趙君卿序
夫高而大者莫大於天，厚而廣者莫廣於地。休恢洪而廓落，形修廣而幽清。可以玄象課其進退，然而宏遠不可指掌也；可以晷儀驗其長短，然其巨闊不可度量也。雖窮神知化不能極其妙，探賾索隱不能盡其微。是以詭異之說出，則兩端之理生，遂有渾天、蓋天（1）兼而並之，故能彌綸天地之道，有以見天地之賾。則渾天有《靈憲》（2）之文，蓋天有《周髀》之法。累代存之，官司是掌。所以欽若昊天，恭授民時。（3）爽以暗蔽，才學淺昧。鄰高山之仰止，慕景行之軌轍。負薪餘日，聊觀《周髀》，其旨約而遠，其言曲而中。將恐廢替，濡滯不通，使談天者無所取則。輒依經為圖，誠冀頹毀重仞之牆，披露堂室之奧，庶博物君子，時迥思焉。
捲上
（1）昔者周公問於商高（4）曰：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度（5），夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高曰：「數之法出於圓方。圓出於方，方出於矩（6），矩出於九九八十一（7）。故折矩以為勾廣三，股修四，逕隅五。既方其外，半之一矩。環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩（8）。故禹之所以治天下者，此數之所生也（9）。」
勾股圓方圖（10）
周公曰：「大哉言數！請問用矩之道？」商高曰：「平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。（11）方屬地，圓屬天，天圓地方。（12）方數為典，以方出圓。（13）笠以寫天，天青黑，地黃赤。天數之為笠也，青黑為表，丹黃為裡，以象天地之位。（14）是故知地者智，知天者聖。智出於勾，勾出於矩。夫矩之於數，其裁製萬物（15），唯所為耳。」周公曰：「善哉！」
（2）昔者榮方問於陳子曰：「今者竊聞夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎？」陳子曰：「然。」榮方曰：「方雖不省，願夫子幸而說之——今若方者可教此道邪？」陳子曰：「然。此皆算術之所及。子之於算，足以知此矣。若誠累思之。」
於是榮方歸而思之，數日不能得。復見陳子曰：「方思之不能得，敢請問之。」陳子曰：「思之未熟。此亦望遠起高之術，而子不能得，則子之於數，未能通類，是智有所不及，而神有所窮。夫道術，言約而用博者，智類之明。問一類而以萬事達者，謂之知道。今子所學，算數之術，是用智矣，而尚有所難，是子之智類單。夫道術所以難通者，既學矣，患其不博；既博矣，患其不習；既習矣，患其不能知。故同術相學，同事相觀，此列士之愚智，賢不肖之所分。是故能類以合類，此賢者業精習知之質也。夫學同業而不能入神者，此不肖無智而業不能精習，是故算不能精習。吾豈以道隱子哉？固復熟思之！」
榮方復歸思之，數日不能得。復見陳子曰：「方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所窮，知不能得，願終請說。」陳子曰：「復坐，吾語汝。」於是榮方復坐而請。陳子說之曰：（16）
（3）夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之數。周髀（17）長八尺，夏至之日晷（18）一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。日益南，晷益長（19）。
候勾六尺（20），即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。（21）
從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。若求邪（22）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，並而開方除之，得邪至日，從髀所旁（23）至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五十里。故曰，日徑千二百五十里。
日高圖（24）
（4）法曰：周髀長八尺，勾之損益寸千里。故曰極者，天廣袤也，今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。（25）
榮方曰：「周髀者何？」
陳子曰：古時天子治周，此數望之從周，故曰周髀。髀者，表也。
日夏至南萬六千里，日冬至南十三萬五千里，日中無影。（26）以此觀之，從極南至夏至之日中十一萬九千里。北至其夜半亦然。凡徑二十三萬八千里，此夏至日道之徑也，其周七十一萬四千里（27）。從夏至之日中至冬至之日中，十一萬九千里，北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬八千里，從極北至其夜半亦然。凡徑四十七萬六千里，此冬至日道徑也，其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里，從極下北至其夜半亦然，凡徑三十五萬七千里，週一百七萬一千里。故曰，月之道常緣宿，日道亦與宿正。（28）南至夏至之日中，北至冬至之夜半；南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦徑三十五萬七千里，週一百七萬一千里。（29）
春分之日夜分以至秋分之日夜分，極下常有日光；秋分之日夜分以至春分之日夜分，極下常無日光。（30）故春秋分之日夜分之時，日光所照適至極，陰陽之分等也。冬至夏至者，日道發斂之所至，晝夜長短之所極。春秋分者，陰陽之修，晝夜之象——晝者陽，夜者陰；春分以至秋分，晝之象，秋分以至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北至極下，夜半日光之所照亦南至極，此日夜分之時也。故曰，日照四旁各十六萬七千里。（31）
人所望見，遠近宜如日光所照。從周所望見北過極六萬四千里，南過冬至之日中三萬二千里。夏至之日中，光南過冬至之日中四萬八千里，南過人所望見萬六千里，北過周十五萬一千里，北過極四萬八千里。冬至之夜半日光南不至人目所見七千里，不至極下七萬一千里。夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相接，冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里，不至極下七萬一千里。（32）
夏至之日正東西望，直周東西日下至週五萬九千五百九十八里半。（33）冬至之日正東西方不見日，（34）以算求之，日下至週二十一萬四千五百五十七里半。凡此數者，日道之發斂。（35）冬至、夏至，觀律之數，聽鍾之音。冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所遝觀之，四極徑八十一萬里，週二百四十三萬里。（36）
從周南至日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，東西各三十九萬一千六百八十三里半。周在天中南十萬三千里，故東西短中徑二萬六千六百三十二里有奇。（37）
（5）此方圓之法。萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規矩設焉。或毀方而為圓，或破圓而為方。方中為圓者謂之圓方，圓中為方者謂之方圓也。（38）
（6）七衡圖（39）
凡為此圖，以丈為尺，以尺為寸，以寸為分，分一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分，分為二千里。
呂氏曰：凡四海之內，東西二萬八千里，南北二萬六千里。（40）
