視界裹在
慢慢消失的
輻射和熱粒子的大氣裡，
黑洞在收縮然後爆炸
1970年11月的一個晚上，霍金正準備睡覺，忽然有了一個想法，它來得那麼急，令他差點兒喘不過氣來，他還從沒遇到過一個思想來得這麼快的。1
睡覺對霍金來說也真不容易。他患了肌萎縮性脊髓側索硬化（ALS），支配肌肉的神經逐漸被破壞，一塊塊肌肉失去了活力。他兩腿顫慄著慢慢地移動，刷牙時還得用一隻手撐著桌台；他緊緊抓著床柱，脫去衣服，然後艱難地套進睡衣，爬上床。那天晚上，他比平常動作還慢，因為滿腦子都是那個思想。這思想令他狂喜，但他沒告訴妻子簡，那會挨罵的，因為她滿以為他會專心去睡覺。
那一夜，他醒著躺了好幾個小時，睡不著。他的思維還徜徉在那個思想的枝枝葉葉上，還在尋找它與其他事物的聯繫。
這個思想是一個簡單問題引發的。當兩個黑洞碰撞結合成一個黑洞時，會產生多少引力輻射（時空曲率波）？霍金已經大概知道，最後那個黑洞從某種意義說比原來兩個黑洞之「和」更大，但那是什麼意義呢？關於產生了多少引力輻射，它又告訴他什麼呢？
於是，在準備睡覺時，他想到了。突然，一系列的圖景在他頭腦裡合成，產生了那個思想：更大的是黑洞視界的面積。他確信這一點，景象和圖畫已經形成了一個不容置疑的數學證明。不論原來兩個黑洞質量多大（相同或大不相同），不論黑洞如何旋轉（同向、反向或是根本不轉動），也不論它們如何碰撞（正碰還是斜碰），最終黑洞視界的面積一定總是大於原來黑洞視界面積之和。那又怎麼樣呢？霍金的頭腦還在這個面積增加定理中徜徉時就已經認識到，那太了不起了。
首先，最後的黑洞為了有更大的視界面積，一定要有很大的質量（或等價地說，很大的能量），這意味著作為引力輻射噴射出去的能量不太多。但「不太多」也不是太少。霍金通過把他新的面積增加定理與用面積和自旋表達的描述黑洞質量的方程結合，計算出原來兩個黑洞質量的50%可以轉化為引力波能量，只為最後那個黑洞留下50%的質量。1
在那個11月的不眠之夜後的幾個月裡，霍金又發現了他那思想的另一些枝葉。最重要的也許是他為下面這個問題找到了一個新答案：當黑洞是「動態」的時候，也就是，當它大幅度振動時（在碰撞中這是一定會發生的），或者當它快速增長時（當它最初由坍縮恆星產生時，這也是可能的），該如何定義黑洞視界的概念？
準確而成功的定義是物理學研究的基礎。閔可夫斯基只是在定義了兩個事件的絕對間隔後（卡片2.1）才發現，雖然空間和時間是「相對的」，但可以統一為一個「絕對的」時空。愛因斯坦只是在定義了自由下落粒子的軌跡是直線後（卡片2.2），才發現時空是彎曲的（圖2.5），從而才創立了他的廣義相對論。霍金也是在定義了動態黑洞的視界概念後，才能和別人去探索當黑洞受碰撞或下落碎屑的打擊時，它會如何改變？
1970年11月以前，大多數物理學家都跟著彭羅斯，2認為黑洞視界是「試圖逃逸黑洞的光子最後被引力拉下來的地方」。霍金在這幾個月間認識到，這個舊的視界的定義鑽進了理性的死胡同。他照它本來的意思，為它取了一個略帶輕蔑的名字，這個名字留下來了。他稱它為顯視界。2
霍金小看它是有根據的。首先，顯視界是相對概念，而不是絕對的。它的位置依賴於觀測者的參照系；下落的觀測者與靜止在黑洞外的觀測者可能會看到它處在不同的位置。第二，當有物質落進黑洞時，顯視界將突然無任何徵兆地從一個位置跳到另一個位置——這種奇異的行為，是不容易認識的。第三，也是最重要的一點，顯視界同為霍金帶來新思想的那些凝結在一起的智力圖景，沒有任何聯繫。
