9.6.1 泰朵拉的嘗試
「學長，我有一個大發現，大發現！」泰朵拉興奮地叫道。
還是在圖書室，還是在放學後。在我正準備開始進行今天的計算的時候，活力少女泰朵拉匆匆忙忙地走了進來。
「什麼呀？泰朵拉。」我問道。
最近連續幾天都和泰朵拉在一起討論，我漸漸沒有了自己的計算時間。當然，我也不是不想這樣。
「嗯，那個，昨天我們不是將 sin x 進行了泰勒展開嗎？我在自己思考的時候，突然發現了一點。隨著 x 的值的變化，sin x 會好幾次都變成 0 呢。比如說……」泰朵拉一邊說一邊拿出自己的筆記本，朝我攤開。
像這樣，當 n=1, 2, 3, ... 的時候，sin nπ都會變為 0。」
「是啊。」雖然我這麼回答，但是也有點焦急起來。這不是很理所當然的嗎？而且……
「對了，泰朵拉，你可忘了 n 小於 0 的情況哦。如果你想好好進行一般化的話，應該是這樣的。」我說。
「啊啦啦，是……是啊。確實還有負數的情況。」泰朵拉說。
「那接下來就把 0 的情況也考慮一下。其實把 sin x 的圖像畫出來，然後考慮一下與 x 軸的交點就一箭雙鵰了。」我說。
「不知道怎麼的，我一個人有點操之過急了。不好意思哦，學長這麼忙，還來打擾您……」
可能是我的語氣有些嚴肅，泰朵拉的熱情一落千丈。她這個人不光是在高興的時候才表露出來，在自己意志消沉的時候也是如此。我有點不好意思，繼續說道：「關於昨天我們所說的那個話題，你想到些什麼了嗎？」
「嗯，想到了一些，但是也不是什麼重要的東西啦。」泰朵拉一邊看著我的臉色一邊小心翼翼地說。
於是——
我——
泰朵拉接下來說的一句話，真的令我大吃一驚。
「我試著將 sin x 進行了因式分解。」
啊？
啊？
「你說將 sin x 進行因式分解？這究竟是什麼意思呀？」我問道。
「嗯，那個……那個……我找到了很多滿足方程 sin x = 0 的 x。也就是說，這樣的 x 是
sin x = 0
這個方程式的解啊。」
泰朵拉不等我說話，又繼續說道：「今天米爾嘉不是說了嘛 ——求方程式的解與因式分解有關。」
是歸是，但是說到將 sin x 進行「因式分解」，我還是不太理解泰朵拉的意思。
我默不作聲，泰朵拉朝著我繼續說道：「正如剛才學長所說的那樣，如果解是 
的話，那麼就可以進行這樣的因式分解了。」
我還是一下子沒反應過來。嗯？這樣就好了？——確實，把 x = nπ 代入後式子變為了 0。
「不對，泰朵拉，這還是有點奇怪啊。而且，sin x 有一個有名的極限公式。」我說。
「也就是說，當 x 趨向於 0 的時候，
應該趨向於 1。當 x 和 0 非常接近的時候， 也和 1 非常接近。但是，泰朵拉你的式子中，如果假設 x 不等於 0，那麼兩邊同時除以 x 後可以得到這樣的式子。」
「當 x 趨向於 0 的時候，雖然這個式子左邊的極限值為 1，但是右邊式子的極限值並不為 1。很明顯，有點奇怪哦。」我說。
9.6.2 要到達哪裡
「泰朵拉，你也在思考巴塞爾問題嗎？」
「哇！」
「呀！」
從我們身後突然傳來一個聲音，把我們都嚇了一跳。不知何時米爾嘉已經站到了我們身後，我居然一點都沒有發現。
泰朵拉嚇得把筆記本和鉛筆盒都弄掉在了地上，自動鉛筆、橡皮、尺子辟里啪啦地灑了一地。
「米爾嘉，不是不是，泰朵拉考慮的不是巴塞爾問題，她考慮的是將 sin x 進行因式分解。」我說。
「學長，那個……巴塞爾問題是什麼問題？」泰朵拉邊撿自動鉛筆邊問我。
