「啊，真對……對不起。特地叫您來一次……」
我一踏入階梯教室，就看見一個緊張地等待著我出現的女孩子。她就是泰朵拉，懷裡抱著筆記本和鉛筆盒。
「學……學長，我非常想和您交流，可是我卻不知道該怎麼跟您說。聽朋友說，在階梯教室說話會比較方便，所以就……」
從主教學樓穿過中心花園，就是階梯教室，物理課和化學課一般都在階梯教室進行。教室內每排椅子的擺放呈階梯狀，最低處是講台。這樣做是為了讓教室裡坐著的所有學生都能看清講台上老師所做的實驗。
我和泰朵拉坐在教室最後一排的長椅上。我從衣服口袋裡掏出今天早晨收到的信。
「我讀了信哦。但不好意思的是，我不太記得你了。」我說。
她拚命地擺擺右手說：「那當然，我也認為您不會記得我。」
我接著問道：「對了，你是怎麼知道我的呀？我想我中學時應該沒那麼受人矚目吧。」我是一個不參加任何課外活動的男孩子，一放學就往圖書室跑，不會引起別人注意吧。
「嗯，這是因為……不是啦，學長可是很有名的哦。我……我……」她一個勁地解釋。
「算了，沒關係。對了，你不是因為自己數學不好，想要和我討論討論嗎？我可以問問你的詳細情況嗎？」我言歸正傳。
「好的。謝謝您。我上小學時，覺得數學問題啦計算啦都非常有意思，可是進了初中以後，無論是聽老師講課還是自己看書，都覺得自己越來越不能理解了。到了高中，老師說數學很重要，叮囑我們一定要認真學習。我也很努力地在學，但是總不能完全理解，不知道學長是不是有辦法幫幫我？」她說明了自己的學習情況。
「原來如此。」我又問，「順便問一下，你有沒有因為你所說的『不能完全理解』而導致考試成績不太好呢？」
「這個倒還不至於。」她答道。
泰朵拉用大拇指按著嘴唇，思考著。她留著一頭短髮，一雙機靈的大眼睛，眼珠滴溜溜地轉動著。這讓我感覺她很像有活力的小動物，比如說小松鼠，或者小貓咪，她給我的感覺大概就是這樣。
「像單元測驗之類的考試，如果事先告訴我們考試範圍的話，我還能湊合著考考，但像水平測驗之類的不知道考試範圍的考試，我曾得過很慘的分數。成績的落差非常大。」她補充道。
我接著問：「那上課怎麼樣呢？都聽得懂嗎？」
她說：「說到上課嘛，我很想能夠全部理解……」
「但感到聽不懂，對嗎？」我問。
「是啊。我覺得不是很懂。我能解題，但也只能解個大概。我上課能聽懂，但也只是懂個大概。但是，事實上是沒有真懂。」她說。
2.5.1 質數的定義
「我可以再問得具體點嗎？你知道質數嗎？」我問泰朵拉。
「嗯…… 我想我知道吧。」她說。
「你想你知道？那我問問你，你能說說質數的定義嗎？請你回答『質數是什麼』這個問題。不要用計算公式來表示，用語言表達就可以了。」我緊追不放。
「問我質數是什麼啊。嗯，就是類似 5 啦 7 啦之類的數字吧。」她回答道。
「嗯，5 和 7 都是質數。這是對的，但是 5 和 7 只能說是可以被稱為質數的兩個例子。『舉例說明』和『下定義』是不同的。」我糾正了她的說法，之後再一次問道，「質數是什麼呢？」
泰朵拉點點頭說：「好吧。質數是……『只能被 1 和其本身整除的數字』吧？數學老師說過必須要背出質數的定義，所以我還記得。」
我接著她的話說：「如果是這樣的話，你一定也認為下面我說的這個定義是正確的吧。」
「正整數 p 只能被 1 和 p 整除時，我們把 p 叫作質數。」（？）
「是啊，我認為是對的。」她說。
「不對，這個定義是錯誤的。」我說道。
「啊？但是比如說 5 是質數，它不就只能被 1 和 5 整除嘛。」她不明白。
我解釋道：「嗯，5 確實是質數。但是如果照這個定義來說的話，1 也變成質數了。為什麼這麼說呢，因為如果 p 是 1 的話，p 也只能被 1 和 p 整除啊。但是，1 不算在質數里。最小的質數應該是 2。把質數以從小到大的順序排列的話，是從 2 開始的。」
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