凡為日月運行之圓周，七衡周而六間，以當六月節。（41）六月為百八十二日八分日之五。（42）故日夏至在東井極內衡，日冬至在牽牛極外衡也。衡復更終冬至。故曰，一歲三百六十五日四分日之一，歲一內極，一外極。三十日十六分日之七，月一外極，一內極。（43）是故一衡之間萬九千八百三十三里三分裡之一，即為百步。（44）欲知次衡徑，倍而增內衡之徑；二之以增內衡徑，得三衡徑。次衡放（45）此。
內一衡徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里。分為三百六十五度四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。
次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步，周八十三萬三千里。分裡為度，度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。
次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步，周九十五萬二千里。分為度，度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。
次四衡徑三十五萬七千里，週一百七萬一千里。分為度，度得二千九百三十二里七十一步千四百六十一分步之六百六十九。
次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步，週一百一十九萬里。分為度，度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。
次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步，週一百三十萬九千里。分為度，度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。
次七衡徑四十七萬六千里，周百四十二萬八千里。分為度，度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。
其次，日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，週二百四十三萬里。分為三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。
過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知。（46）此言上聖不學而知之。
故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷長，夏至日晷短，日晷損益，寸差千里。故冬至、夏至之日南北遊十一萬九千里，四極徑八十一萬里，週二百四十三萬里。分為度，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七，此度之相去也。其南北遊，日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。（47）術曰：置十一萬九千里為實，以半歲一百八十二日八分日之五為法，得九十五萬二千為實，所得一千四百六十一為法，除之，實如法得一里；不滿法者，三之，如法得百步；不滿法者，十之，如法得十步；不滿法者，十之，如法得一步；不滿法者，以法命之。（48）
註釋
（1）古代中國占統治地位的宇宙學說稱為「渾天說」，它同時又是一種行之有效的數理天文學體系。其綱領見於《開元占經》卷一引《張衡渾儀注》：「渾天如雞子。天體圓如彈丸，地如雞子中黃，孤居於天內，天大而地小。天表裡有水，天之包地猶殼之裹黃。天地各乘氣而立，載水而浮。周天三百六十五度又四分度之一，……其兩端謂之南北極。北極乃天之中也，在正北，出地上三十六度。……天轉如車轂之運也，周旋無端，其形渾渾，故曰渾天。」又揚雄《法言‧重黎》說：「或問渾天，曰：落下閎營之，鮮於妄人度之，耿中丞象之。」這是現今所知古籍中最早出現「渾天」名稱者。渾天說之所以在古代中國取得統治地位，除了較符合視覺直觀之外，主要是因為它能夠進行有效的數理天文學計算並與實際觀測吻合，這一點是古代中國任何其他宇宙學說無法望其項背的。「蓋天說」則就是《周髀算經》下文中詳述的學說。
（2）東漢張衡作，原文保存在《後漢書》卷二十天文志上劉昭注文中。這很可能只是一部已佚著作的開頭部分。
（3）《尚書‧堯典》：「歷象日月星辰，敬授人時。」今人多將此理解為「安排農事」，其實是完全錯誤的。這句話的原意是指安排重大政治事務日程表，參見江曉原：《天學真原》，遼寧教育出版社（1991），145—151頁。
（4）周公、商高，以及下文的榮方、陳子，皆假托的古代傳說中人物，未必真有其人其事。這是戰國秦漢間著作的常用手法。
（5）《易‧系辭下》：「古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地。」此為古代流行的傳說。包犧又常寫作伏羲、庖犧，為傳說中三皇之一，相傳八卦也是他所創立。
（6）矩，見圖1，直到今天，中國的木工仍廣泛使用這一古老工具。在古代藝術形象中，伏羲手中常持此物，比如山東嘉祥東漢武梁祠畫像石、新疆吐魯番阿斯塔那唐墓等處的伏羲女媧交尾圖中，都是如此。矩的兩條直角邊，短的稱為勾，長的稱為股。
圖1 矩
（7）意指矩中蘊含著乘法之理。故趙爽注稱：「九九者，乘除之原也。」由矩的兩條直角邊所構成的矩形面積，即此兩邊之長相乘而得的積。
（8）此處所謂「積矩」，指勾、股平方之和（32＋42＝25）。「兩矩共長」不能理解為兩直角三角形周長之和。
（9）誇張的說法。意指禹憑借勾股之術設計、指導治水工程，而使天下大治。故趙爽注稱：「禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注於海而無浸逆，乃勾股之所由生也。」如何巧妙利用矩這一工具以勾股術進行工程測算，下文商高陳述「用矩之道」時即論及。
（10）此五字是否為《周髀算經》原文，現已不可確知——傳世各種版本中的圖很可能都是趙爽作注時所增繪。錢寶琮又據趙注重繪，有八幅之多。但實際上只需用第一幅即可清楚說明趙爽在其注文中對勾股定理所作的證明。如圖2，設勾、股、弦之長依次為a、b、c，則整個大正方形面積為c2，中間小正方形面積為（b－a）2，四個直角三角形面積之和為2ab，於是有：c2＝（b－a）2＋2ab＝a2＋b2。
對於此事，趙爽、甄鸞、李淳風等人作了大量附註和討論，繁瑣枝蔓，意義不大。但此處必須強調指出的是，上述趙爽的證明對任何比例的直角三角形都普遍適用，而《周髀算經》原書中則始終只停留在勾三、股四、弦五這一特例的表述上。
圖2 趙爽對勾股定理的普適證明（引自錢寶琮校點《算經十書》頁一五）
（11）「平矩以正繩」指利用矩的直角邊以確定水平與垂直。「偃矩」、「覆矩」、「臥矩」三句指利用相似三角形原理借助於矩以測高、測深及測遠。「環矩」句指利用矩作為圓規以作圓。「合矩」句指兩矩相合可構成方形。關於這些用矩之道的圖解，可參看陳遵媯《中國天文學史》第一冊，118—119頁。
（12）此處所說的「方」、「圓」，皆為古人抽像的哲學概念，不宜理解為天地的實際形狀。故趙爽注云：「天動為圓，其數奇；地靜為方，其數偶，此配陰陽之義，非實天地之體也。」
（13）前人對這兩句話頗多引用和討論，但多流於概念之間的比附轉換。其實返璞歸真，則仍不出將矩作圓規可以畫出圓這一簡單事實而已。
（14）如將這幾句話中的「天」都作相同理解，就很難講通。但古人有時亦用「天」泛指整個宇宙，若將「笠以寫天」和「天數之為笠也」兩句中的「天」作「宇宙」解，文意即可通暢。
（15）這裡「裁製」宜作「描述、掌握並加以改造」講。
（16）從形式上說，自此以下的所有論述皆為陳子所作。為便於據文義進行分段以清眉目，不再標點作直接引語形式。
（17）周髀，為垂直立於地上的竿狀物，亦稱為表。其得名之故以及各種用途可見下文。
（18）晷，指八尺之表在日光下投於地面的影長。趙爽註：「晷，影也。」