相比之下，霍金關於視界的新定義是絕對的（在所有參照系中都相同），不是相對的，所以他稱它為絕對視界。霍金認為，絕對視界很優美。它有一個優美的定義：它是「時空中能否向遙遠宇宙發送信號的事件之間的分界（視界外的事件能發送，而視界內的事件不能）。」3它還有一個優美的演化：當黑洞吞噬物質或與另一黑洞或其他事物碰撞時，絕對視界將以一種光滑、連續而不是突然、跳躍的方式發生形狀和大小的改變（卡片12.1）。
卡片12.1 新生黑洞的絕對視界和顯視界
下面的時空圖描繪了球狀恆星形成球狀黑洞的坍縮，請與圖6.7比較。點線是外出的光線，換句話說，它們是光子的世界線（通過時空的軌跡）——這種最快的信號可以徑向向外發送到遙遠的宇宙。對於「理想的逃逸」，我們理想化地認為光子不被任何恆星物質吸收和散射。
顯視界（左圖）是想逃脫黑洞的外出光線（如向外的QQ′和RR′）被拉向奇點的最外邊界。顯視界是恆星表面收縮經過臨界周長時在E處突然完全生成的。絕對視界（右圖）是能向遙遠宇宙發送信號的事件（如事件P和S，沿光線PP′和SS′發送信號）和不能向遙遠宇宙發送信號的事件（如Q和R）之間的分界。絕對視界在事件C的恆星中心生成，比恆星收縮到臨界周長早一些。絕對視界生成時只是一點，然後像吹氣的氣球那樣逐漸膨脹。當恆星收縮到臨界周長（圓E）時，它也完全出現在恆星表面，這時不再擴張，以後就與突然形成的顯視界一致。
更重要的是，絕對視界完全符合霍金的新思想：
霍金從凝結在他頭腦中的圖景看到，絕對視界（而不一定是顯視界）的面積不僅在黑洞碰撞和結合時增大，而且在黑洞誕生時，在物質或引力波落下來時，在宇宙的其他事物的引力掀起潮汐時，在從它外面的空間漩渦中提取旋轉能量時，都會增大。實際上，絕對視界的面積幾乎總是增大，而永遠不會減小。物理原因很簡單：黑洞遭遇的任何事物都穿過它的絕對視界向內發送能量，任何能量都無法回到外面來。由於所有形式的能量都產生引力，這意味著黑洞引力在不斷加強，因而相應地它的表面積也不斷地增加。
更準確地說，霍金的結論是：（在任何人的參照系中），在任何空間區域和時刻測量所有黑洞的絕對視界的面積，並把這些面積加到一起得一個總面積。然後，你可以等任意長的時間再測量這些絕對視界的面積並把它們加起來，假如在兩次測量間沒有黑洞從這一空間區域的「圍牆」轉移出去，那麼視界的總面積不會減少，而幾乎總會增加，至少增加一點兒。
霍金很清楚地知道，不論選擇哪種視界的定義，是絕對的，或者顯的，都不會以任何方式影響對人類或其他生物可能進行的任何實驗結果的預言。例如，它不會影響對在黑洞碰撞中產生的引力波（第10章）的預言，也不會影響對落進黑洞視界的熱氣體發出的X射線數量（第8章）的預言。但是，定義的選擇卻關乎理論物理學家從愛因斯坦廣義相對論方程演繹黑洞行為特徵是費力還是輕鬆。在理論家用以指導研究的規範裡，他所選擇的定義將成為決定性的工具。它影響他們的思維圖景，影響他們在與別人交流時說的話，也影響他們直覺的飛躍。在這一點上，霍金相信，新的絕對視界因它連續增長的面積，比舊的不連續跳躍的顯視界更優越。
思考絕對視界並發現它們面積增加的物理學家，史蒂芬·霍金不是第一個。牛津大學的彭羅斯和加拿大艾伯塔大學的伊斯雷爾在霍金那個11月的不眠之夜以前就已經做過了。4霍金的發現實際也在很大程度上靠了彭羅斯打下的基礎（第13章）。然而，不論彭羅斯還是伊斯雷爾，都沒認識到面積增加定理的意義和力量，他們也沒發表這個結果。為什麼呢？他們的思想死抱著顯視界作為黑洞表面，而把絕對視界當做某個無關緊要的輔助性概念，從而也不認為絕對視界面積的增加有多大意思。跟著我們這一章，你會看到他們犯了一個多麼可怕的錯誤。