我繼續說道：「所以上面我說的定義是不對的。關於質數，正確的定義應該是下面這樣，要排除個別情況。」
「正整數 p 只能被 1 和 p 整除時，我們把 p 叫作質數。但是質數不包括 1。」
「或者在句首加上條件進行定義。」我補充道。
「比 1 大的整數 p 只能被 1 和 p 整除時，我們把 p 叫作質數。」
「或者將這個加上的條件寫成算式也可以。」我又補充說。
「當整數 p > 1，並且只能被 1 和 p 整除時，我們把 p 叫作質數。」
「哦，對哦，1 不是質數……我想起來了，我確實學過。學長所說的定義我也完全理解了。但是……」這時，泰朵拉猛地抬起頭說，「質數不包括 1 這一點我是明白了。但是，還是不能完全接受。為什麼質數不包括 1 呢？為什麼包括了 1 就不對了呢？我不是很明白質數不包含 1 的 rationale。」
「rationale 是什麼意思啊？」我不解。
「rationale 就是正當的理由，可以用原理來說明的理論根據。」她答道。
啊，這孩子，這個女孩原來知道徹徹底底理解的重要性啊。
「學長？」她好像看出我走神了。
「啊，對不起，你問我質數為什麼不能包含 1 對吧？很簡單哦。那是因為質因數分解有唯一分解定理。」我回過神來。
「質因數分解的唯一分解定理是什麼呀？」她問道。
「質因數分解的唯一分解定理就是說，將某個正整數 n 分解質因數時，其形式是唯一的。比如，將 24 進行質因數分解，其唯一形式是 2 × 2 × 2 × 3。不過，不用考慮這些質因數的順序，不論是 2 × 2 × 3 × 2 還是 3 × 2 × 2 × 2，這些形式只是質因數的順序不同而已，我們仍把它們看作是同一種質因數分解的形式。質因數分解的唯一分解定理對於數學而言是非常重要的，為了遵循這個定理，規定 1 不包含在質數範圍內。」我向她解釋。
「僅僅為了遵循質因數分解的唯一分解定理，就隨隨便便地這麼規定嗎？」她不能理解。
「是啊。不過你說隨隨便便規定有點言過其實了。數學家們是為了建立一個數學的世界而規定一些有用的數學概念，然後再給這些概念取名，也就是對其進行定義。如果能清晰地給這些概念做出規定的話，至少作為定義是合格的。所以，正如你所說的，質數包含 1 的定義也是有可能的。但是，定義是否可能與這個定義是否有用是有區別的。如果照你所說的，將 1 放到質數里，這樣就不能運用質因數分解的唯一分解定理了。順便問一下，你現在理解質因數分解的唯一分解定理了嗎？」我說。
「嗯，我覺得我是理解了。」她回答。
「嗯，為什麼你只是覺得自己理解了呢？自己是否已經真正理解必須靠自己來確定。」我特別強調了「自己」兩個字。
「是否真正理解要靠自己來確定，此話怎講？」她問道。
「比如說，可以舉個恰當的例子來考查自己是不是真正理解了。『舉例是理解的試金石。』雖然舉例並不是定義，但是舉一個確切的例子是很好的練習。」我答道。
「如果 1 包含在質數里的話，質因數分解的唯一分解定理就不成立了。請舉例說明。」
「這樣啊。如果 1 包含在質數里的話，24 的分解質因數就變為這樣了，會出現很多種形式……」她說。
「嗯，是啊。這就是質因數分解的唯一分解定理不成立的例子。」
泰朵拉聽了我的話後頓時放心了。
「只是，比起『會出現很多種形式』這樣的說法，『會出現幾種』或者『會出現兩種以上』的說法更好些。為什麼這麼說呢，那是因為……」我的話還沒說完，就聽泰朵拉緊跟著說：「那是因為後者表達更嚴謹吧？」
「正是如此。『很多』這個表達方式不夠嚴謹。到底大於幾個才算是『很多』呢？這種表達有歧義。」我說。
泰朵拉說：「學長，不知怎麼的，我感覺我的腦子像被徹底打掃了一遍，重新裝進了定義、舉例、質數、分解質因數、唯一分解定理，等等。另外，還要注意語言表達的嚴謹性。對數學而言，如何應用語言來表達是非常重要的吧？」