（19）欲理解上面這段論述，可借助於圖3及下文的圖6。由圖3可知，在天地為平行平面的假設下，並取天高H＝80000里、表高h＝8尺這組參數時，「日影千里差一寸」的結論確實可以得到證明。「正南千里……」兩句，是指同一天（故日位置固定不動）在不同地點（自周地向南千里和向北千里）測日影的情形。「日益南，晷益長」則是指同在周地而不同季節（故日南北遠近不同）測日影的情形。
S：太陽
B：表（周髀）
H：天地距離＝80000里
h：表高＝8尺
l：晷影之長
L：測晷影處至日下無影處之距離
圖3 日影千里差一寸示意圖
由圖中相似三角形可知：
（20）若已掌握普適的勾股定理，則日影（勾）為任何長度時皆可施行下文的計算；而此處非要「候勾六尺」不可，足見仍只掌握了勾三、股四、弦五的特例，故需湊成其倍數以便套用。
（21）參見圖4。由圖中相似三角形可知，太陽至觀測者距離與太陽直徑之比等於竹筒長度與竹筒孔徑之比，即：
ds：太陽直徑
Rs：太陽至觀測者距離
d：竹孔直徑
t：竹筒長度
圖4 日遠近與日徑比例之圖（引自程貞一、席澤宗《陳子模型和早期對於太陽的測量》）
下文由此求得ds之值。
（22）邪，此處音、義俱同「斜」。
（23）旁，趙爽註：「旁，此古邪字。」據前一「邪」字的用法，完全可通。錢寶琮據顧觀光之說，謂「旁」及「邪」俱當作「袤」，似乎反而使問題複雜化了。
（24）日高圖原為趙爽作注時補繪，錢寶琮謂傳世各本皆誤，又據趙注重繪。今重新繪製為圖5。由圖5可知，在天地為平行平面的基本假設之下，在同一時刻於相距為L的兩地用同高之表測得日影之長，確實可以推算出日高及日遠之值：由圖中相似三角形可有：
G1、G2：表1與表2晷影之長
H：日高（天高）
B1、B2：表1與表2
h：表高
S：日所在
L：兩表間距離
圖5 雙表同測日高日遠圖
由於L之值為已知，且恰為L2與L1之差，於是可由上兩式解出H，即日高之值：
H＝H′＋h＝Lh/（G2－G1）＋h
式中：G1、G2為兩地測得的晷影之長。由此當然還可以解出兩表處至日下的距離L1與L2。這種測算方案在古代中國至遲可追溯到公元3世紀的劉徽，比如《海島算經》（即劉徽附於《九章算術》之後的《重差》卷）第一題：「今有望海島，立兩表齊高三丈，……問島高及去表各幾何？」即與此性質完全相同。需要注意的是，《周髀算經》原文中並未明確陳述這一測算方案。不過，在圖5中可見，天高（即日高）八萬里之值與前述「日影千里差一寸」（即在圖5中令L＝1000里、G2－G1＝1寸）之說確實完全吻合。
（25）在圖3中令S為北極，並令l為一丈三寸，即得L為十萬三千里。
（26）以下所述宇宙數理模型，參見注譯者繪製的圖6及圖3。注意圖6所復原的模型與自李淳風以來的傳統結論完全不同（論證詳見本書導讀第2節）。
（27）《周髀算經》取圓周率π＝3，以下各處都是如此。
J：北極（天中）
X：夏至日所在（日中時）
F：春、秋分日所在（日中時）
D：冬至日所在（日中時）
Z：周地（洛邑）所在
r＝11500里，極下璇璣半徑
RX＝119000里，夏至日道半徑
RF＝
RX＝178500里，春、秋分日道半徑
RD＝2RX＝238000里，冬至日道半徑
L＝103000里，周地距極遠近
H＝80000里，天地間距離
h＝60000里，極下璇璣之高
圖6 《周髀算經》宇宙模型半剖面示意圖
（28）《周髀算經》認為二十八宿諸距星系沿黃道排列，故趙爽在此注稱：「內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道，二十八宿列焉。」二十八宿體繫起源時究竟是以黃道為準還是以赤道為準，一直是懸而未決的問題，《周髀算經》在這裡提供了一個極有價值的線索，但看來長期未被現代論者所注意。
（29）由圖6可見確實如此。但這一組徑、周數據沒有什麼實際意義。
（30）這一點確屬觀測事實。北極半年為晝半年為夜的現象，在從古希臘一脈相傳至今的球面天文學中可以得到準確描述，而《周髀算經》在下文中也試圖在自己的宇宙模型中對該現象作出數學描述。
（31）「日照四旁各十六萬七千里」，意即日光輻射的最大半徑為167000里，這一數據的來源頗為費解，按上文所述春秋分日道半徑，由圖6不難看出，「日照四旁」顯然應等於春秋分日道半徑，即178500里，才能自洽合理（詳見導讀第3節論述）。
（32）這些數據很容易由圖6推算出來，但沒有什麼實際的天文學意義。此外，《周髀算經》在推算這些數據時，始終只在二維平面上進行，而未考慮三維空間（人在地上而日在天上，天地間有八萬里的距離——即使站在《周髀算經》的立場上，這一距離也是不應忽略的）。
（33）參見圖7。圖7為圖6所繪宇宙模型的俯視圖。所謂「夏至之日……直周東西日下至周」即圖7中的ZSX線段之長，它顯然可以由圖求出：
線段JZ即圖6中的L，亦即周地距極的距離，為103000里。將此值及RX之值代入上式，即得ZSX≐59598.5里。
（34）這是符合觀測事實的。《周髀算經》在自己的數理模型中居然也相當成功地描述了這一事實：由圖7可求出線段ZSD之長：
代入數值，得ZSD≐214557.5里，注意此值大於「日照四旁」的167000里，這意味著此時在周地正東西方向見不到太陽。
（35）注意《周髀算經》在這裡迴避了春秋分的情況。觀測事實是：在
J：北極 RX：夏至日道半徑（119000里）
Z：周地 RF：春、秋分日道半徑（＝
RX）
RD：冬至日道半徑（＝2RX）
圖7 周地分、至日東西望日圖
春、秋分這兩日，在周地（以及北半球的一切地方）所見，太陽恰從正東方升起，至正西方沒入地平線。如欲在圖6、圖7模型中準確描述這一事實，應有圖7中線段ZSF之長恰等於「日照四旁」，但實際上在圖7中為：
此值小於「日照四旁」的167000里，意味著太陽從周地的東北方升起而至西北方落下，這不符合觀測事實。
（36）由圖6，RD為238000里，再加上「日照四旁」的167000里，為405000里，即直徑等於810000里。趙爽注又稱：「八十一者，陽數之終，日之所極。」已有數字神秘主義色彩。
（37）因周地不在直徑為810000里之圓的圓心上，而是偏離103000里，故有
將此值以2乘之，其與810000里直徑之差≐26633里，此即「東西短中徑二萬六千六百三十二里有奇」。
（38）這段空洞的議論顯得頗為突兀。在「此方圓之法」下還附有「圓方圖」及「方圓圖」各一，只是一個正方形的外接圓和內接圓，沒有什麼意義，亦無法確定是否趙爽所補繪，茲刪去以省枝蔓。
（39）七衡圖可確定系《周髀算經》原本所有，但此後各家繪製，互有異同。茲選擇較完善的一種，見圖8。
圖8 七衡圖（引自陳遵媯《中國天文學史》131頁）
如《秘冊匯函》、《津逮秘書》、《四部叢刊》、《學津討原》、《槐廬叢書》等版本，在圖下有說明稱：「外方圈實青色，中俱黃色，內北極小圈青色實實。」
內衡旁邊「春分」、「秋分」四字和外衡旁邊「春秋分日出」、「春秋分日入」十字，都應寫在第四圈的旁邊。
（40）此為《呂氏春秋》中的語言，夾雜在此，當屬衍文。
（41）二十四節氣中，十二為節氣，十二為中氣。因七衡六間描述的是半個回歸年中的情形（另半年對稱相同），故曰「以當六月節」。趙爽注稱：「六月節者，謂中氣也。」而後世則習慣將節氣稱為節。但這一區別在此處無關宏旨。
（42）取回歸年長度為
日，則半年為
日，即所謂六月。
（43）仍據回歸年長
日，則其十二分之一為
日。注意此值並非朔望月長度之值。在回歸年長
日，且採用十九年七閏的規則，則19年中共有19×12＋7＝235個朔望月，那麼朔望月之長為：
這個值將在《周髀算經》下捲出現。
（44）一里為三百步，以下皆同。這裡是說圖8中每衡之間的間隔距離為
裡。下文所羅列的數據，即由內衡（即夏至日道）遞增該值而得。
（45）放，同仿。
（46）《周髀算經》對它所構想的宇宙最遠邊界之外的情形表示存疑態度。對這一問題的思考在漢代仍有繼續，張衡的《靈憲》是與《周髀算經》的蓋天說相對立的渾天說的經典文獻，但其中對上述問題的態度卻與後者相似：「過此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之謂也。」
