本書將探討一個非常重要的問題：數字，或者說廣義的數學，是一種真實的存在嗎？這個問題對於科學家乃至我們所有人而言都具有非常重要的意義。然而，包括科學家在內的大多數人幾乎從來不會考慮這個問題。
乍一看，這似乎是一個非常荒唐的問題，不要說寫成一本書，就是考慮30秒鐘的時間都是一種浪費。數字當然是一種真實的存在。看一眼銀行對賬單，就能找到答案，因為那上面有大量的數字，其中大多數都是負數，表示從賬戶流出的現金。數學專業人士也知道這個問題的答案，因為我們上學時要完成大量作業，接觸的都是真實的數字。但是，我在這裡所說的「真實」具有不同的含義。加深對科學的理解，確定數字和數學是否真實地存在於宇宙之中，具有非常重要的意義。在人們沒有想到數字前，它們也是存在的嗎？還是說數字是人類的重要發明，是一個重要的虛幻世界中的虛擬「居民」？
我們知道，數學可以完全脫離現實，與現實世界不發生任何本質上的聯繫。事實上，數學家一直是這樣做的。數學（mathematics或maths）的最終目的就是制定一系列規則，幫助我們完成整個過程並最終得出某個結果。在定義這些規則時，我們可以使其與我們對現實世界的觀察結果保持一致，也可以根據我們的意願，讓它與現實世界截然不同，以產生怪誕而美妙的效果。有的數學家就喜歡這種遨遊另類世界的夢幻之旅。
舉一個簡單的例子。現實世界有三個空間維度（然而，物理學的弦理論試圖結合考慮重力等自然力，要求空間具有9個或10個維度），但是空間有1、2、4、79個還是5 000個維度，對於數學而言都不是問題。「大魔群」這個數學概念深受數學界的歡迎，該群的元素是在196 883維空間中旋轉。在研究「大魔群」時，我們難免會想起《綠野仙蹤》中那句非常經典的話：「托托，我覺得我們現在已經不在堪薩斯了。」
儘管數學家在研究這些群時，考慮的都是紐結這種非常普通的內容，但是他們對紐結的定義與我們繫鞋帶時打的繩結沒有任何相似之處。出於便利實用的考慮，這些數學家規定他們用來打結的「繩索」必須頭尾相接，形成一個不間斷的環。我們知道現實世界的繩結是不一樣的，雖然數學家（他們不是非常關注世俗生活）也知道兩者之間的不同，但是他們並不在乎，因為他們有權制定這樣的規則。
同樣的道理，我們也可以設計一個數學系統，並規定2 + 2 = 5。這個等式在現實世界行不通，但是在設計一個數字系統時，完全可以給出這樣的定義。數學上有一個常用的系統，叫作時鐘算術，可以將2 + 2的值定義為0或者1。在這個系統中，數字並不是一直累加，而是像鐘錶上的數字一樣，達到某個特定值就會重新變為0。的確，這些數字與現實世界存在某種相似性。從名稱可以看出，時鐘算術與時鐘有相似之處。例如，在12小時制的鐘面上，9 + 6 = 3。與傳統的計數方式相比，這種運算可以更好地表示循環變化。這個例子說明兩個問題：第一，數學具有任意性；第二，下定義時必須謹慎。儘管鐘錶上的數字9與數山羊時的數字9有某些相同之處，但兩者是不一樣的。
反過來，從現實世界這個角度來看，即使沒有豐富的數學知識，我們也能走好自己的人生旅程。長久以來，絕大多數人都是這樣生活的。一些非常簡單的算術就像是預先編寫的程序一樣。比如，在碗中放入一個東西，然後再放一個，又悄悄地把第二個藏回手心。這時候，無論是狗還是小孩，在看到碗中只有一個東西時，都會感到驚訝。對於哺乳動物而言，「1 + 1 = 2」似乎是一個初級的程序。毫無疑問，這也是一個非常重要的程序，因為在面對超過一個敵人時，它可以幫助你計算取勝的可能性。其餘的數學知識，大多是後來我們不斷獲取的。然而，數學的重要意義已經得到了證明。
