I．宋鮑澣之《周髀算經》跋
鮑澣之，字仲祺，南宋括蒼人。平日留心數學古籍，廣為搜集。嘉定六年（1213年）他知汀州軍州，因北宋元豐七年（1084年）秘書省刻本《算經十書》到當時已很少見到傳本，乃於任上將其翻刻印行。《周髀算經》為《算經十書》之首，鮑澣之為《周髀算經》撰寫了一篇跋記，略述此書流傳、註釋等情況。
《周髀算經》二卷，古蓋天之學也。以勾股之法，度天地之高厚，推日月之運行，而得其度數。其書出於商周之間，自周公受之於商高，周人志之，謂之《周髀》，其所從來遠矣。《隋書‧經籍志》有《周髀》一卷，趙嬰注；《周髀》一卷，甄鸞重述。而唐之《藝文志》天文類有趙嬰注《周髀》一卷、甄鸞注《周髀》一卷，其歷算類仍有李淳風注《周髀算經》二卷，本此一書耳。至於本朝《崇文總目》，與夫《中興館閣書目》，皆有《周髀算經》二卷，雲趙君卿注、甄鸞重述、李淳風等註釋。趙君卿，名爽，君卿，其字也。如是，則在唐以前，則有趙嬰之注；而本朝以來，則有趙爽之本。所記不同。意者趙嬰趙爽，止是一人，豈其文字相類，轉寫之誤耶？然亦當以隋唐之書為正可也。又《崇文總目》及李籍《周髀音義》，皆雲趙君卿不詳何代人，今以序文考之，有曰「渾天有《靈憲》之文，蓋天有《周髀》之法」，《靈憲》乃張衡之所作，實後漢安順之世；而甄鸞之重述者，乃是解釋君卿之所注，出於宇文周之時，以此推之，則君卿者其亦魏晉之間人乎。若夫乘勾股朱黃之實，立倍差減並之術，以盡開方之妙，百世之下，莫之可易，則君卿者誠算學之宗師也。
嘉定六年癸酉十一月一日丁卯冬至承議郎權知汀州軍州兼管內勸農事主管坑冶括蒼鮑澣之仲祺謹書。
——錄自叢書集成本《周髀算經》，商務印書館出版（1937）。
II．四庫全書總目《周髀算經》提要
18世紀末，清朝政府集中大批人力物力修成《四庫全書》，在纂修期間，對采入和未采入《四庫全書》的一萬餘種書籍都分別寫有內容提要，後將這些提要分類編排，匯成一書，名為《四庫全書總目》。所有這些提要的撰寫、統稿和潤色，以《四庫全書》總纂官紀昀所做工作最多。《周髀算經》收入《四庫全書》子部天文算法類。當時盛行自我陶醉的「西學中源說」，因而提要對《周髀算經》說了不少虛驕自大語，這是不足取的。但從研究《周髀算經》的歷史角度而言，則仍不失其參考價值。
案《隋書‧經籍志》天文類，首列《周髀》一卷，趙嬰注；又一卷，甄鸞重述。《唐書‧藝文志》，李淳風釋《周髀》二卷，與趙嬰、甄鸞之注列之天文類，而歷算類中復列李淳風注《周髀算經》二卷，蓋一書重出也。
是書內稱：周髀長八尺，夏至之日，晷一尺六寸。蓋髀者，股也，於周地立八尺之表以為股，其影為勾，故曰周髀。其首章周公與商高問答，實勾股之鼻祖。故《御制數理精蘊》載在卷首而詳釋之，稱為成週六藝之遺文。榮方問於陳子以下，徐光啟謂為千古大愚，今詳考其文，惟論南北影差以地為平遠，復以平遠測天，誠為臆說，然與本文已絕不相類，疑後人傳說而誤入正文者。如《夏小正》之經、傳參合，傅崧卿未訂以前，使人不能讀也。
其本文之廣大精微者，皆足以存古法之意，開西法之源。如書內以璇璣一晝夜環繞北極一周而過一度，冬至夜半璇璣起北極下子位，春分夜半起北極左卯位，夏至夜半起北極上午位，秋分夜半起北極右酉位，是為璇璣四游所極，終古不變。以七衡六間測日躔發斂，冬至日在外衡，夏至日在內衡，春秋分在中衡，當其衡為中氣，當其間為節氣，亦終古不變。
古蓋天之學，此其遺法。蓋渾天如球，寫星象於外，人自天外觀天；蓋天如笠，寫星象於內，人自天內觀天，笠形半圓，有如張蓋，故稱蓋天。合地上地下兩半圓體，即天體之渾圓矣。其法失傳已久，故自漢以迄元、明，皆主渾天。