為什麼彭羅斯和伊斯雷爾那麼喜歡顯視界呢？因為它曾在一個驚人發現裡充當主角。那是彭羅斯1964年的一個發現：廣義相對論定律迫使每個黑洞在中心有一個奇點。5我將在下一章討論彭羅斯的發現和奇點的本質。我現在主要說的是，顯視界顯示了威力，而彭羅斯和伊斯雷爾被這威力蒙蔽了，沒能想到要放棄它作為黑洞表面的定義。
他們特別不能想像放棄顯視界而贊同絕對視界。為什麼呢？因為絕對視界似乎自相矛盾地違背了我們信奉的結果不得先於原因的觀念。當物質向黑洞落下時，絕對視界就開始增長（「結果」），而這時物體還沒有到達它（「原因」）呢。視界在期待中增長，物質馬上會被吞沒，黑洞引力也將隨之而增強（卡片12.2）。
彭羅斯和伊斯雷爾知道這個表面的矛盾是從哪兒來的。正是那個絕對視界的定義依賴於未來發生的事情：信號最終能否逃向遙遠的宇宙。用哲學名詞來說，這是一個目的論的定義（依賴於「最終原因」的定義），它使視界演化也是目的論的。由於現代物理學中極少出現目的論觀點，所以彭羅斯和伊斯雷爾會懷疑絕對視界的價值。
卡片12.2 吸積黑洞顯視界和絕對視界的演化6
下面的時空圖說明了顯視界的跳躍性演化和絕對視界的目的性演化。在某一初始時刻（近圖底的一張水平面上），一個非旋轉老黑洞為薄層球狀物質外殼所包圍。外殼像橡皮氣球，而黑洞像氣球中心的一個陷坑。黑洞引力作用在外殼（氣球），使它收縮並最終將它吞沒（就像氣球落進陷坑）。顯視界（向外的光線——圖中點線——的最後一道屏障）在收縮外殼到達最後黑洞臨界周長位置的瞬間突然發生不連續的跳躍，絕對視界（能否向遙遠宇宙發送光線的事件的分界）在黑洞吞沒外殼前開始擴張，在擴張中等待吞噬，然後，當黑洞吞沒外殼時，它也停在跳躍的顯視界的位置。
霍金是大膽的思想家，假如他感覺那些激進的新方向是對的，他會比大多數物理學家更樂意走上那些方向。對他來說，絕對視界的「滋味」不錯，儘管有點兒「烈」，他還是喜歡，而且有了回報。在幾個月裡，他和哈特爾根據愛因斯坦廣義相對論定律導出了一系列美妙的方程，描繪在吞沒下落的物質碎片和引力波之前，在受其他物體引力作用之前，絕對視界是如何連續而光滑地擴張和改變形狀的。7
1970年11月，霍金作為物理學家才剛邁出滿意的一步，他已經有過一些重大發現，但還沒成為主角。隨著這一章的腳步，我們會看著他成為一名主角。
失去活動能力的霍金怎麼能在思想和直覺上超越像彭羅斯、伊斯雷爾和澤爾多維奇那樣的走在他前頭的同行和競爭者呢？他們能用自己的雙手，能畫圖，能做很長的計算——那些計算記錄著過程中相互關聯的一些結果，他們可以追溯這計算過程，檢查一個個結果，然後綜合成一個最終結果；我不敢想像誰能在頭腦中完成這些計算。到70年代初，霍金的手差不多已經廢了，畫不了圖，也寫不了方程。他的研究只能完全在頭腦裡進行。
手的能力是慢慢喪失的，所以霍金有時間來適應。他逐漸練就一種與其他物理學家不同的思維方式：為了自己的思考，他以新的直覺的思維圖像和方程取代了紙上的圖畫和方程。霍金的思維圖景和方程，在某些問題上比舊的書面的東西更有力量，但對另外的問題就要差一些。他還慢慢學會了將精力集中在他的新方式更能顯示力量的問題，那力量是別人無法趕得上的。
霍金的癱瘓在其他方面幫了他的忙。他自己常說，它讓他從為大學生講課的義務中解脫了出來，從而能比健康的同事們有更多的自由時間來做研究。更重要的也許是，疾病改變了他的生活態度。
1980年，霍金與妻子簡和兒子Timonthy在英國劍橋。[K·索恩攝]
