讀書。因此，你的某個時刻將出現在丘巴卡的兩張現在目錄上——一張是他走動之前的，另一張是他走動之後的。這就表明，簡單的直覺上的現在概念——在被應用於整個空間時——可以被狹義相對論轉換為具有不尋常性質的概念。而且，這些現在名單目錄並不會違反因果關係：標準的因果關係（參見第3章註釋11）仍然強而有力。丘巴卡的現在目錄之所以會突變是因為他自己突然改變運動狀態，從一個參考系躍入另一個參考系。但是，對於到底是哪個事件影響了哪個事件，所有的觀測者——都用單獨一種良好定義的時空坐標——都會認同同一個說法。
4.專業讀者會意識到我把時空假設為閔可夫斯基時空。其他幾何學中類似的論證不一定會適用於整個時空。
5.《阿爾伯特·愛因斯坦和麥·貝索書信集：1903-1955》（Albert Einstein and Michele Besso Correspondence 1903-1955，P.Speziali編輯Paris：Hermann，1972）。
6.這裡的討論意在對下面的問題給出一個定性上的認識。這個問題就是，你對自己所經歷過的生活——正是這種生活經歷留給了你那些記憶——有一種感受，這種感受的根基是由你此刻的感受和前一刻的回憶共同形成的，但是這個形成過程是怎樣的？比如說，如果你的大腦和身體不知何故達到了與此刻一樣的狀態，那麼你將體驗到與你的記憶能夠證實的那段經歷相同的感覺（假設所有體驗的根據都可以在大腦和身體的物理狀態中找到），即便那些經歷從未發生過，只是人為的印在你的大腦裡也沒關係。這裡的討論有一個簡化之處，即假定了我們能感覺或體驗到某一瞬間發生的事情，而事實上大腦識別和詮釋它所收到的任何刺激都需要一段時間。不過，這一點雖然不錯，但卻與我所要討論的內容沒有特別的相關性；這雖然有趣但卻會帶來不必要的複雜性，而這種複雜性來自於用與人類的體驗直接相關的方式分析時間。就像我們先前討論到的，以人類為例子可以使我們的討論更為通俗直觀，但我們需要剔除那些從生理上看更加有趣而不是在物理上重要的部分。
7.你可能想知道本章的討論與第3章中講過的物體以光速“穿越”時空有什麼聯繫。對那些數學功底不錯的讀者，這個問題可以粗略的回答為一個物體的歷史可以表示為時空中的一條曲線——時空條中的一條路徑，這條路徑就是粒子所有時刻所在位置的集合（正如我們在圖5.1中看到的那樣）。穿越時空“運動”這一概念可以直觀的表示成指明該路徑（但是不要想像成追溯映入眼簾之前的路徑）。在這條路上的“速度”可以這樣得出：用路徑的長度（兩點之間的距離）除以該路徑上某人或某物攜帶的表所記錄的時間差。我們又一次遇到了不與時間流逝有關的概念：你需要做的只是看一下表在這兩點的示數。你會發現，不論運動方式怎樣，用這種方式得出的速度都等於光速。數學功底不錯的讀者會意識到這裡的原因是：在閔可夫斯基時空的度規為ds2=c2dt2-dx2（其中dx2是歐幾里得長度dx21+dx22+dx23），而鐘錶的時間（“固有”時間）為dτ2=ds2/c2。所以，很明顯，剛才所定義的穿越時空的速度可由ds/dτ給出，結果等於c。
8.魯道夫·卡那夫，“自傳”收錄在The Philosophy of Rudolf Carnap, P.A.Schilpp編輯（Chicago：Library of Living Philosophers，1963），p.37。
第6章
1.注意，我們提到的不對稱性——時間之箭——來自於事件在時間中的發生順序。你可能也想知道時間本身的不對稱性——比如說，就像在後面的章節中我們將看到的，根據某些宇宙理論，時間可能曾有一個開始但可能不會有結束。這些是全然不同的時間不對稱性概念，我們在這兒的討論主要關注前者。雖然如此，在本章末我們將看到，事件在時間上的不對稱性取決於早期宇宙歷史的特殊條件，因此，可以將時間之箭與宇宙學的方方面面聯繫起來。