明萬曆中，歐邏巴人入中國，始別立新法，號為精密。然其言地圓，即《周髀》所謂地法覆盤，滂沱四
而下也；其言南北裡差，即《周髀》所謂北極左右夏有不釋之冰、物有朝生暮獲、中衡左右冬有不死之草、五穀一歲再熟，是為寒暑推移，隨南北不同之故；及所謂春分至秋分極下常有日光，秋分至春分極下常無日光，是為晝夜永短，隨南北不同之故也。其言東西裡差，即《周髀》所謂東方日中，西方夜半；西方日中，東方夜半。晝夜易處如四時相反，是為節氣合朔加時早晚，隨東西不同之故也。又李之藻以西法制渾蓋通憲，展晝短規使大於赤道，一同《周髀》之展外衡使大於中衡。其《新法歷書》述第谷以前西法，三百六十五日四分日之一，每四歲之小余成一日，亦即《周髀》所謂三百六十五日者三，三百六十六日者一也。西法出於《周髀》，此皆顯證，特後來測驗增修，愈推愈密耳。《明史‧歷志》謂：堯時宅西居昧谷，疇人子弟散入遐方，因而傳為西學者，固有由矣。
此書刻本脫誤，多不可通，今據《永樂大典》內所載，詳加校訂。補脫文一百四十七字，改
舛者一百一十三字，刪其衍復者十八字。舊本相承，題雲漢趙君卿注，其自序稱「爽以暗蔽」，注內屢稱「爽或疑焉」、「爽未之前聞」，蓋即君卿之名。然則隋、唐志之趙嬰，殆即趙爽為歟。注引《靈憲》、《乾象》，則其人在張衡、劉洪後也。舊有李籍《音義》，別自為卷，今仍其舊。書內凡為圖者五，而失傳者三，舛者一，謹據正文及注為之補訂。
古者九數惟《九章》、《周髀》二書，流傳最古，誤亦特甚，然溯委窮源，得其端緒，固術數學之鴻寶也。
——錄自《四庫全書總目》卷一六子部天文算法類一，中華書局影印本（1965），891—892頁。
III．趙爽《周髀算經》注中的勾股論
趙爽在《周髀算經》捲上的注文中，插入一篇短文專論勾股之術。這篇勾股論中特別值得注意的一點是：趙爽所論證的勾股定理已具有普遍適用的形式，不再局限於《周髀算經》原文中「勾三股四弦五」的特殊情形。本篇原有趙爽所繪之圖相輔而行，故文中有「朱實」、「黃實」等語，但原圖都已佚失，傳世各本中之圖，頗多錯誤，錢寶琮認為系後人杜撰。錢寶琮乃根據趙爽原文重新繪製並詳加解說，見附錄IV，應與本篇相參研讀。還有一點值得指出，趙爽證明勾股定理，主要是應用了等面積原理；而西方歷史上對勾股定理的一些著名論證，如歐幾里得（Euclid）、達‧芬奇（L. da Vinci）、威伯（Wipper）、愛潑斯坦（Epstein）、潘利迦（H. Perigal）等人所作的，採用圖形移補之法，所依據的也是等面積原理。在這一問題上，東西方的先哲們可謂不約而同。
勾，股各自乘，並之為弦實。開方除之，即弦。案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾、股之差自相乘為中黃實。加差實一亦成弦實。以差實減弦實，半其餘，以差為從法，開方除之，復得勾矣。加差於勾，即股。凡並勾、股之實即成弦實。或方於內，或矩於外。形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩以股、弦差為廣，股、弦並為袤。而股實方其裡。減矩勾之實於弦實，開其餘即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股、弦差。加股為弦，以差除勾實，得股、弦並。以併除勾實，亦得股、弦差。令並自乘，與勾實為實，倍並為法，所得亦弦。