1963年，霍金上劍橋大學研究生院不久就患了ALS。ALS是一類運動神經元疾病的總稱，大多數患者很快就會死去。想到只有幾年的生命，霍金首先失去了對生活和物理學的熱情。然而，1964～1965年冬，發現他患的是一種罕見的ALS病例，它逐漸破壞中樞神經系統對肌肉的支配能力，需要很多年，而不是幾年。生活突然精彩了，霍金像一個健康快樂的研究生一樣，帶著從未有過的巨大活力和熱情又回到物理學來了。生活重新開始，他和簡（Jane Wilde）結婚了。簡是他患ALS後不久認識的，得病初期就愛上了她。
與簡的結合，是霍金在60、70和80年代成功和幸福的基礎。她在他身體遭遇的不幸中為他帶來了正常的家庭和生活。
我一生中見過的最幸福的笑是在史蒂芬的臉上。那是1972年8月的一天晚上，在法國阿爾卑斯山下。那天，簡、我和他們的兩個大孩子羅伯特和露茜游了一天下山回來。因為太笨，我們錯過了最後一趟下山的雪橇，只好步行1 000米下山。當簡、羅伯特和露茜走進飯廳時，霍金正在擺弄他的晚餐。他先還在替我們著急，看到他們進來時，卻忍不住大笑起來，眼淚都流出來了，飯也吃不下了。
霍金的手腳都動不了，然後又逐漸失去了聲音。1965年6月，我們第一次見面時，他拄著根手杖走路，聲音只是略有顫抖。1970年，他得靠四腿的架子才能走路。到1972年，他只能坐在自動輪椅上，而且基本上不能寫字了，但還能較輕鬆地自己進食，大多數地道說英語的人還能聽懂他說話，當然有點兒困難。1975年，他不能自己進食了，也只有習慣了他講話的人才能聽懂他說什麼。1981年，除非在絕對安靜的屋子裡，不然，他的話，我聽起來也很費勁；只有長期同他在一起的人才會覺得容易些。到1985年，他的肺不能自動排氣，需要切開氣管，通過有規則的吸氣清除氣流障礙。手術的代價太高了：他完全失去了聲音。他只得靠為他設計的一台計算機語音合成器來說話，抱歉的是說話遲鈍，而且帶著美國口音。他通過握在手上的簡單開關控制計算機，在屏幕上打出一串串單詞，然後用開關選出他需要的詞組成句子。這是一個痛苦緩慢的過程，卻很有效。他一分鐘最多能造一個簡單句子，但他的句子從合成器讀來還是清楚的，而且很優美。
說話能力退化了，霍金學會了把每個句子都存起來。他找到了一種比他患病初期更清楚、更簡潔的思想表達方式。隨著清楚而簡潔的表達，他的思想也更清晰，對同事們的影響也更大——但似乎也越來越費解了：有時，當他提出對某個深刻問題的判斷時，我們這些同行要在想很久、做許多計算之後才能確定他是在猜想，還是已經有了強有力的證據。有時候他不告訴我們，而我們偶爾也懷疑他是不是在拿他絕對獨特的思想跟我們開玩笑。畢竟，他還保留著在牛津讀大學時那種討人喜歡的頑皮和即使在患難時也沒離開過他的幽默。（在支氣管手術前，我已經開始難得聽懂他的話了，有時得反反覆覆對他說：「史蒂芬，我還是沒聽懂；請再說一遍。」他有點兒洩氣，但還是不斷重複，直到我恍然大悟：原來他在給我講一個精彩的異乎尋常的小笑話，當我終於笑了，他也愉快地笑了。）
熵
我在上面稱讚了霍金在思想和直覺上超越同行競爭者的能力，但我現在應該承認，他並不總是在贏，也有輸的時候。他最大的一次失敗可能是敗在惠勒的研究生貝肯斯坦（Jacob Beken-stein）手下。但我們將看到，在那次失敗中，霍金獲得了一個更大的勝利：發現黑洞蒸發。本章剩下的篇幅，就是講這一發現的曲折經過。
霍金失敗的戰場在黑洞熱力學。熱力學是一組關於大量原子的隨機的統計行為的定律，如組成房間裡的空氣的原子或組成整個太陽的原子。原子的眾多統計行為中，包括由熱引起的隨機跳躍，相應地，熱力學定律也包括關於熱的定律，因此才有熱力學這個名稱。