我給泰朵拉看了看卡片，向她解釋什麼是巴塞爾問題。這是求正整數的 2 次方的倒數之和的問題，就我的卡片來說就是求 
的值，就米爾嘉的卡片來說就是求 ζ(2) 的值。當然，說到求值就是在「收斂」的前提下才能求的。
泰朵拉聽了我的解釋，露出很驚訝的表情。也確實是如此，聽了一大堆自己沒有考慮過的問題，不一頭霧水才怪呢。
在我說的時候，米爾嘉把泰朵拉掉到桌子底下的筆記本撿了起來，一頁頁翻開看。
「嗯。」米爾嘉說。
「啊，這個……」泰朵拉想把筆記本拿回來，但是她看了看米爾嘉的眼神，又把手縮了回去。
「你……」米爾嘉對我說，她的目光沒有離開筆記本，「你教過泰朵拉 sin x 的泰勒展開嗎？嗯，原來如此，這也是村木老師的行動計劃啊！對了，這裡為什麼寫著『一生都不會忘記』呢？」
「不……不好意思！」泰朵拉突然搶回自己的筆記本。
「嗯。」米爾嘉突然閉上眼睛，像指揮家一樣揮動起自己的手指。她做這個動作的時候，周圍人都沉默不語。大家就這樣默默地看著她。米爾嘉思考的樣子有股吸引我們的力量。
米爾嘉睜開眼，說：「從 sin x 的泰勒展開開始。」
她這麼說著，拿過我手中的自動鉛筆和筆記本，開始寫起了數學公式。
sin x 的泰勒展開
「在這裡，假設 
，兩邊同時除以 x，得到下面的式子。先說明這是把 sin x 用『和』來表示。」
假設 ，兩邊同時除以 x
「但是，泰朵拉想到了如下的方程式。」
sin x = 0
「我們把這個方程式的解表示成下面這樣。」米爾嘉繼續說道。
「使用這個解對 sin x 進行『因式分解』，泰朵拉是這樣想的，對吧？」
米爾嘉突然用一種很獨特的上揚語調問道，泰朵拉點了點頭。她懷裡還抱著剛才從米爾嘉那裡搶來的筆記本。那本寫有「一生都不會忘記」的筆記本。
「但是，我進展得不順利。當 x 趨向於 0 的時候， 的極限應該趨向於 1，但是我所做的因式分解卻變不成這個形式……」泰朵拉說道。
「如果是這樣的話……」米爾嘉的臉上又浮現出一種調皮的樣子。
她繼續說：「如果是這樣的話，將 sin x 因式分解為這種形式怎麼樣呢？」
我和泰朵拉麵面相覷，思考起了米爾嘉所寫的因式分解的式子。泰朵拉迅速打開懷裡抱著的筆記本，開始計算。
「嗯……確實是成立的呢。當 x 等於 0 的時候，全都變成了 0，x 是 nπ的時候也都變成了 0，這是因為在某個地方有 
這個因式。所以當 
的時候，sin x 是等於 0 的。」泰朵拉說。
我聽了她的話開口說道：「而且，如果像下面這樣表示 的話，當 x 趨向於 0 的時候， 也應該是趨向於 1 的。」
我在泰朵拉的筆記本上這樣寫道。
「泰朵拉。」傳來了米爾嘉溫柔而又有力的聲音。
「泰朵拉，現在把他寫的式子的右側變形得更簡潔一點看看。」米爾嘉說。
「變得更簡潔一點是嗎？和與差的積是平方差吧。因為 
……」泰朵拉看了我一眼，這樣寫道。
從這裡開始該向哪裡前進呢？面對好像已經看穿一切的米爾嘉，不知道怎麼的，我變得焦躁不安起來。米爾嘉到底知道多少呢？為什麼她提起了巴塞爾問題呢？村木老師的行動計劃到底又是指什麼呢？儘是些我不明白的事情。但是，有種預感告訴我，會蹦出一些很偉大的東西。
米爾嘉轉過身對我說：「現在，泰朵拉用『積的形式』表示了 ，這是因為因式分解是將式子用乘積的形式來表示。另外，你寫的泰勒展開是把相同的 用和的形式來表示。那麼……」
米爾嘉說到這裡，停頓了一下，吸了一口氣又繼續說道：「這裡，我們把泰朵拉寫的『積的形式』和你寫的『和的形式』畫上等號看看。」