如果沒有數學，在現代文明中佔有重要地位的科學與技術幾乎都會化為泡影。數學貫穿於我們的生活當中，我們不僅在日常活動（如商店中發生的交易）中要用到數學，在瞭解疾病分佈或者選舉結果的影響力時也離不開數學。數學是一門非常重要的學科，它可以幫助我們理解周圍世界的基礎結構和原理，因此我們必須好好掌握這門學科。但是，遺憾的是，很多人發現數學非常難學，甚至覺得學數學是一件很痛苦的事，因此千方百計地逃避這門學科。2012年，英國有一篇關於世界數學日的文章指出：
我們還知道，很多成年人就是不喜歡數學，也不知道為什麼要學習數學。在說到自己「數學學得不好」時，很多人一臉坦然，毫無羞愧之意。這種狀況在世界其他地區並不多見。英國人對待數學的消極態度從孩童時期便開始了。有人認為，很多孩子在7—9歲時會遭遇對數學興趣減退、成績下降的問題，而且絕大多數孩子從此一蹶不振。他們的興趣會發生轉移，覺得數學枯燥乏味，到最後，他們會徹底放棄數學……隨後，這個過程還會繼續發生，興趣不足與信心缺乏的問題又由父母傳遞給下一代。（斗膽提出一個問題：是不是也有老師參與其中呢？）
文章指出，英國人對待數學的態度尤其消極。而我認為，不僅在美國，在全世界很多地區都能看到同樣的問題。其實，厭惡數學的態度古已有之。415年，奧古斯丁[1]說：「我們面臨的危險……是數學家與魔鬼訂立了契約，他們要玷污人類的靈魂，把人類牢牢地羈押在地獄之中。」顯然，他在幾何課上也沒有找到多少樂趣。（這句話有一定的誤導性。通常而言，奧古斯丁對學習數學是持支持態度的。引言中的「數學家」一詞其實應該譯為「占星家」，但是，從中仍然可以看出很多人對數學持有消極態度。）
然而，如果教學方法得當，數學不僅學起來其樂無窮，而且在應用時可以發揮巨大的作用。數學的樂趣來源於數學難題和各種娛樂活動。當你的大腦為解決數學難題而飛速運轉時（比如說，數學告訴你無窮大也有大有小），你就能深刻體會到數學的樂趣了。
在處理日常生活中的簡單事務時，我們也許不需要掌握很多數學知識，而絕大多數人除了掌握一點兒算術知識以外，就對數學一無所知了。但是，在科學家和工程師努力瞭解事物的作用原理，並在此基礎上構建產品時，數學就成了一個功能強大的工具，可以為他們提供靈感。沒有數學，人們就難以理解自然世界並做出各種預測；沒有數學，我用來寫作本書的計算機以及為我們現代生活提供便利的其他科技也將不復存在。
首先，數學與自然界的運行規律密切相關。例如，數字與可觸知對象可以相互匹配。但是，隨著時間的推移，數字與現實逐漸分離開來。文藝復興時期，數學家逐漸意識到他們是在玩一個規模巨大的遊戲，他們可以自行制定規則，然後推動遊戲的進程，並觀察最終的結果。從此以後，理論數學就如脫韁野馬般奔騰而去，只剩下應用數學與現實世界繼續保持著密切的聯繫。數學家的想法與他們創建的數學世界，有時具有實際應用價值，有時則與實際生活沒有任何聯繫。這兩個不同結果的出現具有隨機性（現在，這種情況也基本沒有發生很大的變化）。這個大型遊戲有一個奇怪的特點：一方面，它是完全開放的；另一方面，它又表現出極強的限制性。數學研究覆蓋哪些範圍、可以制定哪些規則，全部取決於你，但是，一旦這些規則被認可，你就必須遵守。數學的世界裡沒有欺騙。
當我們考慮數字和現實的本質時，如果思維過於刻板，數學隱藏在深層次的隨機性就有可能導致問題的發生。2015年，英國上訴法院（該法院的等級在英國法院系統中高居第二位）的三名法官在審理一個案件時，需要判斷數字「1」的確切含義。當然，他們的判斷與我們大多數人（甚至大多數的數學專業人士）的理解是不一樣的。