在霍金髮現面積定理的前一年，普林斯頓惠勒小組裡的19歲研究生剋裡斯托多羅（Demetrios Christodoulou）注意到，描述黑洞性質緩慢變化（如它緩慢吸積氣體）的方程很像某些熱力學方程。8它們之間的相似是很明顯的，但除了認為巧合外，找不到更多的理由。
霍金的面積定理又加強了這種相似：面積定理很像熱力學第二定律。實際上，在本章前面的表述中，只要把「視界面積」換成「熵」，面積定理就變成了熱力學第二定律：（在任何人的參照系中），在任何空間區域和時刻測量區域內所有事物的總熵。然後，你可以等任意長的時間再來測量，假如在兩次測量間沒有事物從你的空間區域的「圍牆」跑出去，那麼總熵不會減少，而幾乎總會增加，至少增加一點兒。
那個增加的「熵」說的是什麼東西呢？它是一定空間區域的「隨機性」的總量。熵增加意味著事物在不斷地變得越來越隨機。
更準確些說（卡片12.3），熵是一定空間區域內所有原子和分子在不改變區域宏觀表現情況下的分佈方式的數目的對數。4如果原子和分子可能的分佈方式多，微觀的隨機性就大，熵也就大。
熵增加定律（熱力學第二定律）力量很大。舉例說，假定一間屋子裡有空氣和幾張皺巴巴的報紙，它們包含的熵小於報紙在空氣中燃燒形成二氧化碳、水蒸氣和一點兒灰後所包含的熵。換句話說，當屋子裡原來是空氣和報紙時，分子和原子的隨機分佈方式比最後在空氣、二氧化碳、水蒸氣和灰的情況下少。這也是為什麼紙很容易點著而自然燃燒，而燃燒卻不容易自然地倒過來從二氧化碳、水、灰和空氣還原成紙。熵在燃燒中增加，在還原中減小，所以燃燒會發生，而還原卻不能。
1970年11月，霍金立即就注意到了熱力學第二定律和他的面積增加定理之間的相似性，但他顯然認為這只是一種巧合。他想，誰要是說黑洞視界就是某種意義的黑洞的熵，那他一定是瘋了，至少是昏了頭。是的，畢竟黑洞沒什麼隨機的東西。黑洞倒是隨機的對頭，是簡單性的化身。一旦黑洞處於一種寧靜狀態（通過發出引力波，圖7.4），它就完全「無毛」了：一切性質都由三個數決定：質量、角動量和電荷。黑洞無論如何沒有隨機性。
卡片12.3 玩具屋的熵
一間正方形的玩具屋裡有20個玩具。屋子的地板鋪著100塊大瓷磚（每邊10塊）。爸爸打掃完屋子，把玩具放在最北的那行地磚上。他不在乎哪個玩具放在哪塊磚，所以玩具完全是隨機堆在一起的。隨機性的一種度量是它們有多少種堆放方式（不論哪種方式，爸爸都一樣滿意），也就是，20個玩具放在北邊那行的10塊地磚上所能有的分佈方式的數目，它是10×10×…×10，也就是1020，因為每個玩具都有10種方式。
這個1020就是對玩具的隨機性的一種描述。然而這是一個很難把握的描述，因為1020太大了。更容易把握的是它的對數，也就是多少個10的因子乘起來能得1020，那就是20。玩具在地磚上堆放方式的數目的對數，就是玩具的熵。
這時候，孩子進屋來玩兒，把玩具扔得到處都是，然後他又走了。爸爸回來看見一團糟。現在的玩具比先前更混亂了，它們的熵增加了。爸爸不管哪個玩具在哪兒，他看到的是玩具隨意地分散在整個屋子裡。它們有多少種不同的分佈方式呢？20個玩具分散在100塊地磚上，有多少種方法？100×100×…×100，每個玩具100種，那麼總數就是10020=1040，它的對數是40，於是孩子將玩具的熵從20增加到了40。