（47）此值有太陽週年視運動的性質，它可以與球面天文學中太陽的赤緯運動相對應（數值及其準確含義當然相去甚遠）。在《周髀算經》的宇宙數理模型中，它表現為太陽在半年時間內移過七衡（另半年對稱相反）的速度。由圖6及圖8可知，內衡與最外衡半徑之差為119000里，故有：
《周髀算經》至此完成了它的宇宙數理模型的構建。
（48）此處《周髀算經》以「日南北遊」為例展示了它的頗為繁瑣的分數運算法：每日：
卷下
（7）凡日月運行四極之道。極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四
而下，（49）天之中央亦高四旁六萬里。（50）故日光外所照徑八十一萬里，週二百四十三萬里。故日運行處極北，北方日中，南方夜半；日在極東，東方日中，西方夜半；日在極南，南方日中，北方夜半；日在極西，西方日中，東方夜半。凡此四方者，天地四極四和。（51）晝夜易處，加時相反，然其陰陽所終，冬夏所極，皆若一也。
天象蓋笠，地法覆槃。（52）天離地八萬里。冬至之日雖在外衡，常出極下地上二萬里。故日兆月，月光乃出，故成明月，（53）星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以其道遠，此天地陰陽之性自然也。
（8）欲知北極樞、璇璣四極，常以夏至夜半時北極南遊所極，冬至夜半時北遊所極，冬至日加酉之時西遊所極，日加卯之時東遊所極，此北極璇璣四游。正北極樞璇璣之中，正北天之中。正極之所游：冬至日加酉之時，立八尺表，以繩系表顛，（54）希望北極中大星，（55）引繩致地而識之；又到旦，明日加卯之時，復引繩希望之，首及繩致地而識其兩端，（56）相去二尺三寸，故東西極二萬三千里。（57）其兩端相去正東西，中折之以指表，正南北。加此時者，皆以漏揆度之。（58）此東西。南北之時，（59）其繩致地所識，去表丈三寸，故天之中去周十萬三千里。（60）何以知其南北極之時也？以冬至夜半北遊所極，北過天中萬一千五百里；以夏至南遊所極，不及天中萬一千五百里——此皆以繩系表顛而希望之，北極至地所識丈一尺四寸半，故去周十一萬四千五百里，過天中萬一千五百里；其南極至地所識九尺一寸半，故去周九萬一千五百里，不及天中萬一千五百里。（61）此璇璣四極南北過不及之法。東西南北之正勾。（62）
（9）璇璣徑二萬三千里，週六萬九千里。此陽絕陰彰，故不生萬物。（63）其術曰：立正勾定之，以日始出，立表而識其晷；日入，復識其晷。晷之兩端相直者，正東西也；中折之指表者，正南北也。（64）極下不生萬物，何以知之？冬至之日去夏至十一萬九千里，萬物盡死；夏至之日去北極十一萬九千里，是以知極下不生萬物。（65）北極左右，夏有不釋之冰。（66）
春分、秋分，日在中衡。春分以往日益北，五萬九千五百里而夏至；秋分以往日益南，五萬九千五百里而冬至。（67）中衡去周七萬五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏長之類。（68）此陽彰陰微，故萬物不死，五穀一歲再熟。
凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。（69）
（10）立二十八宿，以周天歷度之法。
術曰：倍正南方（70），以正勾定之。（71）即平地徑二十一步，週六十三步，令其平矩以水正，（72）則位徑一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百六十五尺四分尺之一，以應周天三百六十五度四分度之一。審定分之，無令有纖微。分度以定則正督經緯，而四分之一合各九十一度十六分度之五。（73）於是圓定而正。
則立表正南北之中央，以繩系顛，希望牽牛中央星之中；（74）則復候須女之星光至者，如復以表繩希望須女先至（75），定中；即以一遊儀（76）希望牽牛中央星，出中正表西幾何度，各如游儀所至之尺為度數。（77）游在於八尺之上，故知牽牛八度。（78）其次星放（79）此，以盡二十八宿度，則定矣。（80）
立周度者（81），各以其所先至游儀度上，（82）車輻引繩，就中央之正以為轂，則正矣。（83）
（11）日所出入，亦以周定之。（84）
欲知日之出入，即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿。以東井夜半中，牽牛之初臨子之中。（85）東井出中正表西三十度十六分度之七，而臨未之中，牽牛初亦當臨丑之中，於是天與地協。（86）
乃以置週二十八宿，置以定，乃復置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一遊儀於度上，以望中央表之晷，晷參正，則日所出之宿度；日入放此。（87）
（12）牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。（88）術曰：置外衡去北極樞二十三萬八千里，除璇璣萬一千五百里，其不除者二十二萬六千五百里以為實，以內衡一度數千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以為法，實如法得一度；不滿法，求裡、步：約之合三百得一以為實，以千四百六十一分為法，得一里，不滿法者三之，如法得百步，不滿法者上十之，如法得十步，不滿法者又上十之，如法得一步，不滿法者，以法命之。（89）次放此。
婁與角去北極九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。術曰：置中衡去北極樞十七萬八千五百里以為實，以內衡一度數為法，實如法得一度，不滿法者，求裡、步，不滿法者，以法命之。（90）
東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。術曰：置內衡去北極樞十一萬九千里，加璇璣萬一千五百里，得十三萬五百里，以為實，以內衡190度數為法，實如法得一度，不滿法者，求裡、步，不滿法者，以法命之。（91）
（13）凡八節二十四氣，（92）氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸，問次節損益寸數長短各幾何？（93）
冬至晷長丈三尺五寸。
小寒丈二尺五寸，小分五。
大寒丈一尺五寸一分，小分四。
立春丈五寸二分，小分三。
雨水九尺五寸三分，小分二。
驚蟄八尺五寸四分，小分一。
春分七尺五寸五分。
清明六尺五寸四分，小分五。
谷雨五尺五寸六分，小分四。
立夏四尺五寸七分，小分三。
小滿三尺五寸八分，小分二。
芒種二尺五寸九分，小分一。
夏至一尺六寸。
小暑二尺五寸九分，小分一。
大暑三尺五寸八分，小分二。
立秋四尺五寸七分，小分三。
處暑五尺五寸六分，小分四。
白露六尺五寸五分，小分五。
秋分七尺五寸五分。
寒露八尺五寸四分，小分一。
霜降九尺五寸三分，小分二。
立冬丈五寸二分，小分三。
小雪丈一尺五寸一分，小分四。
大雪丈二尺五寸，小分五。
凡為八節二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一，（94）冬至、夏至為損益之始。術曰：置冬至晷，以夏至晷減之，余為實，以十二為法，實如法得一寸，不滿法者十之，以法除之，得一分，不滿法者，以法命之。（95）
（14）月後天十三度十九分度之七。（96）術曰：置章月二百三十五，以章歲十九除之，加日行一度，得十三度十九分度之七，此月一日行之數，即後天之度及分。（97）
