將實驗方法延伸適用於整個宇宙
物體的屬性……若在我們可實驗的範圍之內存在於所有的實驗客體中，那麼我們就應該推定，這一特性存在於宇宙萬物之中。
——艾薩克·牛頓（Isaac Newton），
《自然哲學的數學原理》（Philosophiae naturalis principia mathematica，1687、1713、1726年)
《顯微圖譜》出版五年之後，即1671年12月21日，羅伯特·胡克（那時仍是實驗負責人）在皇家學會集會上，介紹了一種新的音樂記譜法，並且設計實驗來測量水銀穿透木頭需要的力的大小。羅伯特·波義耳也在場，他介紹了一個實驗，實驗表明「水不能到的地方空氣卻可以到達」。此外，他還提議納入一個新的成員：「艾薩克·牛頓，劍橋大學的數學教授。」1
當時29歲的艾薩克·牛頓畢業於劍橋大學，此前四年，他一直在母校三一學院任教。他在1672年1月的會議上被適時推舉，那次會議中「特別提到了牛頓先生對望遠鏡的改進」；牛頓此前將他改進後的一台儀器滿懷敬意地送給了皇家學會。
與波義耳和胡克一樣，牛頓是人造儀器的使用者，是一位為了尋求真理急切地希望能延展自己感官的數學家。在2月的會議上，他的入會證書墨跡未乾之時，他便向學會遞交了一封信，信中他介紹了自己最新的「哲學發現」：
光並非彼此類似，光的種類繁多，包含了不同的光線。這些光線在穿透其他物質時，本質上會產生不同的折射；顏色就是從各種各樣的光線中產生的，它們的性質決定了，其中一些傾向於產生紅色，一些產生綠色，一些產生藍色，一些產生紫色……而白色則是各種顏色的混合體，或者說白色是由各種顏色混合在一起而產生的。2
一直以來，牛頓的實驗借助的並非顯微鏡或望遠鏡，而是稜鏡：這種儀器通過扭曲（「折磨」）自然光來揭示光的組成。
信中，牛頓描述他在光方面的發現是「在迄今為止的關於自然的實驗中，如果不是最重要的研究也是最與眾不同的」。他這一番傲慢的宣告立即激起了一番同樣激烈的反對之聲。皇家學會對牛頓先生做出這一發現表達了「鄭重的感謝」，並且委託胡克予以回應；胡克針鋒相對地反駁說他認為牛頓的提議是「毫無必要」的。人們通常認為，光是白色的、單一的，而牛頓的發現與這背道而馳。讓光穿過不同的物質（比如說透明的石層，在《顯微圖譜》中，胡克記錄了一個此類實驗），光只不過是被透明物質改變，因而變成不同的顏色。胡克勉強承認牛頓的新解釋也許是真的，但他堅稱，這一解釋並不比已有的理論更有可能成為真理；他反駁道，牛頓並沒有提供「理論的絕對證明」，因此他本人覺得無法信服。同年後期，胡克為皇家學會重新做了牛頓的實驗，「證明了牛頓的判斷」。但他仍繼續辯駁道：「這些實驗無法令人信服，無法證明光是由不同的物質組成的。」他可以想到至少兩個「不同的假設」，同樣可以很好地解釋牛頓的結果。3
這是兩人充滿爭論的關係的開始。這種敵對情緒之所以出現，一方面是因為，兩個非常有能力且自負的人之間自然會產生摩擦，另一方面，緣於二人持有不同的哲學觀。胡克以及皇家學會的大多數重要成員都極其推崇實驗的方法，但對於從中總結普適的結論時都非常謹慎。學會儘管對牛頓的「光的理論」很感興趣，但還是提議，要想得出結論，需要做更多的實驗才行。而這些實驗足足做了三年，其間，牛頓在劍橋的實驗室與位於倫敦的皇家學會總部之間書信往來頻仍。
1675年，牛頓開始感到惱火。他將一份更縝密的手稿送到學會，稿件中對他的實驗及實驗揭示出來的光穿過「以太」的運動進行了更為詳細的闡釋。12月16日，胡克將此手稿呈現給皇家學會。「讀了這篇論文後，」會議記錄寫道，「胡克先生說其主要內容在他的《顯微圖譜》中都涵蓋了，牛頓先生不過是在個別細節上加以延伸罷了。」