勾實減並自乘，如法為股，股實之矩以勾、弦差為廣、勾、弦並為袤，而勾實方其裡。減矩股之實於弦實，開其餘即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角即勾、弦差。加勾為弦，以差除股實，得勾、弦並。以併除股實，亦得勾、弦差。令並自乘，與股實為實，倍並為法，所得亦弦。股實減並自乘，如法為勾。兩差相乘，倍而開之，所得以股、弦差增之，為勾；以勾、弦差增之，為股；兩差增之，為弦。倍弦實列勾、股差實，見並實者，以圖考之，倍弦實滿外大方而多黃實，黃實之多，即勾、股差實。以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面，即勾、股並也。令並自乘，倍弦實乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面，即勾、股差。以差減並而半之，為勾；加差於並而半之，為股。其倍弦為廣、袤合，令勾、股見者自乘為其實，四實以減之，開其餘，所得為差。以差減合，半其餘為廣，減廣於弦，其所求也。觀其迭相規矩，共為返覆，互與通分，各有所得。然則統敘群倫，宏紀眾理，貫幽入微，鉤深致遠。故曰：其裁製萬物，唯所為之也。
——錄自錢寶琮校點《算經十書》，中華書局出版（1963），18頁。
IV．錢寶琮對趙爽勾股論的解說
趙爽的勾股論見附錄III，這篇文獻因附圖佚失，加以古今數學表達方式差異甚大，解讀十分困難。著名數學史家錢寶琮（1892—1974）對這篇文獻作了深入研究，依據原文文意補繪了附圖，並改用現代數字表達式將其內容加以解說。使得千載舊籍一朝以全新面目出現於現代讀者之前，重放光輝。
傳本《周髀算經》中的「勾股圓方圖」說有很多錯誤文字，所附的圖也是後人的杜撰，與趙爽原意不能符合。我們校讀原文並補繪圖形，用現代數學符號敘述如下：
圖1
勾股圖說中的勾股定理，趙爽寫成為「勾、股各自乘，並之為弦實，開方除之即弦」，它的證明利用著一個「弦圖」。趙爽所謂「弦實」是弦平方的面積，「弦圖」是以弦為方邊的正方形。在「弦圖」內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊為弦，如圖1。趙爽稱這四個勾股形面積為「朱實」，稱中間的小正方形面積為「黃實」。設a、b、c為勾股形的勾、股、弦，則一個朱實是
ab，四個朱實是2ab，黃實是（b－a）2，所以
c2＝2ab＋（b－a）2＝a2＋b2
這就證明了
又，闊a，長b的長方形，長闊差是b－a，面積是ab＝
[c2－（b－a）2]，故x＝a時，
x2＋（b－a）x＝
[c2－（b－a）2]。
圖2
如果已知（b－a）和c，開上到「帶從平方」（解二次方程）即得x＝a。
在「弦圖」內挖去一個以股b為方邊的正方形，如圖2所示，餘下來的是一個曲尺形，它的面積是c2－b2＝a2，趙爽叫它「勾實之矩」。如果把這個「勾實之矩」依虛線處剪開，拼成一個長方形，它的闊是c－b，長是c＋b。所以
因這個長方形的長闊差是2b，故
x2＋2bx＝a2
的正根是c－b。又，
圖3
同樣，在弦圖內挖去一個以勾a為方邊的正方形，如圖3，餘下來的曲尺形稱為「股實之矩」，它的面積是c2－a2＝b2。把「股實之矩」依虛線處剪開，拼成一長方形，它的闊是c－a，長是c＋b，所以
因這個長方形的長闊差是2a，故
x2＋2ax＝b2
的正根是c－a。又
圖4
又將圖3旋轉180°，合在圖2的上面，就是圖4。圖中小正方形S的邊長是a＋b－c，左上角和右下角的二長方形，闊是c－b，長是c－a，面積T＝（c－a）（c－b）。