「對，你真聰明。在對數學概念的表達上可要謹慎地使用語言。為了盡量不讓人產生誤解，就要使用嚴密的語言。對數學表達而言，最最嚴密的語言就是數學公式了。」我說。
「數學公式……」她不明白。
「說到數學語言，就不得不說數學公式。我想使用黑板，我們往下走走去講台那裡吧。」於是，我就順著樓梯往下走，泰朵拉跟在我後面。才走了兩三步，只聽「卡」的一聲，我頓時感到背部一陣劇烈疼痛。
「啊！」我不禁大叫。
「不，不好意思！」泰朵拉連忙道歉。
她不小心在階梯處絆了一跤，正好撞在我身上。我們兩個人差點一起滾下去，幸好我拚命地站穩了腳。真是太危險了！
2.5.2 絕對值的定義
「那麼你知道絕對值嗎？」我問。我們面朝著黑板，在講台上並排站著。
「嗯，我想我知道吧。5 的絕對值就是 5，-5 的絕對值也是 5，就是只要把負數的負號去掉就可以了吧？」泰朵拉回答道。
「嗯……那麼，用數學式子來表示 x 的絕對值的定義的話，這樣寫你是不是能接受呢？」我在黑板上寫下數學式子。
x 的絕對值 |x| 的定義
「啊，這樣說來，我對此還真有點疑問呢。x 的絕對值不是去掉負號就可以了嗎？為什麼會出現 -x 的情況呢？」她疑惑不解。
「『去掉負號』這一說法就數學語言而言是比較曖昧不清的。雖然這種說法能夠讓人理解其意思，能夠大致明白說的是什麼。」我說。
「那麼，把這個說法改成『把負號變成正號』呢？」她緊追不捨。
「這樣說也很曖昧不清啊。比如，-x 的絕對值是什麼？」我在黑板上寫道。
|-x|
「去掉負號，答案是 x 吧，也就是說，|-x| 等於 x。」她答道。
「錯了。那如果 x 等於 -3，答案將如何呢？」我舉出反例。
「啊？ x 如果是 -3 的話……」泰朵拉也在黑板上寫了起來。
「如果照你所說的 |-x| 就是 x 的話，x 是 -3 的時候，|-x| 必須是 -3 了。但是事實上，|-x| 卻是 3。也就是說，|-x| 應該等於 -x。」聽了我的解釋，泰朵拉又看了看式子，開始陷入沉思。
「啊，我知道了。是啊，x 原本就是負數的時候，如果不再加上一個負號的話，這個數字就變不了正數。不知怎麼的，我無意識中就把 x 當作是 3 啦、5 啦之類的正數了。」她恍然大悟。
「對啊，x 這個字母前面沒有加什麼符號，所以一般人們都不會想到 x 還可能是 -3 這樣的情況，但這恰恰又是很重要的。用 x 來表示就是因為不用舉出具體數字，就能定義 x 的絕對值。如果只是說『去掉負號就是絕對值』，那就過於片面了。另外，我們還必須要注意不能忘了加上條件。說得難聽點，就是要讓人覺得是在故意刁難他們，必須進行嚴密的思考。當你逐漸習慣了嚴密的思考時，你就會覺得自己也習慣數學公式和數學了。」
我正說著，泰朵拉一屁股坐在最前排的一把椅子上，她默不作聲地用手指不停地玩弄著筆記本的頁角，像是在思考著什麼。
於是，我就在一旁等她開口說話。
「我……我是不是浪費了初中的大好時光呀？」她終於開口了。
「此話怎講？」我問。
「我也算是讀上來了，但是，我卻從沒有仔細地看過教科書中出現的定義和數學公式——我一直就沒有認真對待。」她長歎一口氣，顯出非常失望的樣子。
「喂！」我有話要說。
「嗯，怎麼了？」泰朵拉看看我。
「如果你這麼想的話，從現在開始學會嚴密思考也不晚啊。過去的事就讓它過去吧。你要面對現在，對於現在認識到的事情，只要在今後好好注意就可以了。」我說。
泰朵拉像是舒了口氣，睜大眼睛，立刻站起身來，「是……是啊。已經過去了的事情再怎麼後悔也沒有用了，要在今後好好注意。對，確實是這樣，學長。」
「嗯…… 對了，今天就大致說到這裡吧。天也快黑了，以後再繼續聊吧。」我說。
「繼續聊？」她問。
「嗯，我放學後一般都在圖書室，泰朵拉，如果你還有什麼要問我的話，再叫我好了。」我答道。
她聽後頓時兩眼放光，很開心地笑了笑，說：「好，一定！」