牛頓當然要針鋒相對，他反過來指責胡克有些過於隨意地「借用」其他思想家的成果，比如勒內·笛卡兒〔 Rene Descartes，他早在40年前就出版了《方法論》（Discourse on Method） 〕和牛頓本人。兩人的爭論愈發激烈，而且弄得盡人皆知。信件來往越來越多，實驗也越來越多。牛頓愈發沮喪——一部分是胡克造成的，但更多的是因為皇家學會不停地要他提供更多的證明。1676年，他尖刻地回復學會：「重要的並不是實驗的數量，而是質量；如果一個實驗就足以說明問題，為何還需要多次實驗呢？」在他寫給一位同僚的信中，他悲憤地寫道：「我認為，一個人要麼決心不研究新東西，要麼就得成為捍衛新東西的奴隸。」4
牛頓逐漸不再參與皇家學會的例行活動。會議記錄中越來越少見到他的名字。他沒有去參與胡克負責的、學會成員要求的永無盡頭的實驗，而是投身於自己的研究：不僅僅研究光和光學，也研究行星的軌道以及可以對其做出解釋的天體運行機制。與胡克爭論了12年之後，他出版了第一部重要文獻：Philosophiae naturalis principia mathematica，即《自然哲學的數學原理》。
《數學原理》一書從伽利略的日心說模型出發，主要關注的是行星環繞太陽運行的軌道。儘管伽利略的日心說體系因與事實相符而日益被人接受，但仍舊面臨許多質疑。伽利略本人已經回答了一些主要的問題，但絕不可能解決得了所有問題。他認為，日心說理論是對潮汐運動的最好解釋，並且，通過望遠鏡觀測，他認為行星是有可能環繞著除地球外的其他天體運轉的。他的重物實驗，不論重物是否是從比薩斜塔落下的，都證明了地球能夠在運轉的同時保證地表物體不會到處亂飛。
但他並沒有試著去解釋使得重物下落的那股力〔引力（gravitas），或「重力」〕是如何作用的。實際上，儘管他推翻了亞里士多德學派物理學的一些核心觀點，但他堅持一個與亞里士多德學派類似的觀點，即引力是客觀物體固有的屬性，而不是外界施加在物體上的力。5
此外，伽利略也無法解釋，如果行星是圍繞太陽運轉，那麼為何對它們的圓形軌道的運算無法解釋它們的實際運動。與他同時代的約翰尼斯·開普勒曾提出了橢圓軌道的定律，並據此得出更合理的結果——但二人都沒能解釋軌道為何是橢圓，而非正圓。伽利略構想的宇宙中，沒有外力，而且這些物體本身的屬性，都無法迫使行星的軌道由正圓變成橢圓。
這就是牛頓要解決的問題。
他將伽利略在地球上做的自由落體實驗延伸到天體中，解決了這個問題。伽利略曾做出理論推定，認為物體的引力意味著它們可以持續做勻速運動，不論下落了多久；牛頓提出，引力不是物體的固有屬性，而是一種力，太陽給行星施加引力，行星給環繞它們的衛星施加引力。將物體吸引到地球的引力同樣也將月球引向地球——但是這股力的大小會隨著距離的改變而改變。它是會變的。隨著行星離太陽越來越遠，太陽施加給它們的力也越來越弱——因此，就有了橢圓軌道。6
要對這種新發現的力的原理進行全面解釋——最重要的是解釋兩物體之間的距離與它們之間引力的關係——牛頓必須要改進自己的數學運算，使其可以計算出持續的細微變化。這一新數學方法就是「關於變化的數學法則」，在條件不斷變化、力量不斷改變且各種因素時隱時現的情況下，據此方法仍可以預測出結果。7
因此，《數學原理》一書同時展開了兩項富有開拓性的工作：它解釋了行星運行軌道為何是橢圓形的——並且，在這個過程中，首次揭示了宇宙中存在的另一種力：引力。此外，它還為數學引進了一個嶄新的分支；這一充滿活力的數學分支在17世紀時被稱為「calculus」（微積分）：這一名稱源於拉丁文「鵝卵石」，這是一種被用作算術計數器的小石頭。[1]
《數學原理》第四卷闡述了引力作用的四條定律。書中牛頓建立並利用了三原則（牛頓運動定律）：
資料來源：非數學的陳述均選自拉裡·柯克帕特裡克和格雷哥裡·弗朗西斯所著的《物理學——一種世界觀》(Physics: A World View，Thomson，2007)，37，41。
《數學原理》第一、第二卷建立了運動定律，既從理論上（不存在任何阻力的理想情況）又從存在阻力兩種情況下進行探討；第三卷則將引力視為宇宙中普遍存在的力進行探討。