因
a2＋b2－S＝c2－2T，
故
2T＝S，
2（c－a）（c－b）＝（a＋b－c）2。
所以
圖5
在圖1的「弦圖」之外再加上四個朱實，拼成一個以a＋b為方邊的正方形，如圖5。這個正方形的面積比兩個「弦實」2c2，少一個「黃實」（b－a）2，所以
（a＋b）2＝2c2－（b－a）2。
因得
趙爽在他的勾股圖說裡，又提出了一個已知長方形面積與長闊和求長、闊的問題。設長方形面積為A，長闊和是K，他的解法是：先求出長闊差等於
，因而得到闊等於
長等於
圖6
這個解法也是以面積圖形為根據的。如圖6，在正方形k2內，減去四個長方形4A後，所餘的是長闊差的平方。開平方得長闊差。和、差相減折半得闊，從和內減去闊得長。用代數符號表達出來，設x為闊，則
x（k－x）＝A
或
－x2＋kx＝A。
解二次方程得
上面的二次方程中x2的係數是－1，這和「帶從平方」不同，所以趙爽不用開帶從平方法去求它的根。
——錄自錢寶琮主編《中國數學史》，科學出版社出版（1981），57—60頁。
V．歐幾里得對勾股定理的證明
勾股定理在西方習稱為畢達哥拉斯（Pythagoras）定理。畢氏為公元前六七世紀之交時人。事實上，早在畢氏之前一千多年，古巴比倫人就已經知道這一定理。而畢氏自己是否為這一定理作出過證明，也未有確切證據。但畢氏之後的兩千年間，西方才智之士不斷對這一定理作出各自的證明，這些不同的證明方案至少有370種以上。歐幾里得在他的《幾何原本》第一卷命題47中對這一定理的證明，被認為是特別簡潔、優美的一個，他所用的圖形還被美稱為「修士頭巾」或「新娘轎椅」。歐幾里得也是依據等面積原理來完成證明的。歐幾里得生活在公元前300年左右，相當於中國的戰國時代晚期。
如圖所示，△ABC為直角三角形（其中
為勾，
為股，
即弦）。利用關於三角形面積的定理，立刻可以證出：三角形△ABD與△FBC面積相等，而矩形BL的面積＝2倍的三角形△ABD的面積，正方形GB的面積＝2△FBC，於是有矩形BL的面積＝正方形GB的面積。仿此又可證得：矩形CL的面積＝正方形AK的面積。這樣就有：
亦即
勾2＋股2＝弦2。
——依據M．克萊因（Kline）《古今數學思想》（張理京等譯），上海科學技術出版社出版（1979），731頁。
VI．古羅馬工程師對勾股定理的記述
古羅馬著名軍事工程師維特魯威（Vitruvius）於公元前1世紀寫成《建築十書》，是現存最完備的西方古典建築學大全。然而其中的「第九書」全是討論天文學問題，幾乎與建築毫無關係。在「第九書」的序言中，維特魯威記述了勾股定理。奇怪的是，此時歐幾里得的普適證明早已完成了二百餘年，但維特魯威卻僅記述了勾三股四弦五的特殊情況——恰與《周髀算經》原文的情形一樣。
又，畢達哥拉斯說明了不按匠師們的做法也可以求出直角。匠師們雖然作了非常的努力，還幾乎不能夠正確地作出直角，可是應用他的教程的理論和方法卻完全能夠說明它。即取三根直桿，其中一根三尺，另一根四尺，第三根五尺。如果把這三根直桿組合起來，形成三角，使其在尖端互相接觸，那麼它就會形成完全的直角。如果在三根直桿的各個的長度上各自繪出等邊方形，那麼邊寬三尺的方形就成為面積九尺，四尺的方形就成為十六尺，五尺的方形就成為二十五尺。
這樣，一邊之長五尺的方形便得到三尺和四尺的兩個方形做成的面積尺數相等的面積。當畢達哥拉斯發現了這定理時，他相信這一發現是由穆薩厄啟示的，據說非常感謝，就向穆薩厄進獻了犧牲。這個方法如同適用於各種事項和測量一樣，在建築方面當建造樓梯時，為使踏步適度而保持水平，也早已應用了。
