我回到教室去拿書包，突然覺得有點不舒服。
於是我坐到自己的位子上，趴在桌子上。
我一味地求通項公式 Pn 真是失敗透頂。問題不是特地寫成了不等式嗎？雖然我得意地解出了生成函數，可是這對問題的解決一點幫助都沒有。
真是後悔啊！
拿到問題後，能看到目的地在很遠的地方。為了解決這個問題，需要自己尋找一個個小問題，自己尋找通往目的地的路。但我卻選錯了路。我以為分拆數的通項公式是可以像尋找斐波那契數列或者卡塔蘭數那樣來求得的。
真是不甘心啊！
有人走進教室。聽這腳步聲像是米爾嘉的，腳步聲越來越近。
只聽到米爾嘉說：「你怎麼了？」
我沒有回答，也沒有抬頭。
「好像情緒有些低落啊。」米爾嘉說。
寂靜的教室，米爾嘉也一動不動。
沉默。
我最終忍不住抬起頭來。
和往常那一本正經的米爾嘉不同，現在她的表情有點困惑的樣子。
終於，米爾嘉開始揮動手指。
1 1 2 3
是斐波那契手勢。數學愛好者之間的問候語。但是我沒有心情攤開手掌回應她。
米爾嘉把手放在身後，側著臉說：「泰朵拉，很可愛吧。」
我還是沒有回答。
「我怎麼也不可能像她那麼可愛吧……」她又說。
我……仍然沒有回答。
教室裡的廣播開始播放德伏扎克的《家路》。
「我沒有解答出來……因為我走錯了路。」我說。
「嗯……」米爾嘉說，「在地球上的各個角落，在龐大的時空裡，數學家們為了解決各種各樣的問題一直在探索。最終什麼都沒有發現的人也很多。但是，你可以說他們所做的探索都是沒有意義的嗎？不是，如果不探索的話，能不能找到方法誰也無從得知。如果不試著找找看的話，能不能完成也無人知曉。……我們都是旅途中的旅行者。可能會有疲倦的時候，也可能會有搞錯路的時候。但即便如此，我們還是得繼續我們的旅程。」
「我……我以為自己很懂似的，得意洋洋地求出了生成函數。可是，這對解決這道題一點意義都沒有。真像個傻瓜。」我說。
「如果是這樣的話……」米爾嘉轉過頭看著我說，「如果是這樣的話，那麼我來找出需要使用你找到的生成函數 P(x) 的問題吧。」她笑了笑，又一次揮動自己的手指。
還是斐波那契手勢。
1 1 2 3 ...
接著，她又攤開自己的手掌，自己回應自己。
... 5
然後，她將自己攤開的手伸向坐在位子上的我。溫暖的手指碰觸在我的臉頰上。
「如果你累了的話，休息下就好了。如果你走錯路的話，返回就好了。——因為這一切的一切都是我們的旅程。」
她這麼說著，身子朝前傾，突然把臉湊近我。
我們倆的眼鏡就要碰到一起了。
透過鏡片，我可以看到她那深邃的眸子。
接著，她又稍稍側了側臉，慢慢地靠近我——
「如果這時瑞谷老師出現的話一定會嚇一跳吧。」我不由自主地說。
「你閉嘴。」米爾嘉說。
10.7 尋找更好的上限之旅
過了幾天。
放學後，米爾嘉突然叫住我。
她說：「我求出了比斐波那契數列更好的分拆數上限，希望你能來聽聽。哦，對了，再叫上泰朵拉。」
10.7.1 以生成函數為出發點
米爾嘉拿著粉筆站在講台上。
我和泰朵拉在教室的最前排聽她「講課」。除了我們三人之外就沒有其他人了。
「求分拆數 Pn 的上限就是求滿足 Pn ≤ M(n) 的函數 M(n)。之前我們證明了斐波那契數列是分拆數的上限。接下來，我們要求一個更好的上限。」米爾嘉說。
「更好的上限是不是指比斐波那契數列更小的上限呢？」泰朵拉舉起手提問道。
「正是。但這是當 n 為很大的數值的時候哦。」米爾嘉簡略地回答道。
「另外，我們的出發點就是生成函數。」米爾嘉瞇起眼睛說。
◎ ◎ ◎