這三卷書的內容都非常艱深。單是「數學原理」這一書名就指出了最大難題：書中很大一部分是高深難懂的數學解釋，是使用牛頓的微積分數學進行計算的。威廉·德漢（William Derham）是牛頓的老朋友、老同事，他後來寫道，該書之所以晦澀艱深，是牛頓有意為之。牛頓曾向他透露，自他「討厭爭辯」開始，他「有意使得《數學原理》一書艱澀難懂」，為「避免被數學方面的淺薄小人所攻擊」。也許因為「淺薄小人」這個詞準確描述了當代絕大多數對此書有興趣的讀者，包括我自己，此書的絕大部分都在我們的《數學原理》理解範圍之外。〔這絕不是現代教育的失敗。詹姆斯·阿克斯特爾（James Axtell）曾指出，牛頓的策略「行之有效，使得《數學原理》一書艱澀難懂……甚至對他那個時代的專家和聰明的外行人也是如此」；一個為此感到沮喪的劍橋大學學生在街上和牛頓相遇時，曾說過一句金言：「前面走來的那個人，就是那個寫的書不管是自己還是別人，誰都看不懂的那個人。」〕8
但是，牛頓在《數學原理》一書的兩章中捨棄了密集冗長的公式，採用了清楚的表述，即在《數學原理》一書最後的「總批注」（就是「總體的解釋性註釋」），以及第三卷開頭的「自然哲學研究的守則」。
「守則」在某種程度上，是牛頓對皇家學會的最後回擊。他意識到，《數學原理》的結論很可能被缺乏想像力的那群人否定，被視為「巧妙的羅曼史」——僅僅是猜測，是虛幻的猜想。畢竟，他所進行的軌道觀察，既沒有在月球上進行，也沒有在與太陽距離不等的其他行星上進行。相反，他採納了在地球上獲得的實驗結果，並據此推知天體——這一方法是迂腐的皇家學會不贊成的。9
「守則」解釋了為什麼牛頓關於月球和行星運動的結論是可靠的，即使胡克並不贊同牛頓的實驗證明方法。前三個原則是：
1.比起複雜的原因，簡單的原因更可能是正確的。
2.同類現象（比如說，歐洲的石頭從高處落下，與美國的石頭也從高處落下）極有可能擁有同樣的原因。
3.在我們可實驗的範圍之內，若某個特性存在於我們所有的實驗客體中，那麼我們就可以推定，這一特性存在於宇宙萬物之中。
在《數學原理》第一版中，「守則」並非以這種形式展現出來，儘管牛頓的結論清楚表明了他是在這些守則指導下進行實驗的。第二版出版於1713年，此時，他才將自己的假設寫進書中。但直到1726年，《數學原理》第三版中，他才加入了第四條，也就是最後一條原則：
4.基於具體現象或實驗結論的一般性理論應被認為是正確的，除非有新的現象或其他實驗結果出現，使得另一條理論更像是真理。
這就是培根的歸納推理法——從具體結果推知普遍結論，但牛頓將其進行了驚人的延伸：延伸到適用於整個宇宙。
但「總批注」（其中也包含了關於上帝在自然哲學中位置的著名探討）對這一方法進行了限制。牛頓解釋說：
引力可以穿透太陽和行星，深達它們的核心，而自身的作用力卻絲毫沒有被削弱，這一作用並不與其作用的粒子表面數量成比例……而是與固體物質的量成比例，並且，這一作用還可延伸至周邊極遠的距離，總是與距離的平方成反比。10
但是，他提醒人們：「我至今尚未找到引力產生的原因。」他可以根據自己在地球上所做的實驗，推導出引力法則，但是無從知曉引力產生的原因。
在牛頓看來，根據法則推斷出起源，就是在沒有證據的情況下總結出理論——這就是古代哲學家所推行的那種宏偉的範式虛構。他輕蔑地稱其為「杜撰假設」。「我至今仍不能從現象中推斷出這些引力屬性產生的原因，」他斷言，「我也不會去『杜撰』假設。」他認為自己沒有必要提供一種可以解釋為何宇宙以它現存的方式運行的普適性理論，即所謂「萬物至理」。根據他的「實驗哲學」，
從現象中推論出猜想，然後通過歸納，使猜想成為普遍的理論。物體的不可入性、運動以及慣性，運動定律和萬有引力定律都是通過這種方法被發現的。只要引力存在和作用的方式與我們提出的定律相符，並且能夠解釋天體和海洋的一切運動就足夠了。11
就足夠了：對此，牛頓會感到心滿意足。他把實驗方法延展至整個宇宙，但也為其無限延展設定了一個邊界。