寫到這裡，米爾嘉突然把臉湊向正聚精會神地盯著式子看的泰朵拉，說：「你快發現了吧，泰朵拉。」
泰朵拉的臉「唰」的一下漲得通紅，邊退後邊說：「什……什麼？」
於是，米爾嘉在我們倆面前攤開雙手，輕聲說道：「比較 x2 的係數。」
我看了看式子。
比較係數？
瞬間開始計算。
比較係數！
我屏住了呼吸。
不會吧。
太厲害了！這太厲害了。
我看向米爾嘉。
米爾嘉正看著泰朵拉。
「咦？這是怎麼回事啊？咦？」
——她還愣在那裡，還沒有發現。
「左邊的 x2 的係數是什麼呀？泰朵拉你明白了嗎？」米爾嘉說。
「這個，這個是無限個的積吧。」泰朵拉說。
「那實際展開看看吧，泰朵拉。現在我們把下面的式子展開看看。」米爾嘉說。
「但是，有 π 之類的數字在，亂七八糟的，所以先定義
這樣的話，就可以形成以下無限項積的形式了。」米爾嘉說。
「將這個式子按從左至右的順序展開。」
「咦？怎麼看上去有規律啊。」看著米爾嘉的展開，泰朵拉說。
「其實這就是早上我所說的解與係數之間的關係噢。x2 的係數的規律性你明白了吧。」米爾嘉說。
從剛才開始，米爾嘉就只和泰朵拉說話。公式展開的速度也比往常要慢。她大概是為了讓泰朵拉更容易理解吧。
「嗯，我明白了，x2 的係數是 a + b + c + d + ... 吧。」泰朵拉說。
「是啊。這個無限項積的各因式裡 x2 的係數 (a, b, c, d, ... ) 的無限項和 (a + b + c + d + ... ) 就是展開後的 x2 的係數。那麼，我們再回到剛才『因式分解』的式子。」米爾嘉說。
米爾嘉又平靜地繼續說道：「要求等式左邊展開時『x2 的係數』的話，只要求出左邊各因式的『x2 的係數和』就可以了。a + b + c + d + ... 也就是 
。另外，等式右邊 的『x2 的係數』一下子就能得知。既然都已經考慮到這一步了，我們就來比較一下兩邊的 x2 的係數。以下等式是成立的。」
泰朵拉確認了一遍米爾嘉所寫的等式，說：「把 x2 的係數提取出來……嗯，是這樣的。」
「你還沒有發現嗎？泰朵拉。」米爾嘉說。
「什麼，什麼呀？」泰朵拉眨著大眼睛說。
米爾嘉笑了笑，露出一副「不用著急，沒關係」的表情。
她對著筆記本，又繼續向泰朵拉解釋道：「整理式子後，可以得到這個。」
「等式兩邊同時乘以 π2……」
「啊！啊！」
泰朵拉大聲叫道。這可是圖書室啊，但是我很理解她要叫起來的那種心情。
「解出來了，解出來了。巴塞爾問題解出來啦！」泰朵拉看了看米爾嘉，又看了看我，興奮地說道。
米爾嘉點點頭，像在吟詩一樣說道：「解出來了，巴塞爾問題解出來了，令 18 世紀數學家們煩惱的難題——巴塞爾問題解出來了。真是令人愉悅啊！」
米爾嘉又把式子重新寫了一遍。
「當然，這樣寫也可以。」她又加了一筆。
「好了，這下我們的工作可以先告一段落了。」她豎起食指，歪了歪頭，笑了起來。這真是最美好的笑容。
「真是……不知不覺中就……就解出來了！真神奇啊！」
泰朵拉的思緒還在混亂之中。
解答 9-2 （巴塞爾問題）
9.6.3 向無限挑戰
「解出這個問題的人是萊昂哈德·歐拉，他是世界上第一個解出巴塞爾問題的人。那是在 1735 年，歐拉老師還只有 28 歲，在他結婚後的第二年……」米爾嘉說。
我們是跨越了兩個半世紀以上的時光，來回味歐拉的解法啊。當時的歐拉和我們只相差十來歲……結婚後第二年？