我們的出發點是生成函數。首先我們先考慮一下分拆數 Pn 和生成函 數 P(x) 的大小關係。如果考慮的範圍是 0 < x < 1 的話，Pn 乘以 xn 的式子就應該比 P(x) 小。
為什麼這麼說呢？是因為生成函數的定義裡也包含有 Pnxn 這一項。以下式子中，因為不等號右邊的各項都是正數，所以不等號左邊一定比右邊小。
對了，我們還知道生成函數 P(x) 的另一種形式。對，也就是乘積的形式（米爾嘉朝我這裡瞟了一眼）。所以，不等號右邊可以變形為以下形式。
兩邊同時除以 xn。
這時，不等號右邊要大於 Pn，也就是說可以成為上限的候選。但是，無限項積很難處理。所以，如果加上「最大為 n 元硬幣」這個限制條件，就可以用下面這個有限項積的式子。
到這個不等式為止，我們走的路還算順暢。只是不等號右邊的乘積形式有點難纏。這裡就要動動腦子了。
我是這樣想的。乘積形式比較複雜，不如把它轉變成和的形式。把積變為和應該怎麼做呢？
10.7.2 「第一個轉角」積變為和
「取對數不就好了。取了對數，就能把乘積形式變為和的形式了。」我說。
「正是如此。」米爾嘉答道。
◎ ◎ ◎
正是如此。
兩邊同時取對數。這裡就是「第一個轉角」了。我們從家裡出發，從「尋找 Pn 的上限的道路」轉向「尋找 
的上限的道路」。泰朵拉，這些能夠明白吧。細節討論是很重要的，但是不要迷失了大方向。
取了對數後就可以變成和的形式，所以就可以求得以下式子。
看了這麼長的式子真是令人心煩。我們用 
來表示，這也是一樣的。
好了，這麼一來，問題就分為了東西兩條路，也就是「分叉路」。但我們還會回到這裡的，所以先要好好記住這個地方哦。
如果朝西前進的話，就會碰見「山丘」，如果朝東前進的話，就會碰見「森林」。
10.7.3 「東邊的森林」泰勒展開
首先，我們來討論一下「東邊的森林」。
東邊的森林由 n 棵樹組成。下面我們就來尋找組成「東邊的森林」的「東邊的樹木」，也就是 
的上限。
現在擺在我們眼前的問題是要討論以下函數。
在考慮這個函數之前，我們先用換元法將 t = xk 代入，考慮函數 f(t)。
我想先研究函數 f(t)。該怎麼做才好呢？泰朵拉，你說說看該怎麼做呢？
◎ ◎ ◎
「啊？我嗎？我還不是很瞭解 log 是什麼，不好意思啊。」泰朵拉說。
「你不瞭解的函數 f(t) 在這裡噢。泰朵拉，你看你看。你不是還寫著『一生都不會忘記』的嗎？」米爾嘉說。
「啊！是泰勒展開！」泰朵拉大聲叫道。
「嗯。」米爾嘉說，「利用泰勒展開把 f(t) 改寫成冪級數看看。」
◎ ◎ ◎
利用泰勒展開把 f(t) 改寫成冪級數看看。
對對數函數進行微分，就需要瞭解復合函數的微分，這裡只寫一下結果。
利用泰勒展開可以將函數 
展開為以下的冪級數形式。
如果我們再回到 t = xk 的話，就可以得到「東邊的樹木」的冪級數展開。
這裡 
根據這個式子，取關於 k = 1, 2, 3, ... , n 的和，也就是靠「東邊的樹木」來創造「東邊的森林」。
再進行泰勒展開。
內側的和也用 來表示。
然後調整求和的順序。
由於 m 不受內側的 約束，因此可以把 
提取出來。
展開內側的 ，驗證一下自己的想法。
我們在中途調整了求和的順序。通過無窮級數來調整求和的順序時，有幾個需要注意的地方，但是在此我們就不深究了。
好了，我們在這裡歇一歇吧。因為我們現在要求的是上限，所以我們要尋找比「東邊的森林」更大的式子。於是，我們將有限項和變成無限項和，然後用不等號連接。變成無限項和是為了利用等比數列的求和公式。我們繼續討論。