——錄自高履泰譯《建築十書》，中國建築工業出版社出版（1986），198頁。
VII．唐李淳風所論周髀晷影之長
《周髀算經》的宇宙模型中，天與地為相距80000里的平行平面，只是在中央北極所在之處才各自相應隆起一高60000里、底面直徑為23000里的柱形（詳見本書圖6所示）。在這一模型之中，《周髀算經》所構造的數理都能自洽，「日影千里差一寸」的關係式也完全能夠成立。但是由於這種宇宙模型並未反映客觀真實，上述關係式也不能與實際觀測吻合。據傳統的說法，渾天說雖在古代中國長期佔據統治地位，但蓋天家「日影千里差一寸」的關係式卻一直被接受和相信著，直到724年一行和南宮說等人的大規模天文測量後才被否定。然而，從下面這篇文獻來看，李淳風（602—670）早已列舉歷史上的實測記錄，明確否定了「日影千里差一寸」的關係式。這是李淳風在註釋《周髀算經》時附錄的大批前代記錄以及他所作的排比分析。
且自古論晷影差變，每有不同。今略其梗概，取其推步之要。
《尚書考靈曜》云：「日永影尺五寸，日短一十三尺。日正南千里而減一寸。」張衡《靈憲》云：「懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。」鄭玄注《周禮》云：「凡日影於地，千里而差一寸。」王蕃、姜岌因為此說。按前諸說，差數並同，其言更出書，非真有此。以事考量，恐非實矣。
謹案宋元嘉十九年歲在壬午，遣使往交州度日影，夏至之日影在表南三寸二分。《太康地理志》：交趾去洛陽一萬一千里，陽城去洛陽一百八十里。交趾西南，望陽城、洛陽，在其東北。較而言之，今陽城去交趾近於洛陽去交趾一百八十里，則交趾去陽城一萬八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。況復人路迂迴，羊腸曲折，方於鳥道，所較彌多，以事驗之，又未盈五百里而差一寸，明矣。千里之言，固非實也。何承天又云：「詔以土圭測影，考較二至，差三日有餘。從來積歲及交州所上，檢其增減，亦相符合。」此則影差之驗也。
《周禮》大司徒職曰：「夏至之影尺有五寸。」馬融以為洛陽，鄭玄以為陽城。《尚書考靈曜》：「日永影一尺五寸。」鄭玄以為陽城日短十三尺。《易緯通卦驗》：「夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。」劉向《洪範傳》：「夏至影一尺五寸八分。」是時漢都長安，而向不言測影處所，若在長安，則非晷影之正也。夏至影長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云「春秋分長七尺三寸六分」，此即總是虛妄。
《後漢歷志》：「夏至影一尺五寸。」後漢洛陽冬至一丈三尺。自梁天監以前並同此數。魏景初，夏至影一尺五寸。魏初都許昌，與穎川相近；後都洛陽，又在地中之數。但《易緯》因漢歷舊影，似不別影之，冬至一丈三尺。晉姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表，驗影之數遙取陽城，冬至一丈三尺。宋大明祖沖之歷，夏至影一尺五寸。宋都秣陵遙取影同前，冬至一丈三尺。後魏信都芳注《周髀四術》雲（按永平元年戊子是梁天監之七年也）：見洛陽測影，又見公孫崇集諸朝士共觀秘書影，同是夏至之日以八尺之表測日中影，皆長一尺五寸八分，雖無六寸，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞