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艾薩克·牛頓
《自然哲學的數學原理》一書中的
「自然哲學研究的守則」和「總批注」
（1687、1713、1726年）
想通讀《數學原理》全書的讀者有幾種選擇。由I.伯納德·柯恩（I.Bernard Cohen）和安·惠特曼（Anne Whitman）合譯的譯本多達950頁，是現代譯本中最清晰易懂的，讀者可以找到該譯本的平裝本；譯本第一部分全部都是評論、解釋以及關於如何閱讀這本難懂的書的指引。
Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy: A New Translation, trans.I.Bernard Cohen and Anne Whitman, assisted by Julia Budenz, University of California Press (paperback, 1999, ISBN 978-0520088177).
艾薩克·牛頓，《自然哲學的數學原理（新譯）》，譯者I.伯納德·柯恩、安·惠特曼和朱莉婭·比登茲，加州大學出版社（平裝，1999年，ISBN 978-0520088177）。
讀者也可以找到安德魯·莫特（Andrew Motte）1729年譯的多個版本。儘管年代久遠且某些地方不太準確，但是這些譯本並不比柯恩和惠特曼的譯本難懂多少。
Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, trans.Andrew Motte, Daniel Adee, publisher (freee-book, 1846).
艾薩克·牛頓，《自然哲學的數學原理》，譯者安德魯·莫特和丹尼爾·埃迪（免費電子書，1846年）
Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, trans.Andrew Motte, Snowball Publishing (e-book and paperback, 2010, ISBN 978-1607962403).
艾薩克·牛頓，《自然哲學的數學原理》，譯者安德魯·莫特，Snowball Publishing（電子書，平裝，2010年，ISBN 978-1607962403）。
讀者可以在諾頓評論系列叢書之牛頓作品集中找到《數學原理》選段（包括「守則」以及「總批注」部分），以及許多其他的牛頓的著作及其評論。
I.Bernard Cohen and Richard S.Westfall, eds., Newton: Texts, Backgrounds, Commentaries, W.W.Norton (paperback, 1995, ISBN 978-0393959024).
I.伯納德·柯恩和理查德·S.威斯特法主編，《牛頓——原文、背景、評論》，諾頓出版社（平裝，1995年，ISBN 978-0393959024）。
[1] 艾薩克·牛頓與他的同代人戈特弗裡德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）同時獨立地開始研究這種嶄新的「微積分」。隨後，他們為了是誰建立了微積分的哪個方面、是誰抄襲了誰而爭執不休；這一爭論佔據了關於牛頓的文獻的很大篇幅，但與我們在這裡的關注點並不相關。在本書第15章提到了尼可羅·圭契爾迪尼（Niccolo Guicciardini）的《艾薩克·牛頓的數學把握和數學方法》（Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method，麻省理工學院出版社，2009年）一書，該書對爭論進行了概述，大家可以參考借鑒。