2.對於有數學功底的讀者而言，讓我來更為準確地說明一下時間反演對稱性意味著什麼，並談談一個有趣的例外，它對於我們本章中所討論問題的意義還不完全明瞭。時間反演對稱性概念可以簡單地表述為，當一套物理定律的方程有解時，比如解為s（t），s（-t）也是該方程的一個解，則我們稱該物理定律具有時間反演對稱性。舉個例子來說，在牛頓力學中，力取決於粒子的位置，若x（t）=[x1（t），x2（t），……，x3n（t）]是n個粒子在三維空間中的位置，則x（t）為方程d2x（t）/dt2=F[x（t）]的解，這也就意味著x（-t）也滿足於牛頓方程，也就是說d2x（-t）/dt2=F[x（-t）]。注意x（-t）代表穿越相同位置——比如x（t）——的粒子運動，只不過是以相反的順序，相反的速度而已。
在更普遍的情況下，物理定律也為我們提供了將物理系統的狀態從初始時刻t0演化到t+t0時刻的運算法則。具體一點說，這種運算法則可以看成映射U（t），它可以將s（t0）映射到s（t+t0），即：s（t+t0）=U（t）s（t0）。如果映射T滿足U（-t）=T-1U（t）T，我們就可以說得出U（t）的定律具有時間反演對稱性。用通俗的語言來說，這個方程說的是，通過適當運算（用T來表示）物理系統某一時刻的狀態，物理系統根據理論定律順著時間方向在一段時間t內的演化[用U（t）來表示]等於系統逆著時間方向在同樣時間t內的演化[用U（-t）來表示]。舉個例子來說，如果我們將粒子系統的狀態指定為粒子在某一時刻的位置和速度，那麼T就可以在保持所有粒子位置不變的情況下使速度反轉。這樣的粒子分佈順著時間方向在t時間內的演化等於粒子的原始分佈逆著時間方向在t時間內的演化（T-1因子消除了速度的反轉。因此，到最後，不僅粒子的位置回到t個單位時間以前，它們的速度也將如此）。
某些定律中的T運算比牛頓力學中的T運算還要更加複雜。舉個例子來說，如果我們研究帶電荷粒子在電磁場中的運動，逆向速度還不足以使方程得出粒子回溯的演化。磁場的方向也需要反轉（之所以有這種要求是為了使洛倫茲力公式中的uXB項保持不變。）因而，在這種情況下，T運算包含了這兩種變換。除了反轉所有粒子的速度外，我們還需要做些其他的事情這一事實對正文中的討論沒有影響。重要的是，粒子在一個方向上的運動與物理定律自洽的話，在另一個方向上的運動也與物理定律自洽。我們需要反轉磁場不過是某種巧合，並沒有什麼特別的重要性。
而在弱核力相互作用中事情就不是這麼簡單了。弱相互作用需要用特殊的量子場論來描述（將在第9章中簡要的討論一下），一個普適的定理證明（還需要保證量子場論具有定域性，正性，洛倫茲不變性——這樣的量子場論才是人們感興趣的），量子場論在電荷共軛運算C（將粒子替換為其反粒子），宇稱運算P（將粒子的位置變換到鏡像位置），以及時間反演運算T（將時間t換為時間-t）的聯合作用下總是具有對稱性。所以，我們可以將運算?定義為CPT的乘積，但如果?具有不變性就會要求還有一種CP運算存在，?不應被簡單的解釋為原來的粒子回溯其路徑（因為，粒子的種類也會被這樣的?運算改變——粒子變成反粒子——所以逆向返回的並不是原來的粒子）。我們會發現，對於某些實驗，我們沒法很好的解釋。對於某些特殊的粒子（比如K介子以及B介子）來說，它們可以在CPT運算下保持不變，但是在單獨的T變換下沒法保持不變。1964年，詹姆斯·克洛寧，瓦爾·菲奇（因為這一工作，他們兩人獲得了1980年諾貝爾物理學獎）及其合作者通過證明K介子破壞CP對稱性（這就意味著必然會破壞T對稱性，因為需要保持CPT不被破壞）間接的確認了這一點。更加晚近的時候，T對稱性的破壞通過CERN的CPLEAR實驗以及費米實驗室的KTEV實驗得以直接確立。簡單地講，這些實驗證明，如果有人給你展示一段有這些介子參與的過程的影片，那麼你就有辦法看出這段影片到底是按正確的時間順序播放，還是反著播放。換句話說，這些特殊的粒子可以區分過去和未來。還不清楚的是，這與我們每天所感受到的時間之箭是否存在某種聯繫。不管怎麼說，這些奇特的粒子雖然可以在對撞機實驗上瞬間產生出來，但卻不是我們熟悉事物的組成粒子。對於包括我在內的很多物理學家來說，這些粒子展示的時間不可反轉性看起來並不會對時間之箭的謎題有多大影響，所以我們不打算進一步討論這些例外。但問題是，其實沒人真的知道是不是這樣。