將內側的有限項和變成無限項和，用不等號連接。
假設 0 < xm < 1，利用等比數列的求和公式可得到下式。
到此為止我們停一下。這裡同樣不用求最後的公式。因為現在我們求的是上限，所以只要比這個式子大就可以了。我們來觀察一下分數 
的分母 1 -xm。如果用比分母更小的式子來代替這個分母的話，又可以製造出一個不等式。
這樣做好嗎？我們現在所做的是「建立容易處理的式子」和「建立稍大一些的式子」的交換。這裡我們沒有「建立容易處理的式子」，而是做出妥協，使上限大了一些。每妥協一次，就會出現一個不等號。
那麼，我們再接著討論「東邊的森林」。
然後將分母進行因式分解。
把分母中的 
變成最小項 
的和，這樣就建立起不等式了。
因為有 m 個 ，所以可以表示成積的形式。
◎ ◎ ◎
「整理好這些後，泰朵拉一定會大聲叫起來。」米爾嘉朝泰朵拉調皮地一笑。
「嗯？米爾嘉，為什麼說我一定會大聲叫起來呢？」泰朵拉不明白。
「你要試試看嗎？」米爾嘉說。
整理式子後可得
把不受 約束的因式提取出來……
「啊！」泰朵拉驚叫起來。
「你看，我說吧。」米爾嘉說。
「這是巴塞爾問題！是 
，是這個！」泰朵拉叫道。
「正是如此。」米爾嘉豎起食指。
◎ ◎ ◎
正是如此。這裡我們借用一下歐拉老師解出來的巴塞爾問題的結論。
巴塞爾問題
利用這個結論，我們繼續往下討論。
關於「東邊的森林」的討論就到此為止了。
對了，考慮到後面的步驟，我們先暫時用換元法假設 
，這樣「東邊的森林」就可以寫成以下形式。
「東邊的森林」的上限
這裡
10.7.4 「西邊的山丘」調和數
旅途已經走了一半了。現在我們回到那個「分叉路口」，這次我們往「西邊的山丘」前進。
假設 0 < x < 1，然後討論 
。
和剛才一樣，先用換元法假設 。根據 0 < x < 1 這個條件可以求得 0 < t。另外，x 可以變形為 
。
這裡我們來關注一下 
。假設 
，我們研究一下在 u 大於 0 的時候 
的情況。方法就和研究調和數的方法相似。我們畫一下「西邊的山丘」的平緩的圖像吧。
對於 u > 0，因為長方形的面積大於陰影部分的面積，所以我們可以建立以下不等式。
因為 ，所以可得
因此，我們能求得以下式子。
好了，對於「西邊的山丘」的討論就到此為止。
「西邊的山丘」的上限
這裡假設
10.7.5 旅行結束
好了，讓我們再一起回到「分叉路口」，快點快點。
利用「東邊的森林」和「西邊的山丘」對 進行討論後，我們得到了以下不等式。
還差一點點。下面我們給以上式子的右側取名為 g(t)，然後來求當 t > 0 時函數 g(t) 的最小值，因為使用這個最小值可以壓制住 的值。
因為方程式 g'(t) = 0 的解為 
，所以在 t > 0 的範圍內考慮的話，可以得到以下增減表。
根據圖表可知，最小值為以下形式。
為了更方便理解，我們將圖畫成以下形式。求方程式 g'(t) = 0 的解是為了尋找這個圖中切線呈水平形狀時的點。
因為現在我們關心的是 n，所以我們先把那些複雜的常數歸納起來統稱為 K。
這裡 
一開始我們在「第一個轉角」處取了對數，這次我們要取對數的相反形式。如果我們回到轉角處，就可以看到家了。
這裡
好了，我們的工作可以暫時告一段落了。
雖然經歷了長途跋涉，但是終於還是回到了家。——歡迎你回來。
分拆數 Pn 的上限之一