「那有什麼，他爸爸接著會整理房間的，於是玩具的熵又減到20，」你大概會說，「這不就違反了熱力學第二定律嗎？」根本沒有。爸爸可以通過整理將玩具熵減回來，但他的身體和屋子裡的空氣的熵卻增加了：為把玩具放回原來的地方，爸爸得「燃燒」一些體內脂肪來獲得能量。燃燒將有機的脂肪轉化為無機的廢物，如他在屋子裡隨機呼出的二氧化碳。結果，爸爸和屋子的熵的增加（原子和分子的可能分佈數的增加）遠遠抵消了玩具熵的減小。
貝肯斯坦不服，9在他看來，黑洞的面積在某種深層意義上就是它的熵——或者更準確些說，是它的乘了某個常數的熵。貝肯斯坦論證說，假如不是這樣，假如黑洞像霍金說的那樣沒有熵（沒有任何隨機性），那麼黑洞就可用來減少宇宙的熵，這樣就違背了熱力學第二定律。我們只需要將從某個空間來的所有空氣分子裝進一個小口袋然後扔進黑洞就行了。口袋落進黑洞時，這些氣體分子和它們攜帶的熵便從宇宙中消失了；假如黑洞不增加熵來補償這些損失，那麼宇宙的熵就減少了。貝肯斯坦認為，這樣違背熱力學第二定律是很不令人滿意的。為了保住第二定律，黑洞必須擁有熵，在氣體落進視界時它會增大；而在貝肯斯坦眼裡，最有希望成為熵的候選者就是黑洞表面的面積。
根本不是那樣的，霍金答話了。我們能通過把氣體分子扔進黑洞而失去它們，當然也可以失去熵。霍金認為，這正是黑洞的本質，我們只能接受違反熱力學第二定律的事實，那是黑洞性質要求的——除此而外，它也沒有任何嚴重的後果。例如，在通常情形，違反熱力學第二定律可能允許製造永動機，但即使黑洞破壞了第二定律，永動機也是不可能的。這種破壞只是物理學定律的一個小小特例，有這些特例，物理學定律還是可以很好地存在下去。
貝肯斯坦還是不服。
全世界所有的黑洞專家都站在霍金一邊——只有一個例外，那就是貝肯斯坦的導師，約翰·惠勒。他告訴貝肯斯坦，「你的思想夠瘋狂了，它可能是對的。」在導師的鼓勵下，貝肯斯坦奮勇向前，加強了他的猜想。他估算了為保留熱力學第二定律，在氣體包落入黑洞時，黑洞的熵應正好增加多少；他還估算了，落進來的氣體能增大多少黑洞的面積。根據這些粗略估計，他導出了熵和面積之間的一個關係，他認為這個關係可能總會滿足熱力學第二定律；熵近似地等於視界面積除以一個與量子引力定律（那時還沒有呢）相關的著名面積，普朗克-惠勒面積，2.61×10-66平方厘米。5（在以下兩章我們將學習普朗克-惠勒面積的意義。）對10個太陽質量的黑洞來說，熵是黑洞面積，11 000平方公里，除以普朗克-惠勒面積，2.61×10-66平方厘米，結果大概是1079。
這是一個巨大的熵，代表著大量的隨機性。這些隨機性在哪兒呢？貝肯斯坦猜測在黑洞裡。黑洞內部一定包含著大量的原子、分子或別的東西，所有這些東西都隨機分佈，可能分佈方式的總數一定是101079。6
廢話！大多數前沿黑洞物理學家，也包括霍金和我都這樣反應。黑洞內包含著一個奇點，沒有原子，也沒有分子。
然而，不管怎麼說，熱力學定律和黑洞性質之間的相似總是令人驚訝的。
1972年8月，黑洞研究的黃金年代正活躍的時候，全世界的主要黑洞專家和約50名學生相聚在法國阿爾卑斯山上，緊張地做一個月的講習和聯合研究。地方還是9年前（1963）我學廣義相對論的那個萊蘇什暑期學校，還是面對勃朗峰那綠油油的山坡（第10章）。101963年我還是學生，現在，1972年，人家說我是專家了。早上，我們這些「專家們」互相交流，也向學生們講過去5年的發現和我們現在努力的新方向。大多數下午的時間我們都在不斷討論新問題：諾維科夫和我關在小木屋裡，想發現吸積到黑洞的氣體發射X射線的規律（第8章）；而在學校休息室的長椅上，我的學生普雷斯和特奧科爾斯基在探討旋轉黑洞對小干擾是否穩定（第7章）；在我們上面50米的山坡上，巴丁、卡特爾和霍金在全神貫注地用愛因斯坦的廣義相對論方程推導一組完整的黑洞演化定律。那真是難忘的田園詩，醉人的物理學。