3.我有時候發現，對於碎蛋殼真的重新聚合起來形成未破碎的蛋殼這樣的理論命題，要接受起來還真是挺難的。但是，自然定律的時間反演對稱性，正如在前一條註釋中更為詳細地探討過的那樣，會確保這樣的事情能夠發生。微觀上，雞蛋的破碎是一個與組成蛋殼的各種分子有關的物理過程。雞蛋破碎，蛋殼四散，這是因為雞蛋被摔碎過程中受到的衝擊將分子強行拉開。如果這些分子運動反向發生，那麼它們就會重新組合在一起，以先前的形式重新成為蛋殼。
4.為了使我們能夠集中注意力，以現代方式思考這些思想，我會將一些有趣的歷史略去。玻爾茲曼自己對熵這一主題的思考在19世紀70～80年代經歷過重大精煉。在那個時期，他與一些物理學家的相互影響和交流對他來說是非常有幫助的，這些科學家包括詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，開爾文勳爵，約瑟夫·洛施密特，約什亞·威拉德·吉布斯，亨利·龐加萊，S.H.勃柏利，以及歐內斯特·切梅羅。事實上，玻爾茲曼最初認為他可以證明，對於孤立的物理系統，熵會一直並且絕對化的不減，而不只是這樣的熵減過程不太可能發生。但是來自上述以及其他一些物理學家的反對意見，促使玻爾茲曼強調這個問題中的統計或概率方法，而這種方法一直用到了今天。
5.我想像著我們正在用現代經典文庫（Modern Library Classics）版的《戰爭與和平》，Constance Garnett譯，1386頁。
6.數學比較好的讀者應該會注意到，由於數太大了，熵實際被定義為可能的排列數的對數，不過這一細節在這裡與我們無關。但是，從理論的角度看，這一點非常重要，因為熵是所謂的廣延量這一點非常方便，這意味著如果你把兩個系統合在一起，那麼整體的熵就是兩個系統各自的熵的和。而僅當熵是對數的形式這一點才會成立，因為在這種情況下總的排列數會等於各自排列數的乘積，因而排列數的對數是相加性的。
7.儘管在理論上，我們可以預言每一頁被放在哪裡，你可能還是會關心決定著頁序的另一個元素：你怎樣把這些頁整齊的摞在一起。這與所要討論的物理無關，但如果它令你心煩的話，你可以這樣想像：我們同意你把它們一張張地撿起，從離你最近的那張開始，然後再撿起離那張最近的一張，如此下去（而且，怎樣確定最近的紙張都是一樣的，比如說，我們都同意從紙張距離我們最近的一個角開始量起）。
8.以為對於不多的一些頁，就能在達到預言其頁序（運用某些方法將它們堆在一起，參見前一條註釋）的精度上成功的算出其運動，實際上是極其樂觀的想法。根據紙張柔韌性與重量的不同，這樣一個相對“簡單”的計算也遠遠超越了今天的計算機能力。
9.你可能會擔心，定義頁序的和定義一群分子的熵之間存在著根本性的差異。畢竟，頁序是離散的——你可以一頁一頁的數清它，雖然所有的可能性總數會很大，但卻是確定的。而相反的是，即使單獨一個分子，其運動和位置都是連續的——你沒法一個一個的數清，因而可能性的總數會是無限大（至少在經典物理中是這樣）。所以，我們怎樣數清分子的排列數呢？這個嘛，簡單地說，這是個好問題，但卻是個被完全解決了的問題——要是這能讓你感到滿意，那你就不用看下面的這段內容了。詳細的回答你這個問題需要用到一點數學，要是沒有基礎的話可能不太好理解。物理學家用相空間——一個6N維空間（N為粒子數），其中的每個點代表著一個粒子的位置和速度（描述每個粒子的位置需要3個數，速度也是一樣，因而N個粒子需要6N個數）——來描述經典多粒子系統。關鍵之處在於，相空間可以被劃分為不同區域，給定區域內的所有點對應著具有外在相同整體性質的分子的速度速率分佈。如果相空間給定區域的分子排布從一個點變化到同一區域的另一個點，那麼在宏觀上我們是沒法區分這種變化的。現在，我們就不需要數清給定區域內點的數目——與數清不同頁序的排列數最最直接的類比，但這種類比會導致無限大——物理學家們就用相空間中每一個區域的體積來定義熵。體積越大，則區域內的點越多，因而熵就越大。而區域的體積，即使是很高維度的空間中的區域，可以有嚴格的數學定義。（數學上，需要選取所謂的測度，對數學比較好的讀者，我要指出，對於與給定宏觀態相一致的所有微觀態，我們通常選取的測度都是一樣的——也就是說，與給定宏觀性質有關的微觀分佈被假定為等權重。）