小歲（98）月不及故捨三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。術曰：置小歲三百五十四日九百四十分日之三百四十八，（99）以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法，得積後天四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十二；（100）以周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五除之，其不足者，三百五十四度萬七千八六十分度之六千六百一十二，此月不及故捨之分度數。（101）佗皆放此。（102）
大歲月不及故捨十八度萬七千八百六十分度之萬一千六百二十八。術曰：置大歲三百八十三日九百四十分日之八百四十七，以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法得積後天五千一百三十二度萬七千八百六十分度之二千六百九十八；以周天除之，其不足除者，此月不及故捨之分度數。（103）
經歲月不及故捨百三十四度萬七千八百六十分度之萬一百五。術曰：置經歲三百六十五日九百四十分日之二百三十五，以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法得積後天四千八百八十二度萬七千八百六十分度之萬四千五百七十；以周天除之，其不足除者，此月不及故捨之分度數。（104）
小月不及故捨二十二度萬七千八百六十分度之七千七百五十五。術曰：置小月二十九日，以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法得積後天三百八十七度萬七千八百六十分度之萬二千二百二十；以周天分除之，其不足除者，此月不及故捨之分度數。（105）
大月不及故捨三十五度萬七千八百六十分度之萬四千三百三十五。術曰：置大月三十日，以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法得積後天四百一度萬七千八百六十分度之九百四十；以周天除之，其不足除者，此月不及故捨之分度數。（106）
經月不及故捨二十九度萬七千八百六十分度之九千四百八十一。術曰：置經月二十九日九百四十分日之四百九十九，以月後天十三度十九分度之七乘之為實，又以度分母乘日分母為法，實如法得積後天三百九十四度萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六；以周天除之，其不足除者，此月不及故捨之分度數。（107）
（15）冬至晝極短，日出辰而入申。（108）陽照三，不履九，（109）東西相當正南方。（110）夏至晝極長，日出寅而入戌。陽照九，不覆三，東西相當正北方。（111）
日出左而入右，南北行。（112）故冬至從坎，陽在子，日出巽而入神，（113）見日光少，故曰寒。夏至從離，陰在午，日出艮而入乾，（114）見日光多，故曰暑。
日月失度而寒暑相奸。（115）往者詘，來者信也，（116）故屈信相感。故冬至之後日右行，夏至之後日左行。左者往，右者來。（117）故月與日合為一月，日復日為一日，日復星為一歲。（118）外衡冬至，內衡夏至，六氣復返，皆謂中氣。（119）
（16）陰陽之數，日月之法，十九歲為一章；四章為一蔀，七十六歲；二十蔀為一遂，遂千五百二十歲；三遂為一首，首四千五百六十歲；七首為一極，極三萬一千九百二十歲，生數皆終，萬物復始，天以更元，作紀歷。（120）
（17）何以知天三百六十五度四分度之一？而日行一度、而月後天十三度十九分度之七？二十九日九百四十分日之四百九十九為一月、十二月十九分月之七為一歲？（121）
古者包犧、神農製作為歷，度元之始，見三光未知其則，（122）日、月、列星，未有分度；日主晝、月主夜，晝夜為一日；日、月俱起建星；（123）月度疾，日度遲，日、月相逐於二十九日、三十日間，而日行天二十九度余，（124）未有定分。於是三百六十五日南極影長，（125）明日反短。以歲終日影長，故知三百六十五日者三，三百六十六日者一，故知一歲三百六十五日四分日之一，歲終也。（126）月積後天十三周，又與百三十四度余，無慮後天十三度十九分度之七，未有定。於是日行天七十六周，月行天千一十六周，又合於建星，（127）置月行後天之數，以日後天之數除之，得十三度十九分度之七，則月一日行天之度。（128）復置七十六歲之積月，以七十六歲除之，得十二月十九分月之七，則一歲之月。（129）置周天度數，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，則一月日之數。（130）（全文完）
註釋
（49）從唐代李淳風開始，一直到現代錢寶琮、陳遵媯等學者，都根據這句話而將《周髀算經》所構建宇宙模型中的大地形狀理解為球冠形而非平面。事實上這是一個明顯的誤解。《周髀算經》捲上的原文中，已不止一次表明它的宇宙數理模型的基本假定正是天、地為平行平面，中間相距八萬里。而此處也分明只說「極下」之地高於大地六萬里，此極下之地即直徑為23000里的「極下璇璣」，也即本書圖6中左端所繪高為h、底半徑為r的部分。所謂「滂沲四
而下」，只應理解為此「極下璇璣」由其距大地平面六萬里處的尖頂向下逐漸增粗，至底部（即地面）而其直徑達到23000里。一個有力的證據是，如將天、地形狀理解為雙層球冠的話，「極下者，其地高人所居六萬里」就必將完全無法成立——「人所居」之處（比如周地）與「極下」頂端垂直空間距離將根本不可能達到六萬里。而錢、陳等的論述中都完全未意識到這一誤解造成的上述困難。他們雖然已發現球冠形天地與捲上陳子的地平假定相矛盾，卻仍先驗地贊成前者而將事實上並不存在的「矛盾」指為《周髀算經》的缺點。此外，如將天地理解為球冠形，則直徑為23000里的「極下璇璣」之地也將與大地合為一體而無任何邊界可加以區分，這樣則「極下璇璣」在《周髀算經》中也將變成毫無意義了，而事實並非如此。
（50）天的正確形狀也見圖6。
（51）關於「四極四和」的意義，趙爽注稱：「四和者，謂之極。子午卯酉得東西南北之中，天地之所合，四時之所交，風雨之所會，陰陽之所合。然則百物阜安，草木蕃庶，故曰四和。」這是古代中國傳統的看法，將日月星辰的運行規律與整個自然界的和諧聯繫在一起。
（52）對《周髀算經》宇宙模型中天地形狀的傳統誤解，很大程度上是出於此八字。蓋笠和覆槃，其實很難使今人將之想像成球冠形。而且事實上只要注意到這八字只是文學性的描述，只是形象的大致比喻；而天地的準確形狀如何，《周髀算經》捲上分明已有頗為嚴密的數理構造——天地為相距八萬里的平行平面。在《周髀算經》這樣一個數理天文學體系（與客觀真實吻合程度如何是另一問題）中，數理構造和數學描述的權重遠大於文學性比喻的片言隻語，應該是不言而喻的。
（53）這裡對月亮發光原因的陳述還是不甚明確的。故趙爽注稱：「日者陽之精，譬猶火光；月者陰之精，譬猶水光。水則含影，故月光生於日之所照，魄生於日之所蔽。當日即光盈，就日即明盡。月稟日光而成形兆，故雲日兆月也。」雖已明白月光與日光有關係，但尚未明確指出月光是反射日光而來。
（54）顛，通巔，指八尺之表的頂端。
（55）北極為天空中假想的點，再選擇位於該點附近較亮的恆星作為北極星。由於歲差的作用，北極在天空中緩慢移動，約26000年而繞一周，因此歷代的北極星也就不會始終為同一顆恆星。這樣，此處「北極中大星」究竟為哪一顆星，就與《周髀算經》成書於什麼時代或其材料來自什麼時代這一問題密切相關了。據陳遵媯的意見，此「北極中大星」為今小熊座β星，也即古代中國所稱的「帝星」（見陳遵媯《中國天文學史》174—175頁）。
（56）參見圖9。圖中P點為真正的北極所在。由於北極與北極星並不絕對重合，兩者間有一個角距離，因此北極星一晝夜間圍繞北極在天空中畫出一小圓。此小圓的半徑實即北極與北極星之間的角距。
（57）仍參見圖9。據《周髀算經》捲上所推證的「寸影千里」比例，得「極下璇璣」（即「北極璇璣」）直徑為23000里。這個數值帶有明顯的時代標誌——因為此值顯然直接取決於當時北極與北極星的角距。
W：冬至日加酉之時，西遊所極
E：日加卯之時，東遊所極
AC：所立8尺之表
DF：其端相去2尺3寸
BC：其繩致地所識，去表1丈3寸