求
的「旅行地圖」
10.7.6 泰朵拉的回顧
我和泰朵拉共同享受著米爾嘉的長途之旅。雖然有幾處想確認一下，但不管怎樣，長途之旅終於結束了……一直在追尋數學公式，現在終於可以喘口氣了。
我看了看泰朵拉，她一副認真的表情，沉默著不說話。
「喂，泰朵拉，你該不會沮喪起來了吧？」我小聲問她。
「沒有，沒什麼，我一點都沒有沮喪。」泰朵拉爽朗地笑了笑說，「在米爾嘉的推導過程中，我不明白的地方有很多。但是，我一點都不沮喪。因為我明白的地方也有不少。」
泰朵拉點了點頭又繼續說道：「不知道為什麼，我覺得自己動足了腦筋，真是好漫長的旅行啊。雖然有很多地方還沒有完全理解，但是大方向我算是把握住了。然後，看到有那麼多武器出現真是有趣極了。手持武器進行對戰的感覺簡直太帥了。」
將有限項和變為無限項和後建立不等式
沒有變形成簡便形式，而是稍稍擴大上限的範圍
取對數把積的形式變為和的形式
利用無窮級數的求和公式
碰到困難時利用泰勒展開
複雜的地方用換元法
歐拉老師的巴塞爾問題
為了求最小值進行微分並製作增減表……
「拿到了這些武器之後，自己去打磨，然後直面問題，我感受到了這種活力四射的行動。米爾嘉不光解答了已有的問題，還傳達給我一種活靈活現的感覺……從『轉角處』到『分叉路口』，然後再是『東邊的森林』和『西邊的山丘』……我也好想自己發現這些東西！我還想再多學一點！米爾嘉，謝謝你。雖然我還不能熟練地運用這一件件武器，雖然在使用這些武器之前我必須先學習如何得到這些武器，但是我會努力的！」泰朵拉握緊拳頭說。
10.8 明天見
我們三個人在回家的路上還在繼續討論。泰朵拉興高采烈地不停地問著問題，我一一作答，米爾嘉時不時地作些評論。我們的對話以這種方式進行著。
終於，我們穿過了平時一直走的那條小路，來到了和往常一樣的地鐵站。
如果是平時的話，米爾嘉會一個人匆匆回家，而今天泰朵拉卻準備跟著她走。
「咦？泰朵拉，你今天為什麼朝那裡走啊？」我問。
「呵呵，我今天和米爾嘉一起去書店。」她答道。
啊，原來如此。她們倆現在關係還真好。
「那麼，我們先走了。明天見。」米爾嘉說。
「學長！我們明天再一起做數學噢！」
泰朵拉大聲說完，就和米爾嘉並排走了。
離開的兩人。
被留下的我。
一路上說說笑笑，突然變成我一個人還真有點寂寞呢。
我們現在上同一個高中。可是，總有一天，我們會分開，分別走向自己未來的道路。不管我們現在共同擁有多少東西，我們共同擁有的時間和空間都是有限的。天下沒有不散的筵席。我感到有點心痛。
對面，泰朵拉和米爾嘉在耳語著什麼。最終，他們兩人朝我這裡回過頭來。
怎麼了？
泰朵拉高高地舉起右手，拚命地朝我揮手。米爾嘉則安靜地舉起右手。突然，她們倆同時朝我揮動起手指。
泰朵拉嘴裡說著：「1, 1, 2, 3。」
啊，是斐波那契手勢，而且還是兩個人一同給我做手勢。
我苦笑了一下。
確實，時間和空間是有限的。確實，我們總會有分開的時候。但是正因為這樣，我們才會努力學習，我們才會努力前進。我們的信仰是享受數學。
因為「數學穿越時空」。
我攤開雙手高高舉起，向兩個數學女孩回應。
米爾嘉。
泰朵拉。
明天見，讓我們一起學數學！
於是，我們的故事就這樣結束了。
但是，我們能夠發自內心地說
那些人永遠幸福地生活下去了。
實際上，對那些人來說，真正的故事才剛剛開始。
無論是在這個世上度過的平淡一生，還是在納尼亞王國經歷的奇幻歷險，
都只不過是書的封皮而已。
—— 克利夫·劉易斯，《最後一戰》a