10.特別是，我們知道一種它可能發生的方式：如果幾天前，CO2還在瓶中，那麼從我們上面的討論中我們可以知道，如果你現在同時反轉每一個CO2分子的速度，以及每一個與CO2分子有相互作用的分子的速度，等上幾天後，你將發現所有的CO2分子又聚集起來回到了瓶中。但是這種速度反轉沒法應用於實踐，每件事看起來只能按其自己的步調發生。不過我需要指出，我們可以在數學上證明，只要等待的時間足夠長，CO2分子早晚會按自己的步調退回到瓶中。19世紀，法國數學家約瑟夫·劉維爾證明的一個結果可以用來構建所謂的龐加萊可逆定理（Poincaré recurrence theo-rem）。根據這一定理，如果你的等待時間足夠長，一個有限體積內具有有限溫度的系統（比如封閉空間內的CO2分子）將會達到與其初始態任意接近的態（在本例中，所有的CO2分子都被封閉在可樂瓶中）。問題在於你到底得等多久它才會發生？對於一個其組分很多的系統來說，這個定理告訴我們，要想使其按自身步調回到其初始狀態，你的等待時間可能會比宇宙的年齡還長。然而，理論上重要的是，如果你有足夠的耐心，能夠等待足夠長的時間，那麼空間中所有的物理系統都會回復到其初始狀態。
11.你可能會想，水為什麼會結成冰呢？那豈不意味著H2O分子變得更加有序，換句話說，豈不是獲得了較低而不是較高的熵？這個嘛，大體上說來，液態的水變成固態的冰，會向周圍的環境釋放能量（而當冰化成水的時候，則會從環境中吸收能量），而這會導致環境中的熵有所提高。當環境溫度足夠低的時候，低於零攝氏度，環境中的熵增超過了水中的熵減，因此，結冰過程是一個熵減少的過程。這就是冬天為什麼會結冰的原因。類似的，當你冰箱中的冰塊形成時，H2O分子中的熵固然是減少了，但是在這個過程中冰箱會向周圍的環境釋放熱量，因而會導致總的熵是增加了。對數學比較好的讀者，更加準確的說法是，我們所討論的這種自發現象由所謂的“自由能”掌控。直觀上，自由能是一個系統中可以用來做功的那部分能量。數學上，自由能F，由F=U-Ts來定義，其中U代表總能量，T代表溫度，s代表熵。如果某一過程會導致自由能減少，那該過程就可以自發產生。低溫下，液態水中U的減少超過了固態冰中s的減少（超過了-Ts的增加），因而這個過程會自然發生。而在高溫下（零攝氏度以上），冰由固態到液態或氣態的轉變則是符合熵的要求的（s的增加超過了U的改變），因而也會自然發生。
12.直接應用熵的論證究竟是怎樣使我們得出記憶與歷史記錄是對過去不可信賴的記述這一結論的。關於這個問題，要想看看較早的討論，可以參看C.F.von Weizs?cker的The Unity of Nature（New York：Farrar, Straus and Giroux，1980）中138-146頁，最初發表在Annalen der Physik 36（1939）。要想看較新些的優秀作品，可以看看大衛·阿爾伯特的Time and Chance（Cambridge, Mass.：Harvard University Press，2000）。
13.事實上，因為物理定律無法區分時間上的前與後，所以對半小時前，晚上10點，完全結成冰塊的解釋同預言半小時後，晚上10點，小冰渣完全結成冰塊一樣，都可以說是極為荒唐——從熵的角度講。相反，對晚上10點時液態的水，到了晚上10點半的時候慢慢形成了冰渣這一現象的解釋，則與預測到了晚上11點的時候，那些冰渣又化為水在道理上是一樣的，都是我們熟悉且可預期的事情。對後一種現象的解釋，從晚上10點半看，前後的結冰和融化現象完全是對稱的，而且與我們的實際觀測是相符的。