「這下我們也能把這個問題解出來了吧？」泰朵拉問。
「是啊。歐拉老師對於巴塞爾問題的解法到現在還留有幾種。這是其中的一種。我們把它作為一個謎來解答。」米爾嘉說。
「這個證明我證到一半的時候就不知道怎麼辦了，最後真是讓我大吃一驚。」泰朵拉說，「不知不覺中巴塞爾問題就被解開了，我真的大吃一驚。因為 x = nπ 是 sin x = 0 的解，所以我還以為可以把 sin x 因式分解呢。當時還以為自己找到了什麼偉大的發現呢。但是，我這種想法也就到那裡為止了。米爾嘉給我看了其他因式分解的方式，在我捉摸不定的時候，通過比較 x2 的係數就把巴塞爾問題解答出來了。真是太厲害了！」泰朵拉說。
「而且，還有一點，」泰朵拉又接著說道，「當 
和變為 
的時候， 我也吃了一驚。為什麼整數的 2 次方的倒數之和中會出現 π 呢？」
我們沉默了片刻，大家都在思考為什麼無理數的圓周率會突然出現，我們都覺得有點不可思議。
「還有，為什麼泰朵拉說的因式分解不可取呢？」我問道，「
不正是方程 
的解嗎？為什麼不可以呢？」
米爾嘉回答了我的疑問，她說：「雖然 nπ 是方程 的解，但是這個因式分解的式子過於冗長，還有一定的自由度。因為如果只有 x = nπ s這個先決條件的話，像這樣整體擴大 C 倍都是可以的，所以沒有遵循唯一分解定理。」
「噢，原來如此啊，米爾嘉。
這個先決條件不能光靠因式分解來表示啊。」我恍然大悟。
「是啊，如果是 n 次多項式的話，結合 n 次方的係數，可以調整常數倍的值。一般最高次的係數是確定的，然後就可以根據最高次的係數來調整這個式子的規模了。但是，如果是無限次多項式的話，就不能按照最高次的係數來量身定做了。因為我們不知道 
的係數究竟是多少。這樣一來，建立起（x - nπ）後就不再調整係數了，求出因式 的乘積才是解決問題的關鍵。在開始進行無限項計算之前，我們先調整式子的規模，這種方法比較有效。」
米爾嘉用手指推了推眼鏡繼續說道：「但是，說起嚴密的理論，剛才的論述方式還不夠嚴密。為什麼這麼說呢？因為在求 sin x = 0 這個方程式時，我們是根據圖像與 x 軸的交點得到方程的解為 x = nπ，但是虛數解不會出現在與 x 軸的交點上，所以我們還沒有討論虛數解的可能性。實際上，除此方法之外，歐拉老師還留下了幾種證明方法。但是利用 sin x 的冪級數展開來進行這個證明真是魅力無窮啊。正如與 x2 的係數相對比可以求出 ζ(2) 一樣，與 x 正偶數 的係數對比也能求出 ζ（正偶數）。」
巴塞爾問題的解法
「這次，雖然最後進行整理的人是我，但是我本身就是知道歐拉老師的解法的。」
米爾嘉邊說邊站起身。
「雖說沒有很順利地解出，但是泰朵拉能想到利用方程式的解對 sin x 進行因式分解，這是非常了不起的。雖然還有不夠嚴密的部分，但是在不夠嚴密的地方也可以向無限發起挑戰。」
說到這兒，米爾嘉把右手搭在坐在位子上的泰朵拉的頭上。
她繼續說：「在向我們的歐拉老師表示敬意的同時，也請為泰朵拉鼓掌。」米爾嘉率先拍起手來。我也站起身，拍起手來。
「米爾嘉……學長……這……這怎麼可以。」泰朵拉用兩手摸了摸漲得通紅的臉蛋，眨巴著雙眼。
這裡是圖書室。我們是高中生。這裡要求保持安靜。
但是，管它呢，介意什麼呀！
我們向活力少女泰朵拉鼓掌！
可見，
當 n 為偶數時，
狀如 
的任何一個級數，
它的和都等於 πn 與一個有理數的積。
—— 歐拉 [25]