圖9 北極璇璣東西遊圖解（引自陳遵媯《中國天文學史》175頁）
（58）漏，指刻漏，古代的計時裝置。此處的意思是，前述「加酉之時」、「加卯之時」等，都是用刻漏計量而得。由圖9可知，冬至日加酉之時和明日加卯之時在地上所作記號（「識」）依次為F、D兩點，此兩點的連線為正東西方向；在此兩點連線的中點B處，向北引B與表所在的C點之間的連線，即為正南北方向。
（59）「此東西南北之時」句，各本皆同。但顧觀光認為「南北」二字是衍文，顯然無道理。從上下文看，「南北」當屬下句。
（60）仍見圖9。據前「寸影千里」比例，得出周地距極下（即此處所云「天中」，因《周髀算經》的整個宇宙都繞北極運轉和展開）103000里之值，即捲上圖6中的L值。這個值在捲上已提到過它的由來：「今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。」
（61）見圖10所示。與圖9相仿，圖中P點為北極。不過必須特別注意，此圖中極星所繞行的小圓與圖9中的有一些不同。在圖9中，北極星所繞小圓為它作週日拱極運動（因地球的自轉，所有恆星一晝夜間都呈現出繞北極一周的拱極視運動）而成，這在天文學上有著實際的觀測依據。而這一模式中，要想求得北極星南、北遊之極，按理應在某日（是否為冬至或夏至日，即使在《周髀算經》模型中也是完全無關緊要的）夜半和次日日中各「以繩系表顛而希望之」而在地上做出標記，但由於白天不可能看見恆星，故上述方案不可能實施。於是《周髀算經》假定北極星在冬至夜半游至北端而夏至夜半游至南端，這是同樣合理的
N：冬至夜半北遊所極
S：夏至夜半南遊所極
GC：北極至地所識1丈1尺4寸半
HC：其南端至地所識9尺1寸半
圖10 北極璇璣南北遊圖解（引自陳遵媯《中國天文學史》176頁）
——確實也有實際的觀測依據，然而這點在《周髀算經》宇宙模型中卻反而講不通。依據《周髀算經》模型，任何一天的夜半，北極星都在同一處。而且，在該模型中，這個北極星畫出的小圓僅僅依據圖9所示的「東西遊」，實際上就足以推知了。因此，圖10中一丈一尺四寸半、九尺一寸半之類的數據，完全可以是編湊出來的，為的是再一次驗證「極下璇璣」之直徑為23000里。而有些學者據此去推算極星的位置和年代等等，恐怕是沒有意義的。
（62）此處趙爽注云：「以表為股，以影為勾。影言正勾者，四方之影皆正而定也。」
（63）此處趙爽注云：「春秋分謂之陰陽之中，而日光所照適至璇璣之徑，為陽絕陰彰，故萬物不復生也。」這也再次表明了此「極下璇璣」區域的特殊性，而這一點也只有在本書圖6所示的天地模式中方能講通。
（64）自「其術曰」至「正南北也」一段話，與上下文全無關係，疑為錯簡或衍文。
（65）這些數據皆可由圖6得知。不過這裡《周髀算經》的推論方法顯然是錯誤的。作者的推論方法是：夏至日下之地在冬至時遠離太陽119000里（僅在二維平面內考慮，未慮及天地相距八萬里的二維情形），已經萬物盡死；則極下即使在夏至之日也遠離太陽119000里，自然萬物無生時。但是作者剛剛在前文說過，不生萬物的區域是直徑達23000里的「極下璇璣」，而不是極下一點；在這23000里直徑的圓形內，除面積為零的極下一點外，其全部面積在夏至日離太陽的距離都小於119000里。因此，嚴格地說，上述推論是不能成立的。然而也應該注意到，作者所推得的結論卻與事實相去不遠。
（66）這一點確是北極附近的事實。在《周髀算經》的時代，迄今未見任何證據表明中國人有過北極探險的可能，因此《周髀算經》中關於北極地區「不生萬物」、「夏有不釋之冰」的描述，只能有如下兩個來源：或是作者純粹根據越向北方越冷的實際經驗推論而得，或是得之於外部世界關於地球寒熱五帶的知識——這種知識至遲在公元前3世紀（相當於中國的戰國時代末期）古希臘的Eratosthenes的著作中已經具備。特別值得注意的是，對於北極附近「夏有不釋之冰」的描述，趙爽竟反而表示懷疑，此處其注稱：「冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當死——此日遠近為冬夏，非陰陽之氣，爽或疑焉。」這更證明這些知識對於漢代的中國學者而言仍是非常新奇的。
（67）這些數據都可由圖6推得。
（68）此「夏長之類」一句不易理解。從句式上看，它似乎應與「冬有不死之草」成對句形式，則此處可能有脫文。但它又可以與後文「冬生之類」形成對文，則又可能並無脫文。趙爽此處注稱：「此欲以內衡之外、外衡之內，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞。」這個「內衡之外、外衡之內」，也即「中衡左右」的區域，恰可對應於地球上的熱帶，即南緯23°.5至北緯23°.5之間（恰為太陽在冬至到夏至之間赤緯變化的範圍）的地帶。說這裡「五穀一歲再熟」，也很合事實。但趙爽卻表示他對這一地帶的廣袤從未聽說過，這反映出漢代中國學者對於熱帶與對於北極地區一樣還缺乏知識。這是不奇怪的，因為中原地區處在北溫帶之內，古代中國人對於遙遠的北方和南方地區還缺乏實際接觸。奇怪的倒是《周髀算經》中竟會有這樣相當準確的寒熱五帶知識，以致令後世的趙爽反而不敢相信。換言之，《周髀算經》在這方面的記載是頗為「超前」和奇特的。
（69）此處趙爽注云：「北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜，物有朝生暮獲者，亦有春芻而秋熟；然其所育皆是周地冬生之類，薺麥之屬。言左右者，不在璇璣二萬三千里之內也。此陽微陰彰，故無夏長之類。」頗能圓通其說。
（70）倍，通「背」，背正南方，即向北方。
（71）「以正勾定之」，趙爽注稱：「正勾之法：日出、入識其晷，晷兩端相值者，正東西；中折之以指表，正南北。」參見圖9及注（58）。
（72）此處趙爽注云：「如定水之平，故曰平矩以水正也。」古人為確定儀器安裝時的水平度，常利用在底座上設槽放水的辦法，其原理與現代的水平儀相同。這裡是說用水校正地上這片選定的圓形的水平度。
（73）趙爽在此處注稱：「南北為經，東西為緯。督亦通正。」南北向的直線稱為經，東西向的橫線稱為緯；這裡指將上述大圓用十字線等分成四個象限，則每個象限所對應的角度為
度（中國古度，與西方的360°不同）的四分之一，即
度。
（74）牽牛，指二十八宿中的牛宿，「中央星」為牛宿的距星，又稱「中央大星」，即西方星座系統（今通用於全球）中的摩羯座β星。中，指上中天，即到正南方天空。
（75）須女，指二十八宿中的女宿，「先至」，指女宿「先至星」，亦即女宿西南星，今寶瓶座ε星。該星是女宿的距星。
（76）游儀，趙爽注云：「游儀，亦表也。」立在地面大圓中心的表是固定不動的，此外為測量而隨處移動以為標識的表，則稱為游儀，以區別於圓心處固定之表。
（77）上面這段話所描述的測量步驟，可簡述如下：在一塊經過修整、確保其水平面的地面上，畫一個周長為
尺的大圓（為的是與周天
度對應），在此圓的圓心處（即「正南北之中央」）立一固定的表竿，在表竿頂部系一根繩，人立於圓心表竿之北的圓周上，拉直繩使之處在正南北的垂直平面（即子午面）內，然後等候牽牛中央星到達上中天的位置（即「中」），此時該星與表頂、人目三點成一線（即所謂「希望」）。此後，牽牛中央星繼續西移，逐漸離開正南方天空的上中天位置；這時等候下一顆待測之星——須女先至星來到上中天位置，當須女先至星一達上中天，立刻移動繩末端向左，而使已經偏西的牽牛中央星、表頂與人目三點成一線，此時繩末端與圓周相交之處為圖11中的A點，A點與子午線相交圓周處的B點之間的弧長，即牽牛中央星「出中正表西」的度數，於是在A′處立游儀為標識。
（78）此處的意思是：在圖11中，A、B之間的弧長為八尺，由於前面對大圓周長的特殊選擇，恰使周長一尺等於周天一度（中國古度），故可知牽牛中央星與須女先至星之間相距八度。
（79）放，同仿。其餘各宿間的距度仿此。