14.特別細心的讀者可能會想到，我在討論中錯誤地使用“早期”這個詞，因為這相當於插入了時間上的不對稱性。按更為準確的語言，我想表達的是，我們會需要特殊的條件使時間維度的一端變得特別。在後面將會更加清楚，特殊的條件就是低熵的邊界條件，而我所謂的“過去”，就是時間維度上滿足這一條件的那一端。
15.時間之箭要求低熵的過去這一想法已經有很長的歷史了，可追溯到玻爾茲曼及其同時代的人；在漢斯·雷肯巴赫著的The Direction of Time中有詳細討論（Mineola, N.Y.：Dover Publication），在羅傑·彭羅斯著的《皇帝的新腦》中以特別有趣的定量方式有所討論。
16.回想一下，我們在本章中的討論並沒有考慮量子力學。如史蒂芬·霍金於20世紀70年代證明的那樣，當量子力學的效應被考慮進來時，黑洞會允許一定數量的輻射逃離出去，但這不會影響他們稱為宇宙中最高熵的物體。
17.一個很自然的問題是，我們是怎麼知道未來不會有新的對熵有影響的限製出現。答案是我們沒辦法知道，某些科學家甚至提出一些實驗，用以探測這些將來的限制對我們今天能夠觀測到的事物的影響。有一篇非常有趣的文章探討了將來的和過去的一些對熵的限制的可能性，即Murray Gell-Mann與James Hartle合著的Time Symmetry and Asymmetry in Quantum Mechanics and Quantum Cosmology，收錄在J.J.Halliwell, J.Pérez-Mercader, W.H.Zurek編輯的Physical Origins of Time Asymmetry（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1996）。同一文集的第四和第五部分中也有一些關於這個問題的有趣文章。
18.在這一章中，我們一直在用“時間之箭”這個詞，用以表達時空的時間軸（任意觀測者的時間軸）具有不對稱性這一明顯事實：按時間軸的方向排列順序的事件非常多，但是反向順序的事件，即便不是沒有，也是很少發生。很多年來，物理學家和哲學家一直在將事件順序分成不同子類，在這些子類中，至少在理論上，時間上的不對稱性可以歸結於邏輯上獨立的解釋。比如說，熱量總是從熱的物體流向較冷的物體，反之則不行；電磁波總是從恆星或者電燈泡這樣的源射出，看起來卻永遠不會聚攏回這些源；宇宙看起來是在碰撞，而不是在收縮；我們記住的是過去而不是未來（這些分別被稱為熱力學、電磁學、宇宙學、心理學上的時間之箭）。所有的這些都是時間不對稱現象，不過至少在理論上，這些現象有可能從全然不同的物理原理中獲得其各自的時間不對稱性。我的觀點（很多人也有這樣的觀點，而另一些人則不）是，除宇宙學上的時間之箭外，其他的時間不對稱現象在基本層面上沒有什麼區別，它們都可以被歸結為同樣的解釋——我們在本章中講過的解釋。比方說，電磁輻射為什麼向外傳播而不是向內傳播？要知道這兩種情形都是麥克斯韋方程的解。這個嘛，由於我們的宇宙有提供這些向外放射的波的低熵、連貫、有序的源——比如說恆星或電燈泡——而這些有序的源的存在又可追究到宇宙起源時的更為有序的環境，參見正文中的討論。解釋心理學上的時間之箭要稍微難一些，因為對於我們還沒有搞懂的人類思想來說，還沒有微觀物理基礎。但是，對於與計算機有關的時間之箭，人們卻取得了一些進展。進行計算，完成計算，記錄結果，對於這些基本的計算順序，其中的熵的性質人們已經搞清楚了（查爾斯·本耐特，羅爾夫·蘭道爾和其他一些人的貢獻），且與熱力學第二定律符合得非常好。因而，如果人類思想類似於計算過程，我們就可以對其應用類似的熱力學解釋。但是，也需要注意到，與宇宙正在膨脹而不是收縮這一事實緊密聯繫的不對稱性，實際上與我們一直在探索的時間之箭有關，但在邏輯上卻是完全不同的。即使宇宙慢慢減速，停止下來，再開始轉入收縮過程，時間之箭還是會指向同一個方向。即便宇宙膨脹過程反轉過來變成了收縮，物理過程（雞蛋破碎，我們變老，等等）還是會像往常一樣發生。