月底，巴丁、卡特爾和霍金對黑洞力學定律的認識更牢了，這些定律與熱力學定律有著驚人的相似。11實際上，只要以「熵」替代「視界面積」，以「溫度」替代「視界表面引力」，我們就會發現，每一個黑洞定律都等同於一個熱力學定律。7（所謂表面引力，粗略地說就是靜止在視界上的人所感受的引力作用強度。）當貝肯斯坦（他是講習班的50名學生之一）看到兩組定律有那麼完美的對應時，比以前更加相信視界面積就是黑洞的熵。相反，巴丁、卡特爾、霍金、我和其他專家卻從這些對應中看出它嚴格證明了視界面積不可能充當黑洞的熵。假如是的話，表面引力就該充當黑洞的溫度了，而溫度不能是零。然而，熱力學定律主張一切非零溫度的事物都一定產生輻射（至少一點兒，家用取暖器就是這麼工作的），而每個人都知道，黑洞不會發出任何東西。輻射會落進黑洞，但沒有輻射能從黑洞跑出來。
假如貝肯斯坦能從他的直覺得到其邏輯結果，他會認定黑洞一定以某種方式具有有限的溫度而且一定產生輻射，那麼我們今天會把他看成了不起的先知。但貝肯斯坦不過是在瞎忙。他承認黑洞顯然是不能輻射的，但仍然頑固地相信他的黑洞熵。
[1] 霍金的面積增加定理允許任何黑洞質量都能以引力波形式發射出去，這似乎與我們的直覺矛盾。熟悉代數的讀者可以從下面這個例子找到滿意的答案：兩個無旋轉黑洞結合成一個更大的無旋轉黑洞。無旋轉黑洞的表面積正比於視界周長的平方，從而也就正比於黑洞質量的平方。這樣，霍金的定理認為，初始黑洞質量的平方和一定大於*最後黑洞質量的平方。簡單的代數計算可以說明，這個質量約束條件允許最後黑洞的質量小於原來兩個黑洞質量之和，這樣也就允許一定的初始質量作為引力波發射出去。（*顯然是「小於」的筆誤。即使M2＞M12+M22，仍然可能有M＜M1+M2，這兩個條件可以確定最多能有多少質量轉化成為引力波。——譯者）
[2] 顯視界更精確的定義見下面的卡片12.1。
[3] 在《時空的大尺度結構》裡，霍金就稱它是「事件視界」。——譯者
[4] 量子力學定律保證了原子和分子的分佈狀態數總是有限而不會是無限的，物理學家在定義熵時常以它的對數乘以一個與我們無關的常數，loge10×k，這裡loge10是10的「自然對數」，2.30258…，k是「玻爾茲曼常數」，1.38062×10-16爾格每攝氏度。我在全書都將忽略這個常數。
[5] 普朗克-惠勒面積公式為G
/c3，這裡，G=6.670×10-8達因·厘米2/克2是牛頓引力常數，=1.055×10-27爾格·秒是普朗克量子力學常數，c=2.998×1010厘米/秒是光速。相關問題見第13，14章的有關腳注和這些章節的討論。
[6] 101079的對數是1079（貝肯斯坦猜想的熵）。注意，101079是1後面跟1079個0，就是說，0的數目與宇宙的原子一樣多。
[7] 我們知道，熱力學有四個定律，現在將這四個定律與相應的黑洞力學定律並列在下面：第零定律：系統平衡時，溫度處處相同；視界在平衡狀態下，表面引力處處相同。第一定律：能量守恆定律（當然都是滿足的）。第二定律：熵永不減少；視界面積永不減少。第三定律：不可能通過有限步驟達到絕對零度（-273.15℃）；不可能通過有限步驟將黑洞表面引力減小到零。在不同場合，這些定律有不同的表述方式，但本質是相同的。——譯者