（80）必須特別指出，《周髀算經》在此處所述二十八宿的度數，與古代中國通行的二十八宿度數有著重大區別。從漢代以後，中國通行的二十八宿是一種赤道坐標系統，具體做法是在每宿中選定一顆恆星作為精確測量的標準，稱為該宿的距星（如上文提到的牽牛中央星、須女先至星等都是）；下一宿距星與本宿距星的赤徑差，稱為本宿的距度。按照這種規則，上文說牽牛中央星與須女先至星間差八度，故牽牛之宿的距度為八度。但是，《周髀算經》的上述數據是在水平面的圓上測得的，這樣的數據屬於地平坐標系，而不是赤道坐標。上述數據的嚴格意義是：牛宿與女宿兩宿距星之間的地平方位角之差為八度。如要測得赤道坐標，則上述大圓形應該位於赤道平面上——在地理緯度為φ的地方，赤道平面與當地水平面的夾角為90°－φ。事實上，古代中國的赤道式渾儀正是這樣裝置的。
圖11 測二十八宿周天歷度示意圖
（81）周度，指在周天建立以二十八宿為標識的坐標系統。注意此處所言仍為地平坐標而非傳統二十八宿的赤道坐標。
（82）此處趙爽注云：「二十八宿不以一星為體，皆以先至之星為正之度。」意即上文所言以各宿的距星為測量的標準星。上面僅舉了牛宿至其相鄰女宿一宿距度的測量過程為例，以下各宿依此類推，最後地面大圓的圓周上將次第插上28個游儀，各游儀所在位置即28顆距星的位置。
（83）此處趙爽注稱：「以經緯之交為轂，以圓度為輻。知一宿得幾何度，則引繩如輻，湊轂為正。」古代將車輪軸心處稱為轂，由軸心輻射至輪緣的連接條稱為輻。對照圖11，「經緯之交」即圓心立「中正表」之處，正如車輪之轂，由各游儀引向圓心的半徑線（假想中的，圖11中虛線所示）恰如輻條，共同奔向圓心。需要注意的是，這28游儀不是等間距的——因為二十八宿各宿跨越的距度參差不齊，最大的井宿（即東井）達三十餘度，而最小的觜宿僅兩度左右。這一點與車輪輻條不同。
（84）這是說，對於太陽的出入方位等情況，也可借助於二十八宿及地平方位坐標來加以描述（詳下）。
（85）此處趙爽注云：「東井、牽牛，相對之宿也。東井臨午，則牽牛臨於子也。」注意這裡實際上只是舉例而言：因井宿、牛宿為相對之宿，如果井宿在夜半時於午位中天，則牛宿恰在子位中天。特別要注意的是，此處所言午、子等，為地平方位——古人以十二地支表示地平方位，一些至今仍在使用的術語如子午線（正南北方向的直線）、卯酉圈（天球上過正東西點的大圓）等，就是由此而來。這與下文中以十二次（仍用十二地支表示）與二十八宿相對應而作天球劃分（見圖12）完全不同。
圖12 二十八宿與十二次對應圖（引自明‧張介賓《類經圖翼》頁一八）
（86）這裡將十二次與二十八宿對應起來。這種對應在古代中國有固定的程式，如圖12所示。注意圖中井宿正在未，而牛宿正在丑。所謂「天與地協」，趙爽注稱：「協，合也。置東井、牽牛使居丑、未相對，則天之列宿與地所為圓周相應合，得之矣。」這個說法其實未得正解。因為在這裡十二次與二十八宿都是劃分天球的，它們如何與地「協」，《周髀算經》未作明確陳述。但這可由古代中國的天學常識推知：所謂「天與地協」，意指天球上坐標既已劃定，則由分野體系（將天區與大地上不同地區一一對應，是一種專為星占學服務的理論體系）也就確定了諸次、宿與大地上各地區之間的對應。圖12原名「二十八宿過宮分野圖」，其內起第二、三圈所標即十二次與古代十二國、十二州之對應，第四圈又為十二次與二十八宿之對應，最外圈為各宿分配給十二次時的起訖度數（有些宿分屬兩次），非常簡明而直觀地反映了「天與地協」的含義。
（87）這段話所述之事仍可借助於前文圖11來理解：設日出於A′處，則中正表Z所投下之晷影ZA將交圓周於A，則由ZA順延而確定A′，在該處立游儀，所標識者即「日所出之宿度」。日入也可照此處理。
（88）此處先述結論，求得此數值的步驟詳見下文。注意這裡「牽牛去北極」不是指牽牛星距北極的度數，而是指冬至日道——冬至日在牽牛之宿——與北極的距度。「百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九」，如將其中裡、步化為度（中國古度）下之十進小數，則為115.867度，亦即114°2′52〞。
（89）這一長段數據及其運算可用現代算式表示如下：
被除數：238000－11500＝226500里
除數：1954里
步/度
此數值系由前文所交待的周天度數除以內衡周長，即「內衡一度數」由
而得（裡下餘數化為步，1里＝300步），於是有：
注意此式右端出現的裡、步不是長度，而只是度的零數——根據「內衡一度數」：
於是115度1695里
步中的裡、步可用如下步驟化為度下的十進小數：
注意運算中要用到1里＝300步的關係式。於是最後有：
冬至日道距北極115.867度。
（90）此處「婁與角去北極」是指春、秋分日道——春、秋分日在婁、角之宿——與北極的距度。系以「內衡一度數」去除中衡半徑（本書上卷圖6中的RF）而得。此處「九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六」，可仿前之法，由
求得春、秋分日道距北極91.3125度，亦即90°。
（91）此處「東井去北極」是指夏至日道——夏至日在東井——與北極的距度。系以「內衡一度數」去除130500里（上卷圖6中的Rx＋r）而得。此處「六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五」，可仿前之法，由
求得夏至日道距北極66.758度＝65°58′8〞。
這裡特別值得注意，上述三值：
冬至日道距極115.867度＝114°2′52〞
二分日道距極91.3125度＝90°
夏至日道距極66.758度＝65°58′8〞
與用現代天文學方法推得之值有頗為驚人的吻合程度：以上列第二值減第一值，或以第三值減第二值，均可得到最基本的天文數據之一——黃赤交角ε；
ε周髀＝24.5545度＝24°2′52〞
而《周髀算經》時代的黃赤交角值可用紐康（S. Newcomb）公式逆推得出：
ε100.B.C.＝23°27′8〞.26－46〞.845T
上式只保留一次項，T的單位為百年，對於100B.C．時的黃赤交角值，T應取－20（因紐康公式系以1901A.D．為起算原點），於是可得：
ε100.B.C.≐23°27′8〞.26＋15′37〞≐23°42′45〞
此值與《周髀算經》中的24°2′52〞相差甚微。
然而，《周髀算經》中上述三數值的取得之法，卻完全看不出正確的天文學意義。陳遵媯說：「這些原非實測，只是推算，而且是無理的推算。」（[19]）錢寶琮也說：「但是這三個『去極度數』的計算方法大可懷疑。為什麼把牽牛放在外衡周上，把婁宿、角宿放在中衡周上，把東井宿放在內衡周上，使這四個宿的去極度數和各相當衡周的去極度數相等？為什麼這三個極距每一度的弧長都要取內衡周上的一度為標準？為什麼……」（[16]）這些疑問可參看新論第3節F。
（92）關於「八節二十四氣」，趙爽注稱；「二至者寒暑之極，二分者陰陽之和，四立者生、長、收、藏之始，是為八節，節三氣，三而八之，故為二十四。」注意下文列出了全部二十四節氣名稱，這是關於完整二十四節氣的最早文獻之一，與《淮南子‧天文訓》中出現的二十四節氣名稱（被認為是最早的完備記載）在年代上至少是不相上下。
（93）由下文所列數據及「術曰」可知，《周髀算經》解答這一問題的做法是：將冬、夏至日晷影長度之差以12除，亦即作線性內插。這種做法實際上假設太陽的週年視運動為勻速（事實上非勻速），也與每一節氣時的實測晷長明顯不符，李淳風曾指出這一點。
（94）所謂「六分分之一」，系對「分」以下一位改為六分法（丈、尺、寸、分皆十進位）。這種做法有些奇特，何以要如此，值得探討。
（95）這段運算可用現代算式表述如下：設以寸為單位，則冬至晷長為135，夏至晷長為16，135－16＝119，以12除之，則有：
上式右端即「九寸九分六分分之一」。
（96）所謂「月後天」，趙爽注云：「月後天者，月東行也。此見日月與天俱西南遊，一日一夜一周天而月在昨宿之東，故曰後天。」實即月在天球上東行視運動所走過的度數。下文「月不及故捨」也指同一現象，亦即「月在昨宿（或作為起算點的某宿）之東」。