這個案件是兩家製藥公司因為某種可以降低傷口敷料感染風險的化學溶液產生了糾紛，但是，令人意想不到的是，判決結果卻導致英國法律修改了對數字「1」的定義。康維德公司生產的一種「濃度為1%—25%」的銀基溶液受到專利保護，而它的競爭對手施樂輝公司生產的競爭產品是濃度為0.77%的銀基溶液。後者認為，自己的產品不在競爭對手的專利保護範圍之內。
早在2013年，這起糾紛就已經進入了審判程序。當時的法院認為，康維德專利保護範圍下限中的「1」並不是表示「1」這個數值（即一個對像）。他們採用了一種在化學界比較常見但是在數學界並不多見的方法，認為這個值表示的是由兩個有效數字界定的範圍。根據這種「有效數字」規則，該一審法院認為0.95—1.5之間的所有數值都可以表示成「1」，而這種簡單不對稱的定義表明，施樂輝的產品沒有觸犯法律。上訴法院對這個說法感到不滿，他們傾向於更為常見的就近取整法，也就是說，他們認為「1」代表0.5—1.499 9之間的任意數值。這個判決結果讓施樂輝陷入了困境，也說明數學上的決定具有隨機性。
除非我們堅定地認為1不多不少正好是1，否則「1」就會有不同的定義。因此，在律師看來，「1—25」的範圍中包括0.5。上訴法院法官克裡斯托弗·克拉克說：「語言學家可以認為『一』表示『正好是一，既不能多，也不能少』。但是，對於經常從事藝術活動的人而言，這個字在不同的語境裡可以突破整數的限制，表示一個數值範圍。」他的這番話並沒有多少意義，因為我們都不清楚他到底是怎麼想的。
長期以來，數學家在處理數學問題時一直表現出明顯的創造性（在這一點上，他們與律師截然不同）。有的公司為了開發新產品，允許員工嘗試各種各樣的想法和技術。在大多數情況下，他們不會生產出與商業世界有關的產品，但是他們偶爾也會推陳出新，設計出完美的新產品。數學家的研究與之有幾分相似。比如，在他們開始研究負數的平方根（參見第8章），也就是虛數時，他們實際上是將數學這個遊戲推向了新的發展路徑。但是，隨著事情的發展，他們為這些神奇的數字制定的各種規則，卻在物理學和工程技術等領域發揮了巨大的作用。
在引入虛數的概念之前，沒有哪一位科學家或者工程師能夠做出這樣的預言：「我們希望求得負數的平方根，因為它可以幫助解決我們所面臨的問題。」同樣，在設想出虛數之前，數學界也沒有人會這樣想：「我們怎麼解決擺在物理學家面前的這個問題呢？」數學家在提出新的概念以及制定一套相應的規則之後，通常不會很認真地考慮他的行為會引發哪些後果。但是，一段時間之後，各種應用就會應運而生。
總的來說，在19世紀之前，只要不是嚴重缺乏數學天賦，任何人都可以比較熟練地掌握數學這門基礎的自然科學。根據我的經驗，只要能學會分數的運算（很多人怎麼都學不會，而且人數之多，實在令人吃驚），你就可以學會包括微積分基礎（這門課程從名稱上看似乎挺簡單，但其實難度不小）在內的所有內容。但是，到了19世紀，數學領域發生了兩個變化，從此以後，普通大眾與科學之間就多了一道鴻溝。
第一個變化是，人們在數學中使用的方法越來越複雜，學生必須在課後投入大量的時間，才能掌握這些方法。比如，你可以隨便挑選一篇現代物理方面的論文，文章中可能至少會有一個在中學數學中學不到的數學方法。愛因斯坦在研究廣義相對論時，需要別人幫助他解決數學上的問題。這件事一點兒都不奇怪，因為數學本身非常難，超出了愛因斯坦的能力範圍。他是自然科學領域的大師，但數學卻是他比較陌生的領域。