以九尺表於江左建康測夏至日中影，長一尺三寸二分；以八尺表測之，影長一尺一寸七分強。冬至一丈三尺七分；八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開皇元年，冬至影長一丈二尺七寸二分。開皇二年，夏至影一尺四寸八分。冬至長安測，夏至洛陽測。及王邵《隋靈感志》：冬一丈二尺七寸二分，長安測也。開皇四年，夏至一尺四寸八分，洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分，洛陽測也。大唐貞觀二年己丑五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，長安測也。十一月二十九日丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，長安測也。按漢、魏及隋所記夏至中影或長或短，齊其盈縮之中，則夏至之影尺有五寸為近定實矣。以《周官》推之，洛陽為所交會，則冬至一丈二尺五寸亦為近矣。按梁武帝都金陵，去洛陽南北大較千里，以尺表令其有九尺影，則大同十年江左八尺表夏至中影長一尺一寸七分，若是為夏至八尺表千里而差三寸強矣。
此推驗即是夏至影差升降不同，南北遠近數亦有異。若以一等永定，恐皆乖理之實。
——錄自錢寶琮校點《算經十書》，中華書局出版（1963），30—31頁。
VIII．明徐光啟評論《周髀算經》
徐光啟（1562—1633）是晚明熱情接受西方近代天文學的代表人物。在他的主持規劃下，主要依靠當時來華的耶穌會天文學家，編撰成堪稱16世紀之前的西方天文學百科全書的巨著《崇禎歷書》。徐光啟這種不同於傳統中國士大夫的知識結構，使他對於中國古代天文學的態度不像守舊人士那樣一味頂禮推崇，而是有時還會出現尖銳的批評。他對《周髀算經》評論，此處所節選的《勾股義序》一文堪稱代表。文中的個別言辭不能說沒有一點過激之處，如說榮方問陳子以下所言之日月天地之數皆為「千古之大愚」等。但其說與眾不同，發前人所未發，很有參考價值。
徐光啟曰：《周髀》勾股者，世傳黃帝所作，而經言庖犧，疑莫能明也。然二帝皆用造歷，而禹復藉之以平水土，蓋度數之用，無所不通者也。後世治歷之家，代不絕人，亦且增修遞進，至元郭守敬若思十得其六七矣，亡不資算術為用者；……自余從西泰子譯得《測量法義》，不揣復作勾股諸義，即此法，底裡洞然。於以通變施用，如伐材於林，挹水於澤，若思而在，當為之撫掌一快已。方今歷象之學，或歲月可緩，紛綸眾務，或非世道所急；至如西北治河，東南治水利，皆目前救時至計，然而欲尋禹績，恐此法終不可廢也。有紹明郭氏之業者，必能佐平成之功，周公豈欺我哉！勾股遺言獨見於《九章》中，凡數十法，不出余所撰正法十五條。元李冶廣之，作《測圓海鏡》，近顧司寇應祥為之分類釋術，余欲為說其義，未遑也。其造端第一論，則此篇之七亦略具矣。《周髀》首章，九章勾股之鼻祖，甄鸞李淳風輩為之重釋，頗明悉，實為算術中古文第一。余故為采摭要語，弁諸篇端，以俟用世之君子不廢芻蕘者。其圖注見他本為節解。至於商高問答之後，所謂榮方問於陳子者，言日月天地之數，則千古大愚也。李淳風駁正之，殊為未辨。若《周髀》果盡此，其學廢弗傳不足怪；而亦有近理者數十語，絕勝渾天家，余嘗為雌黃之，別有論。
——錄自《徐光啟集》卷二，上海古籍出版社出版（1984），83—84頁。