（97）據十九年七閏法則，19回歸年恰等於235（19×12＋7）朔望月，換言之，日在天球上東行19周（每年1周）則月恰在天球上東行235周，日與月又相合於原點，因此日東行1度，月離日東行
度，於是「月後天」度數為：
（98）此處及下文依次出現小歲、大歲、經歲、小月、大月、經月六個術語，其定義相互有關聯，茲列出如下：
經歲：即回歸年，
日。
經月：即朔望月，由回歸年日數及十九年七閏法則，有等式
故經月日數為：
日。
小歲：指12經月。
大歲：指13經月。
小月：指29日。
大月：指30日。
注意經歲日數在大、小歲之間，經月日數在大、小月之間。
（99）由定義，小歲日數＝12×經月日數，即：
（100）「小歲月不及故捨」度數等於：
小歲日數×「月後天」度數，即：
但此值僅為累計之值，由於周天僅
度，故此值還需經下文進一步處理。
（101）將上文求得之
度以
度累減之，至不足
度之餘數，方為實際反映在天球上的「小歲月不及故捨」度數：
（102）「佗皆放此」，即「他皆仿此」，指下文大歲、經歲、小月、大月、經月的「月不及故捨」度數皆用同樣方法求得。
（103）大歲日數＝13×經月日數
日，再以「月後天」度數乘之：
上值以周天度數
除之，所得餘數即「大歲月不及故捨」度數：
（104）經歲日數＝回歸年日數
日，再以「月後天」度數乘之：
上值以周天度數
累減之，所得餘數即「經歲月不及故捨」度數：
（105）小月日數依定義為29日，再以「月後天」度數乘之：
上值以周天度數
度減之，所得即「小月月不及故捨」度數（注意此處數值「積後天」甚小，無需累減）：
（106）大月日數以「月後天」乘之：
此即「大月不及故捨」度數。
（107）經月日數以「月後天」乘之：
（108）參見圖13，冬至之日太陽從辰位升起，西行至申位落入地平。
（109）仍參見圖13，「陽照三」指冬至日白晝太陽僅照耀巳、午、未三位，其餘九位不能覆蓋（照耀）。
圖13 十二辰方位之圖
（110）指如在辰、申方位間引一直線，則此直線在（觀測者所在地——周地）南面。
（111）仍見圖13，夏至日太陽從寅位升起，西行（經過南方）而至戌位落入地平；此日太陽可照耀從寅經卯、辰……至戌共九位，故說「陽照九，不覆三」；此時在寅、戌位間引直線，則此直線在周地之北。值得注意，上面這一段對日出入方位的描述完全符合實際情況。誠如陳遵媯所指出的：「我們知道周城地方，即北緯三十四度多的地區，夏至日出時候，太陽的方位是東偏北約三十度，正是寅位；日入時候，太陽方位是西偏北約三十度，正是戌位；……同樣，冬至日出時候，太陽方位是東偏南二十八度多，正是辰位；日入時候，太陽方位是西偏南二十八度多，正是申位。」（《中國天文學史》）166—167頁）
（112）此處趙爽注云：「聖人南面而治天下，故以東為左，西為右。日冬至從南而北，夏至從北而南，故曰南北行。」面南背北，左東右西，是古代中國習用的方位約定，《周髀算經》下文也用此約定。
（113）參見圖14，此圖中國古代術數家稱之為「後天八卦圖」（另有「先天八卦圖」，與此稍有不同）。所謂「冬至從坎，陽在子」，可將圖13、圖14同時參看，「坎」卦適當子位，代表正北方；至於「陽」，趙爽注云「陽氣所始起」，實為古人的抽像概念，非太陽本身。「日出巽而入坤」，則由圖14可見，正與前文「日出辰而入申」為等價陳述。
圖14 後天八卦圖
（114）與冬至時相仿，夏至時「陽氣」在由圖13中的午位、圖14中的「離」卦所代表的正南方；「日出艮而入乾」，由圖13、14可知，正是「日出寅而入戌」之意。
（115）這是中國古代常見的說法。一方面固然可以解釋成「曆法準確則反映的寒暑適時」之意，但古人深具天人感應、天人合一觀念，常認為日月自身也會（因社會黑暗等原因）運行失常（即失度），而由此就會導致氣候混亂失調（即所謂「寒暑相奸」）。
（116）「信」同「伸」，相對於「屈」而言。對此趙爽注云：「從夏至南往，日益短，故曰詘（按：義同「屈」）；從冬至北來，日益長，故曰信。」趙注所言南往北來，如將觀察點置於周地，則參看上卷圖6就很容易理解。亦可借助於圖13，假設在其上作不同季節的日出入方位聯線，則此線從夏至後往南移，到冬至又向北移回。
（117）此處趙爽注稱：「冬至日出從辰來北，故曰右行；夏至日出從寅往南，故曰左行。古人常見以左指東，右指西，但亦有以左稱南，右稱北者，較少見。此處左右之說，頗為牽強，且易招致混淆。
（118）此處「月」指朔望月。「日」嚴格地說應是平太陽日。「年」，按「日復星」（即太陽在天球上相對某一恆星而言回到原來位置）的定義，應是恆星年；這與《周髀算經》上下文中一直使用的回歸年（太陽兩次經過春分點的時間間隔）有微小區別（恆星年＝365.25636日，回歸年＝365.24220日——均指現代值，與《周髀算經》所使用的
日不同），但《周髀算經》的作者看來尚未注意到這一區別。
（119）參看捲上圖8，七衡圖中間有六個間隔（故圖8又得名「七衡六間圖」），恰代表「六氣復返」——太陽在一年中由外衡至內衡再復歸外衡，兩次經過六間，正為十二中氣（請同時參見捲上注（41））。
（120）在章、蔀、遂、首、極這一系列週期中，章19年，來源於十九年七閏法，使回歸年與朔望月建立整數關係：
19回歸年＝19×12＋7＝235朔望月蔀則在年、月、日三者之間同時建立整數關係：
76年＝235月＝27740日
以下由蔀至遂、首、極，則主要出於數字神秘主義之附會。比如趙爽注引《易緯乾鑿度》「至德之數，先立金、木、水、火、土五，凡各三百四歲」以解釋遂，引《春秋緯考靈曜》「日月首甲子冬至，日、月、五星俱起牽牛初，日、月若合璧，五星如聯珠，青龍甲寅攝提格」以解釋首，等等。但其中也有一些天文曆法的實際意義，如：
1首＝3遂＝3×20蔀＝60蔀
由於古代中國的紀日干支以60為週期輪換，故一首（4560年）這一週期內不僅年、月、日都有整數關係，且能令起始之日的干支與4560年前的此日相同——通常的理想狀況是：歲首初一冬至日，日干支為甲子，以此為起算點，則4560年後此日一切復原，又重新開始。
（121）以下有「周天除之，其不足除者，如合朔」三句，全然不可解。錢寶琮引顧觀光之說謂「此與上下文不相屬，……殊無文理，……並當刪」，可從。
（122）此處趙爽注云：「三光，日、月、星；則，法也。」
（123）此處趙爽注稱：「建六星在斗上也。日、月起建星，謂十一月朔旦冬至也。為歷術者，度起牽牛前五度，則建星其近也。」但由於歲差的作用，春分點——冬至點也一樣——逐年移動，故日、月起某星，也不是萬古不變的。
（124）此處是指太陽在上述「二十九日、三十日間」即一個朔望月中在天球上向東移動了二十九度多（指太陽的週年視運動，與每日的東昇西落是兩回事）。
（125）南極影長，指冬至日太陽運行到最南端，此日的晷影最長。
（126）這是說《周髀算經》所採用的回歸年長度（
日）系自實測得來。
（127）參見上文注B104，月球在一回歸年中「積後天」13周天又134度多。這裡則說，在未確定「月後天」（每天東行
度）數值之前，人們先觀測到了：76年間（日行76周天）月球運行了1016周天，恰好又重在天球上建星處會合——注意這一關係式中實際上引入了「恆星月」的新概念，這是《周髀算經》前文未出現過的。恆星月指月球兩次經過恆星間同一點的時間間隔，它比朔望月——月球兩次與太陽會合的時間間隔——要短約兩天。因此有如下關係式：
76回歸年＝940朔望月＝1016恆星月
（128）這裡給出了求「月後天」之值（參見注（97））的另一辦法：由於月行1016周天中日行76周天，則日行1度時月行度數為：
故此處原文中的「月行後天」與「日後天」應改為「月行天」及「日行天」，方才正確。
（129）76年之積月，仍可由十九年七閏法求出：
76回歸年＝4×（19×12＋7）＝940朔望月，則1回歸年中的朔望月數為：
（130）1回歸年（
日）中既有
個朔望月，則1朔望月中的日數為：
這裡經文省略了對周天度數＝回歸年日數這一環節的交待。其實，中國古代分周天為
度，就是由回歸年日數為
日（此值可由多年觀測獲得）而來的。（全文完）