19.數學比較好的讀者應當注意到，當我們使用這種概率聲明時，我們假定了一種特別的概率測度，從而，與我們此刻所看到的宏觀事物相容的所有微觀態都有相同的測度。當然，還有另外一些我們能用的測度，比如說，大衛·阿爾伯特在Time and Chance中倡導使用的概率測度，對於所有的微觀態——與我們此刻所看到的宏觀事物以及他所謂的過去假設（the Past hypothesis，宇宙開始於低熵態這一明顯的事實）相容的微觀態——都是一樣的。利用這樣的測度，我們可以不用考慮那些與低熵的過去——為我們的記憶、記錄以及宇宙學理論所確證——不相容的歷史。按這種思考方式，一個低熵的宇宙是沒有概率問題的；根據假設，宇宙按低熵方式開始的概率為100%。但仍有一個重大問題：宇宙為什麼會按那種方式開始？關於宇宙的問題甚至都沒在概率背景下表述。
20.你可能會忍不住爭辯，已知宇宙在早期之所以低熵不過是因為其尺寸遠比今天要小，因而，正如書頁較少的書熵也低些，早期宇宙中的組分所可能有的排列數要更少些。但是，只依靠這種說法說服自己是沒有用的。很小的宇宙也可以有很高的熵。比方說，我們宇宙的命運之一（儘管很不可能）就是在未來的某一天停止膨脹，然後向內爆裂，結束於所謂的大收縮（big crunch）。計算表明，即使宇宙的尺寸在向內爆裂階段減小，熵也仍會增加，這就顯示了小體積並不一定意味著低熵。不過，我們將會在第11章中看到，宇宙初期的小尺寸的確會在我們當今對低熵起源的最佳解釋中佔有一席之地。
第7章
1.眾所周知，如果你所研究的是三體乃至更多體相互作用的運動問題，經典物理的方程是不能精確求解的。所以，即使在經典物理中，任何有關大群粒子運動的語言也都只能是近似的。但問題在於，在經典物理中，對近似的精確度不會有基本層面的限制存在。在經典物理掌控的世界中，所用的計算機能力越強，位置和速度的初始數據給的越精確，我們所能得到的結果就越精確。
2.在第4章結尾，我注意到貝爾、艾斯柏克特以及其他人的結果並沒有排除粒子總是有確定的位置和速度——即便我們沒法同時確定這些量——這種可能性。而且，玻姆版的量子力學清楚地實現了這種可能性。因而，儘管人們普遍認為，像電子在被測量之前不會有一個位置這種事，屬於傳統方法的量子力學中的標準性質。但是嚴格說來，將其作為一條普遍適用的聲明未免太牽強了些。記住，在玻姆的方法中，我們將會在本章稍後討論到，粒子總是與概率波“相伴”；也就是說，玻姆的理論總要用到粒子與波，而標準方法用的是互補性，可概括為粒子或波。因而，我們所探求的結論——如果我們單說一個粒子在每一個確定的時刻通過空間中一個確定的點（在經典物理中我們就會這麼做），那對過去的量子力學描述絕對是不完備的——但還是正確的。在傳統方法的量子力學中，我們必須將一個粒子在給定時刻所能佔據的大量位置都考慮進去，而在玻姆的方法中，我們也必須將“導”（Pilot）波——而它也可以延展至很多個位置——包括進去（專家級讀者應該會注意到，導波只不過是傳統量子力學中的波函數，儘管其在玻姆理論中的化身相當不同）。為了避免無邊的限定，我們在接下來的討論中將使用傳統的量子力學觀點（最為廣泛使用的方法），對玻姆以及其他方法的評論將放在本章最後。
3.要想看看數學化一點但同時又高度教學式的說明，可以參考理查德·費曼與A.R.希布斯合著的Quantum Mechanics and Path Integrals（Burr Ridge, Ill.：McGraw-Hill Higher Education，1965）。
4.你可能會忍不住援引第3章中的討論——從那裡的討論中我們瞭解到在光速時時間停止——來辯稱，從光子的角度看，所有的時間都一樣，所以，光子在經過分束器時“知道”探測器的開關如何設定。但是，我們用其他慢於光速的粒子，比如光子，也可以做這樣的實驗，而結果不變。因而，這樣的角度不能揭示物理實質。