讓數學變得曲高和寡的第二個變化是它與科學研究的關係發生了逆轉。在19世紀之前，數學一直是為科學研究提供服務的，但是到了20世紀，數學逐漸佔據了主導地位。例如，人們從數學中的對稱性出發，試圖將自然界中各種作用力的研究統一起來，但是，隨著研究的深入，人們越來越難以擺脫對技術術語的依賴，從而將外行人拒之門外。矩陣力學也是一個類似的例子。人們利用矩陣力學來解釋量子行為，但是，這種方法很抽像，所以對於當時的科學界而言，矩陣力學基本上是一個非常陌生的內容，更不要說普通人了。最終，留在他們記憶中的就只是一堆數字和運算法則。
數學上取得的發展本身沒有任何問題，但不幸的是，它們背上了沉重的包袱。如果普通人無法清楚地瞭解你所研究的科學，他們就不會輕易地同意政府將納稅人的錢投入這個領域。20世紀90年代，美國政府需要在資助國際空間站（ISS）還是支持超導超級對撞機（SSC）這兩個方案中做出選擇，他們做出的最終決定遭到了眾多物理學家的詬病。SSC是一種大型粒子加速器，當時，已經在得克薩斯州啟動了建造工作。諾貝爾獎得主、物理學家史蒂文·溫伯格（Steven Weinberg）指出，SSC的規模比歐洲核子研究中心（CERN）的大型強子對撞機（LHC）還要大，研究水平領先後者有10年之多，研究成果必將有助於進一步瞭解宇宙的基本規律。最終卻是ISS得到了資金支持，而SSC項目則被迫取消。與SSC不同的是，ISS可以幫助我們進一步探索太空和太空旅行的秘密，也許在未來會非常有價值，但是對於科學研究幾乎沒有任何貢獻。
而且，截至目前，美國政府投入到ISS項目上的經費是SSC項目的10倍，而進展卻十分緩慢。但是，政客們都非常清楚ISS項目到底是幹什麼的，負責撥付資金的人也可以聽懂這些內容。憑借不同於SSC項目的這個特點，ISS項目在這次競爭中勝出。對撞機項目太複雜了，讓那些政客理解相關內容太困難了。因此，科研資金支持的是對科學研究沒有任何益處的ISS項目，而不是有助於美國在物理學領域保持世界領先地位的SSC項目。
最後，CERN和LHC贏得了本來屬於SSC的榮譽。然而，從一定程度上看，這不過是一個毫無意義的勝利，因為他們同樣面臨那個難題：如何解釋清楚LHC到底是幹什麼的。所謂的「重現大爆炸前的環境」、「尋找希格斯玻色子」，到底是什麼意思呢？他們在使用這些術語時已駕輕就熟，但是向普通大眾解釋它們的確切含義並不是一件易事。通常，人們將希格斯玻色子描述成「使其他所有粒子具有質量的粒子」。從某些方面看，這個說法不能算錯，但是它也不全對。如果不借助數學方法，我們甚至難以說清楚這個說法到底錯在什麼地方。問題是，一旦使用了數學術語，聽眾就會興趣全無，再也不想聽下去了。
我希望讀完本書之後，大家不會產生數學難學的消極思想。本書將探討數字是否真實存在的問題，在這個過程中，大家會發現，數學不僅饒有趣味，而且非常有用。數學在現代社會、現代科技的發展過程中起到了核心作用，但是，我們不應該因此對那些基礎性問題視而不見。現代科學是不是過於強調數學的重要性了呢？馬克斯·泰格馬克等科學家甚至認為我們所在的世界就是一個數學世界，數字不僅真實存在，而且是促使世界運行的根本原因。這些科學家是否將數學與現實混為一談了呢？數學到底是宇宙的核心內容，還是一個可以幫助我們瞭解周圍世界的有效工具呢？在探討數學是如何取得科學世界霸主地位的同時，我們就能找到這些問題的答案了。
但是，我們首先必須回到數學思維的起點。我們將沿用數學書籍的慣例，先做一個規則自定的遊戲：假設我們可以發明數字。
[1] 奧古斯丁（354—430），古羅馬基督教思想家，教父哲學的重要代表人物，著有《懺悔錄》《論自由意志》《論三位一體》等。——譯者注